Lemniscate - Lemniscate
Na geometria algébrica , uma lemniscata é qualquer uma das várias curvas em formato de oito ou ∞ . A palavra vem do latim "lēmniscātus", que significa "decorado com fitas", do grego λημνίσκος que significa "fitas" ou que, alternativamente, pode se referir à lã com a qual as fitas foram feitas.
As curvas que foram chamadas de lemniscata incluem três curvas de plano quártico : o hipopótamo ou lemniscata de Booth , a lemniscata de Bernoulli e a lemniscata de Gerono . O estudo das lemniscatas (e em particular do hippopede) data da matemática grega antiga , mas o termo "lemniscata" para curvas desse tipo vem do trabalho de Jacob Bernoulli no final do século XVII.
História e exemplos
Lemniscate of Booth
A consideração das curvas com a forma de um oito pode ser rastreada até Proclus , um filósofo e matemático neoplatônico grego que viveu no século 5 DC. Proclo considerou as seções transversais de um toro por um plano paralelo ao eixo do toro. Como ele observou, para a maioria dessas seções, a seção transversal consiste em uma ou duas formas ovais; no entanto, quando o plano é tangente à superfície interna do toro, a seção transversal assume a forma de um oito, que Proclo chamou de grilhão de cavalo (um dispositivo para manter os dois pés de um cavalo juntos), ou "hipopótamo" em grego. O nome "lemniscata de Booth" para esta curva data de seu estudo pelo matemático do século 19, James Booth .
A lemniscata pode ser definida como uma curva algébrica , o conjunto zero do polinômio quártico quando o parâmetro d é negativo (ou zero para o caso especial em que a lemniscata se torna um par de círculos tangentes externamente). Para valores positivos de d, em vez disso, obtém-se o oval de Booth .
Lemniscate de Bernoulli
Em 1680, a Cassini estudou uma família de curvas, agora denominada oval de Cassini , definida da seguinte forma: o locus de todos os pontos, o produto de cujas distâncias de dois pontos fixos, os focos das curvas , é uma constante. Em circunstâncias muito particulares (quando a meia distância entre os pontos é igual à raiz quadrada da constante), isso dá origem a uma lemniscata.
Em 1694, Johann Bernoulli estudou o caso da lemniscata do oval de Cassini, agora conhecido como a lemniscata de Bernoulli (mostrado acima), em conexão com um problema de " isócronas " que havia sido colocado anteriormente por Leibniz . Como o hipopótamo, é uma curva algébrica, o conjunto zero do polinômio . O irmão de Bernoulli, Jacob Bernoulli, também estudou a mesma curva no mesmo ano e deu a ela o nome de lemniscata. Também pode ser definido geometricamente como o local dos pontos cujo produto das distâncias de dois focos é igual ao quadrado da metade da distância interfocal. É um caso especial do hippopede (lemniscata de Booth), com e pode ser formado como uma seção transversal de um toro cujo orifício interno e seções transversais circulares têm o mesmo diâmetro. As funções elípticas lemniscáticas são análogas às funções trigonométricas para a lemniscata de Bernoulli, e as constantes da lemniscata surgem na avaliação do comprimento do arco dessa lemniscata.
Lemniscate de Gerono
Outra lemniscata, a lemniscata de Gerono ou lemniscata de Huygens, é o conjunto zero do polinômio quártico . A curva de Viviani , uma curva tridimensional formada pela intersecção de uma esfera com um cilindro, também tem a forma de um oito e tem a lemniscata de Gerono como sua projeção plana.
Outros
Outras curvas algébricas em forma de oito incluem
- A curva do diabo , uma curva definida pela equação quártica em que um componente conectado tem a forma de um oito,
- Curva de Watt , uma curva em forma de oito formada por uma ligação mecânica. A curva de Watt é o conjunto zero da equação polinomial de grau seis e tem a lemniscata de Bernoulli como um caso especial.
Veja também
- Analemma , a curva em forma de oito traçada pelas posições do sol do meio-dia no céu ao longo de um ano
- símbolo infinito
- Lemniscates como cônicas generalizadas
- Atrator de Lorenz , um sistema dinâmico tridimensional exibindo uma forma de lemniscata
- Lemniscata polinomial , um conjunto de níveis do valor absoluto de um polinômio complexo
Referências
links externos
- "Lemniscates" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]