Fórmula de redução LSZ - LSZ reduction formula

Teoria quântica de campos
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v t e

Na teoria quântica de campos , a fórmula de redução LSZ é um método para calcular os elementos da matriz S (as amplitudes de espalhamento ) a partir das funções de correlação ordenadas no tempo de uma teoria quântica de campos. É uma etapa do caminho que parte do Lagrangiano de alguma teoria quântica de campos e leva à previsão de quantidades mensuráveis. Recebeu o nome dos três físicos alemães Harry Lehmann , Kurt Symanzik e Wolfhart Zimmermann .

Embora a fórmula de redução LSZ não possa lidar com estados ligados , partículas sem massa e solitons topológicos , ela pode ser generalizada para cobrir estados ligados, pelo uso de campos compostos que geralmente são não locais. Além disso, o método, ou suas variantes, revelou-se também frutífero em outros campos da física teórica. Por exemplo, em física estatística, eles podem ser usados ​​para obter uma formulação particularmente geral do teorema da flutuação-dissipação .

Campos de entrada e saída

S elementos -matrix são amplitudes de transições entre em estados e fora estados. Umestado in descreve o estado de um sistema de partículas que, em um passado distante, antes de interagir, estavam se movendo livremente com momentos definidos { p }, e, inversamente, umestado out descreve o estado de um sistema de partículas que, por muito tempo após a interação, estará se movendo livremente com momentos definidos { p }.${\ displaystyle | \ {p \} \ \ mathrm {in} \ rangle}$${\ displaystyle | \ {p \} \ \ mathrm {out} \ rangle}$

Os estados de entrada e saída são estados na imagem de Heisenberg, portanto, não se deve pensar que eles descrevam partículas em um tempo definido, mas sim que descrevam o sistema de partículas em toda a sua evolução, de modo que o elemento da matriz S:

${\ displaystyle S _ {\ rm {fi}} = \ langle \ {q \} \ \ mathrm {out} | \ {p \} \ \ mathrm {in} \ rangle}$

é a amplitude de probabilidade para um conjunto de partículas que foram preparadas com momentos definidos { p } para interagir e ser medido posteriormente como um novo conjunto de partículas com momentos { q }.

A maneira fácil de construir em e fora estados é buscar operadores de campo apropriadas que dar o direito operadores de criação e aniquilação . Estes campos são chamados, respectivamente, em e fora campos.

Apenas para consertar ideias, suponha que lidemos com um campo Klein-Gordon que interage de alguma forma que não nos diz respeito:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} \ parcial _ {\ mu} \ varphi \ parcial ^ {\ mu} \ varphi - {\ frac {1} {2}} m_ {0} ^ {2} \ varphi ^ {2} + {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}}}$pode conter uma interação própria gφ ³ ou interação com outros campos, como uma interação Yukawa . A partir deste Lagrangiano , usando as equações de Euler-Lagrange , a equação do movimento segue: ${\ displaystyle g \ \ varphi {\ bar {\ psi}} \ psi}$

${\ displaystyle \ left (\ partial ^ {2} + m_ {0} ^ {2} \ right) \ varphi (x) = j_ {0} (x)}$

onde, se não contém acoplamentos derivados: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}}}$

${\ displaystyle j_ {0} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}} _ {\ mathrm {int}}} {\ parcial \ varphi}}}$

Podemos esperar que o campo in se assemelhe ao comportamento assintótico do campo livre como x ⁰ → −∞ , fazendo a suposição de que no passado distante a interação descrita pela corrente j ₀ é desprezível, pois as partículas estão distantes umas das outras. Essa hipótese é denominada hipótese adiabática . No entanto, a auto-interação nunca desaparece e, além de muitos outros efeitos, causa uma diferença entre a massa Lagrangiana m ₀ e a massa física m do bóson φ . Este fato deve ser levado em consideração reescrevendo a equação do movimento da seguinte forma:

${\ displaystyle \ left (\ partial ^ {2} + m ^ {2} \ right) \ varphi (x) = j_ {0} (x) + \ left (m ^ {2} -m_ {0} ^ { 2} \ right) \ varphi (x) = j (x)}$

Esta equação pode ser resolvida formalmente usando a função de Green retardada do operador de Klein-Gordon : ${\ displaystyle \ parcial ^ {2} + m ^ {2}}$

${\ displaystyle \ Delta _ {\ mathrm {ret}} (x) = i \ theta \ left (x ^ {0} \ right) \ int {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} k} {( 2 \ pi) ^ {3} 2 \ omega _ {k}}} \ left (e ^ {- ik \ cdot x} -e ^ {ik \ cdot x} \ right) _ {k ^ {0} = \ omega _ {k}} \ qquad \ omega _ {k} = {\ sqrt {\ mathbf {k} ^ {2} + m ^ {2}}}}$

permitindo-nos separar a interação do comportamento assintótico. A solução é:

${\ displaystyle \ varphi (x) = {\ sqrt {Z}} \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) + \ int \ mathrm {d} ^ {4} y \ Delta _ {\ mathrm {ret }} (xy) j (y)}$

O fator √ Z é um fator de normalização que será útil mais tarde, o campo φ _in é uma solução da equação homogênea associada à equação do movimento:

${\ displaystyle \ left (\ partial ^ {2} + m ^ {2} \ right) \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) = 0,}$

e, portanto, é um campo livre que descreve uma onda não perturbada de entrada, enquanto o último termo da solução fornece a perturbação da onda devido à interação.

O campo φ _in é de fato o campo in que estávamos procurando, pois descreve o comportamento assintótico do campo interagindo como x ⁰ → −∞ , embora esta afirmação seja mais precisa posteriormente. É um campo escalar livre, portanto, pode ser expandido em ondas planas:

${\ displaystyle \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) = \ int \ mathrm {d} ^ {3} k \ left \ {f_ {k} (x) a _ {\ mathrm {in}} (\ mathbf {k}) + f_ {k} ^ {*} (x) a _ {\ mathrm {in}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {k}) \ right \}}$

Onde:

${\ displaystyle f_ {k} (x) = \ left. {\ frac {e ^ {- ik \ cdot x}} {(2 \ pi) ^ {\ frac {3} {2}} (2 \ omega _ {k}) ^ {\ frac {1} {2}}}} \ right | _ {k ^ {0} = \ omega _ {k}}}$

A função inversa para os coeficientes em termos de campo pode ser facilmente obtida e colocada na forma elegante:

${\ displaystyle a _ {\ mathrm {in}} (\ mathbf {k}) = i \ int \ mathrm {d} ^ {3} xf_ {k} ^ {*} (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ { 0}}} \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x)}$

Onde:

${\ displaystyle {\ mathrm {g}} {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0}}} f = \ mathrm {g} \ partial _ {0} ff \ partial _ {0} \ mathrm {g}.}$

Os coeficientes de Fourier satisfazem a álgebra dos operadores de criação e aniquilação :

${\ displaystyle [a _ {\ mathrm {in}} (\ mathbf {p}), a _ {\ mathrm {in}} (\ mathbf {q})] = 0; \ quad [a _ {\ mathrm {in}} (\ mathbf {p}), a _ {\ mathrm {in}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {q})] = \ delta ^ {3} (\ mathbf {p} - \ mathbf {q}); }$

e eles podem ser usados para construir em estados da forma usual:

${\ displaystyle \ left | k_ {1}, \ ldots, k_ {n} \ \ mathrm {in} \ right \ rangle = {\ sqrt {2 \ omega _ {k_ {1}}}} a _ {\ mathrm { in}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {k} _ {1}) \ ldots {\ sqrt {2 \ omega _ {k_ {n}}}} a _ {\ mathrm {in}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {k} _ {n}) | 0 \ rangle}$

A relação entre o campo interagindo e o no campo não é muito simples de usar, e a presença dos retardados Tenta função de Green-nos escrever algo como:

${\ displaystyle \ varphi (x) \ sim {\ sqrt {Z}} \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) \ qquad \ mathrm {as} \ quad x ^ {0} \ to - \ infty}$

fazer implicitamente a suposição de que todas as interações se tornam desprezíveis quando as partículas estão distantes umas das outras. No entanto, o j ( x ) atual contém também interações próprias, como aquelas que produzem a mudança de massa de m ₀ para m . Essas interações não desapareça como partículas se afastar, muito cuidado deve ser utilizado em estabelecer relações assintótica entre o campo interagindo e o no campo.

A prescrição correta, conforme desenvolvida por Lehmann, Symanzik e Zimmermann, requer dois estados normalizáveis e , e uma solução normalizável f  ( x ) da equação de Klein-Gordon . Com essas peças pode-se afirmar uma relação assintótica correta e útil, mas muito fraca: ${\ displaystyle | \ alpha \ rangle}$${\ displaystyle | \ beta \ rangle}$ ${\ displaystyle (\ partial ^ {2} + m ^ {2}) f (x) = 0}$

${\ displaystyle \ lim _ {x ^ {0} \ to - \ infty} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x \ langle \ alpha | f (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0}} } \ varphi (x) | \ beta \ rangle = {\ sqrt {Z}} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x \ langle \ alpha | f (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0} }} \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) | \ beta \ rangle}$

O segundo membro é efectivamente independente do tempo, como pode ser demonstrado através da diferenciação e lembrando-se que tanto φ _em e f satisfazem a equação de Klein-Gordon.   

Com as alterações apropriadas os mesmos passos podem ser seguidos para construir um fora de campo que constrói para fora estados. Em particular, a definição do campo de saída é:

${\ displaystyle \ varphi (x) = {\ sqrt {Z}} \ varphi _ {\ mathrm {out}} (x) + \ int \ mathrm {d} ^ {4} y \ Delta _ {\ mathrm {adv }} (xy) j (y)}$

onde Δ _adv ( x - y ) é a função avançada de Green do operador de Klein – Gordon. A relação assintótica fraca entre o campo externo e o campo interagente é:

${\ displaystyle \ lim _ {x ^ {0} \ to \ infty} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x \ langle \ alpha | f (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0}}} \ varphi (x) | \ beta \ rangle = {\ sqrt {Z}} \ int \ mathrm {d} ^ {3} x \ langle \ alpha | f (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0}} } \ varphi _ {\ mathrm {out}} (x) | \ beta \ rangle}$

A fórmula de redução para escalares

As relações assintóticas são tudo o que é necessário para obter a fórmula de redução LSZ. Para conveniência futura, começamos com o elemento da matriz:

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | \ mathrm {T} \ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) | \ alpha \ \ mathrm {in} \ rangle}$

que é ligeiramente mais geral do que um elemento de matriz S. Na verdade, é o valor esperado do produto encomendado em tempo de um número de campos entre um fora do estado e um no estado. O estado de saída pode conter qualquer coisa, desde o vácuo a um número indefinido de partículas, cujos momentos são resumidos pelo índice β . O estado in contém pelo menos uma partícula de momento p , e possivelmente muitas outras, cujos momentos são resumidos pelo índice α . Se não houver campos no produto ordenado por tempo, então é obviamente um elemento S -matrix. A partícula com impulso p pode ser 'extraiu' do em estado pelo utilização de um operador de criação: ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$${\ displaystyle \ varphi (y_ {1}) \ cdots \ varphi (y_ {n})}$${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ sqrt {2 \ omega _ {p}}} \ \ left \ langle \ beta \ \ mathrm {out} {\ bigg |} \ mathrm {T} \ left [ \ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] a _ {\ mathrm {in}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}) {\ bigg |} \ alpha '\ \ mathrm {in} \ right \ rangle}$

onde o primo em denota que uma partícula foi retirada. Partindo do pressuposto de que nenhuma partícula com momento p está presente no estado de saída , ou seja, estamos ignorando o espalhamento direto, podemos escrever: ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ sqrt {2 \ omega _ {p}}} \ \ left \ langle \ beta \ \ mathrm {out} {\ bigg |} \ left \ {\ mathrm {T } \ left [\ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] a _ {\ mathrm {in}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}) -a _ {\ mathrm {out}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}) \ mathrm {T} \ left [\ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] \ right \} { \ bigg |} \ alpha '\ \ mathrm {in} \ right \ rangle}$

porque agir à esquerda dá zero. Expressando os operadores de construção em termos de em e fora campos, temos: ${\ displaystyle a _ {\ mathrm {out}} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = - i {\ sqrt {2 \ omega _ {p}}} \ \ int \ mathrm {d} ^ {3} xf_ {p} (x) {\ overleftrightarrow {\ parcial _ {0}}} \ left \ langle \ beta \ \ mathrm {out} {\ bigg |} \ left \ {\ mathrm {T} \ left [\ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) - \ varphi _ {\ mathrm {out}} (x) \ mathrm {T} \ left [\ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] \ right \} {\ bigg |} \ alpha '\ \ mathrm {in} \ right \ rangle}$

Agora podemos usar a condição assintótica para escrever:

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = - i {\ sqrt {\ frac {2 \ omega _ {p}} {Z}}} \ left \ {\ lim _ {x ^ {0} \ to - \ infty} \ int \ mathrm {d} ^ {3} xf_ {p} (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0}}} \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | \ mathrm {T} \ left [\ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] \ varphi (x) | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle - \ lim _ {x ^ {0} \ para \ infty} \ int \ mathrm {d} ^ {3} xf_ {p} (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0}}} \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | \ varphi (x) \ mathrm {T} \ left [\ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle \ right \}}$

Então notamos que o campo φ ( x ) pode ser trazido para dentro do produto ordenado pelo tempo, uma vez que aparece à direita quando x ⁰ → −∞ e à esquerda quando x ⁰ → ∞ :

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = - i {\ sqrt {\ frac {2 \ omega _ {p}} {Z}}} \ left (\ lim _ {x ^ {0} \ to - \ infty } - \ lim _ {x ^ {0} \ to \ infty} \ right) \ int \ mathrm {d} ^ {3} xf_ {p} (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0}}} \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | \ mathrm {T} \ left [\ varphi (x) \ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle}$

A seguir, a dependência x no produto ordenado pelo tempo é o que importa, então definimos:

${\ displaystyle \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | \ mathrm {T} \ left [\ varphi (x) \ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle = \ eta (x)}$

É fácil mostrar ao realizar explicitamente a integração de tempo que:

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = i {\ sqrt {\ frac {2 \ omega _ {p}} {Z}}} \ int \ mathrm {d} (x ^ {0}) \ parcial _ { 0} \ int \ mathrm {d} ^ {3} xf_ {p} (x) {\ overleftrightarrow {\ partial _ {0}}} \ eta (x)}$

de modo que, por derivação de tempo explícita, temos:

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = i {\ sqrt {\ frac {2 \ omega _ {p}} {Z}}} \ int \ mathrm {d} ^ {4} x \ left \ {f_ { p} (x) \ parcial _ {0} ^ {2} \ eta (x) - \ eta (x) \ parcial _ {0} ^ {2} f_ {p} (x) \ direita \}}$

Por sua definição, vemos que f _p  ( x ) é uma solução da equação de Klein-Gordon, que pode ser escrita como:  

${\ displaystyle \ partial _ {0} ^ {2} f_ {p} (x) = \ left (\ Delta -m ^ {2} \ right) f_ {p} (x)}$

Substituindo na expressão por e integrando por partes, chegamos a: ${\ displaystyle {\ mathcal {M}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = i {\ sqrt {\ frac {2 \ omega _ {p}} {Z}}} \ int \ mathrm {d} ^ {4} xf_ {p} (x) \ left (\ partial _ {0} ^ {2} - \ Delta + m ^ {2} \ right) \ eta (x)}$

Isso é:

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {i} {(2 \ pi) ^ {\ frac {3} {2}} Z ^ {\ frac {1} {2}}}} \ int \ mathrm {d} ^ {4} xe ^ {- ip \ cdot x} \ left (\ Box + m ^ {2} \ right) \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | \ mathrm {T} \ left [\ varphi (x) \ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n}) \ right] | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle}$

A partir desse resultado, e seguindo o mesmo caminho, outra partícula pode ser extraída do estado in , levando à inserção de outro campo no produto ordenado pelo tempo. Uma rotina muito semelhante pode extrair as partículas do para estado, e os dois podem ser iterado para obter vácuo tanto no lado direito e do lado esquerdo do produto encomendado-tempo, levando a fórmula geral:

${\ displaystyle \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ mathrm {out} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ mathrm {in} \ rangle = \ int \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4} x_ {i} {\ frac {ie ^ {- iq_ {i} \ cdot x_ {i}} \ left (\ Box _ {x_ {i}} + m ^ {2} \ right)} {(2 \ pi) ^ {\ frac {3} {2}} Z ^ {\ frac {1} {2}}}} \ right \} \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4} y_ {j} {\ frac {ie ^ {ip_ {j} \ cdot y_ {j}} \ esquerda (\ Box _ {y_ {j}} + m ^ {2} \ direita)} {(2 \ pi) ^ {\ frac {3} {2}} Z ^ {\ frac {1} {2}} }} \ right \} \ langle 0 | \ mathrm {T} \ varphi (x_ {1}) \ ldots \ varphi (x_ {m}) \ varphi (y_ {1}) \ ldots \ varphi (y_ {n} ) | 0 \ rangle}$

Qual é a fórmula de redução LSZ para escalares de Klein – Gordon. Ele ganha um aspecto muito melhor se for escrito usando a transformada de Fourier da função de correlação:

${\ displaystyle \ Gamma \ left (p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ right) = \ int \ prod _ {i = 1} ^ {n} \ left \ {\ mathrm {d} ^ {4 } x_ {i} e ^ {ip_ {i} \ cdot x_ {i}} \ right \} \ langle 0 | \ mathrm {T} \ \ varphi (x_ {1}) \ ldots \ varphi (x_ {n} ) | 0 \ rangle}$

Usando a transformada inversa para substituir na fórmula de redução LSZ, com algum esforço, o seguinte resultado pode ser obtido:

${\ displaystyle \ langle p_ {1}, \ ldots, p_ {n} \ \ mathrm {out} | q_ {1}, \ ldots, q_ {m} \ \ mathrm {in} \ rangle = \ prod _ {i = 1} ^ {m} \ left \ {- {\ frac {i \ left (p_ {i} ^ {2} -m ^ {2} \ right)} {(2 \ pi) ^ {\ frac {3 } {2}} Z ^ {\ frac {1} {2}}}} \ right \} \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ left \ {- {\ frac {i \ left (q_ { j} ^ {2} -m ^ {2} \ right)} {(2 \ pi) ^ {\ frac {3} {2}} Z ^ {\ frac {1} {2}}}} \ right \ } \ Gamma \ left (p_ {1}, \ ldots, p_ {n}; - q_ {1}, \ ldots, -q_ {m} \ right)}$

Deixando de lado os fatores de normalização, esta fórmula afirma que os elementos da matriz S são os resíduos dos pólos que surgem na transformada de Fourier das funções de correlação à medida que os quatro momentos são colocados na casca.

Fórmula de redução para férmions

Lembre-se de que as soluções para a equação de Dirac de campo livre quantizado podem ser escritas como

${\ displaystyle \ Psi (x) = \ sum _ {s = \ pm} \ int \! \ mathrm {d} {\ tilde {p}} {\ big (} b _ {\ textbf {p}} ^ {s } u _ {\ textbf {p}} ^ {s} \ mathrm {e} ^ {ip \ cdot x} + d _ {\ textbf {p}} ^ {\ dagger s} v _ {\ textbf {p}} ^ { s} \ mathrm {e} ^ {- ip \ cdot x} {\ big)},}$

onde a assinatura métrica é principalmente positiva, é um operador de aniquilação para partículas do tipo b de momento e spin , é um operador de criação para partículas do tipo d de spin e os spinors e satisfazem e . A medida invariante de Lorentz é escrita como , com . Considere-se agora um evento de dispersão constituído por um em estado de partículas não interagindo que se aproximam uma região de interacção na origem, onde a dispersão ocorre, seguido por um para fora do estado de partículas não interagindo de saída. A amplitude de probabilidade para este processo é dada por ${\ displaystyle b _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$${\ displaystyle {\ textbf {p}}}$${\ displaystyle s = \ pm}$${\ displaystyle d _ {\ textbf {p}} ^ {\ dagger s}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle u _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$${\ displaystyle v _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$${\ displaystyle (p \! \! \! / + m) u _ {\ textbf {p}} ^ {s} = 0}$${\ displaystyle (p \! \! \! / - m) v _ {\ textbf {p}} ^ {s} = 0}$${\ displaystyle \ mathrm {d} {\ tilde {p}}: = \ mathrm {d} ^ {3} p / (2 \ pi) ^ {3} 2 \ omega _ {\ textbf {p}}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ textbf {p}} = {\ sqrt {{\ textbf {p}} ^ {2} + m ^ {2}}}}$${\ displaystyle | \ alpha \ \ mathrm {in} \ rangle}$${\ displaystyle | \ beta \ \ mathrm {out} \ rangle}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | \ alpha \ \ mathrm {in} \ rangle,}$

onde nenhum produto extra ordenado de operadores de campo foi inserido, para simplificar. A situação considerada será o espalhamento de partículas do tipo b em partículas do tipo b. Suponha que o estado in consista em partículas com momentos e spins , enquanto o estado out contém partículas de momentos e spins . Os em e fora estados são, então, dado por ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n '}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle \ {{\ textbf {p}} _ {1}, ..., {\ textbf {p}} _ {n} \}}$${\ displaystyle \ {s_ {1}, ..., s_ {n} \}}$${\ displaystyle \ {{\ textbf {k}} _ {1}, ..., {\ textbf {k}} _ {n '} \}}$${\ displaystyle \ {\ sigma _ {1}, ..., \ sigma _ {n '} \}}$

${\ displaystyle | \ alpha \ \ mathrm {in} \ rangle = | {\ textbf {p}} _ {1} ^ {s_ {1}}, ..., {\ textbf {p}} _ {n} ^ {s_ {n}} \ rangle \ quad {\ text {and}} \ quad | \ beta \ \ mathrm {out} \ rangle = | {\ textbf {k}} _ {1} ^ {\ sigma _ { 1}}, ..., {\ textbf {k}} _ {n '} ^ {\ sigma _ {n'}} \ rangle.}$

Extraindo uma na partícula de rendimentos um operador de criação livre de campo que actua sobre o estado com uma menor partícula. Supondo que nenhuma partícula de saída tenha o mesmo momento, podemos escrever ${\ displaystyle | \ alpha \ \ mathrm {in} \ rangle}$${\ displaystyle b _ {{\ textbf {p}} _ {1}, \ mathrm {in}} ^ {\ dagger s_ {1}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | b _ {{\ textbf {p}} _ {1}, \ mathrm {in}} ^ {\ dagger s_ {1} } -b _ {{\ textbf {p}} _ {1}, \ mathrm {out}} ^ {\ dagger s_ {1}} | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle,}$

onde o primo em denota que uma partícula foi retirada. Agora lembre-se que na teoria livre, os operadores de partículas do tipo b podem ser escritos em termos de campo usando a relação inversa ${\ displaystyle \ alpha}$

${\ displaystyle b _ {\ textbf {p}} ^ {\ dagger s} = \ int \! \ mathrm {d} ^ {3} x \; \ mathrm {e} ^ {ip \ cdot x} {\ bar { \ Psi}} (x) \ gamma ^ {0} u _ {\ textbf {p}} ^ {s},}$

onde . Denotando os campos livres assintóticos por e , encontramos ${\ displaystyle {\ bar {\ Psi}} (x) = \ Psi ^ {\ dagger} (x) \ gamma ^ {0}}$${\ displaystyle \ Psi _ {\ text {in}}}$${\ displaystyle \ Psi _ {\ text {out}}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = \ int \! \ mathrm {d} ^ {3} x_ {1} \; \ mathrm {e} ^ {ip_ {1} \ cdot x_ {1}} \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | {\ bar {\ Psi}} _ {\ text {in}} (x_ {1}) \ gamma ^ {0} u _ {{\ textbf {p}} _ {1} } ^ {s_ {1}} - {\ bar {\ Psi}} _ {\ text {out}} (x_ {1}) \ gamma ^ {0} u _ {{\ textbf {p}} _ {1} } ^ {s_ {1}} | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle.}$

A condição assintótica fraca necessária para um campo de Dirac, análoga àquela para campos escalares, lê

${\ displaystyle \ lim _ {x ^ {0} \ rightarrow - \ infty} \ int \! \ mathrm {d} ^ {3} x \ langle \ beta | \ mathrm {e} ^ {ip \ cdot x} { \ bar {\ Psi}} (x) \ gamma ^ {0} u _ {\ textbf {p}} ^ {s} | \ alpha \ rangle = {\ sqrt {Z}} \ int \! \ mathrm {d} ^ {3} x \ langle \ beta | \ mathrm {e} ^ {ip \ cdot x} {\ bar {\ Psi}} _ {\ text {in}} (x) \ gamma ^ {0} u _ {\ textbf {p}} ^ {s} | \ alpha \ rangle,}$

e da mesma forma para o fora de campo. A amplitude de espalhamento é então

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {1} {\ sqrt {Z}}} {\ Big (} \ lim _ {x_ {1} ^ {0} \ rightarrow - \ infty} - \ lim _ {x_ {1} ^ {0} \ rightarrow + \ infty} {\ Big)} \ int \! \ mathrm {d} ^ {3} x_ {1} \; \ mathrm {e} ^ {ip_ { 1} \ cdot x_ {1}} \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | {\ bar {\ Psi}} (x_ {1}) \ gamma ^ {0} u _ {{\ textbf {p}} _ {1}} ^ {s_ {1}} | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle,}$

onde agora o campo de interação aparece no produto interno. Reescrevendo os limites em termos da integral de uma derivada de tempo, temos

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = - {\ frac {1} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ mathrm {d} ^ {4} x_ {1} \ parcial _ {0} { \ big (} \ mathrm {e} ^ {ip_ {1} \ cdot x_ {1}} \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | {\ bar {\ Psi}} (x_ {1}) \ gamma ^ {0} u _ {{\ textbf {p}} _ {1}} ^ {s_ {1}} | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle {\ big)}}$

${\ displaystyle = - {\ frac {1} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ mathrm {d} ^ {4} x_ {1} (\ partial _ {0} \ mathrm {e} ^ { ip_ {1} \ cdot x_ {1}} \ eta (x_ {1}) + \ mathrm {e} ^ {ip_ {1} \ cdot x_ {1}} \ parcial _ {0} \ eta (x_ {1 }) {\ big)} \ gamma ^ {0} u _ {{\ textbf {p}} _ {1}} ^ {s_ {1}},}$

onde o vetor linha dos elementos da matriz do campo Dirac barrado é escrito como . Agora, lembre-se de que é uma solução para a equação de Dirac: ${\ displaystyle \ eta (x_ {1}): = \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | {\ bar {\ Psi}} (x_ {1}) | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle }$${\ displaystyle \ mathrm {e} ^ {ip \ cdot x} u _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$

${\ displaystyle (-i \ parcial \! \! \! / + m) \ mathrm {e} ^ {ip \ cdot x} u _ {\ textbf {p}} ^ {s} = 0.}$

Resolvendo , substituindo-o no primeiro termo na integral e realizando uma integração por partes, resulta ${\ displaystyle \ gamma ^ {0} \ partial _ {0} \ mathrm {e} ^ {ip \ cdot x} u _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {i} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ mathrm {d} ^ {4} x_ {1} \ mathrm {e} ^ {ip_ {1} \ cdot x_ {1}} {\ big (} i \ partial _ {\ mu} \ eta (x_ {1}) \ gamma ^ {\ mu} + \ eta (x_ {1}) m {\ grande)} u _ {{\ textbf {p}} _ {1}} ^ {s_ {1}}.}$

Mudar para a notação de índice de Dirac (com somas sobre índices repetidos) permite uma expressão mais limpa, em que a quantidade entre colchetes deve ser considerada como um operador diferencial:

${\ displaystyle {\ mathcal {M}} = {\ frac {i} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ mathrm {d} ^ {4} x_ {1} \ mathrm {e} ^ {ip_ {1} \ cdot x_ {1}} [(i {\ partial \! \! \! /} _ {X_ {1}} + m) u _ {{\ textbf {p}} _ {1}} ^ { s_ {1}}] _ {\ alpha _ {1}} \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1}) | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle.}$

Considere a seguir o elemento da matriz que aparece na integral. Extraindo um operador de criação de estado out e subtraindo o operador correspondente in state, com a suposição de que nenhuma partícula de entrada tem o mesmo momento, temos

${\ displaystyle \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1}) | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle = \ langle \ beta '\ \ mathrm {out} | b _ {{\ textbf {k}} _ {1}, \ mathrm {out}} ^ {\ sigma _ {1}} {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1}) - {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1}) b _ {{\ textbf {k}} _ {1 }, \ mathrm {in}} ^ {\ sigma _ {1}} | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle.}$

Lembrando que , onde , podemos substituir os operadores de aniquilação por em campos usando o adjunto da relação inversa. Aplicando a relação assintótica, encontramos ${\ displaystyle ({\ bar {\ Psi}} \ gamma ^ {0} u _ {\ textbf {p}} ^ {s}) ^ {\ dagger} = {\ bar {u}} _ {\ textbf {p }} ^ {s} \ gamma ^ {0} \ Psi}$${\ displaystyle {\ bar {u}} _ {\ textbf {p}} ^ {s}: = u _ {\ textbf {p}} ^ {\ dagger s} \ beta}$

${\ displaystyle \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1}) | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {Z}}} {\ Big (} \ lim _ {y_ {1} ^ {0} \ rightarrow \ infty} - \ lim _ {y_ {1} ^ {0} \ rightarrow - \ infty} {\ Big)} \ int \! \ mathrm {d} ^ {3} y_ {1} \ mathrm {e} ^ {- ik_ {1} \ cdot y_ {1}} [{\ bar {u}} _ {{\ textbf {k}} _ {1}} ^ {\ sigma _ {1}} \ gamma ^ {0}] _ {\ beta _ {1}} \ langle \ beta '\ \ mathrm {out} | \ mathrm {T} [\ Psi _ {\ beta _ {1}} (y_ {1}) {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1} )] | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle.}$

Observe que um símbolo de ordenação de tempo apareceu, uma vez que o primeiro termo requer à esquerda, enquanto o segundo termo requer à direita. Seguindo as mesmas etapas de antes, esta expressão se reduz a ${\ displaystyle \ Psi _ {\ beta _ {1}} (y_ {1})}$

${\ displaystyle \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1}) | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle = {\ frac {i} {\ sqrt {Z}}} \ int \! \ mathrm {d} ^ {4} y_ {1} \ mathrm {e} ^ {- ik_ {1} \ cdot y_ {1}} [{\ bar {u}} _ {{\ textbf {k}} _ {1}} ^ {\ sigma _ {1}} (- i \ parcial \! \! \! / _ {y_ {1}} + m)] _ {\ beta _ {1}} \ langle \ beta '\ \ mathrm {out} | \ mathrm {T} [\ Psi _ {\ beta _ {1}} (y_ {1}) {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1})] | \ alpha '\ \ mathrm {in} \ rangle.}$

O resto do em e fora estados pode, então, ser extraída e reduzido do mesmo modo, resultando em última análise

${\ displaystyle \ langle \ beta \ \ mathrm {out} | \ alpha \ \ mathrm {in} \ rangle = \ int \! \ prod _ {j = 1} ^ {n} \ mathrm {d} ^ {4} x_ {j} {\ frac {i \ mathrm {e} ^ {ip_ {j} x_ {j}}} {\ sqrt {Z}}} [(i {\ parcial \! \! \! /} _ { x_ {j}} + m) u _ {{\ textbf {p}} _ {j}} ^ {s_ {j}}] _ {\ alpha _ {j}} \ prod _ {l = 1} ^ {n '} \ mathrm {d} ^ {4} y_ {l} {\ frac {i \ mathrm {e} ^ {- ik_ {l} y_ {l}}} {\ sqrt {Z}}} [{\ bar {u}} _ {{\ textbf {k}} _ {l}} ^ {\ sigma _ {l}} (- i {\ parcial \! \! \! /} _ {y_ {l}} + m )] _ {\ beta _ {l}} \ langle 0 | \ mathrm {T} [\ Psi _ {\ beta _ {1}} (y_ {1}) ... \ Psi _ {\ beta _ {n '}} (y_ {n'}) {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ {1}} (x_ {1}) ... {\ bar {\ Psi}} _ {\ alpha _ { n}} (x_ {n})] | 0 \ rangle.}$

O mesmo procedimento pode ser feito para o espalhamento de partículas do tipo d, para as quais 's são substituídos por ' s, e 'se ' s são trocados. ${\ displaystyle u _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$${\ displaystyle v _ {\ textbf {p}} ^ {s}}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle {\ bar {\ Psi}}}$

Normalização de força de campo

A razão do factor de normalização Z na definição de em e fora campos pode ser compreendido tomando que a relação entre o vácuo e um único estado de partículas com quatro momento em-concha: ${\ displaystyle | p \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle 0 | \ varphi (x) | p \ rangle = {\ sqrt {Z}} \ langle 0 | \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) | p \ rangle + \ int \ mathrm {d} ^ {4} y \ Delta _ {\ mathrm {ret}} (xy) \ langle 0 | j (y) | p \ rangle}$

Lembrando que tanto φ quanto φ _em são campos escalares com sua transformação de Lorentz de acordo com:

${\ displaystyle \ varphi (x) = e ^ {iP \ cdot x} \ varphi (0) e ^ {- iP \ cdot x}}$

onde P ^μ é o operador de quatro momentos, podemos escrever:

${\ displaystyle e ^ {- ip \ cdot x} \ langle 0 | \ varphi (0) | p \ rangle = {\ sqrt {Z}} e ^ {- ip \ cdot x} \ langle 0 | \ varphi _ { \ mathrm {in}} (0) | p \ rangle + \ int \ mathrm {d} ^ {4} y \ Delta _ {\ mathrm {ret}} (xy) \ langle 0 | j (y) | p \ rangle}$

Aplicando o operador de Klein – Gordon ∂ ² + m ² em ambos os lados, lembrando que o momento p de quatro está na casca e que Δ _ret é a função de Green do operador, obtemos:

${\ displaystyle 0 = 0 + \ int \ mathrm {d} ^ {4} y \ delta ^ {4} (xy) \ langle 0 | j (y) | p \ rangle; \ quad \ Leftrightarrow \ quad \ langle 0 | j (x) | p \ rangle = 0}$

Então chegamos à relação:

${\ displaystyle \ langle 0 | \ varphi (x) | p \ rangle = {\ sqrt {Z}} \ langle 0 | \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) | p \ rangle}$

o que explica a necessidade do fator Z . O no campo é um campo livre, de modo que só pode conectar um estados de partículas com o vácuo. Ou seja, seu valor esperado entre o vácuo e um estado de muitas partículas é nulo. Por outro lado, o campo de interação também pode conectar estados de muitas partículas ao vácuo, graças à interação, de modo que os valores esperados nos dois lados da última equação são diferentes e precisam de um fator de normalização entre eles. O lado direito pode ser calculado de forma explícita, através da expansão do em campo no operadores de criação e aniquilação:

${\ displaystyle \ langle 0 | \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) | p \ rangle = \ int {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} q} {(2 \ pi) ^ { \ frac {3} {2}} (2 \ omega _ {q}) ^ {\ frac {1} {2}}}} e ^ {- iq \ cdot x} \ langle 0 | a _ {\ mathrm {em }} (\ mathbf {q}) | p \ rangle = \ int {\ frac {\ mathrm {d} ^ {3} q} {(2 \ pi) ^ {\ frac {3} {2}}}} e ^ {- iq \ cdot x} \ langle 0 | a _ {\ mathrm {in}} (\ mathbf {q}) a _ {\ mathrm {in}} ^ {\ dagger} (\ mathbf {p}) | 0 \ rangle}$

Usando a relação de comutação entre um _em e obtemos: ${\ displaystyle a _ {\ mathrm {in}} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle \ langle 0 | \ varphi _ {\ mathrm {in}} (x) | p \ rangle = {\ frac {e ^ {- ip \ cdot x}} {(2 \ pi) ^ {\ frac { 3} {2}}}}}$

levando à relação:

${\ displaystyle \ langle 0 | \ varphi (0) | p \ rangle = {\ sqrt {\ frac {Z} {(2 \ pi) ^ {3}}}}}$

pelo qual o valor de Z pode ser calculado, desde que se saiba como calcular . ${\ displaystyle \ langle 0 | \ varphi (0) | p \ rangle}$

Referências

• O artigo original é: H. Lehmann, K. Symanzik e W. Zimmerman, "Zur Formulierung quantisierter Feldtheorien," Nuovo Cimento 1 (1), 205 (1955).
• Uma derivação pedagógica da fórmula de redução LSZ pode ser encontrada em: Peskin e Schroeder, Seção 7.2, também em Srednicki, Seção I.5, ou em Weinberg, pp. 436-438.