Instabilidade de jeans - Jeans instability

Formação de estrelas
Classes de objeto
Meio interestelar Nuvem molecular Glóbulo Bok Nebulosa escura Jovem objeto estelar Protostar Estrela T Tauri Estrela pré-sequência principal Estrela de Herbig Ae / Be Objeto Herbig-Haro
Conceitos teóricos
Acreção Função de massa inicial Instabilidade jeans Mecanismo Kelvin-Helmholtz Hipótese nebular Migração planetária
v t e

Na física estelar , a instabilidade de Jeans causa o colapso das nuvens de gás interestelar e a subsequente formação de estrelas, em homenagem a James Jeans . Ocorre quando a pressão interna do gás não é forte o suficiente para evitar o colapso gravitacional de uma região cheia de matéria. Para estabilidade, a nuvem deve estar em equilíbrio hidrostático, que no caso de uma nuvem esférica se traduz em:

${\ displaystyle {\ frac {dp} {dr}} = - {\ frac {G \ rho (r) M _ {\ text {enc}} (r)} {r ^ {2}}}}$,

onde está a massa fechada, é a pressão, é a densidade do gás (no raio ), é a constante gravitacional e é o raio. O equilíbrio é estável se pequenas perturbações forem amortecidas e instável se forem amplificadas. Em geral, a nuvem é instável se for muito grande em uma determinada temperatura ou muito fria em uma determinada massa; sob essas circunstâncias, a pressão do gás não pode superar a gravidade e a nuvem entrará em colapso. ${\ textstyle M _ {\ text {enc}} (r)}$${\ textstyle p}$${\ textstyle \ rho (r)}$${\ textstyle r}$${\ textstyle G}$${\ textstyle r}$

Massa jeans

A massa de Jeans tem o nome do físico britânico Sir James Jeans , que considerou o processo de colapso gravitacional dentro de uma nuvem gasosa. Ele foi capaz de mostrar que, sob condições apropriadas, uma nuvem, ou parte dela, se tornaria instável e começaria a entrar em colapso quando faltasse suporte de pressão gasosa suficiente para equilibrar a força da gravidade . A nuvem é estável para uma massa suficientemente pequena (em uma dada temperatura e raio), mas uma vez que essa massa crítica seja excedida, ela começará um processo de contração descontrolada até que alguma outra força possa impedir o colapso. Ele derivou uma fórmula para calcular essa massa crítica em função de sua densidade e temperatura . Quanto maior a massa da nuvem, menor seu tamanho e mais fria sua temperatura, menos estável será contra o colapso gravitacional .

O valor aproximado da massa de jeans pode ser obtido por meio de um simples argumento físico. Começa-se com uma região esférica gasosa de raio , massa e com uma velocidade de som gasosa . O gás é ligeiramente comprimido e leva algum tempo ${\ textstyle R}$${\ textstyle M}$ ${\ textstyle c_ {s}}$

${\ displaystyle t _ {\ text {sound}} = {\ frac {R} {c_ {s}}} \ approx 0.5 {\ mbox {Myr}} \ cdot {\ frac {R} {0.1 {\ mbox {pc }}}} \ cdot \ left ({\ frac {c_ {s}} {0.2 {\ mbox {km s}} ^ {- 1}}} \ right) ^ {- 1}}$

para as ondas sonoras cruzarem a região e tentar empurrar para trás e restabelecer o sistema em equilíbrio de pressão. Ao mesmo tempo, a gravidade tentará contrair o sistema ainda mais, e o fará em um tempo de queda livre ,

${\ displaystyle t _ {\ rm {ff}} = {\ frac {1} {(G \ rho) ^ {\ frac {1} {2}}}} \ approx 2 {\ mbox {Myr}} \ cdot \ esquerda ({\ frac {n} {10 ^ {3} {\ mbox {cm}} ^ {- 3}}} \ direita) ^ {- {\ frac {1} {2}}}}$

onde é a constante gravitacional universal, é a densidade do gás dentro da região e é a densidade do número do gás para a massa média por partícula (μ =${\ textstyle G}$${\ textstyle \ rho}$${\ textstyle n = \ rho / \ mu}$3,9 × 10 ⁻²⁴  g é apropriado para hidrogênio molecular com 20% de hélio em número). Quando o tempo de passagem do som é menor do que o tempo de queda livre, as forças de pressão superam temporariamente a gravidade e o sistema retorna a um equilíbrio estável. No entanto, quando o tempo de queda livre é menor que o tempo de passagem do som, a gravidade supera as forças de pressão e a região sofre um colapso gravitacional . A condição para o colapso gravitacional é, portanto:

${\ displaystyle t _ {\ rm {ff}} <t _ {\ text {som}}.}$

O comprimento de jeans resultante é de aproximadamente: ${\ textstyle \ lambda _ {\ text {J}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {J}} = {\ frac {c_ {s}} {(G \ rho) ^ {\ frac {1} {2}}}} \ approx 0.4 {\ mbox {pc }} \ cdot {\ frac {c_ {s}} {0.2 {\ mbox {km s}} ^ {- 1}}} \ cdot \ left ({\ frac {n} {10 ^ {3} {\ mbox {cm}} ^ {- 3}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}.}$

Esta escala de comprimento é conhecida como comprimento de jeans. Todas as escalas maiores que o comprimento do jeans são instáveis ​​ao colapso gravitacional , enquanto as escalas menores são estáveis. A massa de Jeans é apenas a massa contida em uma esfera de raio ( tem metade do comprimento de Jeans): ${\ textstyle M _ {\ text {J}}}$${\ textstyle R _ {\ text {J}}}$${\ textstyle R _ {\ text {J}} = {\ frac {1} {2}} \ lambda _ {\ text {J}}}$

${\ displaystyle M _ {\ text {J}} = {\ frac {4 \ pi} {3}} \ rho R _ {\ text {J}} ^ {3} = {\ frac {\ pi} {6}} \ cdot {\ frac {c_ {s} ^ {3}} {G ^ {\ frac {3} {2}} \ rho ^ {\ frac {1} {2}}}} \ approx 2 {\ mbox { M}} _ {\ odot} \ cdot \ left ({\ frac {c_ {s}} {0.2 {\ mbox {km s}} ^ {- 1}}} \ right) ^ {3} \ left ({ \ frac {n} {10 ^ {3} {\ mbox {cm}} ^ {- 3}}} \ right) ^ {- {\ frac {1} {2}}}.}$

Posteriormente, foi apontado por outros astrofísicos que, de fato, a análise original usada por Jeans era falha, pelo seguinte motivo. Em sua análise formal, Jeans presumiu que a região em colapso da nuvem estava cercada por um meio estático infinito. Na verdade, como todas as escalas maiores que o comprimento de jeans também são instáveis ​​ao colapso, qualquer meio inicialmente estático ao redor de uma região em colapso também estará colapsando. Como resultado, a taxa de crescimento da instabilidade gravitacional em relação à densidade do fundo em colapso é mais lenta do que a prevista pela análise original de Jeans. Esta falha passou a ser conhecida como "fraude do jeans".

A instabilidade de Jeans provavelmente determina quando a formação de estrelas ocorre em nuvens moleculares .

Uma derivação alternativa, possivelmente ainda mais simples, pode ser encontrada usando considerações de energia. Na nuvem interestelar, duas forças opostas estão em ação. A pressão do gás, causada pelo movimento térmico dos átomos ou moléculas que compõem a nuvem, tenta fazer com que a nuvem se expanda, enquanto a gravitação tenta fazer a nuvem colapsar. A massa do jeans é a massa crítica em que ambas as forças estão em equilíbrio entre si. Na seguinte derivação, constantes numéricas (como π) e constantes da natureza (como a constante gravitacional) serão ignoradas. Eles serão reintroduzidos no resultado final.

Considere uma nuvem de gás esférico homogêneo de raio R . Para comprimir esta esfera a um raio R - d R , trabalho deve ser feito contra a pressão do gás. Durante a compressão, a energia gravitacional é liberada. Quando essa energia é igual à quantidade de trabalho a ser feito no gás, a massa crítica é atingida. Seja M a massa da nuvem, T a temperatura (absoluta), n a densidade da partícula e p a pressão do gás. O trabalho a ser feito é igual a p d V . Usando a lei dos gases ideais, segundo a qual p = nT , chega-se à seguinte expressão para o trabalho:

${\ displaystyle dW = nTR ^ {2} dR}$

A energia potencial gravitacional de uma esfera com massa M e raio R é, além das constantes, dada pela seguinte expressão:

${\ displaystyle U = {\ frac {M ^ {2}} {R}}}$

A quantidade de energia liberada quando a esfera se contrai do raio R para o raio R - d R é obtida pela diferenciação desta expressão para R , então

${\ displaystyle dU = {\ frac {M ^ {2}} {R ^ {2}}} dR}$

A massa crítica é atingida assim que a energia gravitacional liberada for igual ao trabalho realizado no gás:

${\ displaystyle {\ frac {M ^ {2}} {R ^ {2}}} = nTR ^ {2}}$

Em seguida, o raio R tem de ser expressa em termos da densidade de partícula n e a massa M . Isso pode ser feito usando a relação

${\ displaystyle M = nR ^ {3}}$

Um pouco de álgebra leva à seguinte expressão para a massa crítica.

${\ displaystyle M _ {\ text {J}} = \ left ({\ frac {T ^ {3}} {n}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$

Se durante a derivação todas as constantes forem consideradas, a expressão resultante é

${\ displaystyle M _ {\ text {J}} = \ left ({\ frac {375k ^ {3}} {4 \ pi m ^ {4} G ^ {3}}} \ right) ^ {\ frac {1 } {2}} \ left ({\ frac {T ^ {3}} {n}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}}$

onde k é a constante de Boltzmann, G a constante gravitacional e m a massa de uma partícula que compreende o gás. Supondo que a nuvem consista em hidrogênio atômico, o prefator pode ser calculado. Se tomarmos a massa solar como unidade de massa, o resultado é

${\ displaystyle M _ {\ text {J}} = 3 \ vezes 10 ^ {4} \ left ({\ frac {T ^ {3}} {n}} \ right) ^ {\ frac {1} {2} }}$

Comprimento de jeans

O comprimento de jeans é o raio crítico de uma nuvem (normalmente uma nuvem de gás molecular interestelar e poeira), onde a energia térmica, que faz com que a nuvem se expanda, é neutralizada pela gravidade, que causa o colapso da nuvem. Seu nome vem do astrônomo britânico Sir James Jeans , que se preocupou com a estabilidade das nebulosas esféricas no início do século XX.

A fórmula para o comprimento do jeans é:

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {J}} = \ left ({\ frac {15k _ {\ text {B}} T} {4 \ pi Gm_ {p} \ mu \ rho}} \ right) ^ { \ frac {1} {2}},}$

onde é a constante de Boltzmann , é a temperatura da nuvem, é a massa por partícula na nuvem, é a constante gravitacional , é a massa de um próton em kg e é a densidade de massa da nuvem (ou seja, a massa da nuvem dividida pela da nuvem volume). ${\ textstyle k _ {\ text {B}}}$${\ textstyle T}$${\ textstyle \ mu}$${\ textstyle G}$${\ textstyle m_ {p},}$${\ textstyle \ rho}$

Talvez a maneira mais fácil de conceituar comprimento Jeans' é em termos de uma aproximação, em que descartar os fatores e e em que reformular como . A fórmula para o comprimento do jeans torna-se então: ${\ textstyle 15}$${\ textstyle 4 \ pi}$${\ textstyle \ rho}$${\ textstyle {\ frac {M} {r ^ {3}}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {J}} \ approx \ left ({\ frac {k _ {\ text {B}} Tr ^ {3}} {GM \ mu}} \ right) ^ {\ frac { 1} {2}}.}$

onde está o raio da nuvem. ${\ textstyle r}$

Segue-se imediatamente que quando ; ou seja, o raio da nuvem é o comprimento de Jeans quando a energia térmica por partícula é igual ao trabalho gravitacional por partícula. Nesse comprimento crítico, a nuvem não se expande nem se contrai. É apenas quando a energia térmica não é igual ao trabalho gravitacional que a nuvem se expande e esfria ou se contrai e se aquece, um processo que continua até que o equilíbrio seja alcançado. ${\ textstyle \ lambda _ {\ text {J}} = r}$${\ textstyle k _ {\ text {B}} T = {\ frac {GM \ mu} {r}}}$

Comprimento de jeans como comprimento de onda de oscilação

Os jeans' comprimento é o comprimento de onda de oscilação (respectivamente, Jeans' número de onda , ) abaixo do qual as oscilações estáveis, em vez de colapso gravitacional vai ocorrer. ${\ textstyle k _ {\ text {J}}}$

${\ displaystyle \ lambda _ {\ text {J}} = {\ frac {2 \ pi} {k _ {\ text {J}}}} = c _ {\ text {s}} \ left ({\ frac {\ pi} {G \ rho}} \ right) ^ {\ frac {1} {2}},}$

onde G é a constante gravitacional , é a velocidade do som e é a densidade de massa fechada. ${\ textstyle c _ {\ text {s}}}$${\ textstyle \ rho}$

É também a distância que uma onda sonora viajaria durante o colapso.

Fragmentação

A instabilidade dos jeans também pode causar fragmentação em certas condições. Para derivar a condição de fragmentação, um processo adiabático é assumido em um gás ideal e também uma equação de estado politrópica é tomada. A derivação é mostrada abaixo por meio de uma análise dimensional:

Para processos adiabáticos ,${\ displaystyle PV ^ {\ gamma} = {\ text {constant}} \ rightarrow V \ sim P ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}}.}$

Para um gás ideal ,${\ displaystyle PV = nRT \ Rightarrow P \ cdot P ^ {- {\ frac {1} {\ gamma}}} = P ^ {\ frac {\ gamma -1} {\ gamma}} \ sim T \ Rightarrow P \ sim T ^ {\ frac {\ gamma} {\ gamma -1}}.}$

Equação de estado politrópica ,${\ displaystyle P = K \ rho ^ {\ gamma} \ rightarrow T \ sim \ rho ^ {\ gamma -1}.}$

Massa jeans, ${\ displaystyle M _ {\ text {J}} \ sim T ^ {\ frac {3} {2}} \ rho ^ {- {\ frac {1} {2}}} \ sim \ rho ^ {{\ frac {3} {2}} (\ gamma -1)} \ rho ^ {- {\ frac {1} {2}}}.}$

Portanto, ${\ displaystyle M _ {\ text {J}} \ sim \ rho ^ {{\ frac {3} {2}} \ left (\ gamma - {\ frac {4} {3}} \ right)}.}$

Se for o índice adiabático , a massa de Jeans aumenta com o aumento da densidade, enquanto se a massa de Jeans diminui com o aumento da densidade. Durante o colapso gravitacional, a densidade sempre aumenta, portanto, no segundo caso, a massa de Jeans diminuirá durante o colapso, permitindo que regiões superdensas menores colapsem, levando à fragmentação da nuvem molecular gigante. Para um gás monoatômico ideal, o índice adiabático é 5/3. No entanto, em objetos astrofísicos, esse valor é geralmente próximo a 1 (por exemplo, em gás parcialmente ionizado em temperaturas baixas em comparação com a energia de ionização). De forma mais geral, o processo não é realmente adiabático, mas envolve resfriamento por radiação que é muito mais rápido do que a contração, de modo que o processo pode ser modelado por um índice adiabático tão baixo quanto 1 (que corresponde ao índice politrópico de um gás isotérmico). Portanto, o segundo caso é a regra, e não uma exceção nas estrelas. Esta é a razão pela qual as estrelas geralmente se formam em aglomerados. ${\ textstyle \ gamma> {\ frac {4} {3}}}$${\ textstyle \ gamma <{\ frac {4} {3}}}$

Veja também

• Massa Bonnor-Ebert
• Ondas Langmuir ( ondas semelhantes em um plasma)

Referências

• Jeans, JH (1902). "A estabilidade de uma nebulosa esférica" . Philosophical Transactions da Royal Society A . 199 (312–320): 1–53. Bibcode : 1902RSPTA.199 .... 1J . doi : 10.1098 / rsta.1902.0012 . JSTOR  90845 .
• Longair, Malcolm S. (1998). Formação de galáxias . Berlim: Springer. ISBN 3-540-63785-0.
• Clarke, Cathie; Carswell, Bob (2007). Astrophysical Fluid Dynamics . Cambridge: Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-85331-6.