Jerk (física) - Jerk (physics)

Idiota
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	Derivadas de tempo de posição, incluindo empurrão
Símbolos comuns	j , j , ȷ →
Em unidades de base SI	m / s 3
Dimensão	L T −3

Em física , empurrão ou choque é a taxa a que um objecto de aceleração muda com respeito ao tempo. É uma grandeza vetorial (tendo magnitude e direção). Jerk é mais comumente denotado pelo símbolo $j$ e expresso em m / s ³ ( unidades SI ) ou gravidades padrão por segundo ( g ₀ / s).

Expressões

Como um vetor, jerk $j$ pode ser expresso como o primeiro tempo derivado de aceleração , segundo tempo derivado de velocidade e terceiro tempo derivado de posição :

{\ displaystyle \ mathbf {j} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {a} (t)} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ mathbf {v} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t ^ {3}}}}

Onde

a

é aceleração

v

é velocidade

r

é a posição

t

é o tempo

Equações diferenciais de terceira ordem da forma

{\ displaystyle J \ left ({\ overset {...} {x}}, {\ ddot {x}}, {\ dot {x}}, x \ right) = 0}

às vezes são chamadas de equações de empurrão . Quando convertidas em um sistema equivalente de três equações diferenciais não lineares comuns de primeira ordem, as equações de jerk são a configuração mínima para soluções que mostram comportamento caótico . Esta condição gera interesse matemático em sistemas jerk . Os sistemas que envolvem derivados de quarta ordem ou superiores são chamados de sistemas hyperjerk .

Efeitos fisiológicos e percepção humana

A posição do corpo humano é controlada pelo equilíbrio das forças dos músculos antagônicos . Ao equilibrar uma determinada força, como sustentar um peso, o giro pós - central estabelece uma alça de controle para atingir o equilíbrio desejado . Se a força mudar muito rapidamente, os músculos não podem relaxar ou ficar tensos rápido o suficiente e saltar em qualquer direção, causando uma perda temporária de controle. O tempo de reação para responder às mudanças na força depende das limitações fisiológicas e do nível de atenção do cérebro: uma mudança esperada será estabilizada mais rapidamente do que uma diminuição ou aumento repentino da carga.

Para evitar que os passageiros do veículo percam o controle do movimento corporal e se machuquem, é necessário limitar a exposição à força máxima (aceleração) e ao empurrão máximo, já que é necessário tempo para ajustar a tensão muscular e se adaptar até mesmo a mudanças limitadas de estresse. Mudanças repentinas na aceleração podem causar ferimentos como chicotadas . Os solavancos excessivos também podem resultar em uma pilotagem desconfortável, mesmo em níveis que não causam ferimentos. Os engenheiros despendem um esforço considerável de projeto para minimizar os "movimentos bruscos" em elevadores , bondes e outros meios de transporte.

Por exemplo, considere os efeitos de aceleração e solavanco ao andar de carro:

Motoristas habilidosos e experientes podem acelerar suavemente, mas os iniciantes costumam oferecer uma pilotagem irregular . Ao trocar as marchas em um carro com embreagem operada com o pé, a força de aceleração é limitada pela potência do motor, mas um motorista inexperiente pode causar solavancos severos por causa do fechamento de força intermitente sobre a embreagem.
A sensação de ser pressionado contra os assentos de um carro esportivo de alta potência é devido à aceleração. Quando o carro sai do repouso, há um grande solavanco positivo, pois sua aceleração aumenta rapidamente. Após o lançamento, há um pequeno solavanco negativo sustentado à medida que a força da resistência do ar aumenta com a velocidade do carro, diminuindo gradualmente a aceleração e reduzindo a força que pressiona o passageiro no assento. Quando o carro atinge sua velocidade máxima, a aceleração atingiu 0 e permanece constante, após o qual não há solavanco até que o motorista desacelere ou mude de direção.
Ao frear repentinamente ou durante colisões, os passageiros avançam com uma aceleração inicial maior do que durante o resto do processo de frenagem porque a tensão muscular recupera o controle do corpo rapidamente após o início da frenagem ou impacto. Esses efeitos não são modelados em testes de veículos porque cadáveres e bonecos de teste de colisão não têm controle muscular ativo.

Força, aceleração e solavanco

Para uma massa constante $m$ , a aceleração $a$ é diretamente proporcional à força $F de$ acordo com a segunda lei do movimento de Newton :

{\ displaystyle {\ mathbf {F}} = m \ cdot {\ mathbf {a}}}

Na mecânica clássica de corpos rígidos, não existem forças associadas às derivadas de aceleração; no entanto, os sistemas físicos experimentam oscilações e deformações como resultado de solavancos. Ao projetar o Telescópio Espacial Hubble , a NASA estabeleceu limites para empurrões e saltos .

A força de Abraham-Lorentz é a força de recuo em uma partícula carregada em aceleração que emite radiação. Essa força é proporcional ao solavanco da partícula e ao quadrado de sua carga . A teoria do absorvedor de Wheeler-Feynman é uma teoria mais avançada, aplicável em um ambiente relativístico e quântico e responsável pela energia própria .

Em um ambiente idealizado

Descontinuidades na aceleração não ocorrem em ambientes do mundo real devido à deformação , efeitos da mecânica quântica e outras causas. No entanto, um salto-descontinuidade na aceleração e, consequentemente, um solavanco ilimitado são viáveis em um cenário idealizado, como uma massa pontual idealizada movendo-se ao longo de um caminho contínuo uniforme por partes . O salto-descontinuidade ocorre em pontos onde o caminho não é suave. Extrapolando essas configurações idealizadas, pode-se descrever, explicar e prever qualitativamente os efeitos do empurrão em situações reais.

A descontinuidade do salto na aceleração pode ser modelada usando uma função delta de Dirac em jerk, dimensionada para a altura do salto. Integrar o jerk ao longo do tempo ao longo do delta de Dirac produz o salto-descontinuidade.

Por exemplo, considere um caminho ao longo de um arco de raio $r$ , que se conecta tangencialmente a uma linha reta. Todo o caminho é contínuo e suas peças são suaves. Agora, suponha que uma partícula pontual se mova com velocidade constante ao longo desse caminho, de modo que sua aceleração tangencial seja zero. A aceleração centrípeta dada por $.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} v 2/r$ é normal para o arco e para dentro. Quando a partícula passa pela conexão das peças, ela experimenta um salto-descontinuidade na aceleração dada por $v 2 / r$ , e sofre um solavanco que pode ser modelado por um delta de Dirac, dimensionado para o salto-descontinuidade.

Para um exemplo mais tangível de aceleração descontínua, considere um sistema ideal de massa-mola com a massa oscilando em uma superfície idealizada com atrito. A força sobre a massa é igual à soma vetorial da força da mola e da força cinética de atrito . Quando a velocidade muda de sinal (nos deslocamentos máximo e mínimo ), a magnitude da força sobre a massa muda em duas vezes a magnitude da força de atrito, porque a força da mola é contínua e a força de atrito inverte a direção com a velocidade. O salto na aceleração é igual à força na massa dividida pela massa. Ou seja, cada vez que a massa passa por um deslocamento mínimo ou máximo, a massa sofre uma aceleração descontínua e o solavanco contém um delta de Dirac até que a massa pare. A força de atrito estático se adapta à força residual da mola, estabelecendo equilíbrio com força líquida zero e velocidade zero.

Considere o exemplo de um carro freando e desacelerando. As pastilhas de freio geram forças cinéticas de fricção e torques de frenagem constantes nos discos (ou tambores ) das rodas. A velocidade de rotação diminui linearmente até zero com desaceleração angular constante. A força de atrito, o torque e a desaceleração do carro repentinamente chegam a zero, o que indica um delta de Dirac em um solavanco físico. O delta de Dirac é suavizado pelo ambiente real, cujos efeitos cumulativos são análogos ao amortecimento do solavanco percebido fisiologicamente. Este exemplo negligencia os efeitos do deslizamento do pneu, queda da suspensão, deflexão real de todos os mecanismos idealmente rígidos, etc.

Outro exemplo de solavanco significativo, análogo ao primeiro exemplo, é o corte de uma corda com uma partícula em sua extremidade. Suponha que a partícula esteja oscilando em um caminho circular com aceleração centrípeta diferente de zero. Quando a corda é cortada, o caminho da partícula muda abruptamente para um caminho reto e a força na direção interna muda repentinamente para zero. Imagine uma fibra monomolecular cortada por um laser; a partícula experimentaria taxas muito altas de solavanco por causa do tempo de corte extremamente curto.

Em rotação

Animação mostrando um drive externo de Genebra de quatro posições em operação

Diagrama de tempo em uma revolução para ângulo, velocidade angular, aceleração angular e solavanco angular

Considere um corpo rígido girando em torno de um eixo fixo em um referencial inercial . Se sua posição angular em função do tempo for $θ (t)$ , a velocidade angular, aceleração e solavanco podem ser expressos da seguinte forma:

Velocidade angular , , é a derivada do tempo de $θ$ $($ $t$ $)$ . ${\ displaystyle \ omega (t) = {\ dot {\ theta}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta (t)} {\ mathrm {d} t}}}$
Aceleração angular , é a derivada do tempo de $ω$ $($ $t$ $)$ . ${\ displaystyle \ alpha (t) = {\ dot {\ omega}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} \ omega (t)} {\ mathrm {d} t}}}$
O jerk angular,, é a derivada do tempo de $α$ $($ $t$ $)$ . ${\ displaystyle \ zeta (t) = {\ dot {\ alpha}} (t) = {\ ddot {\ omega}} (t) = {\ overset {...} {\ theta}} (t)}$

A aceleração angular é igual ao torque que atua sobre o corpo, dividido pelo momento de inércia do corpo em relação ao eixo momentâneo de rotação. Uma mudança no torque resulta em um solavanco angular.

O caso geral de um corpo rígido rotativo pode ser modelado usando a teoria do parafuso cinemático , que inclui um vetor axial , velocidade angular $Ω (t)$ , e um vetor polar , velocidade linear $v (t)$ . A partir disso, a aceleração angular é definida como

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ alpha}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ boldsymbol {\ Omega}} (t) = {\ dot { \ boldsymbol {\ Omega}}} (t)}

e o empurrão angular é dado por

{\ displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}} (t) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ boldsymbol {\ alpha}} (t) = {\ dot { \ boldsymbol {\ alpha}}} (t) = {\ ddot {\ boldsymbol {\ Omega}}} (t)}

Por exemplo, considere um Geneva drive , um dispositivo usado para criar rotação intermitente de uma roda motriz (a roda azul na animação) por rotação contínua de uma roda motriz (a roda vermelha na animação). Durante um ciclo da roda motriz, a posição angular da roda motriz $θ$ muda em 90 graus e então permanece constante. Por causa da espessura finita do garfo da roda motriz (a fenda para o pino motriz), este dispositivo gera uma descontinuidade na aceleração angular $α$ e um solavanco angular ilimitado $ζ$ na roda movida.

Jerk não impede que o drive Geneva seja usado em aplicações como projetores de filmes e câmeras. Em projetores de filme, o filme avança quadro a quadro, mas a operação do projetor tem baixo ruído e é altamente confiável devido à baixa carga do filme (apenas uma pequena seção do filme pesando alguns gramas é acionada), a velocidade moderada (2,4 m / s), e o baixo atrito.

Drives dual cam

16 por revolução

13 por revolução

Com os sistemas de acionamento por came , o uso de um came duplo pode evitar o solavanco de um único came; no entanto, o came duplo é mais volumoso e mais caro. O sistema de cames duplos tem dois cames em um eixo que desloca um segundo eixo por uma fração de revolução. O gráfico mostra acionamentos por degrau de um sexto e um terço de rotação por uma volta do eixo motor. Não há folga radial porque dois braços da roda escalonada estão sempre em contato com o came duplo. Geralmente, contatos combinados podem ser usados para evitar o solavanco (e desgaste e ruído) associados a um único seguidor (como um único seguidor deslizando ao longo de uma fenda e mudando seu ponto de contato de um lado da fenda para o outro pode ser evitado por usando dois seguidores deslizando ao longo do mesmo slot, um lado cada).

Em matéria elasticamente deformável

Padrões de onda de compressão

Onda plana

Simetria cilíndrica

Uma massa elasticamente deformável deforma-se sob uma força aplicada (ou aceleração); a deformação é função de sua rigidez e da magnitude da força. Se a mudança na força for lenta, o jerk é pequeno e a propagação da deformação é considerada instantânea em comparação com a mudança na aceleração. O corpo distorcido age como se estivesse em um regime quase - estático , e apenas uma força variável ( solavanco diferente de zero) pode causar a propagação de ondas mecânicas (ou ondas eletromagnéticas para uma partícula carregada); portanto, para jerk diferente de zero a alto, uma onda de choque e sua propagação através do corpo devem ser consideradas.

A propagação da deformação é mostrada no gráfico "Padrões de onda de compressão" como uma onda plana de compressão através de um material elasticamente deformável. Também são mostradas, para o jerk angular, as ondas de deformação se propagando em um padrão circular, o que causa tensão de cisalhamento e possivelmente outros modos de vibração . A reflexão das ondas ao longo dos limites causa padrões de interferência construtiva (não ilustrados), produzindo tensões que podem exceder os limites do material. As ondas de deformação podem causar vibrações, o que pode levar a ruído, desgaste e falha, principalmente em casos de ressonância.

Pólo com topo maciço

O gráfico com a legenda "Pólo com topo maciço" mostra um bloco conectado a um poste elástico e um topo maciço. O poste se dobra quando o bloco acelera, e quando a aceleração para, o topo irá oscilar ( amortecido ) sob o regime de rigidez do poste. Pode-se argumentar que um solavanco maior (periódico) pode excitar uma amplitude maior de oscilação porque pequenas oscilações são amortecidas antes do reforço por uma onda de choque. Também se pode argumentar que um solavanco maior pode aumentar a probabilidade de excitar um modo ressonante porque os componentes de onda maiores da onda de choque têm frequências mais altas e coeficientes de Fourier .

Perfil de aceleração sinusoidal

Para reduzir a amplitude das ondas de estresse excitadas e vibrações, pode-se limitar o solavanco moldando o movimento e tornando a aceleração contínua com inclinações o mais planas possível. Devido às limitações dos modelos abstratos, os algoritmos para reduzir as vibrações incluem derivadas mais altas, como salto , ou sugerem regimes contínuos para aceleração e solavanco. Um conceito para limitar o jerk é moldar a aceleração e a desaceleração sinusoidalmente com aceleração zero no meio (consulte o gráfico com a legenda "Perfil de aceleração sinusoidal"), fazendo com que a velocidade pareça sinusoidal com velocidade máxima constante. O jerk, no entanto, permanecerá descontínuo nos pontos onde a aceleração entra e sai da fase zero.

No desenho geométrico de estradas e trilhas

Uma curva de transição de trilha limita o jerk. A transição é mostrada em vermelho entre a linha reta azul e o arco verde.

Estradas e trilhas são projetadas para limitar os solavancos causados por mudanças em sua curvatura. Em ferrovias, os projetistas usam 0,35 m / s ³ como meta de projeto e 0,5 m / s ³ como máximo. As curvas de transição da trilha limitam o solavanco ao fazer a transição de uma linha reta para uma curva ou vice-versa. Lembre-se de que no movimento de velocidade constante ao longo de um arco, o jerk é zero na direção tangencial e diferente de zero na direção normal interna. As curvas de transição aumentam gradativamente a curvatura e, conseqüentemente, a aceleração centrípeta.

Uma espiral de Euler , a curva de transição teoricamente ótima, aumenta linearmente a aceleração centrípeta e resulta em um solavanco constante (ver gráfico). Em aplicações do mundo real, o plano da pista é inclinado ( não inclinado ) ao longo das seções curvas. A inclinação causa aceleração vertical, que é uma consideração de projeto para desgaste na pista e aterro. A Wiener Kurve (curva vienense) é uma curva patenteada projetada para minimizar esse desgaste.

As montanhas-russas também são projetadas com transições de trilhos para limitar os solavancos. Ao entrar em um loop, os valores de aceleração podem chegar a cerca de 4 g (40 m / s ² ), e andar neste ambiente de alta aceleração só é possível com transições de pista. Curvas em forma de S, como oitos em figura, também usam transições de trilha para passeios suaves.

No controle de movimento

No controle de movimento , o foco do projeto está no movimento reto e linear, com a necessidade de mover um sistema de uma posição estável para outra (movimento ponto a ponto). A preocupação com o design de uma perspectiva idiota é o idiota vertical; o solavanco da aceleração tangencial é efetivamente zero, uma vez que o movimento linear não é rotacional.

As aplicações de controle de movimento incluem elevadores de passageiros e ferramentas de usinagem. Limitar o empurrão vertical é considerado essencial para a conveniência de andar de elevador. ISO 18738 especifica métodos de medição para a qualidade da viagem de elevador com relação a solavancos, aceleração, vibração e ruído; no entanto, o padrão especifica níveis de qualidade de condução aceitável ou inaceitável. É relatado que a maioria dos passageiros avalia um jerk vertical de 2 m / s ³ como aceitável e 6 m / s ³ como intolerável. Para hospitais, 0,7 m / s ³ é o limite recomendado.

Um objetivo principal do projeto para controle de movimento é minimizar o tempo de transição sem exceder os limites de velocidade, aceleração ou solavanco. Considere um perfil de controle de movimento de terceira ordem com fases em rampa quadrática e deramping em velocidade (ver figura).

Este perfil de movimento consiste nos seguintes sete segmentos:

Aceleração acumulada - limite de solavanco positivo; aumento linear da aceleração até o limite de aceleração positivo; aumento quadrático na velocidade
Limite de aceleração superior - jerk zero; aumento linear na velocidade
Rampa de aceleração para baixo - limite de jerk negativo; diminuição linear na aceleração; (negativo) aumento quadrático na velocidade, aproximando-se do limite de velocidade desejado
Limite de velocidade - jerk zero; aceleração zero
Aumento da desaceleração - limite de jerk negativo; diminuição linear da aceleração até o limite de aceleração negativo; (negativo) diminuição quadrática na velocidade
Limite de desaceleração inferior - jerk zero; diminuição linear na velocidade
Rampa de desaceleração para baixo - limite de jerk positivo; aumento linear na aceleração até zero; diminuição quadrática da velocidade; aproximando-se da posição desejada em velocidade zero e aceleração zero

O período de tempo do segmento quatro (velocidade constante) varia com a distância entre as duas posições. Se esta distância for tão pequena que omitir o segmento quatro não seria suficiente, então os segmentos dois e seis (aceleração constante) poderiam ser reduzidos igualmente, e o limite de velocidade constante não seria alcançado. Se esta modificação não reduzir suficientemente a distância cruzada, então os segmentos um, três, cinco e sete podem ser encurtados por uma quantidade igual, e os limites de aceleração constante não seriam alcançados.

Outras estratégias de perfil de movimento são usadas, como minimizar o quadrado de solavanco para um determinado tempo de transição e, como discutido acima, perfis de aceleração de forma senoidal. Os perfis de movimento são adaptados para aplicações específicas, incluindo máquinas, transportadores de pessoas, talhas de corrente, automóveis e robótica.

Na manufatura

Jerk é uma consideração importante nos processos de fabricação . Mudanças rápidas na aceleração de uma ferramenta de corte podem levar ao desgaste prematuro da ferramenta e resultar em cortes irregulares; consequentemente, os controladores de movimento modernos incluem recursos de limitação de solavanco. Em engenharia mecânica, o jerk, além da velocidade e da aceleração, é considerado no desenvolvimento de perfis de came devido às implicações tribológicas e à capacidade do corpo acionado de seguir o perfil do came sem vibração . Jerk é frequentemente considerado quando a vibração é uma preocupação. Um dispositivo que mede o jerk é chamado de "jerkmeter".

Derivados adicionais

Outras derivadas de tempo também foram nomeadas, como snap ou jounce (quarta derivada), crackle (quinta derivada) e pop (sexta derivada). No entanto, as derivadas de tempo de posição de ordem superior a quatro aparecem raramente.

Os termos snap , crackle e pop ‍ — ‌para a quarta, quinta e sexta derivadas de posição‍ — ‌foram inspirados nos mascotes publicitários Snap, Crackle e Pop .

Veja também

Referências

Sprott JC (2003). Análise do caos e das séries temporais . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN 0-19-850839-5.
Sprott JC (1997). "Algumas funções simples de empurrão caótico" (PDF) . Am J Phys . 65 (6): 537–43. Bibcode : 1997AmJPh..65..537S . doi : 10.1119 / 1.18585 . Arquivado do original (PDF) em 13/06/2010 . Página visitada em 2009-09-28 .
Blair G (2005). "Fazendo a câmera" (PDF) . Tecnologia de motor de corrida (10) . Página visitada em 29-09-2009 .

links externos

Qual é o termo usado para a terceira derivada de posição? , descrição de jerk no Usenet Physics FAQ
Matemática dos perfis de controle de movimento
Elevator-Ride-Quality
Folheto do fabricante do elevador
Patente de Wiener Kurve
(em alemão) Descrição de Wiener Kurve

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