Notação de seta para cima de Knuth - Knuth's up-arrow notation

Em matemática , a notação de seta para cima de Knuth é um método de notação para inteiros muito grandes , introduzido por Donald Knuth em 1976.

Em seu artigo de 1947, RL Goodstein introduziu a sequência específica de operações que agora são chamadas de hiperoperações . Goodstein também sugeriu os nomes gregos tetration , pentation , etc., para as operações estendidas além da exponenciação . A sequência começa com uma operação unária (a função sucessora com n = 0) e continua com as operações binárias de adição ( n = 1), multiplicação ( n = 2), exponenciação ( n = 3), tetração ( n = 4 ), pentação ( n = 5), etc.

Várias notações foram usadas para representar as hiperoperações. Uma dessas notações é . Outra notação é uma notação de infixo que é conveniente para ASCII . A notação é conhecida como 'notação de colchetes'. ${\ displaystyle H_ {n} (a, b)}$${\ displaystyle a [n] b}$${\ displaystyle a [n] b}$

A notação de seta para cima de Knuth é uma notação alternativa. É obtido substituindo a notação de colchetes por setas. ${\ displaystyle \ uparrow}$${\ displaystyle [n]}$${\ displaystyle n-2}$

Por exemplo:

• a única seta representa a exponenciação (multiplicação iterada)${\ displaystyle \ uparrow}$

${\ displaystyle 2 \ uparrow 4 = H_ {3} (2,4) = 2 [3] 4 = 2 \ times (2 \ times (2 \ times 2)) = 2 ^ {4} = 16}$

• a seta dupla representa tetration (exponenciação iterada)${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow}$

${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {4} (2,4) = 2 [4] 4 = 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow 2)) = 2 ^ {2 ^ {2 ^ { 2}}} = 2 ^ {16} = 65536}$

• a seta tripla representa pentation (tetration iterated )${\ displaystyle \ uparrow \ uparrow \ uparrow}$

${\ displaystyle {\ begin {align} 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = H_ {5} (2,4) = 2 [5] 4 & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow 2)) \\ & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow 2)) \\ & = 2 \ uparrow \ uparrow (2 \ uparrow \ uparrow 4) \\ & = \ underbrace { 2 \ uparrow (2 \ uparrow (2 \ uparrow \ dots))} \\ & 2 \ uparrow \ uparrow 4 {\ mbox {cópias de}} 2 \\\ end {alinhado}}}$

A definição geral da notação de seta para cima é a seguinte (para ): ${\ displaystyle a \ geq 0, n \ geq 1, b \ geq 0}$

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (a, b) = a [n + 2] b}$

Aqui, representa n setas, então, por exemplo ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$

${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 2 \ uparrow ^ {4} 3}$.

Introdução

As hiperoperações estendem naturalmente as operações aritméticas de adição e multiplicação como segue.

A adição por um número natural é definida como incremento iterativo:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} H_ {1} (a, b) = a [1] b = a + b = & a + \ underbrace {1 + 1 + \ dots +1} \\ & b {\ mbox {cópias de}} 1 \ end {matriz}}}$

A multiplicação por um número natural é definida como adição iterada :

${\ displaystyle {\ begin {matrix} H_ {2} (a, b) = a [2] b = a \ times b = & \ underbrace {a + a + \ dots + a} \\ & b {\ mbox {cópias de}} uma \ end {matriz}}}$

Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ times 4 & = & \ underbrace {3 + 3 + 3 + 3} & = & 12 \\ && 4 {\ mbox {cópias de}} 3 \ end {matrix}}}$

A exponenciação para uma potência natural é definida como multiplicação iterada, que Knuth denotou por uma única seta para cima: ${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow b = H_ {3} (a, b) = a [3] b = a ^ {b} = & \ underbrace {a \ times a \ times \ dots \ times a} \\ & b {\ mbox {cópias de}} a \ end {matriz}}}$

Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow 3 = 4 ^ {3} = & \ underbrace {4 \ times 4 \ times 4} & = & 64 \\ & 3 {\ mbox {cópias de}} 4 \ end { matriz}}}$

A tetração é definida como exponenciação iterada, que Knuth denotou por uma "seta dupla":

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow b = H_ {4} (a, b) = a [4] b = & \ underbrace {a ^ {a ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {a}}}}}}} & = & \ underbrace {a \ uparrow (a \ uparrow (\ dots \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {cópias de }} a && b {\ mbox {cópias de}} a \ end {matriz}}}$

Por exemplo,

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 4 \ uparrow \ uparrow 3 = & \ underbrace {4 ^ {4 ^ {4}}} & = & \ underbrace {4 \ uparrow (4 \ uparrow 4)} & = & 4 ^ {256} & \ approx & 1.34078079 \ times 10 ^ {154} & \\ & 3 {\ mbox {cópias de}} 4 && 3 {\ mbox {cópias de}} 4 \ end {matriz}}}$

As expressões são avaliadas da direita para a esquerda, pois os operadores são definidos para serem associativos à direita .

De acordo com esta definição,

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 2 = 3 ^ {3} = 27}$

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7.625.597.484.987}$

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 4 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}} = 3 ^ {3 ^ {27}} = 3 ^ {7625597484987} \ approx 1,2580143 \ times 10 ^ {3638334640024}}$

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow 5 = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {3 ^ {3}}}} = 3 ^ {3 ^ {3 ^ {27}}} = 3 ^ {3 ^ {7625597484987} } \ aproximadamente 3 ^ {1,2580143 \ vezes 10 ^ {3638334640024}}}$

etc.

Isso já leva a alguns números bastante grandes, mas a sequência do hiperoperador não para por aqui.

Pentation , definido como tetration iterated , é representado pela "seta tripla":

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {5} (a, b) = a [5] b = & \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {cópias de}} a \ end {matriz}}}$

Hexação , definida como pentação iterada, é representada pela "seta quádrupla":

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = H_ {6} (a, b) = a [6] b = & \ underbrace {a _ {} \ uparrow \ uparrow \ uparrow ( a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (\ dots \ uparrow \ uparrow \ uparrow a))} \\ & b {\ mbox {cópias de}} a \ end {matriz}}}$

e assim por diante. A regra geral é que um operador -seta se expande em uma série associativa à direita de operadores ( ) -seta. Simbolicamente, ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n-1}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n} \ b = \ underbrace {a \ \ underbrace {\ uparrow \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ (a \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1 } \ (\ dots \ \ underbrace {\ uparrow _ {} \! \! \ dots \! \! \ uparrow} _ {n-1} \ a))} _ {b {\ text {cópias de}} a } \ end {matriz}}}$

Exemplos:

${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 2 = 3 \ uparrow \ uparrow 3 = 3 ^ {3 ^ {3}} = 3 ^ {27} = 7.625.597.484.987}$

${\ displaystyle {\ begin {matrix} 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow 3 = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow \ uparrow 3) = 3 \ uparrow \ uparrow (3 \ uparrow 3 \ uparrow 3) = & \ underbrace {3 _ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ & 3 \ uparrow 3 \ uparrow 3 {\ mbox {cópias de}} 3 \ end {matriz}} {\ begin {matriz} = & \ underbrace { 3 _ {} \ uparrow 3 \ uparrow \ dots \ uparrow 3} \\ & {\ mbox {7.625.597.484.987 cópias de 3}} \ end {matrix}} {\ begin {matrix} = & \ underbrace {3 ^ {3 ^ { 3 ^ {3 ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {\ cdot ^ {3}}}}}}}}} \\ & {\ mbox {7.625.597.484.987 cópias de 3}} \ end {matrix} }}$

Notação

Em expressões como , a notação para exponenciação é geralmente escrever o expoente como um sobrescrito para o número base . Mas muitos ambientes - como linguagens de programação e e-mail de texto simples - não oferecem suporte à composição sobrescrita . As pessoas adotaram a notação linear para tais ambientes; a seta para cima sugere 'elevar-se ao poder de'. Se o conjunto de caracteres não contiver uma seta para cima, o circunflexo (^) será usado. ${\ displaystyle a ^ {b}}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a \ uparrow b}$

A notação sobrescrita não se presta bem à generalização, o que explica por que Knuth escolheu trabalhar a partir da notação embutida . ${\ displaystyle a ^ {b}}$${\ displaystyle a \ uparrow b}$

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$é uma notação alternativa mais curta para n uparrows. Assim . ${\ displaystyle a \ uparrow ^ {4} b = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

As flechas de Knuth se tornaram bastante populares, talvez por ser um logotipo mais forte do que por exemplo . ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$${\ displaystyle [n]}$

Escrevendo notação de seta para cima em termos de poderes

A tentativa de escrever usando a notação sobrescrita familiar dá uma torre de poder. ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b}$

Por exemplo: ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow (a \ uparrow (a \ uparrow a)) = a ^ {a ^ {a ^ {a}}}}$

Se b for uma variável (ou muito grande), a torre de energia pode ser escrita com pontos e uma nota indicando a altura da torre.

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {b}}$

Continuando com esta notação, poderia ser escrito com uma pilha dessas torres de energia, cada uma descrevendo o tamanho da que está acima dela. ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow a)) = \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. { a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ { . {a}}}}}} _ {a}}}}$

Novamente, se b for uma variável ou for muito grande, a pilha pode ser escrita com pontos e uma nota indicando sua altura.

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ { . ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b}$

Além disso, pode ser escrito usando várias colunas de tais pilhas de torres de energia, cada coluna descrevendo o número de torres de energia na pilha à sua esquerda: ${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow 4 = a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow (a \ uparrow \ uparrow \ uparrow a)) = \ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} a}$

E de forma mais geral:

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {\ left. \ left. \ left. \ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ underbrace {a ^ { a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {a ^ {a ^ {. ^ {. ^ {. {a}}}}}} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} \ cdots \ right \} a} _ {b}}$

Isso pode ser realizado indefinidamente para representar como exponenciação iterada de exponenciação iterada para qualquer a , n e b (embora seja claramente bastante complicado). ${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b}$

Usando tetration

A notação de tetração nos permite tornar esses diagramas um pouco mais simples, ao mesmo tempo em que emprega uma representação geométrica (poderíamos chamá-las de torres de tetração ). ${\ displaystyle ^ {b} a}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow b = {} ^ {b} a}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {b}}$

${\ displaystyle a \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b = \ left. \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {a}.}.}.} a} a} _ {\ underbrace {\ vdots} _ {a}}} \ right \} b}$

Finalmente, como exemplo, o quarto número de Ackermann pode ser representado como: ${\ displaystyle 4 \ uparrow ^ {4} 4}$

${\ displaystyle \ underbrace {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}. } 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {4}}} = \ underbrace {^ {^ {^ {^ { ^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {\ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {4}.}.}.} 4} 4} _ {^ {^ {^ {4} } 4} 4} 4}}}$

Generalizações

Alguns números são tão grandes que várias setas da notação de seta para cima de Knuth se tornam pesadas demais; então, um operador n- seta é útil (e também para descrições com um número variável de setas) ou, de forma equivalente, hiperoperadores . ${\ displaystyle \ uparrow ^ {n}}$

Alguns números são tão grandes que mesmo essa notação não é suficiente. A notação de seta em cadeia de Conway pode então ser usada: uma cadeia de três elementos é equivalente às outras notações, mas uma cadeia de quatro ou mais é ainda mais poderosa.

${\ displaystyle {\ begin {matrix} a \ uparrow ^ {n} b & = & a [n + 2] b & = & a \ to b \ to n \\ {\ mbox {(Knuth)}} && {\ mbox {( hiperoperação)}} && {\ mbox {(Conway)}} \ end {matriz}}}$

${\ displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$= , Uma vez que = = , Assim, o resultado sai com${\ displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}} _ {4}}$${\ displaystyle 6 \ uparrow \ uparrow 4}$${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {6 ^ {6}}}}$${\ displaystyle 6 ^ {6 ^ {46.656}}}$${\ displaystyle \ underbrace {6 ^ {6 ^ {. ^ {. ^ {. ^ {6}}}}}} _ {4}}$

${\ displaystyle 10 \ uparrow (3 \ vezes 10 \ uparrow (3 \ vezes 10 \ uparrow 15) +3)}$= ou (Petilhão) ${\ displaystyle \ underbrace {100000 ... 000} _ {\ underbrace {300000 ... 003} _ {\ underbrace {300000 ... 003} _ {15}}}}$${\ displaystyle 10 ^ {3 \ times 10 ^ {3 \ times 10 ^ {15}} + 3}}$

Nota: Phi = = =${\ displaystyle \ leftarrow 1 [1]}$${\ displaystyle \ leftarrow 1}$${\ displaystyle \ phi}$

Definição

Sem referência à hiperoperação, os operadores de seta para cima podem ser formalmente definidos por

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a ^ {b}, & {\ text {if}} n = 1; \\ 1, & {\ text {if}} n> 1 {\ text {and}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), & {\ text {caso contrário}} \ end {cases }}}$

para todos os inteiros com . ${\ displaystyle a, b, n}$${\ displaystyle a \ geq 0, n \ geq 1, b \ geq 0}$

Esta definição usa exponenciação como o caso base e tetration como exponenciação repetida. Isso é equivalente à sequência de hiperoperação, exceto que omite as três operações mais básicas de sucessão , adição e multiplicação . ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {1} b = a \ uparrow b = a ^ {b})}$ ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {2} b = a \ uparrow \ uparrow b)}$

Pode-se, alternativamente, escolher a multiplicação como caso base e iterar a partir daí. Então a exponenciação torna-se multiplicação repetida. A definição formal seria ${\ displaystyle (a \ uparrow ^ {0} b = a \ times b)}$

${\ displaystyle a \ uparrow ^ {n} b = {\ begin {cases} a \ times b, & {\ text {if}} n = 0; \\ 1, & {\ text {if}} n> 0 {\ text {and}} b = 0; \\ a \ uparrow ^ {n-1} (a \ uparrow ^ {n} (b-1)), & {\ text {caso contrário}} \ end {cases} }}$

para todos os inteiros com . ${\ displaystyle a, b, n}$${\ displaystyle a \ geq 0, n \ geq 0, b \ geq 0}$

Observe, no entanto, que Knuth não definiu a "seta nil" ( ). Pode-se estender a notação para índices negativos (n ≥ -2) de forma a concordar com toda a sequência de hiperoperação, exceto para a defasagem na indexação: ${\ displaystyle \ uparrow ^ {0}}$

${\ displaystyle H_ {n} (a, b) = a [n] b = a \ uparrow ^ {n-2} b {\ text {for}} n \ geq 0.}$

A operação de seta para cima é uma operação associativa à direita , ou seja, é entendida como , em vez de . Se a ambigüidade não for um problema, às vezes os parênteses são omitidos. ${\ displaystyle a \ uparrow b \ uparrow c}$${\ displaystyle a \ uparrow (b \ uparrow c)}$${\ displaystyle (a \ uparrow b) \ uparrow c}$

Tabelas de valores

Calculando 0 ↑ ⁿ  b

Resultados de computação em ${\ displaystyle 0 \ uparrow ^ {n} b = H_ {n + 2} (0, b) = 0 [n + 2] b}$

0, quando n = 0 

1, quando n = 1 e b = 0  

0, quando n = 1 e b > 0  

1, quando n > 1 e b é par (incluindo 0)

0, quando n > 1 e b é ímpar

Calculando 2 ↑ ⁿ  b

A computação pode ser reformulada em termos de uma tabela infinita. Colocamos os números na linha superior e preenchemos a coluna da esquerda com os valores 2. Para determinar um número na tabela, pegue o número imediatamente à esquerda e procure o número necessário na linha anterior, na posição dada por o número que acabou de tirar. ${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle 2 ^ {b}}$

Valores de = = = 2 → b → n${\ displaystyle 2 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle H_ {n + 2} (2, b)}$${\ displaystyle 2 [n + 2] b}$

b ⁿ	1	2	3	4	5	6	Fórmula
1	2	4	8	16	32	64	${\ displaystyle 2 ^ {b}}$
2	2	4	16	65536	${\ displaystyle 2 ^ {65 \, 536} \ aproximadamente 2,0 \ vezes 10 ^ {19 \, 728}}$	${\ displaystyle 2 ^ {2 ^ {65 \, 536}} \ aproximadamente 10 ^ {6,0 \ vezes 10 ^ {19 \, 727}}}$	${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow b}$
3	2	4	65536	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {cópias de}} 2 \ end {matriz}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {cópias de}} 2 \ fim {matriz}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\\ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ { {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {cópias de}} 2 \ end {matriz}}}$	${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	2	4	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {2 _ {} ^ {2 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {2}}}}}}} \\ 65536 {\ mbox {cópias de}} 2 \ end {matriz}}}$				${\ displaystyle 2 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

A tabela é a mesma da função de Ackermann , exceto por uma mudança em e , e uma adição de 3 para todos os valores. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle b}$

Calculando 3 ↑ ⁿ  b

Colocamos os números na linha superior e preenchemos a coluna da esquerda com os valores 3. Para determinar um número na tabela, pegue o número imediatamente à esquerda e procure o número necessário na linha anterior, na posição dada por o número que acabou de tirar. ${\ displaystyle 3 ^ {b}}$

Valores de = = = 3 → b → n${\ displaystyle 3 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle H_ {n + 2} (3, b)}$${\ displaystyle 3 [n + 2] b}$

b ⁿ	1	2	3	4	5	Fórmula
1	3	9	27	81	243	${\ displaystyle 3 ^ {b}}$
2	3	27	7.625.597.484.987	${\ displaystyle 3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}$	${\ displaystyle 3 ^ {3 ^ {7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987}}}$	${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow b}$
3	3	7.625.597.484.987	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ mbox {cópias de}} 3 \ end {matriz}}}$			${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	3	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {3 _ {} ^ {3 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {3}}}}}}} \\ 7 {,} 625 {,} 597 {,} 484 {,} 987 {\ mbox {cópias de}} 3 \ end {matriz}}}$				${\ displaystyle 3 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Calculando 4 ↑ ⁿ  b

Colocamos os números na linha superior e preenchemos a coluna da esquerda com os valores 4. Para determinar um número na tabela, pegue o número imediatamente à esquerda e procure o número necessário na linha anterior, na posição dada por o número que acabou de tirar. ${\ displaystyle 4 ^ {b}}$

Valores de = = = 4 → b → n${\ displaystyle 4 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle H_ {n + 2} (4, b)}$${\ displaystyle 4 [n + 2] b}$

b ⁿ	1	2	3	4	5	Fórmula
1	4	16	64	256	1024	${\ displaystyle 4 ^ {b}}$
2	4	256	${\ displaystyle 1,3407807930 \ vezes 10 ^ {154}}$	${\ displaystyle 4 ^ {1,3407807930 \ vezes 10 ^ {154}}}$	${\ displaystyle 4 ^ {4 ^ {1,3407807930 \ vezes 10 ^ {154}}}}$	${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow b}$
3	4	${\ displaystyle 4 ^ {1,3407807930 \ vezes 10 ^ {154}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1,3407807930 \ times 10 ^ {154}} {\ mbox {cópias de}} 4 \ end {matriz}}}$			${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	4	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\\ underbrace {4 _ {} ^ {4 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {4}}}}}}} \\ 4 ^ {1,3407807930 \ vezes 10 ^ {154} } {\ mbox {cópias de}} 4 \ end {matriz}}}$				${\ displaystyle 4 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Calculando 10 ↑ ⁿ  b

Colocamos os números na linha superior e preenchemos a coluna da esquerda com os valores 10. Para determinar um número na tabela, pegue o número imediatamente à esquerda e procure o número necessário na linha anterior, na posição dada por o número que acabou de tirar. ${\ displaystyle 10 ^ {b}}$

Valores de = = = 10 → b → n${\ displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$${\ displaystyle H_ {n + 2} (10, b)}$${\ displaystyle 10 [n + 2] b}$

b ⁿ	1	2	3	4	5	Fórmula
1	10	100	1.000	10.000	100.000	${\ displaystyle 10 ^ {b}}$
2	10	10.000.000.000	${\ displaystyle 10 ^ {10.000.000.000}}$	${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10.000.000.000}}}$	${\ displaystyle 10 ^ {10 ^ {10 ^ {10.000.000.000}}}}$	${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow b}$
3	10	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {cópias de}} 10 \ end {matriz}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {cópias de}} 10 \ fim {matriz}}}$	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ {{} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\\ underbrace {10 _ {} ^ {10 ^ { {} ^ {. \, ^ {. \, ^ {. \, ^ {10}}}}}}} \\ 10 {\ mbox {cópias de}} 10 \ end {matriz}}}$		${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$
4	10	${\ displaystyle {\ begin {matrix} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ mbox {cópias de}} 10 \ end {matrix }}}$	${\ displaystyle {\ begin {matriz} \ underbrace {^ {^ {^ {^ {^ {10}.}.}.} 10} 10} \\\ underbrace {^ {^ {^ {^ {10} }.}.}.} 10} 10} \\ 10 {\ mbox {cópias de}} 10 \ end {matriz}}}$			${\ displaystyle 10 \ uparrow \ uparrow \ uparrow \ uparrow b}$

Para 2 ≤ b ≤ 9, a ordem numérica dos números é a ordem lexicográfica com n como o número mais significativo, então para os números dessas 8 colunas a ordem numérica é simplesmente linha por linha. O mesmo se aplica aos números nas 97 colunas com 3 ≤ b ≤ 99 e, se começarmos de n = 1, mesmo para 3 ≤ b ≤ 9.999.999.999. ${\ displaystyle 10 \ uparrow ^ {n} b}$

Veja também

• Recursão primitiva
• Hiperoperação
• Castor ocupado
• Notação de barra de Cutler
• Tetration
• Pentation
• Função Ackermann
• Número de Graham
• Notação Steinhaus-Moser

Notas

Referências

links externos

• Weisstein, Eric W. "Knuth Up-Arrow Notation" . MathWorld .
• Robert Munafo, Large Numbers: Higher hyper operator