Paradoxo da escada - Ladder paradox

O paradoxo da escada (ou paradoxo do pólo do celeiro ) é um experimento mental na relatividade especial . Trata-se de uma escada, paralela ao solo, que se desloca horizontalmente em velocidade relativística (próxima à velocidade da luz) e, portanto, sofre uma contração do comprimento de Lorentz . A escada é imaginada passando pelas portas abertas dianteiras e traseiras de uma garagem ou celeiro que é mais curto do que o comprimento de descanso , então se a escada não estivesse se movendo não seria capaz de caber dentro. Para um observador estacionário, devido à contração, a escada móvel é capaz de caber inteiramente no interior do edifício à medida que passa. Por outro lado, do ponto de vista de um observador que se move com a escada, a escada não será contraída, e é o edifício que Lorentz será contraído em um comprimento ainda menor. Portanto, a escada não será capaz de caber no interior do edifício à medida que passa. Isso representa uma aparente discrepância entre as realidades de ambos os observadores.

Esse aparente paradoxo resulta da suposição equivocada da simultaneidade absoluta. Diz-se que a escada cabe na garagem se ambas as extremidades puderem ser feitas para ficarem simultaneamente dentro da garagem. O paradoxo se resolve quando se considera que na relatividade a simultaneidade é relativa a cada observador, fazendo com que a resposta se a escada caiba dentro da garagem também seja relativa a cada um deles.

Paradoxo

A versão mais simples do problema envolve uma garagem, com uma porta dianteira e outra traseira abertas e uma escada que, parada em relação à garagem, é muito longa para caber no interior. Agora movemos a escada em alta velocidade horizontal através da garagem estacionária. Por causa de sua alta velocidade, a escada sofre o efeito relativístico da contração do comprimento e se torna significativamente mais curta. Como resultado, conforme a escada passa pela garagem, ela fica, por um tempo, completamente contida dentro dela. Poderíamos, se quiséssemos, fechar as duas portas simultaneamente por um breve período, para demonstrar que a escada se encaixa.

Até agora, isso é consistente. O aparente paradoxo surge quando consideramos a simetria da situação. Como um observador que se move com a escada está viajando em velocidade constante no referencial inercial da garagem, esse observador também ocupa um referencial inercial, onde, pelo princípio da relatividade , as mesmas leis da física se aplicam. Nessa perspectiva, é a escada que agora está parada e a garagem que se move em alta velocidade. É, portanto, a garagem que tem o comprimento contraído, e agora concluímos que é muito pequena para ter contido totalmente a escada enquanto ela passava: a escada não se encaixa e não podemos fechar ambas as portas em nenhum dos lados da escada sem acertar. Essa aparente contradição é o paradoxo.

Figura 1: Uma visão geral da garagem e da escada em repouso
Figura 2: No quadro da garagem, a escada sofre uma contração de comprimento e, portanto, caberá na garagem.
Figura 3: Na estrutura da escada, a garagem sofre uma contração de comprimento e é muito pequena para conter a escada.

Resolução

Figura 4: Cenário na estrutura da garagem: uma escada contraída de comprimento passando pela garagem
Figura 5: Cenário na estrutura da escada: uma garagem contraída em comprimento passando sobre a escada. Apenas uma porta é fechada a qualquer momento

A solução para o aparente paradoxo está na relatividade da simultaneidade : o que um observador (por exemplo, com a garagem) considera como dois eventos simultâneos pode não ser de fato simultâneo a outro observador (por exemplo, com a escada). Quando dizemos que a escada "cabe" dentro da garagem, o que queremos dizer exatamente é que, em algum momento específico, a posição da parte de trás da escada e a posição da frente da escada estavam ambas dentro da garagem; em outras palavras, a frente e a parte de trás da escada estavam dentro da garagem simultaneamente. Como a simultaneidade é relativa, então, dois observadores discordam sobre se a escada se encaixa. Para o observador com a garagem, a extremidade traseira da escada estava na garagem ao mesmo tempo que a extremidade dianteira da escada, e então a escada se encaixava; mas para o observador com a escada, esses dois eventos não eram simultâneos, e a escada não se encaixava.

Uma maneira clara de ver isso é considerar as portas, que, no caixilho da garagem, fecham pelo breve período em que a escada fica totalmente do lado de dentro. Agora olhamos para esses eventos na estrutura da escada. O primeiro evento é a frente da escada que se aproxima da porta de saída da garagem. A porta se fecha e se abre novamente para permitir a passagem da parte da frente da escada. Mais tarde, a parte de trás da escada passa pela porta de entrada, que se fecha e depois se abre. Vemos que, como a simultaneidade é relativa, as duas portas não precisaram ser fechadas ao mesmo tempo, e a escada não precisou caber dentro da garagem.

A situação pode ser melhor ilustrada pelo diagrama de Minkowski abaixo. O diagrama está no quadro de descanso da garagem. A faixa azul-clara vertical mostra a garagem no espaço-tempo, e a faixa vermelha-clara mostra a escada no espaço-tempo. Os eixos x e t são os eixos do espaço da garagem e do tempo, respectivamente, e x ′ e t ′ são os eixos do espaço e do tempo da escada, respectivamente.

No quadro da garagem, a escada em um determinado momento é representada por um conjunto horizontal de pontos, paralelos ao eixo x, na faixa vermelha. Um exemplo é o segmento de linha azul em negrito, que fica dentro da faixa azul que representa a garagem e que representa a escada no momento em que ela está totalmente dentro da garagem. Na estrutura da escada, entretanto, os conjuntos de eventos simultâneos ficam em linhas paralelas ao eixo x '; a escada em qualquer momento específico é, portanto, representada por uma seção transversal dessa linha com a faixa vermelha. Um exemplo é o segmento de linha vermelha em negrito. Vemos que esses segmentos de linha nunca ficam totalmente dentro da faixa azul; ou seja, a escada nunca fica totalmente dentro da garagem.

Figura 6: Um diagrama de Minkowski do paradoxo da escada. A garagem é mostrada em azul claro, a escada em vermelho claro. O diagrama está no quadro de descanso da garagem, com x e t sendo o espaço da garagem e os eixos do tempo, respectivamente. A estrutura da escada é para uma pessoa sentada na frente da escada, com x ′ e t ′ sendo os eixos de espaço e tempo da escada, respectivamente. As linhas azul e vermelha, AB e AC, retratam a escada no momento em que sua parte frontal encontra a porta de saída da garagem, no referencial da garagem e da escada, respectivamente. O evento D é a extremidade traseira da escada que alcança a entrada da garagem.

Fechando a escada na garagem

Figura 7: Uma escada se contraindo sob aceleração para caber em uma longa garagem fechada

Em uma versão mais complicada do paradoxo, podemos prender fisicamente a escada quando ela estiver totalmente dentro da garagem. Isso pode ser feito, por exemplo, não abrindo a porta de saída novamente depois de fechá-la. No quadro da garagem, assumimos que a porta de saída é imóvel e, portanto, quando a escada bate nela, dizemos que ela pára instantaneamente. A essa altura, a porta de entrada também se fechou e a escada está presa dentro da garagem. Como sua velocidade relativa agora é zero, ele não está contraído em comprimento e agora é mais longo que a garagem; ele terá que entortar, quebrar ou explodir.

Novamente, o quebra-cabeça vem considerando a situação do quadro da escada. Na análise acima, em seu próprio enquadramento, a escada sempre foi mais longa que a garagem. Então, como fechamos as portas e o prendemos lá dentro?

É importante notar aqui uma característica geral da relatividade: deduzimos, considerando a estrutura da garagem, que de fato prendemos a escada dentro da garagem. Isso deve, portanto, ser verdade em qualquer quadro - não pode ser o caso de a escada se encaixar em um quadro, mas não em outro. A partir da estrutura da escada, então, sabemos que deve haver alguma explicação para como a escada ficou presa; devemos simplesmente encontrar a explicação.

A explicação é que, embora todas as partes da escada desacelerem simultaneamente para zero no quadro da garagem, porque a simultaneidade é relativa, as desacelerações correspondentes no quadro da escada não são simultâneas. Em vez disso, cada parte da escada desacelera sequencialmente, da frente para trás, até que finalmente a parte traseira da escada desacelera, momento em que já está dentro da garagem.

Como a contração do comprimento e a dilatação do tempo são controladas pelas transformações de Lorentz , o paradoxo da escada pode ser visto como um correlato físico do paradoxo dos gêmeos , no qual um de um conjunto de gêmeos deixa a terra, viaja em velocidade por um período e retorna para a terra um pouco mais jovem do que o gêmeo terrestre. Como no caso da escada presa dentro do celeiro, se nenhum referencial é privilegiado - cada um se move apenas em relação ao outro - como pode ser que seja o gêmeo viajante e não o estacionário que é mais jovem (assim como é a escada em vez do celeiro, que é mais curto)? Em ambos os casos, é a aceleração-desaceleração que diferencia os fenômenos: é o gêmeo, não a terra (ou a escada, não o celeiro) que sofre a força de desaceleração ao retornar ao temporal (ou físico, no caso do escada-celeiro) estrutura inercial.

Figura 8: Um diagrama de Minkowski do caso em que a escada está parada ao longo de todo o seu comprimento, simultaneamente no quadro da garagem. Quando isso ocorre, o quadro da garagem vê a escada como AB, mas o quadro da escada vê a escada como AC. Quando a parte de trás da escada entra na garagem no ponto D, ela ainda não sentiu os efeitos da aceleração de sua extremidade dianteira. Neste momento, de acordo com alguém em repouso em relação à parte de trás da escada, a frente da escada estará no ponto E e verá a escada como DE. Vê-se que este comprimento na estrutura da escada não é igual ao CA, o comprimento restante da escada antes da desaceleração.

Paradoxo da escada e transmissão de força

Figura 1: Um diagrama de Minkowski do caso em que a escada é travada pelo impacto com a parede traseira da garagem. O impacto é o evento A. No impacto, a estrutura da garagem vê a escada como AB, mas a estrutura da escada vê a escada como AC. A escada não se move para fora da garagem, então sua extremidade dianteira agora sobe diretamente, através do ponto E. A parte de trás da escada não mudará sua trajetória no espaço-tempo até que sinta os efeitos do impacto. O efeito do impacto pode se propagar para fora de A não mais rápido do que a velocidade da luz, então a parte de trás da escada nunca sentirá os efeitos do impacto até o ponto F ou posterior, momento em que a escada está bem dentro da garagem em ambos quadros. Observe que quando o diagrama é desenhado no quadro da escada, a velocidade da luz é a mesma, mas a escada é mais longa, por isso leva mais tempo para a força atingir a extremidade traseira; isso dá tempo suficiente para que a parte de trás da escada se mova dentro da garagem.

E se a porta dos fundos (a porta pela qual sai da escada) estiver fechada permanentemente e não abrir? Suponha que a porta seja tão sólida que a escada não vai penetrar nela quando colidir, então ela deve parar. Então, como no cenário descrito acima, no quadro de referência da garagem, há um momento em que a escada está completamente dentro da garagem (ou seja, a parte de trás da escada está dentro da porta da frente), antes de colidir com o porta traseira e pára. No entanto, do quadro de referência da escada, a escada é muito grande para caber na garagem, então, no momento em que ela colide com a porta dos fundos e pare, a parte de trás da escada ainda não alcançou a porta da frente. Isso parece um paradoxo. A questão é: a parte de trás da escada cruza a porta da frente ou não?

A dificuldade surge principalmente do pressuposto de que a escada é rígida (ou seja, mantém a mesma forma). As escadas parecem rígidas na vida cotidiana. Mas ser completamente rígido requer que ele possa transferir força em velocidade infinita (ou seja, quando você empurra uma extremidade, a outra extremidade deve reagir imediatamente, caso contrário, a escada se deformará). Isso contradiz a relatividade especial, que afirma que a informação não pode viajar mais rápido do que a velocidade da luz (que é muito rápida para que possamos notar na vida real, mas é significativa no cenário da escada). Portanto, os objetos não podem ser perfeitamente rígidos sob a relatividade especial.

Nesse caso, no momento em que a frente da escada colide com a porta dos fundos, a parte de trás da escada ainda não sabe disso, então continua se movendo para a frente (e a escada "se comprime"). Tanto na estrutura da garagem quanto na estrutura inercial da escada, a extremidade traseira continua se movendo no momento da colisão, até pelo menos o ponto onde a parte traseira da escada entra no cone de luz da colisão (ou seja, um ponto onde a força que se move para trás na velocidade da luz a partir do ponto da colisão o alcançará). Neste ponto, a escada é, na verdade, mais curta do que o comprimento contratado original, de modo que a extremidade traseira fica bem dentro da garagem. Cálculos em ambos os referenciais mostrarão que esse é o caso.

O que acontece depois que a força atinge a parte de trás da escada (a zona "verde" no diagrama) não é especificado. Dependendo da física, a escada pode quebrar; ou, se fosse suficientemente elástico, ele poderia dobrar e expandir novamente para seu comprimento original. Em velocidades suficientemente altas, qualquer material realista explodiria violentamente em um plasma.

Homem caindo na variação da grelha

Um homem (representado por uma haste segmentada) caindo em uma grade

Esta versão inicial do paradoxo foi originalmente proposta e resolvida por Wolfgang Rindler e envolvia um homem que caminhava rapidamente, representado por uma vara, caindo em uma grade. Assume-se que a barra está inteiramente sobre a grade no quadro de referência da grade antes que a aceleração para baixo comece simultânea e igualmente aplicada a cada ponto da barra.

Do ponto de vista da grelha, a haste sofre uma contração de comprimento e se encaixa na grelha. No entanto, da perspectiva da haste, é a grade sofrendo uma contração de comprimento, através da qual parece que a haste é longa demais para cair.

A aceleração para baixo da barra, que é simultânea no referencial da grade, não é simultânea no referencial da barra. No quadro de referência da haste, a frente da haste é primeiro acelerada para baixo (mostrado na célula 3 do desenho), e conforme o tempo passa, mais e mais da haste é submetida à aceleração para baixo, até que finalmente a parte traseira de a haste é acelerada para baixo. Isso resulta em uma dobra da haste em seu quadro de referência. Uma vez que esta dobra ocorre na estrutura de descanso da barra, é uma verdadeira distorção física da barra, que fará com que ocorram tensões na barra.

Para que esse comportamento não rígido da barra se torne aparente, a própria barra e a grade devem ser de tal escala que o tempo de percurso seja mensurável.

Paradoxo de barra e anel

O diagrama à esquerda ilustra uma barra e um anel no quadro restante do anel no instante em que seus centros coincidem. A barra é contraída por Lorentz e se move para cima e para a direita enquanto o anel está parado e não contraído. O diagrama à direita ilustra a situação no mesmo instante, mas no quadro restante da barra. O anel agora está contraído por Lorentz e girado em relação à barra, e a barra não está contraída. Novamente, o anel passa por cima da barra sem tocá-la.

Um problema muito semelhante, mas mais simples do que o paradoxo da haste e da grelha, envolvendo apenas armações inerciais, é o paradoxo "barra e anel" (Ferraro 2007). O paradoxo da vara e da grade é complicado: envolve quadros de referência não inerciais, já que em um momento o homem está caminhando horizontalmente e, um momento depois, está caindo; e envolve uma deformação física do homem (ou haste segmentada), uma vez que a haste é dobrada em um referencial e reta em outro. Esses aspectos do problema introduzem complicações envolvendo a rigidez da haste que tende a obscurecer a natureza real do "paradoxo". O paradoxo "barra e anel" está livre dessas complicações: uma barra, que é ligeiramente maior em comprimento que o diâmetro de um anel, está se movendo para cima e para a direita com seu longo eixo horizontal, enquanto o anel está estacionário e plano do anel também é horizontal. Se o movimento da barra é tal que o centro da barra coincide com o centro do anel em algum ponto no tempo, então a barra será contraída por Lorentz devido ao componente para frente de seu movimento, e passará pelo anel. O paradoxo ocorre quando o problema é considerado no quadro restante da barra. O anel agora está se movendo para baixo e para a esquerda, e será contraído por Lorentz ao longo de seu comprimento horizontal, enquanto a barra não será contraída de forma alguma. Como a barra pode passar pelo ringue?

A resolução do paradoxo está novamente na relatividade da simultaneidade (Ferraro 2007). O comprimento de um objeto físico é definido como a distância entre dois eventos simultâneos que ocorrem em cada extremidade do corpo e, como a simultaneidade é relativa, esse comprimento também o é. Essa variabilidade em comprimento é apenas a contração de Lorentz. Da mesma forma, um ângulo físico é definido como o ângulo formado por três eventos simultâneos , e esse ângulo também será uma quantidade relativa. No paradoxo acima, embora a haste e o plano do anel sejam paralelos na estrutura de descanso do anel, eles não são paralelos na estrutura de descanso da haste. A haste não contraída passa pelo anel contraído por Lorentz porque o plano do anel é girado em relação à haste por uma quantidade suficiente para permitir a passagem da haste.

Em termos matemáticos, uma transformação de Lorentz pode ser separada no produto de uma rotação espacial e uma transformação de Lorentz "adequada" que não envolve rotação espacial. A resolução matemática do paradoxo da barra e do anel é baseada no fato de que o produto de duas transformações de Lorentz adequadas (horizontal e vertical) pode produzir uma transformação de Lorentz que não é adequada (diagonal), mas inclui um componente de rotação espacial.

Veja também

Notas

  1. ^ a b c Rindler, Wolfgang (1961). "Paradoxo de contração de comprimento". American Journal of Physics . 29 (6): 365–366. Bibcode : 1961AmJPh..29..365R . doi : 10.1119 / 1.1937789 .
  2. ^ Rindler descreve uma haste que experimenta aceleração simultânea
  3. ^ Rindler descreve a haste em aceleração sequencial.
  4. ^ Edwin F. Taylor; John Archibald Wheeler (1992). Física do Espaço-Tempo: Introdução à Relatividade Especial . Nova York: WH Freeman. pp.  116 . ISBN   0-7167-2327-1 .

Referências

Leitura adicional

  • Edwin F. Taylor e John Archibald Wheeler, Spacetime Physics (2ª ed) (Freeman, NY, 1992)
- discute vários paradoxos SR aparentes e suas soluções

links externos

  • Animações da Relatividade Especial de John de Pillis. Este paradoxo animado interativo do trem e do túnel é um análogo do paradoxo do pólo (trem) e do celeiro (túnel).