Kronecker delta - Kronecker delta

Em matemática , o delta de Kronecker (em homenagem a Leopold Kronecker ) é uma função de duas variáveis , geralmente apenas inteiros não negativos . A função é 1 se as variáveis ​​forem iguais e 0 caso contrário:

ou com o uso de colchetes Iverson :

onde o delta de Kronecker δ ij é um seccionalmente função de variáveis i e j . Por exemplo, δ 1 2 = 0 , enquanto δ 3 3 = 1 .

O delta de Kronecker aparece naturalmente em muitas áreas da matemática, física e engenharia, como um meio de expressar compactamente sua definição acima.

Em álgebra linear , o n × n matriz identidade I tem entradas igual ao delta Kronecker:

onde i e j tomam os valores 1, 2, ..., n , e o produto interno dos vetores pode ser escrito como

Aqui, os vetores euclidianos são definidos como n- duplas: e a última etapa é obtida usando os valores do delta de Kronecker para reduzir a soma sobre j .

A restrição a inteiros positivos ou não negativos é comum, mas, na verdade, o delta de Kronecker pode ser definido em um conjunto arbitrário.

Propriedades

As seguintes equações são satisfeitas:

Portanto, a matriz δ pode ser considerada como uma matriz identidade.

Outra representação útil é a seguinte forma:

Isso pode ser derivado usando a fórmula para as séries geométricas finitas .

Notação alternativa

Usando o suporte Iverson :

Freqüentemente, uma notação de argumento único δ i é usada, que é equivalente a definir j = 0 :

Na álgebra linear , pode ser pensado como um tensor e é escrito δeu
j
. Às vezes, o delta de Kronecker é chamado de tensor de substituição.

Processamento de sinal digital

Função de amostra de unidade

No estudo do processamento digital de sinais (DSP), a função de amostra unitária representa um caso especial de uma função delta de Kronecker bidimensional onde os índices de kronecker incluem o número zero e onde um dos índices é zero. Nesse caso:

Ou mais geralmente onde:

No entanto, este é apenas um caso muito especial. No cálculo do Tensor, é mais comum numerar vetores de base em uma dimensão particular começando com o índice 1, ao invés do índice 0. Neste caso, a relação não existe e, de fato, a função delta de Kronecker e a função de amostra unitária são funções realmente diferentes que por acaso se sobrepõem em um caso específico onde os índices incluem o número 0, o número de índices é 2 e um dos índices tem o valor zero.

Embora a função de amostra de unidade discreta e a função delta de Kronecker usem a mesma letra, elas diferem nas seguintes maneiras. Para a função de amostra de unidade discreta, é mais convencional colocar um único índice inteiro entre colchetes; em contraste, o delta de Kronecker pode ter qualquer número de índices. Além disso, a finalidade da função de amostra de unidade discreta é diferente da função delta de Kronecker. No DSP, a função de amostra de unidade discreta é normalmente usada como uma função de entrada para um sistema discreto para descobrir a função do sistema do sistema que será produzida como uma saída do sistema. Em contraste, o propósito típico da função delta de Kronecker é filtrar os termos de uma convenção de soma de Einstein .

A função de amostra de unidade discreta é mais simplesmente definida como:

Além disso, o DSP tem uma função chamada função delta de Dirac , que costuma ser confundida com a função delta de Kronecker e a função de amostra de unidade. O Delta de Dirac é definido como:

Ao contrário da função delta de Kronecker e da função de amostra de unidade , a função Delta de Dirac não tem um índice inteiro, tem um único valor não inteiro contínuo t.

Para confundir mais as coisas, a função de impulso unitário às vezes é usada para se referir à função delta de Dirac ou à função de amostra unitária .

Propriedades da função delta

O delta de Kronecker tem a chamada propriedade de peneiramento que para j ∈ ℤ :

e se os inteiros são vistos como um espaço de medida , dotado com a medida de contagem , então esta propriedade coincide com a propriedade de definição da função delta de Dirac

e, de fato, o delta de Dirac recebeu o nome de delta de Kronecker por causa dessa propriedade análoga. No processamento de sinais, geralmente é o contexto (tempo discreto ou contínuo) que distingue as "funções" de Kronecker e Dirac. E por convenção, δ ( t ) geralmente indica tempo contínuo (Dirac), enquanto argumentos como i , j , k , l , m e n são normalmente reservados para tempo discreto (Kronecker). Outra prática comum é representar sequências discretas com colchetes; assim: δ [ n ] . O delta de Kronecker não é o resultado da amostragem direta da função delta de Dirac.

O delta de Kronecker forma o elemento de identidade multiplicativo de uma álgebra de incidência .

Relação com a função delta de Dirac

Em teoria de probabilidade e estatística , a função delta de Kronecker e a função delta de Dirac podem ser usadas para representar uma distribuição discreta . Se o suporte de uma distribuição consiste em pontos x = { x 1 , ..., x n } , com as probabilidades correspondentes p 1 , ..., p n , então a função de massa de probabilidade p ( x ) da distribuição sobre x pode ser escrito, usando o delta de Kronecker, como

De forma equivalente, a função de densidade de probabilidade f ( x ) da distribuição pode ser escrita usando a função delta de Dirac como

Sob certas condições, o delta de Kronecker pode surgir da amostragem de uma função delta de Dirac. Por exemplo, se um impulso delta de Dirac ocorre exatamente em um ponto de amostragem e é idealmente filtrado por passa-baixa (com corte na frequência crítica) de acordo com o teorema de amostragem de Nyquist-Shannon , o sinal de tempo discreto resultante será uma função delta de Kronecker.

Generalizações

Se for considerado um tensor do tipo (1,1) , o tensor de Kronecker pode ser escrito δeu
j
com um índice covariante j e índice contravariante i :

Este tensor representa:

O delta de Kronecker generalizado oumulti-índice Kronecker deltade ordem2 p é umtensor dotipo( p , p )que é completamenteantissimétricoem seuspíndices superiores, e também em seuspíndices inferiores.

Duas definições que diferem por um fator de p ! estão em uso. Abaixo, a versão apresentada tem componentes diferentes de zero com escala de ± 1 . A segunda versão possui componentes diferentes de zero que são ± 1/p !, com as mudanças consequentes nos fatores de escala nas fórmulas, como os fatores de escala de 1/p !em § Propriedades do delta de Kronecker generalizado abaixo do desaparecimento.

Definições do delta de Kronecker generalizado

Em termos de índices, o delta de Kronecker generalizado é definido como:

Seja S p o grupo simétrico de grau p , então:

Usando anti-simetrização :

Em termos de um p × p determinante :

Usando a expansão de Laplace ( fórmula de Laplace ) do determinante, ele pode ser definido recursivamente :

onde o Caron, , indica um índice que é omitida a partir da sequência.

Quando p = n (a dimensão do espaço vetorial), em termos do símbolo de Levi-Civita :

Propriedades do delta de Kronecker generalizado

O delta de Kronecker generalizado pode ser usado para anti-simetrização :

A partir das equações acima e das propriedades dos tensores anti-simétricos , podemos derivar as propriedades do delta de Kronecker generalizado:

que são a versão generalizada das fórmulas escritas em § Propriedades . A última fórmula é equivalente à fórmula de Cauchy-Binet .

A redução da ordem por meio do somatório dos índices pode ser expressa pela identidade

Usando a regra de soma para o caso p = n e a relação com o símbolo Levi-Civita, a regra de soma do símbolo Levi-Civita é derivada:

A versão 4D da última relação aparece na abordagem spinor de Penrose para a relatividade geral que ele posteriormente generalizou, enquanto estava desenvolvendo os diagramas de Aitken, para se tornar parte da técnica de notação gráfica de Penrose . Além disso, essa relação é amplamente utilizada nas teorias da dualidade S , especialmente quando escritas na linguagem das formas diferenciais e duais de Hodge .

Representações integrais

Para qualquer inteiro n , usando um cálculo de resíduo padrão , podemos escrever uma representação integral para o delta de Kronecker como a integral abaixo, onde o contorno da integral vai no sentido anti-horário em torno de zero. Esta representação também é equivalente a uma integral definida por uma rotação no plano complexo.

O pente Kronecker

A função comb de Kronecker com período N é definida (usando a notação DSP ) como:

onde N e n são inteiros. O pente de Kronecker consiste então em uma série infinita de impulsos unitários separados por N unidades e inclui o impulso unitário em zero. Pode ser considerado o análogo discreto do pente de Dirac .

Integral de Kronecker

O delta de Kronecker também é chamado de grau de mapeamento de uma superfície em outra. Suponha que um mapeamento ocorra da superfície S uvw para S xyz que são limites de regiões, R uvw e R xyz que estão simplesmente conectados com correspondência um-para-um. Neste quadro, se s e t são parâmetros para S uvw , e S uvw para S uvw são orientados pelo normal externo n :

enquanto o normal tem a direção de

Deixe x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) ser definido e suave em um domínio contendo S uvw , e deixe essas equações definir o mapeamento de S uvw em S xyz . Então o grau δ de mapeamento é1/vezes o ângulo sólido da imagem S de S uvw com respeito ao ponto interior de S xyz , ó . Se O é a origem da região, R xyz , então o grau, δ é dado pela integral:

Veja também

Referências

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    ν
    = δμ
    ν
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