Potencial de Liénard-Wiechert - Liénard–Wiechert potential

Os potenciais de Liénard-Wiechert descrevem o efeito eletromagnético clássico de uma carga pontual elétrica em movimento em termos de um potencial vetorial e um potencial escalar no calibre de Lorenz . Provenientes diretamente das equações de Maxwell , eles descrevem o campo eletromagnético completo, relativisticamente correto e variável no tempo para uma carga pontual em movimento arbitrário, mas não são corrigidos para efeitos da mecânica quântica . A radiação eletromagnética na forma de ondas pode ser obtida a partir desses potenciais. Essas expressões foram desenvolvidas em parte por Alfred-Marie Liénard em 1898 e independentemente por Emil Wiechert em 1900.

Equações

Definição dos potenciais de Liénard-Wiechert

Os potenciais de Liénard-Wiechert (campo de potencial escalar) e (campo de potencial vetorial) são para uma carga pontual de origem na posição viajando com velocidade :

e

Onde:

  • é a velocidade da fonte expressa como uma fração da velocidade da luz;
  • é a distância da fonte;
  • é o vetor unitário apontando na direção da fonte e,
  • O símbolo significa que as quantidades entre parênteses devem ser avaliadas no tempo de retardo .

Isso também pode ser escrito de forma covariante , onde o quatro potencial eletromagnético em é:

onde e é a posição da fonte e suas quatro velocidades.

Computação de campo

Podemos calcular os campos elétricos e magnéticos diretamente dos potenciais usando as definições:

e

O cálculo não é trivial e requer várias etapas. Os campos elétricos e magnéticos são (na forma não covariante):

e

onde , e (o fator de Lorentz ).

Observe que a parte do primeiro termo atualiza a direção do campo em direção à posição instantânea da carga, se ela continuar a se mover com velocidade constante . Este termo está relacionado com a parte "estática" do campo eletromagnético da carga.

O segundo termo, que está ligado à radiação eletromagnética pela carga em movimento, requer aceleração de carga e se for zero, o valor deste termo é zero, e a carga não irradia (emite radiação eletromagnética). Este termo requer, adicionalmente, que um componente da aceleração de carga esteja em uma direção transversal à linha que conecta a carga e o observador do campo . A direção do campo associado a este termo radiativo é em direção à posição totalmente retardada no tempo da carga (isto é, onde a carga estava quando foi acelerada).

Derivação

Os potenciais escalares e vetoriais satisfazem a equação de onda eletromagnética não homogênea onde as fontes são expressas com as densidades de carga e corrente e

e a lei Ampère-Maxwell é:

Uma vez que os potenciais não são únicos, mas têm liberdade do medidor , essas equações podem ser simplificadas pela fixação do medidor . Uma escolha comum é a condição do medidor Lorenz :

Então, as equações de onda não homogêneas tornam-se desacopladas e simétricas nos potenciais:

Geralmente, as soluções retardadas para os potenciais escalares e vetoriais (unidades SI) são

e

onde é o tempo retardado e e satisfazer a equação de onda homogénea sem fontes e as condições de contorno. No caso de não haver limites em torno das fontes, então e .

Para uma carga pontual móvel cuja trajetória é dada em função do tempo por , as densidades de carga e corrente são as seguintes:

onde é a função delta de Dirac tridimensional e é a velocidade da carga pontual.

Substituir o potencial nas expressões dá

Estas integrais são difíceis de avaliar na sua forma actual, por isso vamos reescrevê-los, substituindo com e integrando sobre a distribuição delta :

Trocamos a ordem de integração:

A função delta seleciona o que nos permite realizar a integração interna com facilidade. Observe que é uma função de , portanto, essa integração também é corrigida .

O tempo retardado é uma função do ponto do campo e da trajetória da fonte e, portanto, depende de . Para avaliar esta integral, portanto, precisamos da identidade

onde cada um é um zero de . Como há apenas um tempo retardado para quaisquer coordenadas de espaço-tempo e trajetória de origem , isso se reduz a:

onde e são avaliados no tempo retardado , e usamos a identidade . Observe que o tempo retardado é a solução da equação . Finalmente, a função delta seleciona , e

quais são os potenciais de Liénard-Wiechert.

Medidor de Lorenz, campos elétricos e magnéticos

Para calcular as derivadas de e é conveniente calcular primeiro as derivadas do tempo retardado. Tomando as derivadas de ambos os lados de sua equação definidora (lembrando-se disso ):

Diferenciando em relação a t,

Da mesma forma, tomando o gradiente em relação a dá

Segue que

Estes podem ser usados ​​no cálculo das derivadas do potencial vetorial e as expressões resultantes são

Isso mostra que o medidor de Lorenz está satisfeito, ou seja, isso .

Da mesma forma, calcula-se:

Observando que para quaisquer vetores , , :

A expressão para o campo elétrico mencionado acima torna-se

que é facilmente visto como igual a

Da mesma forma, dá a expressão do campo magnético mencionado acima:

Os termos de origem , e estão a ser avaliados no tempo retardado.

Implicações

O estudo da eletrodinâmica clássica foi fundamental para o desenvolvimento da teoria da relatividade por Albert Einstein . A análise do movimento e da propagação das ondas eletromagnéticas levou à descrição da relatividade especial do espaço e do tempo. A formulação de Liénard-Wiechert é uma plataforma de lançamento importante para uma análise mais profunda das partículas em movimento relativísticas.

A descrição de Liénard-Wiechert é precisa para uma partícula grande e independente (isto é, o tratamento é "clássico" e a aceleração da carga se deve a uma força independente do campo eletromagnético). A formulação Liénard-Wiechert sempre fornece dois conjuntos de soluções: Os campos avançados são absorvidos pelas cargas e os campos retardados são emitidos. Schwarzschild e Fokker consideraram o campo avançado de um sistema de cargas móveis e o campo retardado de um sistema de cargas com a mesma geometria e cargas opostas. A linearidade das equações de Maxwell no vácuo permite adicionar os dois sistemas, para que as cargas desapareçam: este truque permite que as equações de Maxwell se tornem lineares na matéria. A multiplicação dos parâmetros elétricos de ambos os problemas por constantes reais arbitrárias produz uma interação coerente da luz com a matéria que generaliza a teoria de Einstein, que agora é considerada a teoria fundadora dos lasers: não é necessário estudar um grande conjunto de moléculas idênticas para obter amplificação coerente no modo obtido por multiplicações arbitrárias de campos avançados e retardados. Para calcular a energia, é necessário usar os campos absolutos que incluem o campo do ponto zero; caso contrário, aparece um erro, por exemplo, na contagem de fótons.

É importante levar em consideração o campo de ponto zero descoberto pelo Planck. Ele substitui o coeficiente "A" de Einstein e explica que o elétron clássico é estável nas órbitas clássicas de Rydberg. Além disso, a introdução das flutuações do campo do ponto zero produz a correção de níveis do átomo H de Willis E. Lamb.

A eletrodinâmica quântica ajudou a reunir o comportamento radiativo com as restrições quânticas. Ele introduz a quantização dos modos normais do campo eletromagnético em ressonadores ópticos perfeitos assumidos.

Limite de velocidade universal

A força em uma partícula em um dado local r e no tempo t depende de uma maneira complicada da posição das partículas de origem em um tempo anterior t r devido à velocidade finita, c , na qual a informação eletromagnética viaja. Uma partícula na Terra 'vê' uma partícula carregada acelerar na Lua quando essa aceleração aconteceu 1,5 segundos atrás, e a aceleração de uma partícula carregada no Sol como aconteceu há 500 segundos. Esse tempo anterior em que um evento acontece de forma que uma partícula no local r 'vê' esse evento em um momento posterior t é chamado de tempo retardado , t r . O tempo retardado varia com a posição; por exemplo, o tempo retardado na Lua é 1,5 segundos antes da hora atual e o tempo retardado no Sol é 500 s antes da hora atual na Terra. O tempo retardado t r = t r ( r , t ) é definido implicitamente por

onde é a distância da partícula da fonte no tempo retardado. Apenas os efeitos das ondas eletromagnéticas dependem totalmente do tempo retardado.

Uma característica nova no potencial de Liénard-Wiechert é vista na divisão de seus termos em dois tipos de termos de campo (veja abaixo), dos quais apenas um depende totalmente do tempo retardado. O primeiro deles é o termo do campo elétrico estático (ou magnético) que depende apenas da distância até a carga em movimento e não depende do tempo retardado, se a velocidade da fonte for constante. O outro termo é dinâmico, pois requer que a carga em movimento esteja acelerando com um componente perpendicular à linha que conecta a carga e o observador e não aparece a menos que a fonte mude a velocidade. Este segundo termo está conectado à radiação eletromagnética.

O primeiro termo descreve os efeitos de campo próximo da carga, e sua direção no espaço é atualizada com um termo que corrige qualquer movimento de velocidade constante da carga em seu campo estático distante, de modo que o campo estático distante apareça à distância da carga , sem nenhuma aberração de luz ou correção de tempo de luz . Este termo, que corrige os atrasos de retardo de tempo na direção do campo estático, é exigido pela invariância de Lorentz. Uma carga em movimento com velocidade constante deve aparecer para um observador distante exatamente da mesma maneira que uma carga estática para um observador em movimento e, no último caso, a direção do campo estático deve mudar instantaneamente, sem retardo de tempo. Assim, os campos estáticos (o primeiro termo) apontam exatamente para a verdadeira posição instantânea (não retardada) do objeto carregado se sua velocidade não mudou durante o retardo de tempo. Isso é verdade para qualquer distância que separa objetos.

O segundo termo, no entanto, que contém informações sobre a aceleração e outro comportamento único da carga que não pode ser removido alterando o referencial de Lorentz (referencial inercial do observador), é totalmente dependente da direção da posição retardada do fonte. Assim, a radiação eletromagnética (descrita pelo segundo termo) sempre parece vir da direção da posição da carga emissora no tempo retardado . Somente este segundo termo descreve a transferência de informações sobre o comportamento da carga, que ocorre transferência (irradia da carga) na velocidade da luz. Em distâncias "distantes" (maiores do que vários comprimentos de onda de radiação), a dependência 1 / R deste termo torna os efeitos de campo eletromagnético (o valor deste termo de campo) mais poderosos do que os efeitos de campo "estático", que são descritos por 1 / R 2 campo do primeiro termo (estático) e, portanto, decai mais rapidamente com a distância da carga.

Existência e singularidade do tempo retardado

Existência

Não é garantido que o tempo retardado exista em geral. Por exemplo, se, em um dado referencial, um elétron acaba de ser criado, então, neste exato momento, outro elétron ainda não sente sua força eletromagnética. Porém, sob certas condições, sempre existe um tempo retardado. Por exemplo, se a carga de origem existiu por um período de tempo ilimitado, durante o qual sempre viajou a uma velocidade não superior , então existe um tempo retardado válido . Isso pode ser visto considerando a função . No momento ; . A derivada é dada por

Pelo teorema do valor médio , . Tornando-o suficientemente grande, isso pode se tornar negativo, ou seja , em algum momento no passado ,. Pelo teorema do valor intermediário , existe um intermediário com a equação definidora do tempo retardado. Intuitivamente, à medida que a carga da fonte se move para trás no tempo, a seção transversal de seu cone de luz no momento atual se expande mais rápido do que pode retroceder, portanto, eventualmente, deve chegar ao ponto . Isso não é necessariamente verdadeiro se a velocidade da carga da fonte puder ser arbitrariamente próxima de , ou seja , se para qualquer velocidade dada houve algum tempo no passado em que a carga estava se movendo nessa velocidade. Neste caso, a seção transversal do cone de luz no momento aproxima-se do ponto conforme o observador viaja de volta no tempo, mas não necessariamente o alcança.

Singularidade

Para um determinado ponto e trajetória da fonte pontual , existe no máximo um valor de tempo retardado , ou seja , um valor tal que . Isso pode ser realizado assumindo que há dois tempos retardados e , com . Então, e . A subtração dá pela desigualdade do triângulo . A menos que isso implique que a velocidade média da carga entre e seja , o que é impossível. A interpretação intuitiva é que só se pode "ver" a fonte pontual em um local / tempo de uma vez, a menos que ele viaje pelo menos na velocidade da luz para outro local. À medida que a fonte avança no tempo, a seção transversal de seu cone de luz no momento se contrai mais rápido do que a fonte pode se aproximar, portanto, ela nunca pode cruzar o ponto novamente.

A conclusão é que, sob certas condições, o tempo retardado existe e é único.

Veja também

Referências

  1. ^ http://data.bnf.fr/10743554/alfred_lienard/ - A. Liénard, Champ électrique et magnétique produit par une charge concentrée en un ponto et animée d'un mouvement quelconque, L'éclairage Electrique ´ 16 p.5; ibid. p. 53; ibid. p. 106 (1898)
  2. ^ Wiechert, E. (1901). "Elektrodynamische Elementargesetze" . Annalen der Physik . 309 (4): 667–689. Bibcode : 1901AnP ... 309..667W . doi : 10.1002 / andp.19013090403 .
  3. ^ Alguns aspectos em Emil Wiechert
  4. ^ David Tong: Palestras sobre Eletromagnetismo , Aula 5: 4. Eletromagnetismo e Relatividade, Universidade de Cambridge
  5. ^ Einstein, A. (1917). "Zur Quantentheorie der Strahlung" . Physikalische Zeitschrift (em alemão). 18 : 121–128. Bibcode : 1917PhyZ ... 18..121E .
  6. ^ Planck, M. (1911). "Eine neue Strahlungshypothese" . Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft (em alemão). 13 : 138–175.
  • Griffiths, David. Introdução à Eletrodinâmica. Prentice Hall, 1999. ISBN  0-13-805326-X .