Sistema Katapayadi - Katapayadi system

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ka · Ta · pa · yā · di ( devanágari : कटपयादि) sistema (também conhecido como Paralppēru , malaiala: പരല്പ്പേര് ) de notação numérica é uma antiga indiana sistema de numeração alphasyllabic para representar letras de numerais para facilitar a memória de números como palavras ou versos . Atribuindo mais de uma letra a um numeral e anulando certas outras letras como sem valor, este sistema fornece a flexibilidade de formar palavras significativas a partir de números que podem ser facilmente lembrados.

História

A evidência mais antiga disponível do uso do sistema Kaṭapayādi (sânscrito: कटपयादि) é de Grahacāraṇibandhana por Haridatta em 683 EC . Foi usado em Laghu · bhāskarīya · vivaraṇa, escrito por Śaṅkara · nārāyaṇa em 869 EC .

Alguns argumentam que o sistema se originou em Vararuci . Em alguns textos astronômicos populares em Kerala, as posições planetárias foram codificadas no sistema Kaṭapayādi. O primeiro trabalho desse tipo é considerado o Chandra-vakyani de Vararuci , tradicionalmente atribuído ao século IV dC . Portanto, em algum momento no início do primeiro milênio, existe uma estimativa razoável para a origem do sistema Kaṭapayādi .

Aryabhata , em seu tratado Ārya · bhaṭīya , é conhecido por ter usado um sistema semelhante e mais complexo para representar números astronômicos . Não há nenhuma evidência definitiva se o sistema Ka-ṭa-pa-yā-di se originou da numeração Āryabhaṭa .

Propagação geográfica do uso

Quase todas as evidências do uso do sistema Ka-ṭa-pa-yā-di vêm do sul da Índia , especialmente Kerala . Não se sabe muito sobre seu uso no norte da Índia. No entanto, em um astrolábio sânscrito descoberto no norte da Índia , os graus de altitude são marcados no sistema Kaṭapayādi . Está preservado na Biblioteca Sarasvati Bhavan da Universidade Sampurnanand Sanskrit , Varanasi .

O sistema Ka-ṭa-pa-yā-di não se limita à Índia. Alguns cronogramas em Pali baseados no sistema Ka-ṭa-pa-yā-di foram descobertos na Birmânia .

Regras e práticas

O seguinte verso encontrado no Sadratnamāla de Śaṅkaravarman explica o mecanismo do sistema.

नञावचश्च शून्यानि संख्या: कटपयादय :।
मिश्रे तूपान्त्यहल् संख्या न च चिन्त्यो हलस्वर :॥

Transiliteração:

nanyāvacaśca śūnyāni saṃkhyāḥ kaṭapayādayaḥ
miśre tūpāntyahal saṃkhyā na ca cintyo halasvaraḥ

Tradução: na (न), nya (ञ) e a (अ) - s, ou seja, as vogais representam zero . Os nove inteiros são representados por grupos consonantais começando com ka , ṭa , pa , ya . Em uma consoante conjunta , apenas a última das consoantes contará. Uma consoante sem vogal deve ser ignorada.

Explicação: A atribuição de letras aos numerais segue o seguinte arranjo (em Devanagari, Kannada, Telugu e Malayalam, respectivamente)

1	2	3	4	5	6	7	8	9	0
ka क ಕ క ക	kha ख ಖ ఖ ഖ	ga ग ಗ గ ഗ	gha घ ಘ ఘ ഘ	nga ङ ಙ జ్ఞ ങ	ca च ಚ చ ച	cha छ ಛ ఛ ഛ	ja ज ಜ జ ജ	jha झ ಝ ఝ ഝ	nya ञ ಞ ఞ ഞ
ṭa ट ಟ ట ട	ṭha ठ ಠ ఠ ഠ	ḍa ड ಡ డ ഡ	ḍha ढ ಢ ఢ ഢ	ṇa ण ಣ ణ ണ	ta त ತ త ത	tha थ ಥ థ ഥ	da द ದ ద ദ	dha ध ಧ ధ ധ	na न ನ న ന
pa प ಪ ప പ	pha फ ಫ ఫ ഫ	ba ब బ ബ	bha भ ಭ భ ഭ	ma म ಮ మ മ	-	-	-	-	-
ya य ಯ య യ	ra र ರ ర ര	la ल ల ల ല	va व ವ వ വ	śha श ಶ శ ശ	sha ष ಷ ష ഷ	sa स ಸ స സ	ha ह ಹ హ ഹ	-	-

• As consoantes têm numerais atribuídos de acordo com a tabela acima. Por exemplo, ba (ब) é sempre 3, enquanto 5 pode ser representado por nga (ङ) ou ṇa (ण) ou ma (म) ou śha (श).
• Todas as vogais autônomas como a (अ) e ṛ (ऋ) são atribuídas a zero.
• No caso de um conjunto, as consoantes anexadas a uma não-vogal não terão valor. Por exemplo, kya (क्या) é formado por k (क्) + ya (य) + a (अ). A única consoante que permanece com uma vogal é ya (य). Portanto, o numeral correspondente para kya (क्या) será 1.
• Não há como representar o separador decimal no sistema.
• Os indianos usavam o sistema numeral hindu-arábico para numeração, tradicionalmente escrito em valores crescentes de casas da esquerda para a direita. Isso segue a regra "अङ्कानां वामतो गतिः", que significa que os números vão da direita para a esquerda.

Variações

• A consoante , ḷ ( Malayālam : ള, Devanāgarī : ळ, Kannada : ಳ) é empregada em obras que usam o sistema Kaṭapayādi, como a mesa sinusoidal de Mādhava .
• Os praticantes da Idade Média tardia não mapeiam as vogais isoladas a zero. Mas, às vezes, é considerado sem valor.

Uso

Matemática e astronomia

• A mesa senoidal de Mādhava construída pelo matemático Kerala do século 14 - astrônomo Mādhava de Saṅgama · grāma emprega o sistema Kaṭapayādi para alistar os senos trigonométricos dos ângulos.
• Karaṇa · paddhati , escrito no século 15, tem o seguinte śloka para o valor de pi (π)

അനൂനനൂന്നാനനനുന്നനിത്യൈ-

സ്സമാഹതാശ്ചക്രകലാവിഭക്താഃ

ചണ്ഡാംശുചന്ദ്രാധമകുംഭിപാലൈർ-

വ്യാസസ്തദർദ്ധം ത്രിഭമൗർവിക സ്യാത്‌

Transliteração

anūnanūnnānananunnanityai

ssmāhatāścakra kalāvibhaktoḥ

caṇḍāṃśucandrādhamakuṃbhipālair

vyāsastadarddhaṃ tribhamaurvika syāt

Ele fornece a circunferência de um círculo de diâmetro, anūnanūnnānananunnanityai (10.000.000.000) como caṇḍāṃśucandrādhamakuṃbhipālair (31415926536).

• O Sad · ratna · mālā de Śaṅkara · varman usa o sistema Kaṭapayādi. O primeiro versículo do Capítulo 4 do Sad · ratna · mālā termina com a linha:

(स्याद्) भद्राम्बुधिसिद्धजन्मगणितश्रद्धा स्म यद् भूपगी:

Transliteração

(syād) bhadrāmbudhisiddhajanmagaṇitaśraddhā sma yad bhūpagīḥ

Dividir as consoantes na frase relevante dá,

भ bha	द् d	रा rā	म् m	बु bu	द् d	धि dhi	सि si	द् d	ध dha	ज ja	न् n	म ma	ग ga	णि ṇi	त ta	श् ś	र ra	द् d	धा dhā	स् s	म ma	य sim	द् d	भू bhū	प pa	गी gī
4	-	2	-	3	-	9	7	-	9	8	-	5	3	5	6	-	2	-	9	-	5	1	-	4	1	3

Invertendo os dígitos para o uso moderno de ordem decrescente de casas decimais, obtemos 314159265358979324, que é o valor de pi (π) com 17 casas decimais, exceto que o último dígito pode ser arredondado para 4.

• Este versículo criptografa o valor de pi (π) até 31 casas decimais.

 गोपीभाग्यमधुव्रात-शृङ्गिशोदधिसन्धिग॥
 खलजीवितखाताव गलहालारसंधर॥

 ಗೋಪೀಭಾಗ್ಯಮಧುವ್ರಾತ-ಶೃಂಗಿಶೋದಧಿಸಂಧಿಗ ||
 ಖಲಜೀವಿತಖಾತಾವ ಗಲಹಾಲಾರಸಂಧರ ||

Este verso produz diretamente o equivalente decimal de pi dividido por 10: pi / 10 = 0,31415926535897932384626433832792

 గోపీభాగ్యమధువ్రాత-శృంగిశోదధిసంధిగ |
 ఖలజీవితఖాతావ గలహాలారసంధర ||

Tradicionalmente, a ordem dos dígitos é invertida para formar o número, no sistema katapayadi. Esta regra é violada neste sloka.

Musica carnatica

• Os ragas melakarta da música carnática são nomeados de forma que as duas primeiras sílabas do nome forneçam seu número. Este sistema é às vezes chamado de Ka-ta-pa-ya-di sankhya . Os Swaras 'Sa' e 'Pa' são fixos, e aqui está como obter os outros swaras do número melakarta.

1. Melakartas 1 a 36 têm Ma1 e aqueles de 37 a 72 têm Ma2.
2. As outras notas são derivadas observando-se o quociente (parte integrante do) e o resto quando um a menos que o número de melakarta é dividido por 6. Se o número de melakarta for maior que 36, subtraia 36 do número de melakarta antes de executar esta etapa.
3. Posições 'Ri' e 'Ga': o raga terá:
   • Ri1 e Ga1 se o quociente é 0
   • Ri1 e Ga2 se o quociente é 1
   • Ri1 e Ga3 se o quociente é de 2
   • Ri2 e Ga2 se o quociente for 3
   • Ri2 e Ga3 se o quociente for 4
   • Ri3 e Ga3 se o quociente for 5
4. Posições 'Da' e 'Ni': o raga terá:
   • Da1 e Ni1 se o resto for 0
   • Da1 e Ni2 se o resto for 1
   • Da1 e Ni3 se o resto for 2
   • Da2 e Ni2 se o resto for 3
   • Da2 e Ni3 se o resto for 4
   • Da3 e Ni3 se o resto for 5

• Veja swaras na música Carnatic para detalhes sobre a notação acima.

Raga Dheerasankarabharanam

O esquema katapayadi associa dha 9 e ra 2, portanto, o número melakarta do raga é 29 (92 invertido). Agora 29 36, portanto, Dheerasankarabharanam tem Ma1. Divida 28 (1 menos que 29) por 6, o quociente é 4 e o resto 4. Portanto, este raga tem Ri2, Ga3 (o quociente é 4) e Da2, Ni3 (o resto é 4). Portanto, a escala desse raga é Sa Ri2 Ga3 Ma1 Pa Da2 Ni3 SA . ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$${\ displaystyle \ leftrightarrow}$${\ displaystyle \ leq}$

Raga MechaKalyani

Do esquema de codificação Ma 5, Cha 6. Portanto, o número melakarta do raga é 65 (56 invertido). 65 é maior que 36. Portanto, MechaKalyani tem Ma2. Como o número do raga é maior que 36, subtraia 36 dele. 65–36 = 29. 28 (1 menor que 29) dividido por 6: quociente = 4, resto = 4. Ri2 Ga3 ocorre. Da2 Ni3 ocorre. Portanto, MechaKalyani tem as notas Sa Ri2 Ga3 Ma2 Pa Da2 Ni3 SA . ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$${\ displaystyle \ leftrightarrow}$

Exceção para Simhendramadhyamam

De acordo com o cálculo acima, devemos obter Sa 7, Ha 8 dando o número 87 em vez de 57 para Simhendramadhyamam. Idealmente, deve ser Sa 7, Ma 5, dando o número 57. Portanto, acredita-se que o nome deve ser escrito como Sihmendramadhyamam (como no caso de Bra hm ana em sânscrito). ${\ displaystyle \ leftrightarrow}$${\ displaystyle \ leftrightarrow}$${\ displaystyle \ leftrightarrow}$${\ displaystyle \ leftrightarrow}$

Representação de datas

Datas importantes foram lembradas ao convertê-los usando o sistema Kaṭapayādi . Essas datas são geralmente representadas como o número de dias desde o início do Kali Yuga . Às vezes é chamado de kalidina sankhya .

• O calendário Malayalam conhecido como kollavarsham (Malayalam: കൊല്ലവര്ഷം) foi adoptada em Kerala começando a partir de 825 CE , reformulando alguns calendários. Esta data é lembrada como āchārya vāgbhadā , convertida usando Kaṭapayādi em 1434160 dias desde o início de Kali Yuga .
• Narayaniyam , escrito por Melpathur Narayana Bhattathiri , termina com a linha, āyurārogyasaukhyam (ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം) que significa vida longa, saúde e felicidade.

Em malaiala	ആയുരാരോഗ്യസൌഖ്യം
Em devanágari	आयुरारोग्यसौख्यम्
Em IAST	āyurārogyasaukhyam
Valor de acordo com Kaṭapayādi	1712210

Este número é o tempo em que o trabalho foi concluído, representado como número de dias desde o início do Kali Yuga , de acordo com o calendário Malayalam .

Outros

• Algumas pessoas usam o sistema Kaṭapayādi para nomear recém-nascidos.
• O seguinte verso compilado em Malayalam por Koduṅṅallur Kuññikkuṭṭan Taṃpurān usando Kaṭapayādi é o número de dias nos meses do Calendário Gregoriano .

പലഹാരേ പാലു നല്ലൂ, പുലർന്നാലോ കലക്കിലാം

ഇല്ലാ പാലെന്നു ഗോപാലൻ - ആംഗ്ലമാസദിനം ക്രമാൽ

Transiliteração

palahāre pālu nallū, pularnnālo kalakkilāṃ

illā pālennu gopālan - āṃgḷamāsadinaṃ kramāl

Tradução: O leite é o melhor para o café da manhã, de manhã deve ser mexido. Mas Gopālan diz que não há leite - o número de dias dos meses ingleses em ordem.

A conversão de pares de letras utilizando Kaṭapayādi rendimentos - pala (പല) é 31, lebre (ഹാരേ) é de 28, palu പാലു = 31, nallū (നല്ലൂ) é de 30, Pular (പുലര്) é 31, nnālo (ന്നാലോ) é de 30, kala ( കല) é 31, kkilāṃ (ക്കിലാം) é 31, illā (ഇല്ലാ) é de 30, pálido (പാലെ) é 31, NNU ir (ന്നു ഗോ) é de 30, pALAN (പാലന്) é 31.

Veja também

Referências

Leitura adicional

• AA Hattangadi, Explorations in Mathematics, Universities Press (Índia) Unip. Ltd., Hyderabad (2001) ISBN  81-7371-387-1 [3]