Distribuição Lévy - Lévy distribution

Lévy (sem mudança)

Função densidade de probabilidade
Função de distribuição cumulativa
Parâmetros	${\ displaystyle \ mu}$localização; escala${\ displaystyle c> 0 \,}$
Apoio, suporte	${\ displaystyle x \ in [\ mu, \ infty)}$
PDF	${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~~ {\ frac {e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}} {(x - \ mu) ^ {3/2}}}}$
CDF	${\ displaystyle {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \ right)}$
Quer dizer	${\ displaystyle \ infty}$
Mediana	${\ displaystyle \ mu + c / 2 ({\ textrm {erfc}} ^ {- 1} (1/2)) ^ {2} \,}$
Modo	${\ displaystyle \ mu + {\ frac {c} {3}}}$
Variância	${\ displaystyle \ infty}$
Skewness	Indefinido
Ex. curtose	Indefinido
Entropia	${\ displaystyle {\ frac {1 + 3 \ gamma + \ ln (16 \ pi c ^ {2})} {2}}}$ onde está a constante de Euler-Mascheroni${\ displaystyle \ gamma}$
MGF	Indefinido
CF	${\ displaystyle e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}}$

Em teoria de probabilidade e estatística , a distribuição de Lévy , em homenagem a Paul Lévy , é uma distribuição de probabilidade contínua para uma variável aleatória não negativa . Em espectroscopia , essa distribuição, com frequência como variável dependente, é conhecida como perfil de van der Waals . É um caso especial da distribuição gama inversa . É uma distribuição estável .

Definição

A função de densidade de probabilidade da distribuição de Lévy sobre o domínio é ${\ displaystyle x \ geq \ mu}$

${\ displaystyle f (x; \ mu, c) = {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} ~~ {\ frac {e ^ {- {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}}} {(x- \ mu) ^ {3/2}}}}$

onde é o parâmetro de localização e é o parâmetro de escala . A função de distribuição cumulativa é ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle c}$

${\ displaystyle F (x; \ mu, c) = {\ textrm {erfc}} \ left ({\ sqrt {\ frac {c} {2 (x- \ mu)}}} \ right) = 2-2 \ Phi \ left ({\ sqrt {\ frac {c} {(x- \ mu)}}} \ right)}$

onde é a função de erro complementar e é a Função de Laplace (CDF da Distribuição Normal Padrão). O parâmetro de deslocamento tem o efeito de deslocar a curva para a direita em um valor e alterar o suporte para o intervalo [ , ). Como todas as distribuições estáveis , a distribuição Levy tem uma forma padrão f (x; 0,1) que tem a seguinte propriedade: ${\ displaystyle {\ textrm {erfc}} (z)}$${\ displaystyle \ Phi (x)}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ infty}$

${\ displaystyle f (x; \ mu, c) dx = f (y; 0,1) dy \,}$

onde y é definido como

${\ displaystyle y = {\ frac {x- \ mu} {c}} \,}$

A função característica da distribuição Lévy é dada por

${\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t - {\ sqrt {-2ict}}}.}$

Observe que a função característica também pode ser escrita da mesma forma usada para a distribuição estável com e : ${\ displaystyle \ alpha = 1/2}$${\ displaystyle \ beta = 1}$

${\ displaystyle \ varphi (t; \ mu, c) = e ^ {i \ mu t- | ct | ^ {1/2} ~ (1-i ~ {\ textrm {sign}} (t))}. }$

Assumindo que , a n th momento da distribuição Lévy unshifted é formalmente definido por: ${\ displaystyle \ mu = 0}$

${\ displaystyle m_ {n} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x} \, x ^ {n}} {x ^ {3/2}}} \, dx}$

que diverge para todos de forma que os momentos inteiros da distribuição de Lévy não existam (apenas alguns momentos fracionários). ${\ displaystyle n \ geq 0,5}$

A função geradora de momento seria formalmente definida por:

${\ displaystyle M (t; c) \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {e ^ {- c / 2x + tx}} {x ^ {3/2}}} \, dx}$

no entanto, isso diverge e, portanto, não é definido em um intervalo em torno de zero, portanto, a função de geração de momento não é definida per se . ${\ displaystyle t> 0}$

Como todas as distribuições estáveis, exceto a distribuição normal , a asa da função de densidade de probabilidade exibe comportamento de cauda pesada caindo de acordo com uma lei de potência:

${\ displaystyle f (x; \ mu, c) \ sim {\ sqrt {\ frac {c} {2 \ pi}}} {\ frac {1} {x ^ {3/2}}}}$   Como   ${\ displaystyle x \ to \ infty,}$

o que mostra que Lévy não tem apenas cauda pesada, mas também cauda gorda . Isto é ilustrado no diagrama abaixo, em que as funções de densidade de probabilidade para vários valores de C e são colocados num gráfico log-log . ${\ displaystyle \ mu = 0}$

Função de densidade de probabilidade para a distribuição de Lévy em um gráfico log-log

A distribuição Lévy padrão satisfaz a condição de ser estável

${\ displaystyle (X_ {1} + X_ {2} + \ dotsb + X_ {n}) \ sim n ^ {1 / \ alpha} X}$,

onde são variáveis ​​Lévy padrão independentes com . ${\ displaystyle X_ {1}, X_ {2}, \ ldots, X_ {n}, X}$${\ displaystyle \ alpha = 1/2}$

Distribuições relacionadas

• Se então${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}$${\ displaystyle kX + b \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (k \ mu + b, kc)}$
• Se então ( distribuição gama inversa ) Aqui, a distribuição de Lévy é um caso especial de uma distribuição de Pearson tipo V${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}$${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Inv-Gamma}} ({\ tfrac {1} {2}}, {\ tfrac {c} {2}})}$
  
• Se ( distribuição normal ), então${\ displaystyle \, Y \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, \ sigma)}$${\ displaystyle {(Y- \ mu)} ^ {- 2} \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0,1 / \ sigma ^ {2})}$
• Se então${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Normal}} (\ mu, {\ tfrac {1} {\ sqrt {\ sigma}}})}$${\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- 2} \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, \ sigma)}$
• Se então ( distribuição estável )${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}$${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Estável}} (1 / 2,1, c, \ mu)}$
• Se então ( distribuição qui-quadrada inversa em escala )${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (0, c)}$${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Scale-inv -}} \ chi ^ {2} (1, c)}$
• Se então ( distribuição normal dobrada )${\ displaystyle X \, \ sim \, {\ textrm {Levy}} (\ mu, c)}$${\ displaystyle {(X- \ mu)} ^ {- {\ tfrac {1} {2}}} \ sim \, {\ textrm {FoldedNormal}} (0,1 / {\ sqrt {c}})}$

Geração de amostra aleatória

Amostras aleatórias da distribuição de Lévy podem ser geradas usando amostragem por transformação inversa . Dado uma variável aleatória U extraída da distribuição uniforme no intervalo de unidade (0, 1], a variável X dada por

${\ displaystyle X = F ^ {- 1} (U) = {\ frac {c} {(\ Phi ^ {- 1} (1-U)) ^ {2}}} + \ mu}$

é distribuído por Lévy com localização e escala . Aqui está a função de distribuição cumulativa da distribuição normal padrão . ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle \ Phi (x)}$

Formulários

• A frequência de reversões geomagnéticas parece seguir uma distribuição de Lévy
• O tempo de acertar um único ponto, a distância do ponto inicial, pelo movimento browniano tem a distribuição de Lévy com . (Para um movimento browniano com deriva, desta vez pode seguir uma distribuição gaussiana inversa , que tem a distribuição Lévy como limite.)${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle c = \ alpha ^ {2}}$
• O comprimento do caminho seguido por um fóton em um meio turvo segue a distribuição de Lévy.
• Um processo de Cauchy pode ser definido como um movimento browniano subordinado a um processo associado a uma distribuição Lévy.

Notas de rodapé

Notas

Referências

• "Informações sobre distribuições estáveis" . Recuperado em 5 de setembro de 2021 .- Introdução de John P. Nolan às distribuições estáveis, alguns artigos sobre leis estáveis ​​e um programa gratuito para calcular densidades estáveis, funções de distribuição cumulativa, quantis, parâmetros de estimativa, etc. Veja especialmente Uma introdução às distribuições estáveis, Capítulo 1

links externos

• Weisstein, Eric W. "Lévy Distribution" . MathWorld .