Karl Georg Christian von Staudt - Karl Georg Christian von Staudt

Karl GC von Staudt
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Karl von Staudt (1798 - 1867)
Nascer 24 de janeiro de 1798 (1798-01-24)
Faleceu 1 de junho de 1867 (com 69 anos) (1867-07)
Nacionalidade alemão
Alma mater Universidade de Erlangen
Conhecido por Álgebra de arremessos
teorema de von Staudt-Clausen
Carreira científica
Campos Astronomia
Matemática
Orientador de doutorado Gauss
Influências Gauss
Influenciado Eduardo Torroja Caballe
Corrado Segre
Mario Pieri

Karl Georg Christian von Staudt (24 de janeiro de 1798 - 1 de junho de 1867) foi um matemático alemão que usou a geometria sintética para fornecer uma base para a aritmética.

Vida e influência

Karl nasceu na Cidade Imperial Livre de Rothenburg, que agora é chamada de Rothenburg ob der Tauber na Alemanha. A partir de 1814, ele estudou no Gymnasium em Ausbach. Ele frequentou a Universidade de Göttingen de 1818 a 1822, onde estudou com Gauss, que era o diretor do observatório. Staudt forneceu uma efeméride para as órbitas de Marte e do asteróide Pallas . Quando em 1821 o cometa Nicollet-Pons foi observado, ele forneceu os elementos de sua órbita . Essas conquistas na astronomia valeram-lhe o doutorado na Universidade de Erlangen em 1822.

A carreira profissional de Staudt começou como instrutor de escola secundária em Würzburg até 1827 e então em Nuremberg até 1835. Ele se casou com Jeanette Dreschler em 1832. Eles tiveram um filho Eduard e uma filha Mathilda, mas Jeanette morreu em 1848.

O livro Geometrie der Lage (1847) foi um marco na geometria projetiva . Como Burau (1976) escreveu:

Staudt foi o primeiro a adotar uma abordagem totalmente rigorosa. Sem exceção, seus predecessores ainda falavam de distâncias, perpendiculares, ângulos e outras entidades que não desempenham nenhum papel na geometria projetiva.

Além disso, este livro (página 43) usa o quadrilátero completo para "construir o quarto harmônico associado a três pontos em uma linha reta", o conjugado harmônico projetivo .

De fato, em 1889, Mario Pieri traduziu von Staudt, antes de escrever seu I Principii della Geometrie di Posizione Composti in un Systema Logico-deduttivo (1898). Em 1900, Charlotte Scott, do Bryn Mawr College, parafraseou grande parte do trabalho de von Staudt em inglês para o The Mathematical Gazette . Quando Wilhelm Blaschke publicou seu livro de Geometria Projetiva em 1948, um retrato do jovem Karl foi colocado em frente ao Vorwort .

Staudt foi além da geometria projetiva real e entrou no espaço projetivo complexo em seus três volumes de Beiträge zur Geometrie der Lage publicados de 1856 a 1860.

Em 1922, HF Baker escreveu sobre o trabalho de von Staudt:

Foi von Staudt para quem a eliminação das idéias de distância e congruência foi um objetivo consciente, se, também, o reconhecimento da importância disso pudesse ter sido muito atrasado, exceto pelo trabalho de Cayley e Klein sobre a teoria projetiva da distância . Generalizado e combinado com a subsequente Dissertação de Riemann, v. Os volumes de Staudt devem ser considerados a base do que, em seu lado geométrico, a Teoria da Relatividade, em Física, ainda pode se tornar.

Von Staudt também é lembrado por sua visão das seções cônicas e a relação entre pólo e polar :

Von Staudt fez a importante descoberta de que a relação que uma cônica estabelece entre pólos e polares é realmente mais fundamental do que a própria cônica e pode ser estabelecida independentemente. Essa "polaridade" pode então ser usada para definir a cônica, de uma maneira perfeitamente simétrica e imediatamente autodual: uma cônica é simplesmente o lugar dos pontos que se encontram em seus polares, ou o envelope de retas que passam por seus pólos. . O tratamento das quádricas de Von Staudt é análogo, em três dimensões.

Álgebra de arremessos

Em 1857, no segundo Beiträge , von Staudt contribuiu com uma rota para numerar através da geometria chamada álgebra de arremessos ( alemão : Wurftheorie ). Baseia-se na amplitude projetiva e na relação de conjugados harmônicos projetivos . Por meio de operações de adição de pontos e multiplicação de pontos, obtém-se uma "álgebra de pontos", como no capítulo 6 do livro de Veblen & Young sobre geometria projetiva. A apresentação usual depende da razão cruzada ( CA, BD ) de quatro pontos colineares. Por exemplo, Coolidge escreveu:

Como adicionamos duas distâncias juntas? Damos a eles o mesmo ponto de partida, encontramos o ponto intermediário entre seus pontos terminais, ou seja, o conjugado harmônico do infinito em relação aos seus pontos terminais, e então encontramos o conjugado harmônico do ponto inicial em relação a este ponto médio. ponto e infinito. Generalizando isso, se quisermos somar lances ( CA, BD ) e ( CA, BD ' ), encontramos M o conjugado harmônico de C em relação a D e D' , e então S o conjugado harmônico de A em relação a C e M  :
Da mesma forma, podemos encontrar uma definição do produto de dois lances. Como o produto de dois números tem a mesma razão para um deles que o outro tem para a unidade, a razão de dois números é a razão cruzada que eles, como um par, carregam para o infinito e zero, então Von Staudt, na notação anterior, define o produto de dois arremessos por
Essas definições envolvem uma longa série de etapas para mostrar que a álgebra assim definida obedece às leis comutativas, associativas e distributivas usuais e que não há divisores de zero.

Uma afirmação resumida é dada por Veblen & Young como Teorema 10: "O conjunto de pontos em uma linha, com removido, forma um campo em relação às operações previamente definidas". Como Freudenthal observa

... até Hilbert, não há outro exemplo para uma derivação direta das leis algébricas de axiomas geométricos como encontrado no Beiträge de von Staudt .

Outra afirmação do trabalho de von Staudt com os conjugados harmônicos vem na forma de um teorema:

A única correspondência um a um entre os pontos reais de uma linha que preserva a relação harmônica entre quatro pontos é uma projetividade não singular.

A álgebra dos lances foi descrita como "aritmética projetiva" em Os Quatro Pilares da Geometria (2005). Em uma seção chamada "Aritmética projetiva", ele diz

A verdadeira dificuldade é que a construção de a + b , por exemplo, é diferente da construção de b + a , portanto é uma "coincidência" se a + b = b + a . Da mesma forma, é uma "coincidência" se ab = ba , de qualquer outra lei da álgebra valer. Felizmente, podemos mostrar que as coincidências requeridas realmente ocorrem, porque elas estão implícitas em certas coincidências geométricas, a saber, os teoremas de Pappus e Desargues.

Se alguém interpretar o trabalho de von Staudt como uma construção dos números reais , então ele está incompleto. Uma das propriedades necessárias é que uma sequência limitada tenha um ponto de cluster . Como Hans Freudenthal observou:

Para ser capaz de considerar a abordagem de von Staudt como um fundamento rigoroso da geometria projetiva, basta adicionar explicitamente os axiomas topológicos que são tacitamente usados ​​por von Staudt. ... como se pode formular a topologia do espaço projetivo sem o apoio de uma métrica? Von Staudt ainda estava longe de levantar essa questão, que um quarto de século depois se tornaria urgente. ... Felix Klein percebeu a lacuna na abordagem de von Staudt; ele estava ciente da necessidade de formular a topologia do espaço projetivo independentemente do espaço euclidiano ... os italianos foram os primeiros a encontrar soluções verdadeiramente satisfatórias para o problema de uma fundação puramente projetiva da geometria projetiva, que von Staudt havia tentado resolver .

Um dos matemáticos italianos foi Giovanni Vailati, que estudou a propriedade de ordem circular da linha projetiva real. A ciência desta ordem requer uma relação quaternária chamada relação de separação . Usando essa relação, os conceitos de sequência monótona e limite podem ser abordados, em uma "linha" cíclica. Supondo que toda sequência monótona tenha um limite, a linha se torna um espaço completo . Esses desenvolvimentos foram inspirados pelas deduções de von Staudt de axiomas de campo como uma iniciativa na derivação de propriedades de ℝ de axiomas em geometria projetiva.

Trabalho

  • 1831: Über die Kurven, 2. Ordnung . Nuremberga
  • 1845: De numeris Bernoullianis: commentationem alteram pro loco in facultate philosophica rite obtinendo , Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.
  • 1845: De numeris Bernoullianis: loci in senatu academico rite obtinendi causa commentatus est, Carol. G. Chr. de Staudt. Erlangae: Junge.

Os links a seguir são para Monografias Matemáticas Históricas da Cornell University :

Veja também

Referências