Desigualdade linear - Linear inequality

Em matemática, uma desigualdade linear é uma desigualdade que envolve uma função linear . Uma desigualdade linear contém um dos símbolos de desigualdade :. Ele mostra os dados que não são iguais na forma de gráfico.

  • <menos que
  • > maior que
  • ≤ menor ou igual a
  • ≥ maior ou igual a
  • ≠ diferente de
  • = igual a

Uma desigualdade linear se parece exatamente com uma equação linear , com o sinal de desigualdade substituindo o sinal de igualdade.

Desigualdades lineares de números reais

Desigualdades lineares bidimensionais

Gráfico de desigualdade linear:
x + 3y <9

As desigualdades lineares bidimensionais são expressões em duas variáveis ​​da forma:

onde as desigualdades podem ser estritas ou não. O conjunto de solução de tal desigualdade pode ser representado graficamente por um meio-plano (todos os pontos de um "lado" de uma linha fixa) no plano euclidiano. A reta que determina os semiplanos ( ax + by = c ) não é incluída no conjunto de solução quando a desigualdade é estrita. Um procedimento simples para determinar qual meio-plano está no conjunto solução é calcular o valor de ax + by em um ponto ( x 0 , y 0 ) que não está na linha e observar se a desigualdade é satisfeita ou não.

Por exemplo, para desenhar o conjunto de solução de x + 3 y <9, primeiro desenha-se a linha com a equação x + 3 y = 9 como uma linha pontilhada, para indicar que a linha não está incluída no conjunto de solução, uma vez que a desigualdade é rigoroso. Em seguida, escolha um ponto conveniente fora da linha, como (0,0). Como 0 + 3 (0) = 0 <9, este ponto está no conjunto de solução, então o meio plano que contém este ponto (o meio plano "abaixo" da linha) é o conjunto de solução desta desigualdade linear.

Desigualdades lineares em dimensões gerais

Em R n desigualdades lineares são as expressões que podem ser escritas na forma

ou

onde f é uma forma linear (também chamado um funcional linear ), e b um número real constante.

Mais concretamente, isso pode ser escrito como

ou

Aqui são chamados de incógnitas e são chamados de coeficientes.

Alternativamente, eles podem ser escritos como

ou

onde g é uma função afim .

Isso é

ou

Observe que qualquer desigualdade contendo um sinal "maior que" ou "maior ou igual" pode ser reescrita com um sinal "menor que" ou "menor ou igual", portanto, não há necessidade de definir desigualdades lineares usando esses sinais.

Sistemas de desigualdades lineares

Um sistema de desigualdades lineares é um conjunto de desigualdades lineares nas mesmas variáveis:

Aqui estão as incógnitas, são os coeficientes do sistema e são os termos constantes.

Isso pode ser escrito de forma concisa como a desigualdade da matriz

onde A é uma matriz m × n , x é um vetor coluna de variáveis n × 1 e b é um vetor coluna de constantes m × 1.

Nos sistemas acima, tanto as desigualdades estritas quanto as não estritas podem ser usadas.

  • Nem todos os sistemas de desigualdades lineares têm soluções.

As variáveis ​​podem ser eliminadas de sistemas de desigualdades lineares usando a eliminação de Fourier-Motzkin .

Formulários

Poliedro

O conjunto de soluções de uma desigualdade linear real constitui um meio-espaço do espaço real 'n'-dimensional, um dos dois definidos pela equação linear correspondente.

O conjunto de soluções de um sistema de desigualdades lineares corresponde à intersecção dos meios-espaços definidos pelas desigualdades individuais. É um conjunto convexo , uma vez que os meios-espaços são conjuntos convexos, e a intersecção de um conjunto de conjuntos convexos também é convexa. Nos casos não degenerados, esse conjunto convexo é um poliedro convexo (possivelmente ilimitado, por exemplo, um meio-espaço, uma laje entre dois meio-espaços paralelos ou um cone poliédrico ). Ele também pode ser vazio ou um poliedro convexo de dimensão inferior confinado a um subespaço afim de o n -dimensional espaço R n .

Programação linear

Um problema de programação linear busca otimizar (encontrar um valor máximo ou mínimo) uma função (chamada de função objetivo ) sujeita a uma série de restrições nas variáveis ​​que, em geral, são desigualdades lineares. A lista de restrições é um sistema de desigualdades lineares.

Generalização

A definição acima requer operações bem definidas de adição , multiplicação e comparação ; portanto, a noção de uma desigualdade linear pode ser estendida para anéis ordenados e, em particular, para campos ordenados .

Referências

Origens

links externos