Paradoxo de Klein - Klein paradox
Em 1929, o físico Oskar Klein obteve um resultado surpreendente ao aplicar a equação de Dirac ao conhecido problema do espalhamento de elétrons de uma barreira de potencial . Na mecânica quântica não relativística, o tunelamento de elétrons em uma barreira é observado, com amortecimento exponencial . No entanto, o resultado de Klein mostrou que, se o potencial é da ordem da massa do elétron , a barreira é quase transparente. Além disso, à medida que o potencial se aproxima do infinito, a reflexão diminui e o elétron é sempre transmitido.
A aplicação imediata do paradoxo foi ao modelo próton-elétron de Rutherford para partículas neutras dentro do núcleo, antes da descoberta do nêutron . O paradoxo apresentava uma objeção da mecânica quântica à noção de um elétron confinado em um núcleo. Este paradoxo claro e preciso sugeria que um elétron não poderia ser confinado dentro de um núcleo por qualquer poço de potencial. O significado desse paradoxo foi intensamente debatido na época.
Partículas sem massa
Considere uma partícula relativística sem massa se aproximando de um degrau potencial de altura com energia e momento .
A função de onda da partícula , segue a equação de Dirac independente do tempo :
E é a matriz de Pauli :
Assumindo que a partícula está se propagando da esquerda, obtemos duas soluções - uma antes da etapa, na região (1) e uma sob o potencial, na região (2):
onde os coeficientes A , A ′ e B são números complexos. Ambas as funções de onda de entrada e transmitida estão associadas à velocidade do grupo positivo (linhas azuis na Fig.1), enquanto a função de onda refletida está associada à velocidade do grupo negativo. (Linhas verdes na Fig.1)
Agora queremos calcular os coeficientes de transmissão e reflexão. Eles são derivados das correntes de amplitude de probabilidade .
A definição da corrente de probabilidade associada à equação de Dirac é:
Nesse caso:
Os coeficientes de transmissão e reflexão são:
Continuidade da função de onda em , produz:
E assim o coeficiente de transmissão é 1 e não há reflexão.
Uma interpretação do paradoxo é que uma etapa potencial não pode reverter a direção da velocidade do grupo de uma partícula relativística sem massa. Esta explicação é mais adequada para a solução de partícula única citada acima. Outras interpretações mais complexas são sugeridas na literatura, no contexto da teoria quântica de campos, onde o tunelamento irrestrito é mostrado para ocorrer devido à existência de pares partícula-antipartícula no potencial.
Caso enorme
Para o caso massivo, os cálculos são semelhantes aos anteriores. Os resultados são tão surpreendentes quanto no caso sem massa. O coeficiente de transmissão é sempre maior do que zero e se aproxima de 1 conforme o passo potencial vai para o infinito.
A zona Klein
Se a energia da partícula estiver na faixa , o resultado será reflexão parcial, em vez de reflexão total.
Resoluções para o caso massivo
Enquanto a resolução tradicional usa a produção de par de partículas / antipartículas no contexto da teoria quântica de campos (Hansen 1981), existe uma resolução mais simples que substitui a produção de pares físicos pelo espalhamento de soluções de energia negativa sob a barreira (Alhaidari 2009). Esta estratégia também foi aplicada para obter soluções analíticas para a equação de Dirac para um poço quadrado infinito.
Outros casos
Esses resultados foram expandidos para dimensões superiores e para outros tipos de potenciais, como um passo linear, uma barreira quadrada, um potencial suave, etc. Muitos experimentos no transporte de elétrons no grafeno contam com o paradoxo de Klein para partículas sem massa.
Veja também
Referências
Leitura adicional
- Dombey, N; Calogeracos, A. (julho de 1999). "Setenta anos do paradoxo de Klein". Relatórios de física . 315 (1–3): 41–58. Bibcode : 1999PhR ... 315 ... 41D . doi : 10.1016 / S0370-1573 (99) 00023-X .
- Robinson, TR (2012). "No tunelamento de Klein no grafeno". American Journal of Physics . 80 (2): 141–147. Bibcode : 2012AmJPh..80..141R . doi : 10.1119 / 1.3658629 .
- Calogeracos, A .; Dombey, N. (1999). "História e física do paradoxo de Klein". Física Contemporânea . 40 (5): 313. arXiv : quant-ph / 9905076 . Bibcode : 1999ConPh..40..313C . doi : 10.1080 / 001075199181387 .