Modelo Lieb-Liniger - Lieb–Liniger model

O modelo Lieb-Liniger descreve um gás de partículas movendo-se em uma dimensão e satisfazendo as estatísticas de Bose-Einstein .

Introdução

Um modelo de um gás de partículas movendo-se em uma dimensão e satisfazendo as estatísticas de Bose-Einstein foi introduzido em 1963 para estudar se as teorias aproximadas disponíveis de tais gases, especificamente a teoria de Bogoliubov, estariam em conformidade com as propriedades reais do gás modelo. O modelo é baseado em um hamiltoniano de Schrödinger bem definido para partículas que interagem entre si por meio de um potencial de dois corpos, e todas as funções e valores próprios desse hamiltoniano podem, em princípio, ser calculados exatamente. Às vezes é chamado de gás de Bose unidimensional com interação delta. Também pode ser considerada como equação de Schrödinger não linear quântica .

O estado fundamental, bem como os estados excitados de baixo nível, foram calculados e considerados de acordo com a teoria de Bogoliubov quando o potencial é pequeno, exceto pelo fato de que existem na verdade dois tipos de excitações elementares em vez de um, conforme previsto por Bogoliubov e outras teorias.

O modelo parecia ser de interesse apenas acadêmico até que, com as sofisticadas técnicas experimentais desenvolvidas na primeira década do século 21, tornou-se possível produzir esse tipo de gás usando átomos reais como partículas.

Definição e solução do modelo

Existem partículas com coordenadas na linha , com condições de contorno periódicas. Assim, uma função de onda permitida é simétrica, ou seja, para todos e satisfaz para todos . O hamiltoniano, em unidades apropriadas, é ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle [0, L]}$${\ displaystyle \ psi (x_ {1}, x_ {2}, \ dots, x_ {j}, \ dots, x_ {N})}$${\ displaystyle \ psi (\ dots, x_ {i}, \ dots, x_ {j}, \ dots) = \ psi (\ dots, x_ {j}, \ dots, x_ {i}, \ dots)}$${\ displaystyle i \ neq j}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi (\ dots, x_ {j} = 0, \ dots) = \ psi (\ dots, x_ {j} = L, \ dots)}$${\ displaystyle j}$

${\ displaystyle H = - \ sum \ nolimits _ {j = 1} ^ {N} \ parcial ^ {2} / \ parcial x_ {j} ^ {2} + 2c \ sum \ nolimits _ {1 \ leq i < j \ leq N} \ delta (x_ {i} -x_ {j}) \,}$

onde está a função delta de Dirac , ou seja, a interação é uma interação de contato. A constante denota sua força. A função delta dá origem a uma condição de contorno quando duas coordenadas, digamos, e são iguais; esta condição é que , como , a derivada satisfaz . O limite do núcleo duro é conhecido como gás Tonks-Girardeau . ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle c \ geq 0}$${\ displaystyle x_ {1}}$${\ displaystyle x_ {2}}$${\ displaystyle x_ {2} \ searrow x_ {1}}$${\ displaystyle ({\ frac {\ partial} {\ partial x_ {2}}} - {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}}) \ psi (x_ {1}, x_ {2} ) | _ {x_ {2} = x_ {1} +} = c \ psi (x_ {1} = x_ {2})}$${\ displaystyle c = \ infty}$

A equação independente do tempo de Schrödinger é resolvida pela construção explícita de . Por ser simétrico, é completamente determinado por seus valores no simplex , definidos pela condição que . Nesta região, procura-se um da forma considerada por HA Bethe em 1931 no contexto dos sistemas de spin magnético - o ansatz Bethe . Isto é, para certos números reais , a serem determinados, ${\ displaystyle H \ psi = E \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle {\ mathcal {R}}}$${\ displaystyle 0 \ leq x_ {1} \ leq x_ {2} \ leq \ dots, \ leq x_ {N} \ leq L}$${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle k_ {1} <k_ {2} <\ cdots <k_ {N}}$

${\ displaystyle \ psi (x_ {1}, \ dots, x_ {N}) = \ sum _ {P} a (P) \ exp \ left (i \ sum _ {j = 1} ^ {N} k_ { Pj} x_ {j} \ right)}$

onde a soma é sobre todas as permutações,, dos inteiros e mapeia para . Os coeficientes , bem como os de são determinados pela condição , e isso leva a ${\ displaystyle N!}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle 1,2, \ dots, N}$${\ displaystyle P}$${\ displaystyle 1,2, \ dots, N}$${\ displaystyle P_ {1}, P_ {2}, \ dots, P_ {N}}$${\ displaystyle a (P)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle H \ psi = E \ psi}$

${\ displaystyle E = \ sum \ nolimits _ {j = 1} ^ {N} \, k_ {j} ^ {2}}$

${\ displaystyle a (P) = \ prod \ nolimits _ {1 \ leq i <j \ leq N} \ left (1 + {\ frac {ic} {k_ {Pi} -k_ {Pj}}} \ right) \.}$

Dorlas (1993) provou que todas as autofunções de são desta forma. ${\ displaystyle H}$

Essas equações determinam em termos de 's, que, por sua vez, são determinados pelas condições de contorno periódicas. Isso leva a equações: ${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle N}$

${\ displaystyle L \, k_ {j} = 2 \ pi I_ {j} \ -2 \ sum \ nolimits _ {i = 1} ^ {N} \ arctan \ left ({\ frac {k_ {j} -k_ {i}} {c}} \ right) \ qquad \ qquad {\ text {for}} j = 1, \, \ dots, \, N \,}$

onde são inteiros quando é ímpar e, quando é par, eles assumem valores . Para o estado fundamental, a satisfação de ${\ displaystyle I_ {1} <I_ {2} <\ cdots <I_ {N}}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle \ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {3} {2}}, \ dots}$${\ displaystyle I}$

${\ displaystyle I_ {j + 1} -I_ {j} = 1, \ quad {\ rm {for}} \ 1 \ leq j <N \ qquad {\ text {and}} I_ {1} = - I_ { N}. \,}$

O primeiro tipo de excitação primária consiste em escolher como antes, mas aumentando por um valor (ou diminuindo por ). O momento desse estado é (ou ). ${\ displaystyle I_ {1}, \ dots, I_ {N-1}}$${\ displaystyle I_ {N}}$${\ displaystyle n> 0}$${\ displaystyle I_ {1}}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle p = 2 \ pi n / L}$${\ displaystyle -2 \ pi n / L}$

Para o segundo tipo, escolha alguns e aumente para todos . A dinâmica desse estado é . Da mesma forma, existe um estado com . O momento deste tipo de excitação é limitado a ${\ displaystyle 0 <n \ leq N / 2}$${\ displaystyle I_ {i} \ para I_ {i} +1}$${\ displaystyle i \ geq n}$${\ displaystyle p = \ pi -2 \ pi n / L}$${\ displaystyle p = - \ pi +2 \ pi n / L}$${\ displaystyle | p | \ leq \ pi.}$

Essas excitações podem ser combinadas e repetidas muitas vezes. Assim, eles são semelhantes a bosônicos. Se denotarmos o estado fundamental (= mais baixo), energia por e as energias dos estados mencionados acima até então e são as energias de excitação dos dois modos. ${\ displaystyle E_ {0}}$${\ displaystyle E_ {1,2} (p)}$${\ displaystyle \ epsilon _ {1} (p) = E_ {1} (p) -E_ {0}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {2} (p) = E_ {2} (p) -E_ {0}}$

Limite termodinâmico

Fig. 1: A energia do estado fundamental, de. Veja o texto.

Para discutir um gás, tomamos um limite e ao infinito com a densidade fixa. A energia do estado fundamental por partícula e todos têm limites como . Embora existam dois parâmetros e , a escala de comprimento simples mostra que há realmente apenas um, a saber . ${\ displaystyle N}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle \ rho = N / L}$${\ displaystyle e = {\ frac {E_ {0}} {N \ rho ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ epsilon _ {1,2} (p)}$${\ displaystyle N \ to \ infty}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle x \ to \ rho x}$${\ displaystyle \ gamma = c / \ rho}$

Para avaliar assumimos que os N estão entre números e  , a ser determinado, e com uma densidade . Isso é encontrado para satisfazer a equação (no intervalo ) ${\ displaystyle E_ {0}}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle -K}$${\ displaystyle L \, f (k)}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle -K \ leq k \ leq K}$

${\ displaystyle 2c \ int \ nolimits _ {- K} ^ {K} {\ frac {f (p)} {c ^ {2} + (pk) ^ {2}}} dp = 2 \ pi f (k ) -1 \ quad {\ rm {e}} \ quad \ int \ nolimits _ {- K} ^ {K} f (p) dp = \ rho \,}$

que tem uma solução positiva única. Uma excitação distorce essa densidade e equações integrais semelhantes determinam essas distorções. A energia do estado fundamental por partícula é dada por ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle e = {\ frac {1} {\ rho ^ {3}}} \ int \ nolimits _ {- K} ^ {K} k ^ {2} f (k) dk.}$

A Figura 1 mostra como depende de e também mostra a aproximação de Bogoliubov para . O último é assintoticamente exato de segunda ordem em , a saber ,. No , . ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle e \ approx \ gamma -4 \ gamma ^ {3/2} / (3 \ pi)}$${\ displaystyle \ gamma = \ infty}$${\ displaystyle e = \ pi ^ {2} / 3}$

Fig. 2: As energias dos dois tipos de excitações, de. Veja o texto.

A Figura 2 mostra as duas energias de excitação e para um pequeno valor de . As duas curvas são semelhantes a essas para todos os valores de , mas a aproximação de Bogoliubov (tracejada) piora à medida que aumenta. ${\ displaystyle \ epsilon _ {1} (p)}$${\ displaystyle \ epsilon _ {2} (p)}$${\ displaystyle \ gamma = 0,787}$${\ displaystyle \ gamma> 0}$${\ displaystyle \ gamma}$

De três para uma dimensão.

Este gás unidimensional pode ser feito usando átomos reais tridimensionais como partículas. Pode-se provar, matematicamente, a partir da equação de Schrödinger para partículas tridimensionais em um longo recipiente cilíndrico, que os estados de baixa energia são descritos pelo modelo unidimensional de Lieb-Liniger. Isso foi feito para o estado fundamental e para os estados excitados. O cilindro não precisa ser tão estreito quanto o diâmetro atômico; pode ser muito mais amplo se a energia de excitação na direção perpendicular ao eixo for grande em comparação com a energia por partícula . ${\ displaystyle e}$

Referências

links externos

• Ver também Elliott H. Lieb (2008), Scholarpedia, 3 (12): 8712. [1]