Jules Richard - Jules Richard

Jules Richard (12 de agosto de 1862 - 14 de outubro de 1956) foi um matemático francês .

Vida e obras

Richard nasceu em Blet , no departamento de Cher .

Ele lecionou nos liceus de Tours , Dijon e Châteauroux . Ele obteve seu doutorado, aos 39 anos, pela Faculté des Sciences de Paris . Sua tese de 126 páginas diz respeito à superfície de onda de Fresnel. Richard trabalhou principalmente nos fundamentos da matemática e da geometria, relacionando-se com os trabalhos de Hilbert , von Staudt e Méray .

Em um tratado mais filosófico sobre a natureza dos axiomas da geometria, Richard discute e rejeita os seguintes princípios básicos:

  1. A geometria é baseada em axiomas escolhidos arbitrariamente - existem infinitas geometrias igualmente verdadeiras.
  2. A experiência fornece os axiomas da geometria, a base é experimental, o desenvolvimento dedutivo.
  3. Os axiomas da geometria são definições (em contraste com (1)).
  4. Os axiomas não são experimentais nem arbitrários, eles se impõem a nós, pois sem eles a experiência não é possível.

A última abordagem foi essencialmente aquela proposta por Kant . Richard chegou ao resultado de que a noção de identidade de dois objetos e a invariabilidade de um objeto são muito vagas e precisam ser especificadas com mais precisão. Isso deve ser feito por axiomas.

Axiomas são proposições, cuja tarefa é tornar precisa a noção de identidade de dois objetos pré-existentes em nossa mente.

Além disso, de acordo com Richard, o objetivo da ciência é explicar o universo material. E embora a geometria não euclidiana não tivesse encontrado nenhuma aplicação ( Albert Einstein terminou sua teoria geral da relatividade apenas em 1915), Richard já afirmou clarividentemente:

Vê-se que, tendo admitido a noção de ângulo, fica-se livre para escolher a noção de linha reta de tal forma que uma ou outra das três geometrias seja verdadeira.

Richard se correspondeu com Giuseppe Peano e Henri Poincaré . Ele se tornou conhecido por mais do que um pequeno grupo de especialistas ao formular seu paradoxo que foi amplamente usado por Poincaré para atacar a teoria dos conjuntos, após o que os defensores da teoria dos conjuntos tiveram que refutar esses ataques.

Ele morreu em 1956 em Châteauroux , no departamento de Indre , com 94 anos.

Paradoxo de richard

O paradoxo foi declarado pela primeira vez em 1905 em uma carta a Louis Olivier, diretor da Revue générale des sciences pures et appliquées . Foi publicado em 1905 no artigo Les Principes des mathématiques et le problems des ensembles . O Principia Mathematica de Alfred North Whitehead e Bertrand Russell o cita junto com seis outros paradoxos concernentes ao problema da auto-referência. Em um dos mais importantes compêndios de lógica matemática, compilado por Jean van Heijenoort, o artigo de Richard é traduzido para o inglês. O paradoxo pode ser interpretado como uma aplicação do argumento diagonal de Cantor. Inspirou Kurt Gödel e Alan Turing em suas obras famosas. Kurt Gödel considerou seu teorema da incompletude como análogo ao paradoxo de Richard que, na versão original funciona da seguinte forma:

Seja E o conjunto de números reais que podem ser definidos por um número finito de palavras. Este conjunto é enumerável. Deixe p ser o n ° decimal do n th número do conjunto de E ; que formam um certo número de N que tem de zero para a parte integrante e p + 1 para o n ° decimal, se p não é igual a qualquer um de 8 ou 9, e a unidade, no caso contrário. Este número N não pertence ao conjunto E porque difere de qualquer número de este conjunto, ou seja, a partir do n th número por o n ésimo dígito. Mas N foi definido por um número finito de palavras. Deveria, portanto, pertencem ao conjunto E . Isso é uma contradição.

Richard nunca apresentou seu paradoxo de outra forma, mas, entretanto, existem várias versões diferentes, algumas das quais sendo apenas vagamente conectadas ao original. Para fins de completude, eles podem ser declarados aqui.

Outras versões do paradoxo de Richard

(A) A versão dada em Principia Mathematica por Whitehead e Russell é semelhante à versão original de Richard, infelizmente não tão exata. Aqui, apenas o dígito 9 é substituído pelo dígito 0, de forma que identidades como 1.000 ... = 0,999 ... podem estragar o resultado.

(B) O Paradoxo de Berry , mencionado pela primeira vez no Principia Mathematica como o quinto dos sete paradoxos, é creditado ao Sr. GG Berry da Biblioteca Bodleian. Ele usa o menor número inteiro não nominável em menos de dezenove sílabas ; na verdade, em inglês, denota 111.777. Mas "o menor número inteiro não nominável em menos de dezenove sílabas" é em si um nome que consiste em dezoito sílabas; portanto, o menor número inteiro não nominável em menos de dezenove sílabas pode ser nomeado em dezoito sílabas, o que é uma contradição

(C) O Paradoxo de Berry com letras em vez de sílabas está freqüentemente relacionado ao conjunto de todos os números naturais que podem ser definidos por menos de 100 (ou qualquer outro número grande) letras. Como os números naturais são um conjunto bem ordenado, deve haver o menor número que não pode ser definido por menos de 100 letras . Mas esse número foi definido apenas por 65 letras incluindo espaços.

(D) O Paradoxo de König também foi publicado em 1905 por Julius König . Todos os números reais que podem ser definidos por um número finito de palavras formam um subconjunto dos números reais. Se os números reais podem ser bem ordenados, então deve haver um primeiro número real (de acordo com esta ordem) que não pode ser definido por um número finito de palavras. Mas o primeiro número real que não pode ser definido por um número finito de palavras acaba de ser definido por um número finito de palavras.

(E) O menor número natural sem propriedades interessantes adquire uma propriedade interessante por essa mesma falta de quaisquer propriedades interessantes.

(F) Um empréstimo do Paradoxo de Grelling e Nelson . O número de todas as definições finitas é contável. Em ordem lexical obtemos uma seqüência de definições D 1 , D 2 , D 3 , ... Agora, pode acontecer que uma definição defina seu próprio número. Este seria o caso se D 1 lesse "o menor número natural". Pode acontecer que uma definição não descreva seu próprio número. Este seria o caso se D 2 lesse "o menor número natural". Além disso, a frase "esta definição não descreve seu número" é uma definição finita. Que seja D n . Is n descrito por D n . Se sim, então não, e se não, então sim. O dilema é insolúvel. (Esta versão é descrita com mais detalhes em outro artigo, o paradoxo de Richard .)

Reações ao paradoxo de Richard

Georg Cantor escreveu em uma carta a David Hilbert :

  • "Definições infinitas" (isto é, definições que não podem ser feitas em tempo finito) são absurdos. Se a afirmação de Königs fosse "correta", segundo a qual todos os números reais "finitamente definíveis" formam uma coleção de números cardinais , isso implicaria na contagem de todo o continuum; mas isso está obviamente errado. A questão agora é em que erro a alegada prova de seu teorema errado se baseia. O erro (que também aparece na nota de um Sr. Richard no último número da matemática Acta, que o Sr. Poincaré enfatiza no último número da Revue de Métaphysique et de Morale) é, em minha opinião, o seguinte: Supõe-se que o sistema { B } de noções B , que devem ser usados ​​para a definição de números individuais, é no máximo contavelmente infinito. Essa suposição "deve estar errada" porque, do contrário, teríamos o teorema errado: "o contínuo dos números tem cardinalidade ".

Aqui, Cantor está errado. Hoje sabemos que existem incontáveis ​​muitos números reais sem a possibilidade de uma definição finita.

Ernst Zermelo comenta o argumento de Richard:

  • A noção "finitamente definível" não é absoluta, mas relativa, estando sempre relacionada com a "linguagem" escolhida. A conclusão segundo a qual todos os objetos finitamente definíveis são contáveis ​​só é válida no caso de ser usado um e o mesmo sistema de símbolos; a questão de saber se um único indivíduo pode estar sujeito a uma definição finita é nula porque a tudo um nome arbitrário pode ser atribuído.

Zermelo aponta para a razão pela qual o paradoxo de Richard falha. Sua última afirmação, no entanto, é impossível de satisfazer. Um número real com infinitos dígitos, que não são determinados por alguma "regra", possui um conteúdo infinitamente grande de informações. Esse número só poderia ser identificado por um nome curto se houvesse apenas um ou alguns deles existentes. Se existem incontáveis, como é o caso, a identificação é impossível.

Bibliografia

  • Thèses présentées à la Faculté des sciences de Paris por M. Jules Richard, 1re thèse: Sur la surface des ondes de Fresnel ... , Chateauroux 1901 (126 páginas).
  • Sur la philosophie des mathématiques , Gauthier-Villars, Paris 1903 (248 páginas).
  • Sur une manière d'exposer la géométrie projective , L'Enseignement mathématique 7 (1905) 366-374.
  • Les principes des mathématiques et le problems des ensembles , Revue générale des sciences pures et appliquées 16 (1905) 541-543.
  • Os princípios da matemática e o problema dos conjuntos (1905), tradução para o inglês em Jean van Heijenoort, "From Frege to Gödel - A Source Book in Mathematical Logic", 1879-1931. Harvard Univ. Press, 1967, p. 142-144.
  • Lettre à Monsieur le rédacteur de la Revue Générale des Sciences , Acta Math. 30 (1906) 295-296.
  • Sur les principes de la mécanique , L'Enseignement mathématique 8 (1906) 137-143.
  • Considérations sur l'astronomie, sa place insuffisante dans les divers degrés de l'enseignement , L'Enseignement mathématique 8 (1906) 208-216.
  • Sur la logique et la notion de nombre entier , L'Enseignement mathématique 9 (1907) 39-44.
  • Sur un paradoxe de la théorie des ensembles et sur l'axiome Zermelo , L'Enseignement mathématique 9 (1907) 94-98.
  • Sur la nature des axiomes de la géométrie , L'Enseignement mathématique 10 (1908) 60-65.
  • Sur les translation , L'Enseignement mathématique 11 (1909) 98-101.
  • Contre la géométrie expérimentale Revue de l'Enseignement des Sciences (1910) 150.

Veja também

Referências

  • J. Itard: Richard, Jules Antoine , Dictionary of Scientific Biography, 11 , Charles Scribner's Sons, New York (1980) 413-414. [Esta parece ser a única fonte original, usada por todos os outros biógrafos.]
  • S. Gottwald: Richard, Jules Antoine em: Lexikon bedeutender Mathematiker, Harri Deutsch, Thun und Frankfurt (M) 1990.
  • JJ O'Connor, EF Robertson: The MacTutor History of Mathematics archive [1]

Literatura sobre o paradoxo de Richard

  • H. Meschkowski, W. Nilson: Georg Cantor - Briefe , Sphinhubyringer, Berlin 1991, p. 446.
  • W. Mückenheim: Die Mathematik des Unendlichen , Shaker, Aachen 2006.
  • AN Whitehead, B. Russel: Principia Mathematica I , Cambridge Univ. Press, Cambridge 1910, p. 64. [2]
  • E. Zermelo: Neuer Beweis für die Möglichkeit einer Wohlordnung , Math. Ann. 65 (1908) p. 107-128. [3]

links externos