Karl Georg Christian von Staudt - Karl Georg Christian von Staudt
Karl GC von Staudt | |
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Nascer | 24 de janeiro de 1798 |
Faleceu | 1 de junho de 1867 (com 69 anos) |
Nacionalidade | alemão |
Alma mater | Universidade de Erlangen |
Conhecido por | Álgebra de arremessos teorema de von Staudt-Clausen |
Carreira científica | |
Campos |
Astronomia Matemática |
Orientador de doutorado | Gauss |
Influências | Gauss |
Influenciado |
Eduardo Torroja Caballe Corrado Segre Mario Pieri |
Karl Georg Christian von Staudt (24 de janeiro de 1798 - 1 de junho de 1867) foi um matemático alemão que usou a geometria sintética para fornecer uma base para a aritmética.
Vida e influência
Karl nasceu na Cidade Imperial Livre de Rothenburg, que agora é chamada de Rothenburg ob der Tauber na Alemanha. A partir de 1814, ele estudou no Gymnasium em Ausbach. Ele frequentou a Universidade de Göttingen de 1818 a 1822, onde estudou com Gauss, que era o diretor do observatório. Staudt forneceu uma efeméride para as órbitas de Marte e do asteróide Pallas . Quando em 1821 o cometa Nicollet-Pons foi observado, ele forneceu os elementos de sua órbita . Essas conquistas na astronomia valeram-lhe o doutorado na Universidade de Erlangen em 1822.
A carreira profissional de Staudt começou como instrutor de escola secundária em Würzburg até 1827 e então em Nuremberg até 1835. Ele se casou com Jeanette Dreschler em 1832. Eles tiveram um filho Eduard e uma filha Mathilda, mas Jeanette morreu em 1848.
O livro Geometrie der Lage (1847) foi um marco na geometria projetiva . Como Burau (1976) escreveu:
- Staudt foi o primeiro a adotar uma abordagem totalmente rigorosa. Sem exceção, seus predecessores ainda falavam de distâncias, perpendiculares, ângulos e outras entidades que não desempenham nenhum papel na geometria projetiva.
Além disso, este livro (página 43) usa o quadrilátero completo para "construir o quarto harmônico associado a três pontos em uma linha reta", o conjugado harmônico projetivo .
De fato, em 1889, Mario Pieri traduziu von Staudt, antes de escrever seu I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). Em 1900, Charlotte Scott, do Bryn Mawr College, parafraseou grande parte do trabalho de von Staudt em inglês para o The Mathematical Gazette . Quando Wilhelm Blaschke publicou seu livro de Geometria Projetiva em 1948, um retrato do jovem Karl foi colocado em frente ao Vorwort .
Staudt foi além da geometria projetiva real e entrou no espaço projetivo complexo em seus três volumes de Beiträge zur Geometrie der Lage publicados de 1856 a 1860.
Em 1922, HF Baker escreveu sobre o trabalho de von Staudt:
- Foi von Staudt para quem a eliminação das idéias de distância e congruência foi um objetivo consciente, se, também, o reconhecimento da importância disso pudesse ter sido muito atrasado, exceto pelo trabalho de Cayley e Klein sobre a teoria projetiva da distância . Generalizado e combinado com a subsequente Dissertação de Riemann, v. Os volumes de Staudt devem ser considerados a base do que, em seu lado geométrico, a Teoria da Relatividade, em Física, ainda pode se tornar.
Von Staudt também é lembrado por sua visão das seções cônicas e a relação entre pólo e polar :
- Von Staudt fez a importante descoberta de que a relação que uma cônica estabelece entre pólos e polares é realmente mais fundamental do que a própria cônica e pode ser estabelecida independentemente. Essa "polaridade" pode então ser usada para definir a cônica, de uma maneira perfeitamente simétrica e imediatamente autodual: uma cônica é simplesmente o lugar dos pontos que se encontram em seus polares, ou o envelope de retas que passam por seus pólos. . O tratamento das quádricas de Von Staudt é análogo, em três dimensões.
Álgebra de arremessos
Em 1857, no segundo Beiträge , von Staudt contribuiu com uma rota para numerar através da geometria chamada álgebra de arremessos ( alemão : Wurftheorie ). Baseia-se na amplitude projetiva e na relação de conjugados harmônicos projetivos . Por meio de operações de adição de pontos e multiplicação de pontos, obtém-se uma "álgebra de pontos", como no capítulo 6 do livro de Veblen & Young sobre geometria projetiva. A apresentação usual depende da razão cruzada ( CA, BD ) de quatro pontos colineares. Por exemplo, Coolidge escreveu:
- Como adicionamos duas distâncias juntas? Damos a eles o mesmo ponto de partida, encontramos o ponto intermediário entre seus pontos terminais, ou seja, o conjugado harmônico do infinito em relação aos seus pontos terminais, e então encontramos o conjugado harmônico do ponto inicial em relação a este ponto médio. ponto e infinito. Generalizando isso, se quisermos somar lances ( CA, BD ) e ( CA, BD ' ), encontramos M o conjugado harmônico de C em relação a D e D' , e então S o conjugado harmônico de A em relação a C e M :
- Da mesma forma, podemos encontrar uma definição do produto de dois lances. Como o produto de dois números tem a mesma razão para um deles que o outro tem para a unidade, a razão de dois números é a razão cruzada que eles, como um par, carregam para o infinito e zero, então Von Staudt, na notação anterior, define o produto de dois arremessos por
- Essas definições envolvem uma longa série de etapas para mostrar que a álgebra assim definida obedece às leis comutativas, associativas e distributivas usuais e que não há divisores de zero.
Uma afirmação resumida é dada por Veblen & Young como Teorema 10: "O conjunto de pontos em uma linha, com removido, forma um campo em relação às operações previamente definidas". Como Freudenthal observa
- ... até Hilbert, não há outro exemplo para uma derivação direta das leis algébricas de axiomas geométricos como encontrado no Beiträge de von Staudt .
Outra afirmação do trabalho de von Staudt com os conjugados harmônicos vem na forma de um teorema:
- A única correspondência um a um entre os pontos reais de uma linha que preserva a relação harmônica entre quatro pontos é uma projetividade não singular.
A álgebra dos lances foi descrita como "aritmética projetiva" em Os Quatro Pilares da Geometria (2005). Em uma seção chamada "Aritmética projetiva", ele diz
- A verdadeira dificuldade é que a construção de a + b , por exemplo, é diferente da construção de b + a , portanto é uma "coincidência" se a + b = b + a . Da mesma forma, é uma "coincidência" se ab = ba , de qualquer outra lei da álgebra valer. Felizmente, podemos mostrar que as coincidências requeridas realmente ocorrem, porque elas estão implícitas em certas coincidências geométricas, a saber, os teoremas de Pappus e Desargues.
Se alguém interpretar o trabalho de von Staudt como uma construção dos números reais , então ele está incompleto. Uma das propriedades necessárias é que uma sequência limitada tenha um ponto de cluster . Como Hans Freudenthal observou:
- Para ser capaz de considerar a abordagem de von Staudt como um fundamento rigoroso da geometria projetiva, basta adicionar explicitamente os axiomas topológicos que são tacitamente usados por von Staudt. ... como se pode formular a topologia do espaço projetivo sem o apoio de uma métrica? Von Staudt ainda estava longe de levantar essa questão, que um quarto de século depois se tornaria urgente. ... Felix Klein percebeu a lacuna na abordagem de von Staudt; ele estava ciente da necessidade de formular a topologia do espaço projetivo independentemente do espaço euclidiano ... os italianos foram os primeiros a encontrar soluções verdadeiramente satisfatórias para o problema de uma fundação puramente projetiva da geometria projetiva, que von Staudt havia tentado resolver .
Um dos matemáticos italianos foi Giovanni Vailati, que estudou a propriedade de ordem circular da linha projetiva real. A ciência desta ordem requer uma relação quaternária chamada relação de separação . Usando essa relação, os conceitos de sequência monótona e limite podem ser abordados, em uma "linha" cíclica. Supondo que toda sequência monótona tenha um limite, a linha se torna um espaço completo . Esses desenvolvimentos foram inspirados pelas deduções de von Staudt de axiomas de campo como uma iniciativa na derivação de propriedades de ℝ de axiomas em geometria projetiva.
Trabalho
- 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Nuremberga
- 1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
- 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu academico rite obtinendi causa commentatus est, Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
Os links a seguir são para Monografias Matemáticas Históricas da Cornell University :
- 1847: Geometrie der Lage . Nürnberg.
- 1856: Beiträge zur Geometrie der Lage, Erstes Heft . Nürnberg.
- 1857: Beiträge zur Geometrie der Lage, Zweites Heft . Nürnberg.
- 1860: Beiträge zur Geometrie der Lage, Drittes Heft . Nürnberg.
Veja também
Referências
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Karl George Christian von Staudt" , arquivo MacTutor History of Mathematics , University of St Andrews
- Veblen, Oswald; Young, JWA (1938). Geometria projetiva . Boston: Ginn & Co. ISBN 978-1-4181-8285-4.
- John Wesley Young (1930) Projective Geometry , Capítulo 8: Álgebra de pontos e a introdução de métodos analíticos, Open Court for Mathematical Association of America .