Modelo de Ising - Ising model

O modelo de Ising ( / s ɪ ŋ / ; alemão: [iːzɪŋ] ), (ou modelo Lenz-Ising ou modelo de Ising-Lenz , nomeado após os físicos) Ernst Ising e Wilhelm Lenz (que desenvolveu durante seu tempo em Hamburgo University ), é um modelo matemático de ferromagnetismo em mecânica estatística . O modelo consiste em variáveis ​​discretas que representam momentos dipolares magnéticos de "spins" atômicos que podem estar em um de dois estados (+1 ou -1). Os spins são organizados em um gráfico, geralmente uma rede (onde a estrutura local se repete periodicamente em todas as direções), permitindo que cada spin interaja com seus vizinhos. Os spins vizinhos que concordam têm uma energia menor do que aqueles que discordam; o sistema tende para a energia mais baixa, mas o calor perturba essa tendência, criando a possibilidade de diferentes fases estruturais. O modelo permite a identificação das transições de fase como um modelo simplificado da realidade. O modelo de Ising de rede quadrada bidimensional é um dos modelos estatísticos mais simples para mostrar uma transição de fase .

O modelo de Ising foi inventado pelo físico Wilhelm Lenz  ( 1920 ), que o deu como um problema para seu aluno Ernst Ising. O modelo de Ising unidimensional foi resolvido pelo próprio Ising (1925) em sua tese de 1924; não tem transição de fase. O modelo de Ising de rede quadrada bidimensional é muito mais difícil e só recebeu uma descrição analítica muito mais tarde, por Lars Onsager  ( 1944 ). Geralmente é resolvido por um método de matriz de transferência , embora existam diferentes abordagens, mais relacionadas à teoria quântica de campos .

Em dimensões maiores que quatro, a transição de fase do modelo de Ising é descrita pela teoria do campo médio .

O problema de Ising sem um campo externo pode ser formulado de forma equivalente como um problema de corte máximo de gráfico (Corte Máx) que pode ser resolvido via otimização combinatória .

Definição

Considere um conjunto Λ de locais de rede, cada um com um conjunto de locais adjacentes (por exemplo, um gráfico ) formando uma rede de dimensão d . Para cada site de rede k  ∈ Λ existe uma variável discreta σ k tal que σ k  ∈ {+1, −1}, representando o spin do site. Uma configuração de spin , σ = (σ k ) k  ∈ Λ é uma atribuição de valor de spin para cada local da rede.

Para quaisquer dois sites adjacentes ij  ∈ Λ, há uma interação J ij . Além disso, um site j  ∈ Λ tem um campo magnético externo h j interagindo com ele. A energia de uma configuração σ é dada pela função hamiltoniana

onde a primeira soma é sobre pares de giros adjacentes (cada par é contado uma vez). A notação ⟨ ij ⟩ indica que os sites i e j são vizinhos mais próximos. O momento magnético é dado por µ. Observe que o sinal no segundo termo do hamiltoniano acima deve realmente ser positivo porque o momento magnético do elétron é antiparalelo ao seu spin, mas o termo negativo é usado convencionalmente. A probabilidade de configuração é dada pela distribuição de Boltzmann com temperatura inversa β ≥ 0:

onde β = ( k B T ) −1 , e a constante de normalização

é a função de partição . Para uma função f dos spins ("observável"), denota-se por

o valor esperado (médio) de f .

As probabilidades de configuração P β (σ) representam a probabilidade de que (em equilíbrio) o sistema está em um estado com configuração σ.

Discussão

O sinal de menos em cada termo da função hamiltoniana H (σ) é convencional. Usando esta convenção de signos, os modelos de Ising podem ser classificados de acordo com o signo da interação: se, para um par ij

, a interação é chamada ferromagnética ,
, a interação é chamada antiferromagnética ,
, os spins não interagem .

O sistema é denominado ferromagnético ou antiferromagnético se todas as interações forem ferromagnéticas ou todas forem antiferromagnéticas. Os modelos originais de Ising eram ferromagnéticos, e ainda é frequentemente assumido que "modelo de Ising" significa um modelo de Ising ferromagnético.

Em um modelo de Ising ferromagnético, os spins desejam ser alinhados: as configurações em que os spins adjacentes são do mesmo sinal têm maior probabilidade. Em um modelo antiferromagnético, spins adjacentes tendem a ter sinais opostos.

A convenção de sinais de H (σ) também explica como um local de spin j interage com o campo externo. Ou seja, o site de spin deseja alinhar-se com o campo externo. Se:

, o site de spin j deseja se alinhar na direção positiva,
, o local de rotação j deseja se alinhar na direção negativa,
, não há influência externa no site de rotação.

Simplificações

Modelos de Ising são freqüentemente examinados sem um campo externo interagindo com a rede, ou seja, h  = 0 para todo j na rede Λ. Usando esta simplificação, o hamiltoniano torna-se

Quando o campo externo é zero em todos os lugares, h  = 0, o modelo de Ising é simétrico ao mudar o valor do spin em todos os locais da rede; um campo diferente de zero quebra essa simetria.

Outra simplificação comum é assumir que todos os vizinhos mais próximos ⟨ ij ⟩ ter a mesma força de interação. Então, podemos definir J ij = J para todos os pares ij em Λ. Neste caso, o hamiltoniano é ainda mais simplificado para

Conexão para corte máximo do gráfico

Um subconjunto S do conjunto de vértices V (G) de um grafo não direcionado ponderado G determina um corte do grafo G em S e seu subconjunto complementar G \ S. O tamanho do corte é a soma dos pesos das arestas entre S e G \ S. Um tamanho máximo de corte é pelo menos o tamanho de qualquer outro corte, variando S.

Para o modelo de Ising sem um campo externo em um gráfico G, o hamiltoniano se torna a seguinte soma sobre as arestas do gráfico E (G)

.

Aqui, cada vértice i do gráfico é um local de spin que assume um valor de spin . Uma determinada configuração de spin particiona o conjunto de vértices em dois subconjuntos dependentes, aqueles com spin para cima e aqueles com spin para baixo . Nós denotar pelo conjunto -depended de arestas que liga os dois subconjuntos de vértice complementares e . O tamanho do corte para bipartido o ponderada gráfico G não dirigida pode ser definida como

,

onde denota um peso da aresta e a escala 1/2 é introduzida para compensar a contagem dupla dos mesmos pesos .

As identidades

onde a soma total no primeiro termo não depende de , implica que minimizar em é equivalente a minimizar . Definir o peso da aresta, portanto, transforma o problema de Ising sem um campo externo em um problema de corte máximo de gráfico maximizando o tamanho do corte , que está relacionado ao hamiltoniano de Ising da seguinte forma,

Perguntas

Um número significativo de perguntas estatísticas a serem feitas sobre este modelo está no limite de um grande número de giros:

  • Em uma configuração típica, a maioria dos spins são +1 ou -1 ou são divididos igualmente?
  • Se um spin em qualquer posição i for 1, qual é a probabilidade de que o spin na posição j também seja 1?
  • Se β for alterado, há uma transição de fase?
  • Em uma rede Λ, qual é a dimensão fractal da forma de um grande aglomerado de spins +1?

Propriedades básicas e história

Visualização da medida de probabilidade invariante de translação do modelo de Ising unidimensional

O caso mais estudado do modelo de Ising é o modelo de campo zero ferromagnético invariante à translação em uma rede d- dimensional, a saber, Λ =  Z d , J ij  = 1, h  = 0.

Em sua tese de doutorado de 1924, Ising resolveu o modelo para o  caso d = 1, que pode ser pensado como uma rede horizontal linear onde cada local interage apenas com seu vizinho direito e esquerdo. Em uma dimensão, a solução não admite transição de fase . Ou seja, para qualquer β positivo, as correlações ⟨σ i σ j ⟩ decaimento exponencial em | i  -  j |:

e o sistema está desordenado. Com base nesse resultado, ele concluiu incorretamente que esse modelo não exibe comportamento de fase em nenhuma dimensão.

O modelo de Ising passa por uma transição de fase entre uma fase ordenada e uma fase desordenada em 2 dimensões ou mais. Ou seja, o sistema está desordenado para pequenos β, enquanto que para grandes β o sistema exibe ordem ferromagnética:

Isso foi provado pela primeira vez por Rudolf Peierls em 1936, usando o que agora é chamado de argumento de Peierls .

O modelo de Ising em uma rede quadrada bidimensional sem campo magnético foi resolvido analiticamente por Lars Onsager  ( 1944 ). Onsager mostrou que as funções de correlação e energia livre do modelo de Ising são determinadas por um férmion de rede não interativo. Onsager anunciou a fórmula para a magnetização espontânea para o modelo bidimensional em 1949, mas não deu uma derivação. Yang (1952) deu a primeira prova publicada dessa fórmula, usando uma fórmula limite para os determinantes de Fredholm , provada em 1951 por Szegő em resposta direta ao trabalho de Onsager.

Significado histórico

Um dos argumentos de Demócrito em apoio ao atomismo era que os átomos explicam naturalmente os limites de fase nítidos observados nos materiais, como quando o gelo derrete em água ou a água se transforma em vapor. Sua ideia era que pequenas mudanças nas propriedades da escala atômica levariam a grandes mudanças no comportamento do agregado. Outros acreditavam que a matéria é inerentemente contínua, não atômica, e que as propriedades em grande escala da matéria não são redutíveis às propriedades atômicas básicas.

Embora as leis da ligação química tenham deixado claro para os químicos do século XIX que os átomos eram reais, entre os físicos o debate continuou até o início do século XX. Atomistas, notavelmente James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann , aplicaram a formulação de Hamilton das leis de Newton a grandes sistemas e descobriram que o comportamento estatístico dos átomos descreve corretamente os gases da temperatura ambiente. Mas a mecânica estatística clássica não explicava todas as propriedades dos líquidos e sólidos, nem dos gases a baixa temperatura.

Uma vez que a mecânica quântica moderna foi formulada, o atomismo não estava mais em conflito com o experimento, mas isso não levou a uma aceitação universal da mecânica estatística, que ia além do atomismo. Josiah Willard Gibbs deu um formalismo completo para reproduzir as leis da termodinâmica a partir das leis da mecânica. Mas muitos argumentos falhos sobreviveram desde o século 19, quando a mecânica estatística era considerada duvidosa. Os lapsos de intuição resultaram principalmente do fato de que o limite de um sistema estatístico infinito tem muitas leis zero-um que estão ausentes em sistemas finitos: uma mudança infinitesimal em um parâmetro pode levar a grandes diferenças no comportamento global e agregado, como Demócrito esperado.

Sem transições de fase em volume finito

No início do século XX, alguns acreditavam que a função de partição nunca poderia descrever uma transição de fase, com base no seguinte argumento:

  1. A função de partição é uma soma de e −β E sobre todas as configurações.
  2. A função exponencial é analítica em todos os lugares como uma função de β.
  3. A soma das funções analíticas é uma função analítica.

Este argumento funciona para uma soma finita de exponenciais e estabelece corretamente que não há singularidades na energia livre de um sistema de tamanho finito. Para sistemas que estão no limite termodinâmico (ou seja, para sistemas infinitos), a soma infinita pode levar a singularidades. A convergência para o limite termodinâmico é rápida, de modo que o comportamento da fase já é aparente em uma rede relativamente pequena, embora as singularidades sejam suavizadas pelo tamanho finito do sistema.

Isso foi estabelecido pela primeira vez por Rudolf Peierls no modelo de Ising.

Gotas de Peierls

Pouco depois de Lenz e Ising construirem o modelo de Ising, Peierls foi capaz de mostrar explicitamente que uma transição de fase ocorre em duas dimensões.

Para fazer isso, ele comparou os limites de alta e baixa temperatura. Em temperatura infinita (β = 0) todas as configurações têm probabilidade igual. Cada rotação é completamente independente de qualquer outra, e se as configurações típicas em temperatura infinita forem plotadas de forma que mais / menos sejam representados em preto e branco, elas se parecerão com a neve da televisão . Para temperaturas altas, mas não infinitas, existem pequenas correlações entre as posições vizinhas, a neve tende a se acumular um pouco, mas a tela fica olhando aleatoriamente e não há excesso líquido de preto ou branco.

Uma medida quantitativa do excesso é a magnetização , que é o valor médio do spin:

Um argumento falso análogo ao argumento da última seção agora estabelece que a magnetização no modelo de Ising é sempre zero.

  1. Cada configuração de giros tem energia igual à configuração com todos os giros invertidos.
  2. Portanto, para cada configuração com magnetização M, há uma configuração com magnetização - M com igual probabilidade.
  3. O sistema deve, portanto, gastar a mesma quantidade de tempo na configuração com magnetização M como com magnetização - M .
  4. Portanto, a magnetização média (ao longo do tempo) é zero.

Como antes, isso apenas prova que a magnetização média é zero em qualquer volume finito. Para um sistema infinito, as flutuações podem não ser capazes de empurrar o sistema de um estado maioritariamente positivo para um estado maioritariamente negativo com probabilidade diferente de zero.

Para temperaturas muito altas, a magnetização é zero, pois está em temperatura infinita. Para ver isso, observe que se o spin A tem apenas uma pequena correlação ε com o spin B, e B é apenas fracamente correlacionado com C, mas C é independente de A, a quantidade de correlação de A e C é como ε 2 . Para dois spins separados pela distância L , a quantidade de correlação vai como ε L , mas se houver mais de um caminho pelo qual as correlações podem viajar, essa quantidade é aumentada pelo número de caminhos.

O número de caminhos de comprimento L em uma rede quadrada em dimensões d é

uma vez que existem 2 opções de d para onde ir em cada etapa.

Um limite na correlação total é dado pela contribuição para a correlação pela soma de todos os caminhos que ligam dois pontos, que é limitado acima pela soma de todos os caminhos de comprimento L dividido por

que vai para zero quando ε é pequeno.

Em baixas temperaturas (β ≫ 1) as configurações estão próximas da configuração de menor energia, aquela em que todos os spins são positivos ou todos os spins são negativos. Peierls perguntou se é estatisticamente possível em baixa temperatura, começando com todos os spins menos, flutuar para um estado onde a maioria dos spins são positivos. Para que isso aconteça, as gotículas de spin positivo devem ser capazes de congelar para formar o estado positivo.

A energia de uma gota de mais giros em um fundo negativo é proporcional ao perímetro da gota L, onde mais giros e menos giros vizinhos um ao outro. Para uma gota com perímetro L , a área está em algum lugar entre ( L  - 2) / 2 (a linha reta) e ( L / 4) 2 (a caixa quadrada). O custo de probabilidade para a introdução de uma gota tem o fator e −β L , mas isso contribui para a função de partição multiplicada pelo número total de gotas com perímetro L , que é menor que o número total de caminhos de comprimento L :

De modo que a contribuição total de spin das gotas, mesmo contando em excesso ao permitir que cada local tenha uma gota separada, é limitada acima por

que vai para zero em grandes β. Para β suficientemente grande, isso suprime exponencialmente loops longos, de modo que eles não podem ocorrer, e a magnetização nunca flutua muito longe de −1.

Assim, Peierls estabeleceu que a magnetização no modelo de Ising eventualmente define setores de superseleção , domínios separados não ligados por flutuações finitas.

Dualidade Kramers-Wannier

Kramers e Wannier foram capazes de mostrar que a expansão de alta temperatura e a expansão de baixa temperatura do modelo são iguais a um reescalonamento geral da energia livre. Isso permitiu que o ponto de transição de fase no modelo bidimensional fosse determinado com exatidão (supondo que haja um ponto crítico único).

Zeros Yang-Lee

Após a solução de Onsager, Yang e Lee investigaram a maneira como a função de partição se torna singular à medida que a temperatura se aproxima da temperatura crítica.

Métodos de Monte Carlo para simulação numérica

Têmpera de um sistema de Ising em uma rede quadrada bidimensional (500 × 500) com temperatura inversa β  = 10, a partir de uma configuração aleatória

Definições

O modelo de Ising pode ser difícil de avaliar numericamente se houver muitos estados no sistema. Considere um modelo de Ising com

L = | Λ |: o número total de sites na rede,
σ j ∈ {−1, +1}: um local de spin individual na rede, j  = 1, ..., L ,
S ∈ {−1, +1} L : estado do sistema.

Uma vez que cada local de spin tem ± 1 rotação, existem 2 L diferentes estados que são possíveis. Isso motiva o motivo para o modelo de Ising ser simulado usando métodos de Monte Carlo .

O hamiltoniano comumente usado para representar a energia do modelo ao usar métodos de Monte Carlo é

Além disso, o hamiltoniano é ainda mais simplificado ao assumir o campo externo h zero , uma vez que muitas questões que devem ser resolvidas usando o modelo podem ser respondidas na ausência de um campo externo. Isso nos leva à seguinte equação de energia para o estado σ:

Dado esse hamiltoniano, quantidades de interesse, como o calor específico ou a magnetização do ímã em uma determinada temperatura, podem ser calculadas.

Algoritmo metrópole

Visão geral

O algoritmo Metropolis – Hastings é o algoritmo Monte Carlo mais comumente usado para calcular as estimativas do modelo de Ising. O algoritmo escolhe primeiro as probabilidades de seleção g (μ, ν), que representam a probabilidade de que o estado ν seja selecionado pelo algoritmo entre todos os estados, dado que um está no estado μ. Em seguida, ele usa as probabilidades de aceitação A (μ, ν) para que o equilíbrio detalhado seja satisfeito. Se o novo estado ν for aceito, então nos movemos para esse estado e repetimos com a seleção de um novo estado e decidimos aceitá-lo. Se ν não for aceito, permaneceremos em µ. Este processo é repetido até que algum critério de parada seja atendido, o que para o modelo de Ising é frequentemente quando a rede se torna ferromagnética , o que significa que todos os locais apontam na mesma direção.

Ao implementar o algoritmo, deve-se garantir que g (μ, ν) seja selecionado de forma que a ergodicidade seja satisfeita. No equilíbrio térmico , a energia de um sistema flutua apenas dentro de um pequeno intervalo. Esta é a motivação por trás do conceito de dinâmica single-spin-flip , que afirma que em cada transição, vamos mudar apenas um dos sites de spin na rede. Além disso, usando a dinâmica single-spin-flip, pode-se ir de qualquer estado para qualquer outro estado invertendo cada local que difere entre os dois estados, um de cada vez.

A quantidade máxima de mudança entre a energia do estado presente, H μ e a energia de qualquer novo estado possível H ν (usando a dinâmica de rotação simples) é 2 J entre o spin que escolhemos "inverter" para mover para o novo estado e o vizinho daquele giro. Assim, em um modelo 1D Ising, onde cada site tem dois vizinhos (esquerda e direita), a diferença máxima de energia seria 4 J .

Deixe c representar o número de coordenação da rede ; o número de vizinhos mais próximos que qualquer site de rede tem. Assumimos que todos os sites têm o mesmo número de vizinhos devido a condições de contorno periódicas . É importante notar que o algoritmo Metropolis – Hastings não funciona bem em torno do ponto crítico devido à desaceleração crítica. Outras técnicas, como métodos multigrid, algoritmo de Niedermayer, algoritmo de Swendsen-Wang ou o algoritmo de Wolff são necessárias para resolver o modelo próximo ao ponto crítico; um requisito para determinar os expoentes críticos do sistema.

Especificação

Especificamente para o modelo de Ising e usando a dinâmica single-spin-flip, pode-se estabelecer o seguinte.

Uma vez que existem L sites totais na rede, usando single-spin-flip como a única maneira de fazermos a transição para outro estado, podemos ver que há um total de L novos estados ν do nosso estado atual μ. O algoritmo assume que as probabilidades de selecção são iguais aos L estados: g (μ, ν) = 1 / L . O equilíbrio detalhado nos diz que a seguinte equação deve ser válida:

Assim, queremos selecionar a probabilidade de aceitação de nosso algoritmo para satisfazer

Se H ν > H μ , então A (ν, μ)> A (μ, ν). Metropolis define o maior de A (μ, ν) ou A (ν, μ) como 1. Por esse raciocínio, o algoritmo de aceitação é:

A forma básica do algoritmo é a seguinte:

  1. Escolha um local de spin usando a probabilidade de seleção g (μ, ν) e calcule a contribuição para a energia envolvendo esse spin.
  2. Inverta o valor do spin e calcule a nova contribuição.
  3. Se a nova energia for menor, mantenha o valor invertido.
  4. Se a nova energia for maior, apenas mantenha a probabilidade
  5. Repetir.

A mudança na energia H ν  -  H μ depende apenas do valor do spin e de seus vizinhos gráficos mais próximos. Portanto, se o gráfico não estiver muito conectado, o algoritmo é rápido. Esse processo acabará por produzir uma seleção da distribuição.

Vendo o modelo de Ising como uma cadeia de Markov

É possível ver o modelo de Ising como uma cadeia de Markov , pois a probabilidade imediata P β (ν) de transição para um estado futuro ν depende apenas do estado presente μ. O algoritmo Metropolis é na verdade uma versão de uma simulação de Monte Carlo de cadeia de Markov , e uma vez que usamos a dinâmica single-spin-flip no algoritmo Metropolis, cada estado pode ser visto como tendo links para exatamente L outros estados, onde cada transição corresponde à inversão um único site de rotação para o valor oposto. Além disso, uma vez que a mudança da equação de energia H σ depende apenas da força de interação do vizinho mais próximo J , o modelo de Ising e suas variantes, como o modelo de Sznajd, podem ser vistos como uma forma de modelo de eleitor para dinâmica de opinião.

Uma dimensão

O limite termodinâmico existe enquanto o decaimento da interação é com α> 1.

  • No caso da interação ferromagnética com 1 <α <2, Dyson provou, por comparação com o caso hierárquico, que há transição de fase em temperatura suficientemente pequena.
  • No caso da interação ferromagnética , Fröhlich e Spencer provaram que há transição de fase em temperatura suficientemente pequena (em contraste com o caso hierárquico).
  • No caso de interação com α> 2 (que inclui o caso de interações de faixa finita), não há transição de fase em nenhuma temperatura positiva (isto é, β finito), uma vez que a energia livre é analítica nos parâmetros termodinâmicos.
  • No caso de interações com vizinhos mais próximos , E. Ising forneceu uma solução exata do modelo. Em qualquer temperatura positiva (isto é, β finito), a energia livre é analítica nos parâmetros termodinâmicos, e a correlação de spin de dois pontos truncada decai exponencialmente rápido. Na temperatura zero (isto é, β infinito), há uma transição de fase de segunda ordem: a energia livre é infinita e a correlação de spin de dois pontos truncada não decai (permanece constante). Portanto, T = 0 é a temperatura crítica neste caso. As fórmulas de escala são satisfeitas.

A solução exata de Ising

No caso do vizinho mais próximo (com condições de contorno periódicas ou livres), uma solução exata está disponível. O hamiltoniano do modelo de Ising unidimensional em uma rede de L sites com condições de contorno periódicas é

onde J e h podem ser qualquer número, uma vez que, neste caso simplificado, J é uma constante que representa a força de interação entre os vizinhos mais próximos eh é o campo magnético externo constante aplicado aos locais da rede. Então a energia livre é

e a correlação spin-spin (ou seja, a covariância) é

onde C (β) ec (β) são funções positivas para T > 0. Para T → 0, entretanto, o comprimento de correlação inversa c (β) desaparece.

Prova

A prova desse resultado é um cálculo simples.

Se h = 0, é muito fácil de obter a energia livre no caso de condição de contorno livre, ou seja, quando

Em seguida, o modelo fatoriza sob a mudança de variáveis

Isto dá

Portanto, a energia livre é

Com a mesma mudança de variáveis

portanto, ele decai exponencialmente assim que T ≠ 0; mas para T = 0, ou seja, no limite β → ∞ não há decaimento.

Se h ≠ 0, precisamos do método da matriz de transferência. Para as condições de contorno periódicas, o caso é o seguinte. A função de partição é

Os coeficientes podem ser vistos como entradas de uma matriz. Existem diferentes opções possíveis: uma conveniente (porque a matriz é simétrica) é

ou

No formalismo de matriz

onde λ 1 é o maior autovalor de V , enquanto λ 2 é o outro autovalor:

e | λ 2 | <λ 1 . Isso dá a fórmula da energia livre.

Comentários

A energia do estado mais baixo é - JL , quando todos os spins são iguais. Para qualquer outra configuração, a energia extra é igual a 2 J vezes o número de mudanças de sinal encontradas durante a varredura da configuração da esquerda para a direita.

Se designarmos o número de mudanças de sinal em uma configuração como k , a diferença em energia do estado de energia mais baixa é 2 k . Como a energia é aditiva no número de lançamentos, a probabilidade p de haver um spin-flip em cada posição é independente. A razão entre a probabilidade de encontrar um flip e a probabilidade de não encontrar um é o fator de Boltzmann:

O problema é reduzido a lançamentos de moedas tendenciosos e independentes . Isso essencialmente completa a descrição matemática.

A partir da descrição em termos de lançamentos independentes, as estatísticas do modelo para linhas longas podem ser entendidas. A linha se divide em domínios. Cada domínio tem um comprimento médio exp (2β). O comprimento de um domínio é distribuído exponencialmente, uma vez que existe uma probabilidade constante em qualquer etapa de ocorrer uma inversão. Os domínios nunca se tornam infinitos, portanto, um sistema longo nunca é magnetizado. Cada etapa reduz a correlação entre um spin e seu vizinho em um valor proporcional a p , de modo que as correlações caem exponencialmente.

A função de partição é o volume de configurações, cada configuração ponderada por seu peso Boltzmann. Uma vez que cada configuração é descrita pelas mudanças de sinal, a função de partição fatoriza:

O logaritmo dividido por L é a densidade de energia livre:

que é analítico longe de β = ∞. Um sinal de uma transição de fase é uma energia livre não analítica, portanto, o modelo unidimensional não tem uma transição de fase.

Solução unidimensional com campo transversal

Para expressar o hamiltoniano de Ising usando uma descrição da mecânica quântica de spins, substituímos as variáveis ​​de spin por suas respectivas matrizes de Pauli. No entanto, dependendo da direção do campo magnético, podemos criar um hamiltoniano de campo transversal ou de campo longitudinal. O hamiltoniano de campo transversal é dado por

O modelo de campo transversal experimenta uma transição de fase entre um regime ordenado e desordenado em J  ~  h . Isso pode ser mostrado por um mapeamento das matrizes de Pauli

Ao reescrever o hamiltoniano em termos dessas matrizes de mudança de base, obtemos

Uma vez que os papéis de H e J são comutados, o Hamiltoniano sofre uma transição no J = h .

Duas dimensões

  • No caso ferromagnético, há uma transição de fase. Em baixa temperatura, o argumento de Peierls prova magnetização positiva para o caso do vizinho mais próximo e então, pela desigualdade de Griffiths , também quando interações de longo alcance são adicionadas. Enquanto isso, em alta temperatura, a expansão do cluster dá analiticidade das funções termodinâmicas.
  • No caso do vizinho mais próximo, a energia livre foi calculada exatamente por Onsager, através da equivalência do modelo com férmions livres na rede. As funções de correlação spin-spin foram calculadas por McCoy e Wu.

A solução exata de Onsager

Onsager (1944) obteve a seguinte expressão analítica para a energia livre do modelo de Ising na rede quadrada anisotrópica quando o campo magnético no limite termodinâmico em função da temperatura e das energias de interação horizontal e vertical e , respectivamente

A partir dessa expressão para a energia livre, todas as funções termodinâmicas do modelo podem ser calculadas usando uma derivada apropriada. O modelo 2D de Ising foi o primeiro modelo a exibir uma transição de fase contínua em uma temperatura positiva. Ocorre na temperatura que resolve a equação

No caso isotrópico, quando as energias de interação horizontal e vertical são iguais , a temperatura crítica ocorre no ponto seguinte

Quando as energias de interação , são ambos negativos, o modelo de Ising se torna um antiferromagneto. Uma vez que a rede quadrada é bipartida, ela é invariante sob esta mudança quando o campo magnético , então a energia livre e a temperatura crítica são as mesmas para o caso antiferromagnético. Para a rede triangular, que não é bipartida, o modelo de Ising ferromagnético e antiferromagnético se comporta de maneira notavelmente diferente.

Matriz de transferência

Comece com uma analogia com a mecânica quântica. O modelo de Ising em uma rede periódica longa tem uma função de partição

Pense na direção i como espaço e na direção j como tempo . Esta é uma soma independente de todos os valores que os giros podem assumir em cada fração de tempo. Este é um tipo de integral de caminho , é a soma de todos os históricos de spin.

Uma integral de caminho pode ser reescrita como uma evolução hamiltoniana. O hamiltoniano avança no tempo realizando uma rotação unitária entre o tempo t e o tempo t + Δ t :

O produto das matrizes U, uma após a outra, é o operador de evolução no tempo total, que é a integral de caminho com a qual começamos.

onde N é o número de fatias de tempo. A soma de todos os caminhos é dada por um produto de matrizes, cada elemento da matriz é a probabilidade de transição de uma fatia para a próxima.

Da mesma forma, pode-se dividir a soma de todas as configurações da função de partição em fatias, onde cada fatia é a configuração unidimensional no tempo 1. Isso define a matriz de transferência :

A configuração em cada fatia é uma coleção unidimensional de giros. Em cada fatia de tempo, T tem elementos de matriz entre duas configurações de spins, uma no futuro imediato e outra no passado imediato. Essas duas configurações são C 1 e C 2 , e todas são configurações de spin unidimensionais. Podemos pensar no espaço vetorial em que T atua como todas as combinações lineares complexas deles. Usando a notação mecânica quântica:

onde cada vetor de base é uma configuração de spin de um modelo de Ising unidimensional.

Como o hamiltoniano, a matriz de transferência atua em todas as combinações lineares de estados. A função de partição é uma função de matriz de T, que é definida pela soma de todas as histórias que voltam à configuração original após N etapas:

Por se tratar de uma equação matricial, ela pode ser avaliada em qualquer base. Então, se podemos diagonalizar a matriz T , podemos encontrar Z .

T em termos de matrizes de Pauli

A contribuição para a função de partição para cada par de configurações passado / futuro em uma fatia é a soma de dois termos. Há o número de giros na fatia anterior e há o número de giros entre a fatia passada e futura. Defina um operador nas configurações que vira a jogada no site i:

Na base de Ising usual, agindo em qualquer combinação linear de configurações anteriores, ele produz a mesma combinação linear, mas com o spin na posição i de cada vetor de base invertido.

Defina um segundo operador que multiplica o vetor de base por +1 e -1 de acordo com o spin na posição i :

T pode ser escrito em termos destes:

onde A e B são constantes que devem ser determinadas de modo a reproduzir a função de partição. A interpretação é que a configuração estatística nesta fatia contribui de acordo com o número de giros na fatia e se o giro na posição i foi ou não invertido.

Operadores de criação e aniquilação de giro

Assim como no caso unidimensional, mudaremos a atenção dos spins para os spin-flips. O termo σ z em T conta o número de giros, que podemos escrever em termos de criação de giro e operadores de aniquilação:

O primeiro termo inverte um giro, portanto, dependendo do estado de base:

  1. move um spin-flip uma unidade para a direita
  2. move um spin-flip uma unidade para a esquerda
  3. produz dois spin-flips em sites vizinhos
  4. destrói dois spin-flips em sites vizinhos.

Escrevendo isso em termos de operadores de criação e aniquilação:

Ignore os coeficientes constantes e concentre a atenção no formulário. Eles são todos quadráticos. Como os coeficientes são constantes, isso significa que a matriz T pode ser diagonalizada por transformadas de Fourier.

Fazer a diagonalização produz a energia livre do Onsager.

Fórmula de Onsager para magnetização espontânea

Onsager anunciou a seguinte expressão para a magnetização espontânea M de um ferromagneto de Ising bidimensional na rede quadrada em duas conferências diferentes em 1948, embora sem provas

onde e são energias de interação horizontal e vertical.

Uma derivação completa só foi dada em 1951 por Yang (1952) usando um processo de limitação de autovalores da matriz de transferência. A prova foi posteriormente bastante simplificada em 1963 por Montroll, Potts e Ward usando a fórmula limite de Szegő para os determinantes de Toeplitz , tratando a magnetização como o limite das funções de correlação.

Modelo mínimo

No ponto crítico, o modelo de Ising bidimensional é uma teoria de campo conformada bidimensional . As funções de spin e correlação de energia são descritas por um modelo mínimo , que foi resolvido exatamente.

Três dimensões

Tanto em três como em duas dimensões, o caso mais estudado do modelo de Ising é o modelo invariante à translação em uma rede cúbica com acoplamento do vizinho mais próximo no campo magnético zero. Os principais teóricos buscaram uma solução analítica tridimensional por muitas décadas, que seria análoga à solução de Onsager no caso bidimensional. Até agora, acredita-se que tal solução não exista, embora não haja provas.

Em três dimensões, o modelo de Ising mostrou ter uma representação em termos de cordas fermiônicas não interagentes por Alexander Polyakov e Vladimir Dotsenko . Esta construção foi realizada na rede, e o limite do contínuo, que descreve conjecturalmente o ponto crítico, é desconhecido.

Resultado de NP-completude de Istrail para o modelo geral de vidro giratório

Em 2000, Sorin Istrail do Sandia National Laboratories provou que o modelo Ising não-planar é NP-completo . Ou seja, assumindo PNP, o modelo geral de Ising do vidro de spin é exatamente solucionável apenas em casos planos , então soluções para dimensões maiores que dois também são intratáveis. O resultado de Istrail diz respeito apenas ao modelo de vidro de spin com acoplamentos que variam espacialmente, e não diz nada sobre o modelo ferromagnético original de Ising com acoplamentos iguais.

Transição de fase

Em três como em duas dimensões, o argumento de Peierl mostra que há uma transição de fase. Essa transição de fase é rigorosamente conhecida como contínua (no sentido de que o comprimento da correlação diverge e a magnetização vai para zero) e é chamada de ponto crítico . Acredita-se que o ponto crítico pode ser descrito por um ponto fixo do grupo de renormalização da transformação do grupo de renormalização de Wilson-Kadanoff. Acredita-se também que a transição de fase pode ser descrita por uma teoria de campo conformada unitária tridimensional, conforme evidenciado por simulações de Monte Carlo e argumentos teóricos. Embora seja um problema aberto estabelecer rigorosamente a imagem do grupo de renormalização ou a imagem da teoria de campo conforme, os físicos teóricos têm usado esses dois métodos para calcular os expoentes críticos da transição de fase, que estão de acordo com os experimentos e com as simulações de Monte Carlo.

Esta teoria de campo conforme que descreve o ponto crítico de Ising tridimensional está sob investigação ativa usando o método do bootstrap conforme . Este método atualmente produz as informações mais precisas sobre a estrutura da teoria crítica (consulte Ising críticos expoentes ).

Quatro dimensões e acima

Em qualquer dimensão, o modelo de Ising pode ser descrito produtivamente por um campo médio de variação local. O campo é definido como o valor de rotação médio em uma grande região, mas não tão grande a ponto de incluir todo o sistema. O campo ainda tem variações lentas de ponto a ponto, conforme o volume médio se move. Essas flutuações no campo são descritas por uma teoria de campo contínuo no limite do sistema infinito.

Campo local

O campo H é definido como os componentes de Fourier de comprimento de onda longo da variável de spin, no limite em que os comprimentos de onda são longos. Há muitas maneiras de calcular a média dos comprimentos de onda longos, dependendo dos detalhes de como os comprimentos de onda altos são cortados. Os detalhes não são muito importantes, pois o objetivo é encontrar as estatísticas de H e não os spins. Uma vez que as correlações em H são conhecidos, as correlações de longa distância entre as rotações será proporcional às correlações de longa distância em H .

Para qualquer valor do campo H de variação lenta , a energia livre (log-probabilidade) é uma função analítica local de H e seus gradientes. A energia livre F ( H ) é definida como a soma de todas as configurações de Ising consistentes com o campo de comprimento de onda longo. Como H é uma descrição grosseira, há muitas configurações de Ising consistentes com cada valor de H , desde que não seja necessária muita exatidão para a correspondência.

Uma vez que a faixa permitida de valores de spin em qualquer região depende apenas dos valores de H dentro de um volume médio daquela região, a contribuição de energia livre de cada região depende apenas do valor de H lá e nas regiões vizinhas. Portanto, F é a soma de todas as regiões de uma contribuição local, que depende apenas de H e de suas derivadas.

Por simetria em H , apenas até os poderes contribuem. Pela simetria de reflexão em uma rede quadrada, apenas até mesmo potências de gradientes contribuem. Escrevendo os primeiros termos da energia livre:

Em uma rede quadrada, as simetrias garantem que os coeficientes Z i dos termos derivados sejam todos iguais. Mas mesmo para um modelo Ising anisotrópico, em que o Z i ' s em direcções diferentes são diferentes, as flutuações em H são isotrópicas num sistema de coordenadas onde as diferentes direcções do espaço são redimensionadas.

Em qualquer rede, o termo derivado

é uma forma quadrática definida positiva e pode ser usada para definir a métrica para o espaço. Portanto, qualquer modelo de Ising translacionalmente invariante é rotacionalmente invariante em longas distâncias, em coordenadas que fazem Z ij = δ ij . A simetria rotacional surge espontaneamente em grandes distâncias simplesmente porque não existem muitos termos de ordem inferior. Em pontos multicríticos de ordem superior, essa simetria acidental é perdida.

Uma vez que β F é uma função de um campo de variação espacial lenta, a probabilidade de qualquer configuração de campo é:

A média estatística de qualquer produto de termos H é igual a:

O denominador nesta expressão é chamado de função de partição , e a integral sobre todos os valores possíveis de H é uma integral de caminho estatístico. Ele integra exp (β F ) sobre todos os valores de H , sobre todos os componentes de Fourier de comprimento de onda longo dos spins. F é uma Lagrangiana Euclidiana para o campo H , a única diferença entre esta e a teoria quântica de campos de um campo escalar é que todos os termos derivados entram com um sinal positivo, e não há nenhum fator geral de i .

Análise dimensional

A forma de F pode ser usada para prever quais termos são mais importantes por análise dimensional. A análise dimensional não é completamente direta, porque a escala de H precisa ser determinada.

No caso genérico, escolher a lei de escalonamento para H é fácil, pois o único termo que contribui é o primeiro,

Este termo é o mais significativo, mas fornece um comportamento trivial. Esta forma de energia livre é ultralocal, o que significa que é a soma de uma contribuição independente de cada ponto. É como os giros no modelo de Ising unidimensional. Cada valor de H em qualquer ponto flutua completamente independentemente do valor em qualquer outro ponto.

A escala do campo pode ser redefinida para absorver o coeficiente A , e então fica claro que A apenas determina a escala geral das flutuações. O modelo ultralocal descreve o comportamento de alta temperatura de comprimento de onda longo do modelo de Ising, uma vez que neste limite as médias de flutuação são independentes de ponto a ponto.

Para encontrar o ponto crítico, abaixe a temperatura. À medida que a temperatura desce, as flutuações em H aumentam porque as flutuações são mais correlacionadas. Isso significa que a média de um grande número de giros não diminui tão rapidamente como se eles não estivessem correlacionados, porque tendem a ser iguais. Isto corresponde a diminuir Uma no sistema de unidades em que H não absorve Uma . A transição de fase só pode acontecer quando os termos de sublocalização em F podem contribuir, mas como o primeiro termo domina em longas distâncias, o coeficiente A deve ser ajustado para zero. Esta é a localização do ponto crítico:

onde t é um parâmetro que passa por zero na transição.

Como t está desaparecendo, fixar a escala do campo usando esse termo faz com que os outros termos explodam. Uma vez que t é pequeno, a escala do campo pode ser definida para fixar o coeficiente do termo H 4 ou o termo (∇ H ) 2 para 1.

Magnetização

Para encontrar a magnetização, fixe a escala de H de forma que λ seja um. Agora o campo H tem dimensão - d / 4, de modo que H 4 d d x é adimensional, e Z tem dimensão 2 -  d / 2. Nesta escala, o termo gradiente só é importante em longas distâncias para d ≤ 4. Acima de quatro dimensões, em comprimentos de onda longos, a magnetização geral é afetada apenas pelos termos ultralocais.

Existe um ponto sutil. O campo H está flutuando estatisticamente e as flutuações podem deslocar o ponto zero de t . Para ver como, considere H 4 dividido da seguinte maneira:

O primeiro termo é uma contribuição constante para a energia livre e pode ser ignorado. O segundo termo é uma mudança finita em t . O terceiro termo é uma quantidade que chega a zero em longas distâncias. Isso significa que, ao analisar a escala de t pela análise dimensional, é o t deslocado que é importante. Isso era historicamente muito confuso, porque o deslocamento em t em qualquer λ finito é finito, mas perto da transição t é muito pequeno. A mudança fracionária em t é muito grande, e em unidades onde t é fixo o deslocamento parece infinito.

A magnetização está no mínimo da energia livre, e esta é uma equação analítica. Em termos de t deslocado ,

Para t <0, os mínimos estão em H proporcionais à raiz quadrada de t . Portanto, o argumento da catástrofe de Landau está correto em dimensões maiores que 5. O expoente de magnetização em dimensões maiores que 5 é igual ao valor do campo médio.

Quando t é negativo, as flutuações sobre o novo mínimo são descritas por um novo coeficiente quadrático positivo. Como esse termo sempre predomina, em temperaturas abaixo da transição, as flutuações tornam-se ultralocais em longas distâncias.

Flutuações

Para encontrar o comportamento das flutuações, redimensione o campo para corrigir o termo do gradiente. Então, a dimensão da escala de comprimento do campo é 1 -  d / 2. Agora, o campo tem flutuações espaciais quadráticas constantes em todas as temperaturas. A dimensão da escala do termo H 2 é 2, enquanto a dimensão da escala do termo H 4 é 4 -  d . Para d <4, o termo H 4 tem dimensão de escala positiva. Em dimensões superiores a 4, possui dimensões de escala negativas.

Essa é uma diferença essencial. Em dimensões superiores a 4, fixar a escala do termo gradiente significa que o coeficiente do termo H 4 é cada vez menos importante em comprimentos de onda cada vez mais longos. A dimensão na qual as contribuições não quadráticas começam a contribuir é conhecida como dimensão crítica. No modelo de Ising, a dimensão crítica é 4.

Nas dimensões acima de 4, as flutuações críticas são descritas por uma energia livre puramente quadrática em comprimentos de onda longos. Isso significa que as funções de correlação são calculadas a partir de médias gaussianas :

válida quando x  -  y é grande. A função G ( x  -  y ) é a continuação analítica para o tempo imaginário do propagador de Feynman , uma vez que a energia livre é a continuação analítica da ação do campo quântico para um campo escalar livre. Para dimensões 5 e superiores, todas as outras funções de correlação em longas distâncias são então determinadas pelo teorema de Wick . Todos os momentos ímpares são zero, por ± simetria. Os momentos pares são a soma de todas as partições em pares do produto de G ( x  -  y ) para cada par.

onde C é a constante de proporcionalidade. Portanto, conhecer G é o suficiente. Ele determina todas as correlações multiponto do campo.

A função crítica de dois pontos

Para determinar a forma de G , considere que os campos em uma integral de caminho obedecem às equações clássicas de movimento derivadas da variação da energia livre:

Isso é válido apenas em pontos não coincidentes, uma vez que as correlações de H são singulares quando os pontos colidem. H obedece às equações clássicas de movimento pela mesma razão que os operadores da mecânica quântica as obedecem - suas flutuações são definidas por uma integral de caminho.

No ponto crítico t = 0, esta é a equação de Laplace , que pode ser resolvida pelo método de Gauss da eletrostática. Defina um campo elétrico analógico por

Longe da origem:

desde que L é esférico simétrico em d dimensões, e E é o gradiente radial de L . Integrando-se em uma grande  esfera dimensional d - 1,

Isto dá:

e G pode ser encontrado integrando-se em relação a r .

A constante C corrige a normalização geral do campo.

G ( r ) longe do ponto crítico

Quando t não é igual a zero, de modo que H está flutuando a uma temperatura ligeiramente afastada de crítica, a função de dois pontos decai em longas distâncias. A equação a que obedece é alterada:

Para r pequeno em comparação com , a solução diverge exatamente da mesma maneira que no caso crítico, mas o comportamento de longa distância é modificado.

Para ver como, é conveniente representar a função de dois pontos como uma integral, introduzida por Schwinger no contexto da teoria quântica de campos:

Este é G , já que a transformada de Fourier dessa integral é fácil. Cada contribuição τ fixa é uma Gaussiana em x , cuja transformada de Fourier é outra Gaussiana de largura recíproca em k .

Este é o inverso do operador ∇ 2  -  t no espaço k , agindo sobre a função unitária no espaço k , que é a transformada de Fourier de uma fonte de função delta localizada na origem. Portanto, ele satisfaz a mesma equação de G com as mesmas condições de contorno que determinam a intensidade da divergência em 0.

A interpretação da representação integral sobre o tempo adequado τ é que a função de dois pontos é a soma de todos os caminhos de caminhada aleatórios que ligam a posição 0 à posição x ao longo do tempo τ. A densidade desses caminhos no tempo τ na posição x é gaussiana, mas os caminhantes aleatórios desaparecem a uma taxa constante proporcional a t, de modo que o gaussiano no tempo τ é diminuído em altura por um fator que diminui continuamente de forma exponencial. No contexto da teoria quântica de campos, esses são os caminhos dos quanta localizados relativisticamente em um formalismo que segue os caminhos das partículas individuais. No contexto estatístico puro, esses caminhos ainda aparecem pela correspondência matemática com campos quânticos, mas sua interpretação é menos diretamente física.

A representação integral mostra imediatamente que G ( r ) é positivo, pois é representado como uma soma ponderada de gaussianas positivas. Ele também fornece a taxa de decaimento em r grande, uma vez que o tempo adequado para um passeio aleatório para alcançar a posição τ é r 2 e, neste momento, a altura gaussiana decaiu em . O fator de decaimento apropriado para a posição r é, portanto .

Uma aproximação heurística para G ( r ) é:

Esta não é uma forma exata, exceto em três dimensões, onde as interações entre os caminhos se tornam importantes. As formas exatas em grandes dimensões são variantes das funções de Bessel .

Interpretação de polímero Symanzik

A interpretação das correlações como quanta de tamanho fixo viajando ao longo de passeios aleatórios dá uma maneira de entender porque a dimensão crítica da interação H 4 é 4. O termo H 4 pode ser pensado como o quadrado da densidade dos caminhantes aleatórios em qualquer apontar. Para que tal termo altere as funções de correlação de ordem finita, que apenas introduzem alguns novos passeios aleatórios no ambiente flutuante, os novos caminhos devem se cruzar. Caso contrário, o quadrado da densidade é apenas proporcional à densidade e apenas muda o coeficiente H 2 por uma constante. Mas a probabilidade de interseção de passeios aleatórios depende da dimensão, e passeios aleatórios em dimensão superior a 4 não se cruzam.

A dimensão fractal de um passeio aleatório comum é 2. O número de bolas de tamanho ε necessário para cobrir o aumento do caminho como ε −2 . Dois objetos de dimensão fractal 2 se cruzarão com probabilidade razoável apenas em um espaço de dimensão 4 ou menos, a mesma condição de um par genérico de planos. Kurt Symanzik argumentou que isso implica que as flutuações críticas de Ising em dimensões superiores a 4 devem ser descritas por um campo livre. Esse argumento acabou se tornando uma prova matemática.

4 -  dimensões ε - grupo de renormalização

O modelo de Ising em quatro dimensões é descrito por um campo flutuante, mas agora as flutuações estão interagindo. Na representação de polímero, as interseções de passeios aleatórios são marginalmente possíveis. Na continuação do campo quântico, os quanta interagem.

O logaritmo negativo da probabilidade de qualquer configuração de campo H é a função de energia livre

Os fatores numéricos existem para simplificar as equações do movimento. O objetivo é entender as flutuações estatísticas. Como qualquer outra integral de caminho não quadrática, as funções de correlação têm uma expansão de Feynman como partículas viajando ao longo de caminhos aleatórios, se dividindo e se reunindo nos vértices. A força de interação é parametrizada pela quantidade classicamente adimensional λ.

Embora a análise dimensional mostre que λ e Z são adimensionais, isso é enganoso. As flutuações estatísticas de comprimento de onda longo não são exatamente invariantes de escala, e só se tornam invariantes de escala quando a força de interação desaparece.

A razão é que existe um corte usado para definir H , e o corte define o comprimento de onda mais curto. Flutuações de H em comprimentos de onda próximos ao corte podem afetar as flutuações de comprimentos de onda mais longos. Se o sistema for dimensionado junto com o corte, os parâmetros serão dimensionados por análise dimensional, mas comparar os parâmetros não compara o comportamento porque o sistema redimensionado tem mais modos. Se o sistema for redimensionado de forma que o corte do comprimento de onda curto permaneça fixo, as flutuações do comprimento de onda longo serão modificadas.

Renormalização Wilson

Uma maneira heurística rápida de estudar a escala é cortar os números de onda H em um ponto λ. Os modos de Fourier de H com números de onda maiores que λ não podem flutuar. Um reescalonamento de comprimento que torna todo o sistema menor aumenta todos os números de onda e move algumas flutuações acima do corte.

Para restaurar o corte antigo, execute uma integração parcial sobre todos os números de onda que antes eram proibidos, mas agora estão flutuando. Nos diagramas de Feynman, a integração em um modo flutuante no número de onda k liga as linhas que carregam o momento k em uma função de correlação em pares, com um fator do propagador inverso.

Sob reescalonamento, quando o sistema é reduzido por um fator de (1+ b ), o coeficiente t aumenta por um fator (1+ b ) 2 por análise dimensional. A mudança em t para b infinitesimal é 2 bt . Os outros dois coeficientes são adimensionais e não mudam em nada.

O efeito de menor ordem de integração pode ser calculado a partir das equações de movimento:

Esta equação é uma identidade dentro de qualquer função de correlação longe de outras inserções. Depois de integrar os modos com Λ < k <(1+ b ) Λ, será uma identidade ligeiramente diferente.

Uma vez que a forma da equação será preservada, para encontrar a mudança nos coeficientes é suficiente analisar a mudança no termo H 3 . Em uma expansão do diagrama de Feynman, o termo H 3 em uma função de correlação dentro de uma correlação tem três linhas pendentes. Juntar dois deles no grande número de onda k dá uma mudança H 3 com uma linha pendente, de modo proporcional a H :

O fator 3 vem do fato de que o loop pode ser fechado de três maneiras diferentes.

O integral deve ser dividido em duas partes:

A primeira parte não é proporcional at , e na equação do movimento pode ser absorvida por um deslocamento constante em t . É causado pelo fato de que o termo H 3 tem uma parte linear. Apenas o segundo termo, que varia de t a t , contribui para o escalonamento crítico.

Este novo termo linear adiciona ao primeiro termo no lado esquerdo, mudando t por um valor proporcional a t . A mudança total em t é a soma do termo da análise dimensional e este segundo termo dos produtos do operador :

Portanto, t é redimensionado, mas sua dimensão é anômala , ele é alterado por um valor proporcional ao valor de λ.

Mas λ também muda. A mudança em λ requer a consideração das linhas se dividindo e, em seguida, se reintegrando rapidamente. O processo de ordem mais baixa é aquele em que uma das três linhas de H 3 se divide em três, que rapidamente se junta a uma das outras linhas do mesmo vértice. A correção para o vértice é

O fator numérico é três vezes maior porque há um fator extra de três na escolha de qual das três novas linhas contrair. Então

Essas duas equações juntas definem as equações do grupo de renormalização em quatro dimensões:

O coeficiente B é determinado pela fórmula

e é proporcional à área de uma esfera tridimensional de raio λ, vezes a largura da região de integração b Λ dividido por Λ 4 :

Em outras dimensões, a constante B muda, mas a mesma constante aparece tanto no fluxo t quanto no fluxo de acoplamento. A razão é que a derivada em relação a t do loop fechado com um único vértice é um loop fechado com dois vértices. Isso significa que a única diferença entre a escala do acoplamento e t são os fatores combinatórios de junção e divisão.

Ponto fixo Wilson-Fisher

Investigar três dimensões a partir da teoria quadridimensional deve ser possível, pois as probabilidades de interseção de passeios aleatórios dependem continuamente da dimensionalidade do espaço. Na linguagem dos gráficos de Feynman, o acoplamento não muda muito quando a dimensão é alterada.

O processo de continuar fora da dimensão 4 não está completamente bem definido sem uma prescrição de como fazê-lo. A prescrição só está bem definida em diagramas. Ele substitui a representação de Schwinger na dimensão 4 pela representação de Schwinger na dimensão 4 - ε definida por:

Na dimensão 4 - ε, o acoplamento λ possui dimensão de escala positiva ε, e esta deve ser adicionada ao fluxo.

O coeficiente B é dependente da dimensão, mas será cancelado. O ponto fixo para λ não é mais zero, mas em:

onde as dimensões da escala de t são alteradas por um valor λ B = ε / 3.

O expoente de magnetização é alterado proporcionalmente a:

que é 0,333 em 3 dimensões (ε = 1) e 0,166 em 2 dimensões (ε = 2). Isso não está muito longe do expoente medido .308 e do expoente bidimensional Onsager .125.

Dimensões infinitas - campo médio

O comportamento de um modelo de Ising em um gráfico totalmente conectado pode ser completamente compreendido pela teoria do campo médio . Esse tipo de descrição é apropriado para redes quadradas de dimensões muito altas, porque cada local tem um número muito grande de vizinhos.

A ideia é que se cada giro estiver conectado a um grande número de giros, apenas a proporção média de + giros para - giros é importante, já que as flutuações sobre essa média serão pequenas. O campo médio H é a fração média de spins que são + menos a fração média de spins que são -. O custo de energia de lançar um único spin no campo médio H é ± 2 JNH . É conveniente redefinir J para absorver o fator N , de forma que o limite N → ∞ seja suave. Em termos do novo J , o custo de energia para lançar um spin é ± 2 JH .

Este custo de energia fornece a razão da probabilidade p de que o spin é + para a probabilidade 1− p de que o spin é -. Essa proporção é o fator de Boltzmann:

de modo a

O valor médio da rotação é dado pela média de 1 e -1 com os pesos p e 1 -  p , de modo que o valor médio é de 2 p  - 1. Mas esta média é a mesma para todas as rotações, e é, portanto, igual a H .

As soluções para esta equação são os possíveis campos médios consistentes. Para β J <1 existe apenas uma solução em H = 0. Para valores maiores de β existem três soluções, e a solução em H = 0 é instável.

A instabilidade significa que aumentar um pouco o campo médio acima de zero produz uma fração estatística de spins que são + que é maior do que o valor do campo médio. Portanto, um campo médio que flutua acima de zero produzirá um campo médio ainda maior e acabará por se estabelecer na solução estável. Isso significa que para temperaturas abaixo do valor crítico β J = 1, o modelo de Ising de campo médio sofre uma transição de fase no limite de N grande .

Acima da temperatura crítica, as flutuações em H são amortecidas porque o campo médio restaura a flutuação para o campo zero. Abaixo da temperatura crítica, o campo médio é impulsionado para um novo valor de equilíbrio, que é, quer o lado positivo H ou negativo H solução para a equação.

Para β J = 1 + ε, logo abaixo da temperatura crítica, o valor de H pode ser calculado a partir da expansão de Taylor da tangente hiperbólica:

Dividindo por H para descartar a solução instável em H = 0, as soluções estáveis ​​são:

A magnetização espontânea H cresce perto do ponto crítico como a raiz quadrada da mudança na temperatura. Isso é verdade sempre que H pode ser calculado a partir da solução de uma equação analítica que é simétrica entre valores positivos e negativos, o que levou Landau a suspeitar que todas as transições de fase do tipo Ising em todas as dimensões deveriam seguir esta lei.

O expoente de campo médio é universal porque as mudanças no caráter das soluções das equações analíticas são sempre descritas por catástrofes na série de Taylor, que é uma equação polinomial. Por simetria, a equação para H deve ter apenas potências ímpares de H no lado direito. Alterar β deve apenas alterar suavemente os coeficientes. A transição acontece quando o coeficiente de H do lado direito é 1. Perto da transição:

O que quer que A e B sejam, desde que nenhum deles esteja ajustado para zero, a magnetização espontânea crescerá como a raiz quadrada de ε. Este argumento só pode falhar se a energia livre β F for não analítica ou não genérica no exato β onde ocorre a transição.

Mas a magnetização espontânea em sistemas magnéticos e a densidade de gases perto do ponto crítico são medidas com muita precisão. A densidade e a magnetização em três dimensões têm a mesma dependência da lei de potência com a temperatura próxima ao ponto crítico, mas o comportamento dos experimentos é:

O expoente também é universal, uma vez que é o mesmo no modelo de Ising e no ímã experimental e gás, mas não é igual ao valor do campo médio. Essa foi uma grande surpresa.

Isso também é verdade em duas dimensões, onde

Mas aí não foi uma surpresa, porque foi previsto por Onsager .

Dimensões baixas - bloquear rotações

Em três dimensões, a série perturbativa da teoria de campo é uma expansão em uma constante de acoplamento λ que não é particularmente pequena. O tamanho efetivo do acoplamento no ponto fixo é um sobre o fator de ramificação dos caminhos das partículas, então o parâmetro de expansão é cerca de 1/3. Em duas dimensões, o parâmetro de expansão perturbativa é 2/3.

Mas a renormalização também pode ser aplicada produtivamente aos spins diretamente, sem passar para um campo médio. Historicamente, esta abordagem é devida a Leo Kadanoff e é anterior à expansão perturbativa ε.

A ideia é integrar os spins da rede de forma iterativa, gerando um fluxo nos acoplamentos. Mas agora os acoplamentos são coeficientes de energia da rede. O fato de existir uma descrição contínua garante que essa iteração convergirá para um ponto fixo quando a temperatura for ajustada para criticidade.

Renormalização Migdal-Kadanoff

Escreva o modelo de Ising bidimensional com um número infinito de possíveis interações de ordem superior. Para manter a simetria de reflexão de spin, apenas até mesmo poderes contribuem:

Por invariância de translação, J ij é apenas uma função de ij. Pela simetria rotacional acidental, em geral i e j seu tamanho depende apenas da magnitude do vetor bidimensional i  -  j . Os coeficientes de ordem superior também são restritos de forma semelhante.

A iteração de renormalização divide a rede em duas partes - spins pares e spins ímpares. Os giros ímpares vivem nas posições da treliça do tabuleiro de xadrez ímpar e os pares no tabuleiro de xadrez par. Quando os spins são indexados pela posição ( i , j ), os sites ímpares são aqueles com i  +  j ímpar e os sites pares aqueles com i  +  j pares, e os sites pares só estão conectados a sites ímpares.

Os dois valores possíveis dos giros ímpares serão integrados, somando os dois valores possíveis. Isso produzirá uma nova função de energia livre para os giros pares restantes, com novos acoplamentos ajustados. Os giros pares estão novamente em uma treliça, com eixos inclinados em 45 graus em relação aos antigos. A remoção de rotação do sistema restaura a configuração antiga, mas com novos parâmetros. Esses parâmetros descrevem a interação entre spins em distâncias maiores.

Começar a partir do modelo de Ising e repetir essa iteração eventualmente altera todos os acoplamentos. Quando a temperatura for superior à temperatura crítica, os acoplamentos convergirão para zero, uma vez que os spins em grandes distâncias não estão correlacionados. Mas quando a temperatura é crítica, haverá coeficientes diferentes de zero ligando spins em todas as ordens. O fluxo pode ser aproximado considerando apenas os primeiros termos. Esse fluxo truncado produzirá aproximações cada vez melhores dos expoentes críticos quando mais termos forem incluídos.

A aproximação mais simples é manter apenas o termo J usual e descartar todo o resto. Isso irá gerar um fluxo em J , análogo ao fluxo em t no ponto fixo de λ na expansão ε.

Para encontrar a mudança em J , considere os quatro vizinhos de um site ímpar. Esses são os únicos giros que interagem com ele. A contribuição multiplicativa para a função de partição da soma dos dois valores do spin no local ímpar é:

onde N ± é o número de vizinhos que são ±. Ignorando o fator 2, a contribuição de energia livre deste local ímpar é:

Isso inclui as interações do vizinho mais próximo e do vizinho mais próximo, conforme esperado, mas também uma interação de quatro spin que deve ser descartada. Para truncar para as interações do vizinho mais próximo, considere que a diferença de energia entre todos os spins iguais e iguais + e - é:

De acoplamentos vizinho mais próximo, a diferença de energia entre todos os spins igual e spins escalonados é de 8 J . A diferença de energia entre todos os spins igual e nonstaggered mas uma rede de spin zero é 4 J . Ignorando as interacções quatro-rotação, um truncamento razoável é a média destas duas energias ou 6 J . Uma vez que cada link contribuirá para duas rodadas ímpares, o valor certo para comparar com o anterior é a metade:

Para J pequeno , isso flui rapidamente para o acoplamento zero. Grande fluxo de J para grandes acoplamentos. O expoente de magnetização é determinado a partir da inclinação da equação no ponto fixo.

Variantes desse método produzem boas aproximações numéricas para os expoentes críticos quando muitos termos são incluídos, em duas e três dimensões.

Formulários

Magnetismo

A motivação original para o modelo foi o fenômeno do ferromagnetismo . O ferro é magnético; uma vez magnetizado, ele permanece magnetizado por um longo tempo em comparação com qualquer tempo atômico.

No século 19, pensava-se que os campos magnéticos eram devidos a correntes na matéria, e Ampère postulou que os ímãs permanentes são causados ​​por correntes atômicas permanentes. O movimento das partículas carregadas clássicas não poderia explicar as correntes permanentes, como mostrado por Larmor . Para haver ferromagnetismo, os átomos devem ter momentos magnéticos permanentes que não são devidos ao movimento de cargas clássicas.

Uma vez que o spin do elétron foi descoberto, ficou claro que o magnetismo deveria ser devido a um grande número de elétrons girando na mesma direção. Era natural perguntar como todos os elétrons sabem em que direção girar, porque os elétrons de um lado de um ímã não interagem diretamente com os elétrons do outro lado. Eles só podem influenciar seus vizinhos. O modelo de Ising foi projetado para investigar se uma grande fração dos elétrons poderia girar na mesma direção usando apenas forças locais.

Gás reticular

O modelo de Ising pode ser reinterpretado como um modelo estatístico para o movimento dos átomos. Como a energia cinética depende apenas do momento e não da posição, enquanto as estatísticas das posições dependem apenas da energia potencial, a termodinâmica do gás depende apenas da energia potencial para cada configuração de átomos.

Um modelo grosseiro é fazer do espaço-tempo uma rede e imaginar que cada posição contém ou não um átomo. O espaço de configuração é o de bits independentes B i , onde cada bit é 0 ou 1 dependendo se a posição está ocupada ou não. Uma interação atrativa reduz a energia de dois átomos próximos. Se a atração é apenas entre vizinhos mais próximos, a energia é reduzida em −4 JB i B j para cada par vizinho ocupado.

A densidade dos átomos pode ser controlada adicionando um potencial químico , que é um custo de probabilidade multiplicativo para adicionar mais um átomo. Um fator multiplicativo na probabilidade pode ser reinterpretado como um termo aditivo no logaritmo - a energia. A energia extra de uma configuração com N átomos é alterada em μN . O custo de probabilidade de mais um átomo é um fator de exp (- βμ ).

Portanto, a energia do gás de rede é:

Reescrevendo os bits em termos de giros,

Para redes onde cada site tem um número igual de vizinhos, este é o modelo de Ising com um campo magnético h = ( zJ  -  μ ) / 2, onde z é o número de vizinhos.

Em sistemas biológicos, versões modificadas do modelo de gás de rede têm sido usadas para compreender uma gama de comportamentos de ligação. Isso inclui a ligação de ligantes a receptores na superfície celular, a ligação de proteínas de quimiotaxia ao motor flagelar e a condensação de DNA.

Aplicação à neurociência

A atividade dos neurônios no cérebro pode ser modelada estatisticamente. Cada neurônio a qualquer momento está ativo + ou inativo -. Os neurônios ativos são aqueles que enviam um potencial de ação pelo axônio em qualquer janela de tempo, e os inativos são aqueles que não o fazem. Como a atividade neural em qualquer momento é modelada por bits independentes, Hopfield sugeriu que um modelo de Ising dinâmico forneceria uma primeira aproximação para uma rede neural que é capaz de aprender .

Seguindo a abordagem geral de Jaynes, uma interpretação recente de Schneidman, Berry, Segev e Bialek, é que o modelo de Ising é útil para qualquer modelo de função neural, porque um modelo estatístico para atividade neural deve ser escolhido usando o princípio da entropia máxima . Dada uma coleção de neurônios, um modelo estatístico que pode reproduzir a taxa de disparo média para cada neurônio introduz um multiplicador de Lagrange para cada neurônio:

Mas a atividade de cada neurônio neste modelo é estatisticamente independente. Para permitir correlações de pares, quando um neurônio tende a disparar (ou não disparar) junto com outro, introduza multiplicadores de lagrange de pares:

onde não se restringem aos vizinhos. Observe que essa generalização do modelo de Ising às vezes é chamada de distribuição binária exponencial quadrática em estatísticas. Esta função de energia introduz apenas vieses de probabilidade para um spin com um valor e para um par de spins com o mesmo valor. As correlações de ordem superior não são restringidas pelos multiplicadores. Um padrão de atividade amostrado dessa distribuição requer o maior número de bits para armazenar em um computador, no esquema de codificação mais eficiente que se possa imaginar, em comparação com qualquer outra distribuição com a mesma atividade média e correlações de pares. Isso significa que os modelos de Ising são relevantes para qualquer sistema que seja descrito por bits que são tão aleatórios quanto possível, com restrições nas correlações de pares e o número médio de 1s, o que freqüentemente ocorre nas ciências físicas e sociais.

Óculos giratórios

Com o modelo de Ising, os chamados óculos de spin também podem ser descritos, pelo hamiltoniano usual, onde as variáveis S descrevem os spins de Ising, enquanto J i, k são retirados de uma distribuição aleatória. Para vidros de spin, uma distribuição típica escolhe ligações antiferromagnéticas com probabilidade p e ligações ferromagnéticas com probabilidade 1 -  p . Essas ligações permanecem fixas ou "extintas" mesmo na presença de flutuações térmicas. Quando p  = 0, temos o modelo de Ising original. Este sistema merece interesse em si mesmo; particularmente um tem propriedades "não ergódicas" que levam a um comportamento de relaxamento estranho. Muita atenção também foi atraída pelo vínculo relacionado e o modelo de Ising diluído no local, especialmente em duas dimensões, levando a um comportamento crítico intrigante.

Gelo marinho

As aproximações 2D do tanque de fusão podem ser criadas usando o modelo de Ising; os dados da topografia do gelo marinho influenciam fortemente os resultados. A variável de estado é binária para uma aproximação 2D simples, sendo água ou gelo.

Veja também

Notas de rodapé

Referências

links externos