Klein quatro grupos - Klein four-group

Em matemática , o quatro-grupo de Klein é um grupo com quatro elementos, no qual cada elemento é autoinverso (compor com ele mesmo produz a identidade) e no qual a composição de quaisquer dois dos três elementos não-identidade produz o terceiro. Ele pode ser descrito como o grupo de simetria de um retângulo não quadrado (com os três elementos de não identidade sendo reflexão horizontal e vertical e rotação de 180 graus), como o grupo de operações bit a bit exclusivas ou em valores binários de dois bits, ou mais abstratamente como Z 2 × Z 2 , o produto direto de duas cópias do grupo cíclico de ordem 2. Foi nomeado Vierergruppe (significando quatro grupos) por Felix Klein em 1884. É também chamado de grupo Klein e é frequentemente simbolizado pela letra V ou como K 4 .

O quatro grupos de Klein, com quatro elementos, é o menor grupo que não é um grupo cíclico . Existe apenas um outro grupo de ordem quatro, até o isomorfismo , o grupo cíclico de ordem 4. Ambos são grupos abelianos . O menor grupo não abeliano é o grupo simétrico de grau 3 , que possui ordem 6.

Apresentações

A tabela Cayley do grupo Klein é dada por:

* e uma b c
e e uma b c
uma uma e c b
b b c e uma
c c b uma e

O grupo de quatro Klein também é definido pela apresentação do grupo

Todos os elementos de não identidade do grupo Klein têm ordem 2, portanto, quaisquer dois elementos de não identidade podem servir como geradores na apresentação acima. O quatro grupos de Klein é o menor grupo não cíclico . No entanto, é um grupo abeliano e isomórfico ao grupo diédrico de ordem (cardinalidade) 4, ou seja, D 4 (ou D 2 , usando a convenção geométrica); diferente do grupo de ordem 2, é o único grupo diedro que é abeliano.

O quatro grupos de Klein também é isomórfico à soma direta Z 2 ⊕ Z 2 , de forma que pode ser representado pelos pares {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1 )} sob o módulo 2 de adição componente (ou equivalentemente as cadeias de bits {00, 01, 10, 11} sob XOR bit a bit ); com (0,0) sendo o elemento de identidade do grupo. O quatro grupos de Klein é, portanto, um exemplo de um grupo 2 abeliano elementar , que também é chamado de grupo Booleano . O grupo de quatro de Klein é, portanto, também o grupo gerado pela diferença simétrica como a operação binária nos subconjuntos de um conjunto de potência de um conjunto com dois elementos, ou seja, sobre um campo de conjuntos com quatro elementos, por exemplo ; o conjunto vazio é o elemento de identidade do grupo neste caso.

Outra construção numérica dos quatro grupos de Klein é o conjunto {1, 3, 5, 7}, com a operação sendo o módulo de multiplicação 8 . Aqui, a é 3, b é 5 e c = ab é 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8) .

O quatro grupos de Klein tem uma representação como matrizes reais 2 × 2 com a operação sendo a multiplicação de matrizes:

Geometria

O grupo de simetria dessa cruz é o quatro grupos de Klein. Ele pode ser invertido horizontalmente ( a ) ou verticalmente ( b ) ou ambos ( ab ) e permanecer inalterado. Ao contrário de um quadrado, porém, uma rotação de um quarto de volta mudará a figura.

Geometricamente, em duas dimensões, o quatro grupo de Klein é o grupo de simetria de um losango e de retângulos que não são quadrados , sendo os quatro elementos a identidade, o reflexo vertical, o reflexo horizontal e uma rotação de 180 graus.

Em três dimensões, existem três grupos de simetria diferentes que são algebricamente os quatro grupos V de Klein:

  • um com três eixos de rotação de 2 vezes perpendiculares: D 2
  • um com um eixo de rotação de 2 vezes e um plano perpendicular de reflexão: C 2 h = D 1 d
  • um com um eixo de rotação de 2 vezes em um plano de reflexão (e, portanto, também em um plano perpendicular de reflexão): C 2 v = D 1 h .

Representação de permutação

Identidade e transposições duplas de quatro objetos formam V
Outras permutações de quatro objetos, formando V também.

Os três elementos de ordem dois nos quatro grupos de Klein são intercambiáveis: o grupo de automorfismo de V é o grupo de permutações desses três elementos.

As permutações dos quatro grupos de Klein de seus próprios elementos podem ser pensadas abstratamente como sua representação de permutação em quatro pontos:

V = {(), (1,2) (3,4), (1,3) (2,4), (1,4) (2,3)}

Nesta representação, V é um subgrupo normal do grupo alternado A 4 (e também do grupo simétrico S 4 ) em quatro letras. Na verdade, é o núcleo de um homomorfismo de grupo sobrejetivo de S 4 a S 3 .

Outras representações dentro de S 4 são:

{(), (1,2), (3,4), (1,2) (3,4)}
{(), (1,3), (2,4), (1,3) (2,4)}
{(), (1,4), (2,3), (1,4) (2,3)}

Eles não são subgrupos normais de S 4.

Álgebra

De acordo com a teoria de Galois , a existência dos quatro grupos de Klein (e em particular, a representação por permutação dele) explica a existência da fórmula para calcular as raízes das equações quárticas em termos de radicais , conforme estabelecido por Lodovico Ferrari : o mapa S 4 → S 3 corresponde ao resolvente cúbico, em termos de resolventes de Lagrange .

Na construção de anéis finitos , oito dos onze anéis com quatro elementos têm os quatro grupos de Klein como subestrutura aditiva.

Se R × denota o grupo multiplicativo de reais diferentes de zero e R + o grupo multiplicativo de reais positivos , R × × R × é o grupo de unidades do anel R × R , e R + × R + é um subgrupo de R × × R × (na verdade, é o componente da identidade de R × × R × ). O grupo quociente ( R × × R × ) / ( R + × R + ) é isomórfico ao grupo de quatro de Klein. De maneira semelhante, o grupo de unidades do anel numérico dividido-complexo , quando dividido por seu componente de identidade, também resulta no quatro-grupo de Klein.

Teoria dos grafos

O gráfico conectado simples mais simples que admite os quatro grupos de Klein como seu grupo de automorfismo é o gráfico de diamante mostrado abaixo. É também o grupo de automorfismo de alguns outros gráficos que são mais simples no sentido de ter menos entidades. Isso inclui o gráfico com quatro vértices e uma aresta, que permanece simples, mas perde conectividade, e o gráfico com dois vértices conectados entre si por duas arestas, que permanece conectado, mas perde simplicidade.

Música

Na composição musical, o grupo de quatro é o grupo básico de permutações na técnica dodecafônica . Nesse caso, a tabela Cayley é escrita;

S EU: R: RI:
EU: S RI R
R: RI S eu
RI: R eu S

Veja também

Referências

Leitura adicional

  • MA Armstrong (1988) Groups and Symmetry , Springer Verlag , página 53 .
  • WE Barnes (1963) Introdução à Álgebra Abstrata , DC Heath & Co., página 20.

links externos

  • Weisstein, Eric W. "Vierergruppe" . MathWorld .