Combinação linear - Linear combination

Em matemática , uma combinação linear é uma expressão construído a partir de um conjunto de termos pela multiplicação de cada termo por uma constante e a soma dos resultados (combinação por exemplo, um linear de x e y seria qualquer expressão da forma ax + por , onde um e b são constantes). O conceito de combinações lineares é central para álgebra linear e campos relacionados da matemática. A maior parte deste artigo trata de combinações lineares no contexto de um espaço vetorial sobre um campo , com algumas generalizações fornecidas no final do artigo.

Definição

Vamos V ser um espaço vectorial sobre o campo K . Como é habitual, a que chamamos elementos de V vectores e elementos de chamada de K escalares . Se v 1 , ..., v n são vetores e a 1 , ..., a n são escalares, então a combinação linear desses vetores com esses escalares como coeficientes é

Há alguma ambigüidade no uso do termo "combinação linear" quanto ao fato de se referir à expressão ou ao seu valor. Na maioria dos casos, o valor é enfatizado, como na afirmação "o conjunto de todas as combinações lineares de v 1 , ..., v n sempre forma um subespaço". No entanto, também se poderia dizer "duas combinações lineares diferentes podem ter o mesmo valor", caso em que a referência é para a expressão. A diferença sutil entre esses usos é a essência da noção de dependência linear : uma família F de vetores é linearmente independente precisamente se qualquer combinação linear dos vetores em F (como valor) for unicamente assim (como expressão). Em qualquer caso, mesmo quando visto como expressões, tudo o que importa sobre uma combinação linear é o coeficiente de cada v i ; modificações triviais, como permutar os termos ou adicionar termos com coeficiente zero, não produzem combinações lineares distintas.

Em uma dada situação, K e V podem ser especificados explicitamente ou podem ser óbvios a partir do contexto. Nesse caso, frequentemente falamos de uma combinação linear dos vetores v 1 , ..., v n , com os coeficientes não especificados (exceto que eles devem pertencer a K ). Ou, se S é um subconjunto de V , podemos falar de uma combinação linear de vetores em S , onde os coeficientes e os vetores não são especificados, exceto que os vetores devem pertencer ao conjunto S (e os coeficientes devem pertencer a K ) Finalmente, podemos falar simplesmente de uma combinação linear , onde nada é especificado (exceto que os vetores devem pertencer a V e os coeficientes devem pertencer a K ); neste caso, provavelmente estamos nos referindo à expressão, uma vez que todo vetor em V é certamente o valor de alguma combinação linear.

Observe que, por definição, uma combinação linear envolve apenas um número finito de vetores (exceto conforme descrito em Generalizações abaixo). No entanto, o conjunto S do qual os vetores são retirados (se algum for mencionado) ainda pode ser infinito ; cada combinação linear individual envolverá apenas um número finito de vetores. Além disso, não há razão para que n não possa ser zero ; nesse caso, que declaram, por convenção, que o resultado da combinação linear é o vector de zero em V .

Exemplos e contra-exemplos

Vetores euclidianos

Seja o campo K o conjunto R de números reais , e seja o espaço vetorial V o espaço euclidiano R 3 . Considere os vetores e 1 = (1,0,0) , e 2 = (0,1,0) e e 3 = (0,0,1) . Então, qualquer vetor em R 3 é uma combinação linear de e 1 , e 2e 3 .

Para ver que é assim, pegue um vetor arbitrário ( a 1 , a 2 , a 3 ) em R 3 e escreva:

Funções

Deixe- K ser o conjunto C de todos os números complexos , e deixá- V ser o conjunto C C ( R ) de todas as funções contínuas a partir da verdadeira linha R para o plano complexo C . Considere os vectores (funções) f e g definidas por f ( t ): = o e -o e g ( t ): = E - lo . (Aqui, e é a base do logaritmo natural , cerca de 2,71828 ..., e i é a unidade imaginária , uma raiz quadrada de -1.) Algumas combinações lineares de f e g  são:

Por outro lado, a função constante 3 não é uma combinação linear de f e g . Para ver isso, suponha que 3 pudesse ser escrito como uma combinação linear de e it e e - it . Isso significa que não existiria escalares complexos um e b tal que ae ele + seja - ele = 3 para todos os números reais t . Definir t = 0 e t = π fornece as equações a + b = 3 e a + b = −3 e, claramente, isso não pode acontecer. Veja a identidade de Euler .

Polinômios

Deixe- K ser R , C , ou qualquer campo, e deixá- V ser o conjunto de P de todas as polinómios com coeficientes de tomadas a partir do campo K . Considere os vetores (polinômios) p 1  : = 1, p 2  : = x + 1 e p 3  : = x 2 + x + 1 .

O polinômio x 2  - 1 é uma combinação linear de p 1 , p 2 e p 3 ? Para descobrir, considere uma combinação linear arbitrária desses vetores e tente ver quando ela é igual ao vetor desejado x 2  - 1. Escolhendo coeficientes arbitrários a 1 , a 2 e a 3 , queremos

Multiplicando os polinômios, isso significa

e coletando como potências de x , obtemos

Dois polinômios são iguais se e somente se seus coeficientes correspondentes forem iguais, então podemos concluir

Este sistema de equações lineares pode ser facilmente resolvido. Primeiro, a primeira equação simplesmente diz que a 3 é 1. Sabendo disso, podemos resolver a segunda equação para a 2 , que resulta em -1. Finalmente, a última equação nos diz que a 1 também é −1. Portanto, a única maneira possível de obter uma combinação linear é com esses coeficientes. De fato,

então x 2  - 1 é uma combinação linear de p 1 , p 2p 3 .

Por outro lado, e quanto ao polinômio x 3  - 1? Se tentarmos fazer deste vetor uma combinação linear de p 1 , p 2 e p 3 , então seguindo o mesmo processo de antes, obtemos a equação

No entanto, quando definimos coeficientes correspondentes iguais neste caso, a equação para x 3  é

o que é sempre falso. Portanto, não há como isso funcionar e x 3  - 1 não é uma combinação linear de p 1 , p 2p 3 .

A extensão linear

Pegue um campo arbitrário K , um espaço vetorial arbitrário V , e sejam v 1 , ..., v n vetores (em V ). É interessante considerar o conjunto de todas as combinações lineares desses vetores. Este conjunto é denominado extensão linear (ou apenas extensão ) dos vetores, digamos S = { v 1 , ..., v n }. Escrevemos o intervalo de S como span ( S ) ou sp ( S ):

Independência linear

Para alguns conjuntos de vetores v 1 , ..., v n , um único vetor pode ser escrito de duas maneiras diferentes como uma combinação linear deles:

De forma equivalente, subtraindo estes ( ) uma combinação não trivial é zero:

Se isso for possível, então v 1 , ..., v n são chamados de dependentes linearmente ; caso contrário, eles são linearmente independentes . Da mesma forma, podemos falar de dependência linear ou independência de um conjunto arbitrário S de vetores.

Se S é linearmente independente e o espaço de S é igual a V , então S é uma base para V .

Combinações afins, cônicas e convexas

Ao restringir os coeficientes usados ​​em combinações lineares, pode-se definir os conceitos relacionados de combinação afim , combinação cônica e combinação convexa e as noções associadas de conjuntos fechados sob essas operações.

Tipo de combinação Restrições nos coeficientes Nome do conjunto Espaço do modelo
Combinação linear sem restrições Subespaço vetorial
Combinação afim Subespaço afim Hiperplano afim
Combinação cônica Cone convexo Quadrante , octante ou ortante
Combinação convexa e Conjunto convexo Simplex

Por serem operações mais restritas , mais subconjuntos serão fechados sob eles, então subconjuntos afins, cones convexos e conjuntos convexos são generalizações de subespaços vetoriais: um subespaço vetorial também é um subespaço afim, um cone convexo e um conjunto convexo, mas um conjunto convexo não precisa ser um subespaço vetorial, afim ou um cone convexo.

Esses conceitos muitas vezes surgem quando se pode tomar certas combinações lineares de objetos, mas não qualquer: por exemplo, as distribuições de probabilidade são fechadas sob combinação convexa (elas formam um conjunto convexo), mas não combinações cônicas ou afins (ou lineares) e medidas positivas são fechados em combinação cônica, mas não afins ou lineares - portanto, define-se medidas com sinais como o fechamento linear.

Combinações lineares e afins podem ser definidas em qualquer campo (ou anel), mas as combinações cônicas e convexas requerem uma noção de "positivo" e, portanto, só podem ser definidas em um campo ordenado (ou anel ordenado ), geralmente os números reais.

Se permitirmos apenas a multiplicação escalar, não a adição, obteremos um cone (não necessariamente convexo) ; muitas vezes restringe-se a definição apenas permitindo a multiplicação por escalares positivos.

Todos esses conceitos são geralmente definidos como subconjuntos de um espaço vetorial ambiente (exceto para espaços afins, que também são considerados como "espaços vetoriais esquecendo a origem"), em vez de serem axiomatizados independentemente.

Teoria operada

Mais abstratamente, na linguagem da teoria da operada , pode-se considerar os espaços vetoriais como álgebras sobre a operada (a soma direta infinita , portanto, apenas finitamente muitos termos são diferentes de zero; isso corresponde a apenas tomar somas finitas), que parametriza combinações lineares : o vetor por exemplo corresponde à combinação linear . Da mesma forma, pode-se considerar combinações afins, combinações cônicas e combinações convexas para corresponder às suboperações em que os termos somam 1, os termos são todos não negativos ou ambos, respectivamente. Graficamente, esses são o hiperplano afim infinito, o hiper-octante infinito e o simplex infinito. Isso formaliza o que significa ser ou o simplex padrão sendo espaços de modelo, e observações como a de que todo politopo convexo limitado é a imagem de um simplex. Aqui, as suboperads correspondem a operações mais restritas e, portanto, a teorias mais gerais.

Deste ponto de vista, podemos pensar em combinações lineares como o tipo mais geral de operação em um espaço vetorial - dizer que um espaço vetorial é uma álgebra sobre a operada de combinações lineares é precisamente a afirmação de que todas as operações algébricas possíveis em um vetor o espaço são combinações lineares.

As operações básicas de adição e multiplicação escalar, juntamente com a existência de uma identidade aditiva e inversos aditivos, não podem ser combinadas de maneira mais complicada do que a combinação linear genérica: as operações básicas são um conjunto gerador para o operad de todas as combinações lineares.

Em última análise, esse fato está no cerne da utilidade das combinações lineares no estudo de espaços vetoriais.

Generalizações

Se V é um espaço vectorial topológico , então pode haver uma forma de fazer sentido de certos infinito linear combinações, usando a topologia de V . Por exemplo, podemos falar de a 1 v 1  + a 2 v 2  + a 3 v 3  + ⋯, continuando para sempre. Essas combinações lineares infinitas nem sempre fazem sentido; nós os chamamos de convergentes quando o fazem. Permitir combinações mais lineares neste caso também pode levar a um conceito diferente de amplitude, independência linear e base. Os artigos sobre os vários tipos de espaços vetoriais topológicos entram em mais detalhes sobre eles.

Se K é um anel comutativo em vez de um campo, então tudo o que foi dito acima sobre combinações lineares generaliza para este caso sem mudança. A única diferença é que chamamos espaços como esses módulos V em vez de espaços vetoriais. Se K for um anel não comutativo, então o conceito ainda se generaliza, com uma ressalva: Como os módulos sobre os anéis não comutativos vêm nas versões esquerda e direita, nossas combinações lineares também podem vir em qualquer uma dessas versões, o que for apropriado para o módulo fornecido. Isso é simplesmente uma questão de fazer a multiplicação escalar no lado correto.

Uma torção mais complicado quando vem V é um bimodule mais de dois anéis, K G e K R . Nesse caso, a combinação linear mais geral parece

onde um 1 , ..., um n pertencem a K L , b 1 , ..., b n pertencem a K R , e v 1 , ..., v n pertencem a V .

Aplicativo

Uma aplicação importante de combinações lineares é para funções de onda na mecânica quântica .

Veja também

Citações

Referências

Livro didático

  • Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
  • Katznelson, Yitzhak ; Katznelson, Yonatan R. (2008). Uma (concisa) Introdução à Álgebra Linear . American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-4419-9.
  • Lay, David C .; Lay, Steven R .; McDonald, Judi J. (2016). Álgebra Linear e suas Aplicações (5ª ed.). Pearson. ISBN 978-0-321-98238-4.
  • Strang, Gilbert (2016). Introdução à Álgebra Linear (5ª ed.). Wellesley Cambridge Press. ISBN 978-0-9802327-7-6.

Rede

links externos