Teorema de Krull - Krull's theorem

Em matemática , e mais especificamente na teoria dos anéis , o teorema de Krull , nomeado após Wolfgang Krull , afirma que um anel diferente de zero tem pelo menos um ideal máximo . O teorema foi provado em 1929 por Krull, que usou a indução transfinita . O teorema admite uma prova simples usando o lema de Zorn , e de fato é equivalente ao lema de Zorn , que por sua vez é equivalente ao axioma da escolha .

Variantes

  • Para anéis não comutativos , os análogos para ideais máximos à esquerda e ideais máximos à direita também são válidos.
  • Para pseudo-anéis , o teorema é válido para ideais regulares .
  • Um resultado ligeiramente mais forte (mas equivalente), que pode ser provado de forma semelhante, é o seguinte:
Deixe R ser um anel, e deixe eu ser um ideal próprio de R . Depois, há um ideal máxima de R contendo eu .
Este resultado implica o teorema original, tomando I como o ideal zero (0). Por outro lado, aplicar o teorema original a R / I leva a esse resultado.
Para provar o resultado mais forte directamente, considere o conjunto S de todos os ideais próprios de R contendo I . O conjunto S é não vazio desde IS . Além disso, para qualquer cadeia T de S , a união das ideais em T é um ideal J , e uma união de ideais não contendo 1 não contém um, assim JS . Por lema de Zorn, S tem um elemento maximal M . Este M é um ideal máxima contendo eu .

Hauptidealsatz de Krull

Outro teorema comumente referido como teorema de Krull:

Let Ser um anel Noetherian e um elemento do qual não é um divisor zero nem uma unidade . Então, todo conteúdo mínimo ideal primo tem altura 1.

Notas

Referências