Teoria de levantamento - Lifting theory

Na matemática, a teoria do levantamento foi introduzida pela primeira vez por John von Neumann em um artigo pioneiro de 1931, no qual ele respondeu a uma questão levantada por Alfréd Haar . A teoria foi desenvolvida por Dorothy Maharam (1958) e por Alexandra Ionescu Tulcea e Cassius Ionescu Tulcea (1961). A teoria do levantamento foi motivada em grande parte por suas aplicações surpreendentes. Seu desenvolvimento até 1969 foi descrito em uma monografia de Ionescu Tulceas. A teoria de levantamento continuou a se desenvolver desde então, produzindo novos resultados e aplicações.

Definições

Um levantamento em um espaço de medida é um inverso linear e multiplicativo ${\ displaystyle (X, \ Sigma, \ mu)}$

${\ displaystyle T \ dois pontos L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ to {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

do mapa de quociente

${\ displaystyle {\ begin {cases} {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ to L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \\ f \ mapsto [f] \ end {cases}}}$

onde está o espaço L ^p seminormizado de funções mensuráveis ​​e é seu quociente normalizado usual. Em outras palavras, um levantamento escolhe de cada classe de equivalência [ f ] de funções mensuráveis ​​limitadas módulo de funções desprezíveis um representante - que doravante é escrito T ([ f ]) ou T [ f ] ou simplesmente Tf - de tal forma que ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$${\ displaystyle L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

${\ displaystyle T (r [f] + s [g]) (p) = rT [f] (p) + sT [g] (p), \ qquad \ forall p \ in X, r, s \ in \ mathbf {R};}$

${\ displaystyle T ([f] \ times [g]) (p) = T [f] (p) \ times T [g] (p), \ qquad \ forall p \ in X;}$

${\ displaystyle T [1] = 1.}$

Elevações são usadas para produzir desintegrações de medidas , por exemplo , distribuições de probabilidade condicionais dadas variáveis ​​aleatórias contínuas e fibrações de medida de Lebesgue nos conjuntos de nível de uma função.

Existência de liftings

Teorema. Suponha que ( X , Σ, μ ) esteja completo. Em seguida, ( X , Σ, μ ) admite uma elevação se e somente se existir um conjunto de conjuntos disjuntos integráveis mutuamente em Σ cuja união é  X . Em particular, se ( X , Σ, μ ) é a conclusão de uma medida σ -finita ou de uma medida de Borel regular interna em um espaço localmente compacto, então ( X , Σ, μ ) admite um levantamento.

A prova consiste em estender um levantamento para sub- σ -álgebras cada vez maiores , aplicando o teorema de convergência martingale de Doob se for encontrada uma cadeia contável no processo.

Levantamentos fortes

Suponha que ( X , Σ, μ ) esteja completo e X esteja equipado com uma topologia de Hausdorff completamente regular τ ⊂ Σ tal que a união de qualquer coleção de conjuntos abertos insignificantes é novamente insignificante - este é o caso se ( X , Σ, μ ) é σ -finito ou vem de uma medida de Radon . Então, o suporte de μ , Supp ( μ ), pode ser definido como o complemento do maior subconjunto aberto desprezível, e a coleção C _b ( X , τ ) de funções contínuas limitadas pertence . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

Um levantamento forte para ( X , Σ, μ ) é um levantamento

${\ displaystyle T: L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu) \ to {\ mathcal {L}} ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

tal que Tφ = φ em Supp ( μ ) para todo φ em C _b ( X , τ). Isso é o mesmo que exigir que TU ≥ ( U ∩ Supp ( μ )) para todos os conjuntos abertos U em  τ .

Teorema. Se (Σ, μ ) é σ -finito e completo e τ tem uma base contável, então ( X , Σ, μ ) admite um forte levantamento.

Prova. Seja T ₀ um levantamento para ( X , Σ, μ ) e { U ₁ , U ₂ , ...} uma base contável para τ . Para qualquer ponto p no conjunto insignificante

${\ displaystyle N: = \ bigcup \ nolimits _ {n} \ left \ {p \ in \ mathrm {Supp} (\ mu) :( T_ {0} U_ {n}) (p) <U_ {n} ( p) \ right \}}$

seja T _p qualquer caractere em L ^∞ ( X , Σ, μ ) que estenda o caractere φ ↦ φ ( p ) de C _b ( X , τ). Então, para p em X e [ f ] em L ^∞ ( X , Σ, μ ), defina:

${\ displaystyle (T [f]) ​​(p): = {\ begin {cases} (T_ {0} [f]) ​​(p) & p \ notin N \\ T_ {p} [f] & p \ in N. \ end {casos}}}$

T é o levantamento forte desejado.

Aplicação: desintegração de uma medida

Suponha que ( X , Σ, μ ), ( Y , Φ, ν) sejam espaços de medida σ -finita ( μ , ν positivo) e π  : X → Y é um mapa mensurável. Uma desintegração de μ ao longo de π com respeito a ν é uma grande quantidade de medidas positivas σ- aditivas em ( X , Σ) de modo que ${\ displaystyle Y \ ni y \ mapsto \ lambda _ {y}}$

1. λ _y é transportado pela fibra de π sobre y :${\ displaystyle \ pi ^ {- 1} (\ {y \})}$

${\ displaystyle \ {y \} \ in \ Phi \; \; \ mathrm {and} \; \; \ lambda _ {y} \ left ((X \ setminus \ pi ^ {- 1} (\ {y \ }) \ right) = 0 \ qquad \ forall y \ in Y}$

1. para cada função integrável μ f ,

${\ displaystyle \ int _ {X} f (p) \; \ mu (dp) = \ int _ {Y} \ left (\ int _ {\ pi ^ {- 1} (\ {y \})} f (p) \, \ lambda _ {y} (dp) \ right) \ nu (dy) \ qquad (*)}$

no sentido de que, para ν -quase todo y em Y , f é λ _y -integrável, a função

${\ displaystyle y \ mapsto \ int _ {\ pi ^ {- 1} (\ {y \})} f (p) \, \ lambda _ {y} (dp)}$

é ν-integrável e a igualdade exibida (*) é mantida.

As desintegrações existem em várias circunstâncias, as provas variando, mas quase todas usando levantamentos fortes. Aqui está um resultado bastante geral. Sua curta prova dá o sabor geral.

Teorema. Suponha que X seja um espaço polonês e Y um espaço separável de Hausdorff, ambos equipados com suas σ -álgebras de Borel . Seja μ uma medida de Borel σ -finita em X e π: X → Y a Σ, Φ-mapa mensurável. Então existe uma medida de Borel σ-finita ν em Y e uma desintegração (*). Se μ for finito, ν pode ser considerado o pushforward π _∗ μ , e então λ _y são probabilidades.

Prova. Por causa da natureza polonesa de X, há uma sequência de subconjuntos compactos de X que são mutuamente disjuntos, cuja união tem complemento desprezível e na qual π é contínua. Essa observação reduz o problema ao caso em que X e Y são compactos e π é contínuo e ν = π _∗ μ . Complete Φ sob ν e fixe um levantamento forte T para ( Y , Φ, ν ). Dada uma função μ- mensurável limitada f , vamos denotar sua expectativa condicional sob π, isto é, a derivada Radon-Nikodym de π _∗ ( fμ ) com respeito a π _∗ μ . Em seguida, defina, para cada y em Y , Mostrar que isso define uma desintegração é uma questão de contabilidade e um teorema de Fubini adequado. Para ver como a força do levantamento entra, observe que ${\ displaystyle \ lfloor f \ rfloor}$${\ displaystyle \ lambda _ {y} (f): = T (\ lfloor f \ rfloor) (y).}$

${\ displaystyle \ lambda _ {y} (f \ cdot \ varphi \ circ \ pi) = \ varphi (y) \ lambda _ {y} (f) \ qquad \ forall y \ in Y, \ varphi \ in C_ { b} (Y), f \ in L ^ {\ infty} (X, \ Sigma, \ mu)}$

e tome o ínfimo sobre todo φ positivo em C _b ( Y ) com φ ( y ) = 1; torna-se aparente que o suporte de λ _y está na fibra sobre  y .

Referências