Teoria K - K-theory

Em matemática , a teoria K é, grosso modo, o estudo de um anel gerado por feixes de vetores sobre um espaço ou esquema topológico . Na topologia algébrica , é uma teoria cohomológica conhecida como teoria K topológica . Em álgebra e geometria algébrica , é referido como teoria K algébrica . É também uma ferramenta fundamental no campo das álgebras de operadores . Pode ser visto como o estudo de certos tipos de invariantes de grandes matrizes .

A teoria K envolve a construção de famílias de K - functores que mapeiam de espaços ou esquemas topológicos para anéis associados; esses anéis refletem alguns aspectos da estrutura dos espaços ou esquemas originais. Tal como acontece com os functores para grupos na topologia algébrica, a razão para esse mapeamento functorial é que é mais fácil computar algumas propriedades topológicas dos anéis mapeados do que dos espaços ou esquemas originais. Exemplos de resultados obtidos da abordagem da teoria K incluem o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , a periodicidade de Bott , o teorema do índice de Atiyah-Singer e as operações de Adams .

Na física de alta energia , a teoria K e em particular a teoria K torcida apareceram na teoria das cordas do Tipo II, onde foi conjecturado que eles classificam D-branas , forças de campo de Ramond-Ramond e também certos espinores em variedades complexas generalizadas . Na física da matéria condensada, a teoria K tem sido usada para classificar isolantes topológicos , supercondutores e superfícies de Fermi estáveis . Para obter mais detalhes, consulte a teoria K (física) .

Conclusão Grothendieck

A conclusão de Grothendieck de um monóide abeliano em um grupo abeliano é um ingrediente necessário para definir a teoria K, uma vez que todas as definições começam construindo um monóide abeliano de uma categoria adequada e transformando-o em um grupo abeliano através desta construção universal. Dado um monóide abeliano, deixe ser a relação definida por

se existe um tal que Então, o conjunto tem a estrutura de um grupo onde:

As classes de equivalência neste grupo devem ser pensadas como diferenças formais de elementos no monóide abeliano. Este grupo também está associado a um homomorfismo monóide dado pelo qual possui uma certa propriedade universal .

Para obter uma melhor compreensão deste grupo, considere algumas classes de equivalência do monóide abeliano . Aqui vamos denotar o elemento de identidade de pelo modo que será o elemento identidade do primeiro lugar, para qualquer uma vez que pode definir e aplicar a equação da relação de equivalência para obter Isto implica

portanto, temos um inverso aditivo para cada elemento em . Isso deve nos dar a dica de que devemos pensar nas classes de equivalência como diferenças formais. Outra observação útil é a invariância das classes de equivalência em escala:

para qualquer

A conclusão de Grothendieck pode ser vista como um functor e tem a propriedade de ser deixada adjacente ao functor esquecido correspondente. Isso significa que, dado um morfismo de um monóide abeliano para o monóide abeliano subjacente de um grupo abeliano , existe um grupo abeliano único morfismo

Exemplo para números naturais

Um exemplo ilustrativo para olhar é a conclusão de Grothendieck . Podemos ver que para qualquer par podemos encontrar um representante mínimo usando a invariância em escala. Por exemplo, podemos ver pela invariância de escala que

Em geral, se então

que é da forma ou

Isso mostra que devemos pensar nos inteiros positivos e nos inteiros negativos.

Definições

Existem várias definições básicas da teoria K: duas provenientes da topologia e duas da geometria algébrica.

Grupo Grothendieck para espaços compactos de Hausdorff

Dado um espaço de Hausdorff compacto , considere o conjunto de classes de isomorfismo de feixes vetoriais de dimensão finita sobre , denotado e deixe a classe de isomorfismo de um feixe vetorial ser denotado . Uma vez que as classes de isomorfismo de pacotes vetoriais se comportam bem com respeito a somas diretas , podemos escrever essas operações em classes de isomorfismo por

Deve ficar claro que é um monóide abeliano onde a unidade é dada pelo feixe vetorial trivial . Podemos então aplicar a conclusão de Grothendieck para obter um grupo abeliano desse monóide abeliano. Isso é chamado de teoria K de e é denotado .

Podemos usar o teorema de Serre-Swan e alguma álgebra para obter uma descrição alternativa de feixes de vetores sobre o anel de funções contínuas de valor complexo como módulos projetivos . Então, eles podem ser identificados com matrizes idempotentes em algum anel de matrizes . Podemos definir classes de equivalência de matrizes idempotentes e formar um monóide abeliano . Sua conclusão Grothendieck também é chamada . Uma das principais técnicas para calcular o grupo Grothendieck para espaços topológicos vem da sequência espectral Atiyah-Hirzebruch , que o torna muito acessível. Os únicos cálculos necessários para compreender as sequências espectrais estão computando o grupo para as esferas pg 51-110 .

Grupo Grothendieck de pacotes vetoriais em geometria algébrica

Há uma construção análoga ao considerar fibrados vetoriais em geometria algébrica . Para um esquema de Noetheriano há um conjunto de todas as classes de isomorfismo de pacotes algébricas vetor no . Então, como antes, a soma direta das classes de isomorfismos de feixes de vetores é bem definida, dando um monóide abeliano . Então, o grupo Grothendieck é definido pela aplicação da construção Grothendieck neste monóide abeliano.

Grupo Grothendieck de feixes coerentes em geometria algébrica

Na geometria algébrica, a mesma construção pode ser aplicada a pacotes vetoriais algébricos em um esquema suave. Porém, existe uma construção alternativa para qualquer esquema Noetheriano . Se olharmos para as classes de isomorfismo de feixes coerentes , podemos modificar pela relação se houver uma sequência exata curta

Isso dá ao grupo de Grothendieck que é isomórfico a se é liso. O grupo é especial porque também há uma estrutura em anel: nós a definimos como

Usando o teorema de Grothendieck-Riemann-Roch , temos que

é um isomorfismo de anéis. Portanto, podemos usar para a teoria da interseção .

História antiga

Pode-se dizer que o assunto começa com Alexander Grothendieck (1957), que o usou para formular seu teorema de Grothendieck-Riemann-Roch . Seu nome vem do alemão Klasse , que significa "classe". Grothendieck necessário para trabalhar com feixes coerentes em uma algébrica variedade X . Em vez de trabalhar diretamente com os feixes, ele definiu um grupo usando classes de isomorfismo de feixes como geradores do grupo, sujeito a uma relação que identifica qualquer extensão de dois feixes com sua soma. O grupo resultante é chamado de K ( X ) quando apenas feixes localmente livres são usados, ou G ( X ) quando todos são feixes coerentes. Qualquer uma dessas duas construções é chamada de grupo Grothendieck ; K ( X ) tem comportamento cohomológico e G ( X ) tem comportamento homológico .

Se X for uma variedade suave , os dois grupos serão iguais. Se for uma variedade afim suave , todas as extensões de polias localmente livres se dividirão, de modo que o grupo terá uma definição alternativa.

Em topologia , ao aplicar a mesma construção a pacotes vetoriais , Michael Atiyah e Friedrich Hirzebruch definiram K ( X ) para um espaço topológico X em 1959 e, usando o teorema da periodicidade de Bott, eles o tornaram a base de uma teoria de cohomologia extraordinária . Ele desempenhou um papel importante na segunda prova do teorema do índice Atiyah – Singer (por volta de 1962). Além disso, essa abordagem levou a uma teoria K não comutativa para álgebras C * .

Já em 1955, Jean-Pierre Serre havia usado a analogia de feixes de vetores com módulos projetivos para formular a conjectura de Serre , que afirma que todo módulo projetivo finitamente gerado sobre um anel polinomial é livre ; esta afirmação está correta, mas só foi acertada 20 anos depois. ( O teorema de Swan é outro aspecto desta analogia.)

Desenvolvimentos

A outra origem histórica da teoria algébrica K foi o trabalho de JHC Whitehead e outros no que mais tarde ficou conhecido como torção de Whitehead .

Seguiu-se um período no qual havia várias definições parciais de functores da teoria K superiores . Finalmente, duas definições úteis e equivalentes foram dadas por Daniel Quillen usando a teoria da homotopia em 1969 e 1972. Uma variante também foi dada por Friedhelm Waldhausen para estudar a teoria K algébrica de espaços, que está relacionada ao estudo de pseudo-isotopias . Muitas pesquisas modernas sobre a teoria K superior estão relacionadas à geometria algébrica e ao estudo da cohomologia motívica .

As construções correspondentes envolvendo uma forma quadrática auxiliar receberam o nome geral de teoria-L . É uma ferramenta importante da teoria da cirurgia .

Na teoria das cordas , a classificação da teoria K das intensidades dos campos de Ramond-Ramond e das cargas das D-branas estáveis foi proposta pela primeira vez em 1997.

Exemplos e propriedades

K 0 de um campo

O exemplo mais fácil do grupo Grothendieck é o grupo Grothendieck de um ponto para um campo . Uma vez que um feixe vetorial sobre este espaço é apenas um espaço vetorial de dimensão finita, que é um objeto livre na categoria de feixes coerentes, portanto projetivos, o monóide das classes de isomorfismo corresponde à dimensão do espaço vetorial. É um exercício fácil mostrar que o grupo Grothendieck é então .

K 0 de uma álgebra Artiniana sobre um campo

Uma propriedade importante do grupo Grothendieck de um esquema noetheriano é que ele é invariante sob redução, portanto . Conseqüentemente, o grupo Grothendieck de qualquer álgebra artiniana é uma soma direta de cópias de , uma para cada componente conectado de seu espectro. Por exemplo,

K 0 do espaço projetivo

Um dos cálculos mais comumente usados ​​do grupo Grothendieck é com o cálculo do espaço projetivo sobre um campo. Isso ocorre porque os números de interseção de um projetivo podem ser calculados incorporando e usando a fórmula push pull . Isso torna possível fazer cálculos concretos com elementos em sem ter que saber explicitamente sua estrutura, uma vez que

Uma técnica para determinar o grupo grothendieck de vem de sua estratificação como
uma vez que o grupo grothendieck de feixes coerentes em espaços afins são isomórficos a , e a interseção de é genericamente
para .

K 0 de um pacote projetivo

Outra fórmula importante para o grupo de Grothendieck é a fórmula do feixe projetivo: dado um feixe vetorial de classificação r sobre um esquema Noetheriano , o grupo de Grothendieck do feixe projetivo é um módulo livre de classificação r com base . Esta fórmula permite calcular o grupo de Grothendieck de . Isso torna possível calcular as superfícies de Hirzebruch. Além disso, isso pode ser usado para calcular o grupo Grothendieck , observando que é um feixe projetivo sobre o campo .

K 0 de espaços singulares e espaços com singularidades quocientes isoladas

Uma técnica recente para calcular o grupo de espaços de Grothendieck com singularidades menores vem da avaliação da diferença entre e , que vem do fato de que cada feixe vetorial pode ser descrito equivalentemente como um feixe coerente. Isso é feito usando o grupo Grothendieck da categoria Singularidade da geometria algébrica não comutativa derivada . Ele fornece uma sequência longa e exata começando com

onde os termos mais elevados vêm da teoria K superior . Observe que os pacotes vetoriais no singular são dados por pacotes vetoriais no lugar geométrico liso . Isso torna possível calcular o grupo de Grothendieck em espaços projetivos ponderados, uma vez que eles normalmente têm singularidades quocientes isoladas. Em particular, se essas singularidades têm grupos de isotropia , o mapa
é injetiva e o caroço é aniquilado por para a página 3 .

K 0 de uma curva projetiva suave

Para uma curva projetiva suave, o grupo Grothendieck é

para o grupo de
Picard . Isso segue da seqüência espectral de Brown-Gersten-Quillen pg 72 da teoria K algébrica . Para um esquema regular de tipo finito sobre um campo, há uma sequência espectral convergente
para o conjunto de pontos de codimensão , significando o conjunto de subesquemas de codimensão e o campo de função algébrica do subesquema. Esta sequência espectral tem a propriedade
pg 80
para o anel de Chow de , essencialmente dando o cálculo de . Observe que, como não tem pontos de codimensão , as únicas partes não triviais da sequência espectral são , portanto
A filtração coniveau pode então ser usada para determinar como a soma direta explícita desejada, uma vez que dá uma sequência exata
onde o termo do lado esquerdo é isomorfo para e o termo do lado direito é isomorfo para . Desde então , temos a sequência de grupos abelianos acima das divisões, fornecendo o isomorfismo. Note-se que, se é uma curva suave projectiva de género sobre , então
Além disso, as técnicas acima usando a categoria derivada de singularidades para singularidades isoladas podem ser estendidas para singularidades isoladas de Cohen-Macaulay , fornecendo técnicas para calcular o grupo de Grothendieck de qualquer curva algébrica singular. Isso ocorre porque a redução fornece uma curva genericamente suave e todas as singularidades são Cohen-Macaulay.

Formulários

Pacotes virtuais

Uma aplicação útil do grupo Grothendieck é definir pacotes de vetores virtuais. Por exemplo, se temos uma incorporação de espaços suaves, então há uma sequência exata curta

onde está o pacote conormal de in . Se temos um espaço singular embutido em um espaço liso , definimos o pacote conormal virtual como

Outra aplicação útil de feixes virtuais é com a definição de um feixe tangente virtual de uma interseção de espaços: sejam subvariedades projetivas de uma variedade projetiva suave. Então, podemos definir o feixe tangente virtual de sua interseção como

Kontsevich usa essa construção em um de seus artigos.

Personagens de Chern

As classes de Chern podem ser usadas para construir um homomorfismo de anéis da teoria K topológica de um espaço para (a conclusão de) sua cohomologia racional. Para um pacote de linha L , o caractere de Chern ch é definido por

Mais geralmente, se é uma soma direta de pacotes de linha, com as primeiras classes de Chern, o caractere de Chern é definido aditivamente

O caractere Chern é útil em parte porque facilita o cálculo da classe Chern de um produto tensorial. O caractere Chern é usado no teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

Teoria K equivariante

A teoria K algébrica equivariante é uma teoria K algébrica associada à categoria de feixes coerentes equivariantes em um esquema algébrico com ação de um grupo algébrico linear , via construção Q de Quillen ; assim, por definição,

Em particular, é o grupo Grothendieck de . A teoria foi desenvolvida por RW Thomason na década de 1980. Especificamente, ele provou análogos equivariantes de teoremas fundamentais, como o teorema da localização.

Veja também

Notas

Referências

links externos