Paradoxo de Klein - Klein paradox

Em 1929, o físico Oskar Klein obteve um resultado surpreendente ao aplicar a equação de Dirac ao conhecido problema do espalhamento de elétrons de uma barreira de potencial . Na mecânica quântica não relativística, o tunelamento de elétrons em uma barreira é observado, com amortecimento exponencial . No entanto, o resultado de Klein mostrou que, se o potencial é da ordem da massa do elétron , a barreira é quase transparente. Além disso, à medida que o potencial se aproxima do infinito, a reflexão diminui e o elétron é sempre transmitido.

A aplicação imediata do paradoxo foi ao modelo próton-elétron de Rutherford para partículas neutras dentro do núcleo, antes da descoberta do nêutron . O paradoxo apresentava uma objeção da mecânica quântica à noção de um elétron confinado em um núcleo. Este paradoxo claro e preciso sugeria que um elétron não poderia ser confinado dentro de um núcleo por qualquer poço de potencial. O significado desse paradoxo foi intensamente debatido na época.

Partículas sem massa

Considere uma partícula relativística sem massa se aproximando de um degrau potencial de altura com energia  e momento  .

Step1.png

A função de onda da partícula , segue a equação de Dirac independente do tempo :

E é a matriz de Pauli :

Fig. 1 Uma representação da relação de dispersão, o eixo x representa o momento enquanto o eixo y representa a energia.

Assumindo que a partícula está se propagando da esquerda, obtemos duas soluções - uma antes da etapa, na região (1) e uma sob o potencial, na região (2):

onde os coeficientes A , A ′ e B são números complexos. Ambas as funções de onda de entrada e transmitida estão associadas à velocidade do grupo positivo (linhas azuis na Fig.1), enquanto a função de onda refletida está associada à velocidade do grupo negativo. (Linhas verdes na Fig.1)

Agora queremos calcular os coeficientes de transmissão e reflexão. Eles são derivados das correntes de amplitude de probabilidade .

A definição da corrente de probabilidade associada à equação de Dirac é:

Nesse caso:

Os coeficientes de transmissão e reflexão são:

Continuidade da função de onda em , produz:

E assim o coeficiente de transmissão é 1 e não há reflexão.

Uma interpretação do paradoxo é que uma etapa potencial não pode reverter a direção da velocidade do grupo de uma partícula relativística sem massa. Esta explicação é mais adequada para a solução de partícula única citada acima. Outras interpretações mais complexas são sugeridas na literatura, no contexto da teoria quântica de campos, onde o tunelamento irrestrito é mostrado para ocorrer devido à existência de pares partícula-antipartícula no potencial.

Caso enorme

Para o caso massivo, os cálculos são semelhantes aos anteriores. Os resultados são tão surpreendentes quanto no caso sem massa. O coeficiente de transmissão é sempre maior do que zero e se aproxima de 1 conforme o passo potencial vai para o infinito.

A zona Klein

Se a energia da partícula estiver na faixa , o resultado será reflexão parcial, em vez de reflexão total.

Resoluções para o caso massivo

Enquanto a resolução tradicional usa a produção de par de partículas / antipartículas no contexto da teoria quântica de campos (Hansen 1981), existe uma resolução mais simples que substitui a produção de pares físicos pelo espalhamento de soluções de energia negativa sob a barreira (Alhaidari 2009). Esta estratégia também foi aplicada para obter soluções analíticas para a equação de Dirac para um poço quadrado infinito.

Outros casos

Esses resultados foram expandidos para dimensões superiores e para outros tipos de potenciais, como um passo linear, uma barreira quadrada, um potencial suave, etc. Muitos experimentos no transporte de elétrons no grafeno contam com o paradoxo de Klein para partículas sem massa.

Veja também

Referências

Leitura adicional