Pole Landau - Landau pole

Na física , o pólo de Landau (ou o zero de Moscou , ou o fantasma de Landau ) é a escala de momento (ou energia) na qual a constante de acoplamento (força de interação) de uma teoria quântica de campos torna-se infinita. Tal possibilidade foi apontada pelo físico Lev Landau e seus colegas. O fato de que os acoplamentos dependem da escala de momentum (ou comprimento) é a ideia central por trás do grupo de renormalização .

Pólos Landau aparecem em teorias que não são assintoticamente livre , como eletrodinâmica quântica (QED) ou & Phi 4 teoria um campo escalar com uma interação quartic -como pode descrever o bóson de Higgs . Nessas teorias, a constante de acoplamento renormalizada cresce com a energia. Um pólo Landau aparece quando o acoplamento se torna infinito em uma escala de energia finita. Em uma teoria que pretende ser completa, isso pode ser considerado uma inconsistência matemática. Uma possível solução é que a carga renormalizada pode ir a zero quando o corte é removido, o que significa que a carga é completamente protegida por flutuações quânticas ( polarização a vácuo ). Este é um caso de trivialidade quântica , o que significa que as correções quânticas suprimem completamente as interações na ausência de um corte.

Uma vez que o pólo de Landau é normalmente identificado através de cálculos perturbativos de um ou dois laços, é possível que o pólo seja meramente um sinal de que a aproximação perturbativa quebra no forte acoplamento. A teoria da perturbação também pode ser inválida se existirem estados não adiabáticos . A teoria de calibre reticulado fornece um meio de abordar questões na teoria quântica de campos além do reino da teoria de perturbação e, portanto, tem sido usada para tentar resolver essa questão.

Cálculos numéricos realizados nesta estrutura parecem confirmar a conclusão de Landau de que a carga QED é completamente selecionada para um corte infinito.

Breve história

De acordo com Landau, Abrikosov e Khalatnikov , a relação da carga observável g obs com a carga "nua" g 0 para teorias de campo renormalizáveis ​​quando Λ ≫ m é dado por

onde m é a massa da partícula e Λ é o momento de corte. Se g 0 <∞ e Λ → ∞ então g obs → 0 e a teoria parece trivial. Na verdade, invertendo a Eq.1, de modo que g 0 (relacionado à escala de comprimento Λ −1 ) revela um valor preciso de g obs ,

Conforme Λ cresce, a carga nua g 0 = g (Λ) aumenta, para finalmente divergir no ponto de renormalização

Esta singularidade é o pólo Landau com um resíduo negativo ,   g (Λ) ≈ −Λ Landau / ( β 2 (Λ - Λ Landau )) .

De fato, porém, o crescimento de g 0 invalida as Eqs.1,2 na região g 0 ≈ 1 , uma vez que foram obtidas para g 0 ≪ 1 , de forma que a existência não perturbativa do pólo de Landau torna-se questionável.

O comportamento real da carga g ( μ ) em função da escala de momentum μ é determinado pela equação de Gell-Mann - Low

que dá Eqs.1,2 se for integrado nas condições g ( μ ) = g obs para μ = m e g ( μ ) = g 0 para μ = Λ , quando apenas o termo com β 2 é retido na mão direita lado. O comportamento geral de g ( μ ) depende do aparecimento da função β ( g ) .

De acordo com a classificação de Bogoliubov e Shirkov, existem três casos qualitativamente diferentes:

  • (a) se β ( g ) tem um zero no valor finito g , então o crescimento de g é saturado, ou seja, g ( μ ) → g para μ → ∞ ;
  • (b) se β ( g ) não é alternado e se comporta como β ( g ) ∝ g α com α ≤ 1 para g grande , então o crescimento de g ( μ ) continua até o infinito;
  • (c) se β ( g ) ∝ g α com α > 1 para g grande , então g ( μ ) é divergente no valor finito μ 0 e surge o pólo de Landau real: a teoria é internamente inconsistente devido à indeterminação de g ( μ ) para μ > μ 0 .

Landau e Pomeranchuk tentaram justificar a possibilidade (c) no caso da teoria QED e φ 4 . Eles notaram que o crescimento de g 0 na Eq.1 leva a carga observável g obs ao limite constante, que não depende de g 0 . O mesmo comportamento pode ser obtido a partir das integrais funcionais, omitindo os termos quadráticos na ação. Se desprezar os termos quadráticos já é válido para g 0 ≪ 1 , é ainda mais válido para g 0 da ordem ou maior que a unidade: dá uma razão para considerar a Eq.1 válida para g 0 arbitrário . A validade dessas considerações no nível quantitativo é excluída pela forma não quadrática da função β .

No entanto, eles podem ser corretos qualitativamente. De fato, o resultado g obs = const ( g 0 ) pode ser obtido das integrais funcionais apenas para g 0 ≫ 1 , enquanto sua validade para g 0 ≪ 1 , baseada na Eq.1, pode estar relacionada a outras razões; para g 0 ≈ 1 este resultado é provavelmente violado, mas a coincidência de dois valores constantes na ordem de magnitude pode ser esperada a partir da condição de casamento. Os resultados de Monte Carlo parecem confirmar a validade qualitativa dos argumentos de Landau-Pomeranchuk, embora uma interpretação diferente também seja possível.

O caso (c) na classificação de Bogoliubov e Shirkov corresponde à trivialidade quântica em teoria completa (além de seu contexto de perturbação), como pode ser visto por uma reductio ad absurdum . De fato, se g obs <∞ , a teoria é internamente inconsistente. A única maneira de evitá-lo é para μ 0 → ∞ , o que só é possível para g obs → 0 . É uma crença generalizada que tanto a QED quanto a teoria φ 4 são triviais no limite do contínuo.

Aspectos fenomenológicos

Em uma teoria que pretende representar uma interação física em que a constante de acoplamento é conhecida como diferente de zero, os pólos de Landau ou a trivialidade podem ser vistos como um sinal de incompletude na teoria . Por exemplo, geralmente não se acredita que QED seja uma teoria completa por si só, porque não descreve outras interações fundamentais e contém um pólo de Landau. Convencionalmente, o QED faz parte da teoria eletrofraca mais fundamental . O grupo U (1) Y da teoria eletrofraca também tem um pólo Landau, que geralmente é considerado um sinal da necessidade de uma incorporação definitiva em uma Grande Teoria Unificada . A grande escala unificada forneceria um corte natural bem abaixo da escala de Landau, evitando que o pólo tivesse consequências físicas observáveis.

O problema do pólo Landau no QED é de puro interesse acadêmico, pelo seguinte motivo. O papel de g obs nas Eqs. 1, 2 é jogado pela constante de estrutura fina α ≈ 1/137 e a escala de Landau para QED é estimada em 10 286 eV, que está muito além de qualquer escala de energia relevante para a física observável. Para efeito de comparação, as energias máximas acessíveis no Grande Colisor de Hádrons são da ordem de 10 13 eV, enquanto a escala de Planck , na qual a gravidade quântica se torna importante e a relevância da própria teoria quântica de campos pode ser questionada, é de 10 28 eV.

O bóson de Higgs no modelo padrão da física de partículas é descrito pela teoria φ 4 (ver interação quártica ). Se o último tiver um pólo de Landau, então esse fato é usado para definir um "limite de trivialidade" na massa de Higgs. O limite depende da escala em que a nova física é assumida e do valor máximo do acoplamento quártico permitido (seu valor físico é desconhecido). Para grandes acoplamentos, métodos não perturbativos são necessários. Os cálculos reticulados também têm sido úteis neste contexto.

Conexões com a física estatística

Uma compreensão mais profunda do significado físico e da generalização do processo de renormalização que leva aos pólos de Landau vem da física da matéria condensada. O artigo de Leo P. Kadanoff em 1966 propôs o grupo de renormalização "block-spin". A ideia de bloqueio é uma forma de definir os componentes da teoria a grandes distâncias como agregados de componentes em distâncias mais curtas. Essa abordagem foi desenvolvida por Kenneth Wilson . Ele recebeu o prêmio Nobel por essas contribuições decisivas em 1982.

Suponha que temos uma teoria descrita por uma certa função das variáveis ​​de estado e um conjunto de constantes de acoplamento . Esta função pode ser uma função de partição , uma ação ou um Hamiltoniano . Considere uma certa transformação de bloqueio das variáveis ​​de estado , o número de deve ser menor que o número de . Agora, vamos tentar reescrever a função apenas em termos de . Se isso for alcançável por uma certa mudança nos parâmetros , então a teoria é considerada renormalizável . As informações mais importantes no fluxo de RG são seus pontos fixos . Os possíveis estados macroscópicos do sistema, em grande escala, são dados por este conjunto de pontos fixos. Se esses pontos fixos correspondem a uma teoria de campo livre, diz-se que a teoria exibe trivialidade quântica e possui um pólo de Landau. Numerosos pontos fixos aparecem no estudo das teorias de Higgs da rede , mas não se sabe se correspondem às teorias de campo livre.

Cálculos perturbativos de grande ordem

A solução do problema do pólo de Landau requer o cálculo da função de Gell-Mann-Low β ( g ) em ge arbitrário e, em particular, seu comportamento assintótico para g → ∞ . Os cálculos diagramáticos permitem obter apenas alguns coeficientes de expansão β 2 , β 3 , ... , o que não permite investigar a função β no todo. O progresso tornou-se possível após o desenvolvimento do método Lipatov para calcular grandes ordens da teoria de perturbação: Pode-se agora tentar interpolar os coeficientes conhecidos β 2 , β 3 , ... com seu comportamento de grande ordem, e então somar as séries de perturbação.

As primeiras tentativas de reconstrução da função β por este método referem-se à trivialidade da teoria φ 4 . A aplicação de métodos de soma mais avançados resultou no expoente α no comportamento assintótico β ( g ) ∝ g α , um valor próximo da unidade. A hipótese para o comportamento assintótico de β ( g ) ∝ g foi recentemente apresentada analiticamente para a teoria φ 4 e QED. Juntamente com a positividade de β ( g ) , obtida pela soma das séries, sugere o caso (b) da classificação de Bogoliubov e Shirkov acima e, portanto, a ausência do pólo de Landau nessas teorias, assumindo que a teoria da perturbação é válida (mas veja discussão acima na introdução).

Veja também

Referências