Extensão linear - Linear span

Em matemática , a extensão linear (também chamada de casco linear ou apenas extensão ) de um conjunto $S$ de vetores (de um espaço vetorial ), denotada $extensão (S)$ , é o menor subespaço linear que contém o conjunto. Ele pode ser caracterizado tanto como a intersecção de todos os subespaços lineares que contêm $S$ , ou como o conjunto de combinações lineares dos elementos de $S$ . A extensão linear de um conjunto de vetores é, portanto, um espaço vetorial. Spans podem ser generalizados para matróides e módulos .

Para expressar que um espaço vetorial $V$ é um intervalo de um conjunto $S$ , comumente se usa as seguintes frases: $S$ spans $V$ ; $S$ gera $V$ ; $V$ é medido por $S$ ; $V$ é gerado por $S$ ; $S$ é um conjunto de extensão de $V$ ; $S$ é um grupo gerador de $V$ .

Definição

Dado um espaço vectorial V ao longo de um campo K , a amplitude de um conjunto S de vectores (não necessariamente infinito) é definida como sendo a intersecção W de todos os subespaços de V que contêm S . W é referido como o subespaço gerado por S , ou pelos vectores em S . Por outro lado, S é chamado um conjunto gerador de W , e dizemos que S vãos W .

Alternativamente, o intervalo de S pode ser definido como o conjunto de todas as combinações lineares finitas de elementos (vetores) de S , que segue da definição acima.

{\ displaystyle \ operatorname {span} (S) = \ left \ {{\ left. \ sum _ {i = 1} ^ {k} \ lambda _ {i} v_ {i} \; \ right | \; k \ in \ mathbb {N}, v_ {i} \ in S, \ lambda _ {i} \ in K} \ right \}.}

No caso de S infinito , combinações lineares infinitas (isto é, onde uma combinação pode envolver uma soma infinita, assumindo que tais somas são definidas de alguma forma como em, digamos, um espaço de Banach ) são excluídas pela definição; uma generalização que permite isso não é equivalente.

Exemplos

O plano transversal sombreada representa a extensão linear de u e v em R ³ .

O espaço vetorial real R ³ tem {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} como um conjunto de abrangência. Este conjunto específico de abrangência também é uma base . Se (−1, 0, 0) fosse substituído por (1, 0, 0), também formaria a base canônica de R ³ .

Outro conjunto gerador para o mesmo espaço é dado por {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, ¹ / ₂ , 3), (1, 1, 1)}, mas esta conjunto não é uma base, porque é linearmente dependente .

O conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)} não é um conjunto de extensão de R ³ , uma vez que sua extensão é o espaço de todos os vetores em R ³ cujo último componente é zero. Esse espaço também é abrangido pelo conjunto {(1, 0, 0), (0, 1, 0)}, pois (1, 1, 0) é uma combinação linear de (1, 0, 0) e (0, 1, 0). No entanto, abrange R ^2. (Quando interpretado como um subconjunto de R ³ ).

O conjunto vazio é um conjunto abrangente de {(0, 0, 0)}, uma vez que o conjunto vazio é um subconjunto de todos os espaços vetoriais possíveis em R ³ , e {(0, 0, 0)} é a interseção de todos os esses espaços vetoriais.

O conjunto de funções x ⁿ onde n é um inteiro não negativo abrange o espaço dos polinômios.

Teoremas

Teorema 1: O subespaço gerado por um não-vazia subconjunto S de um espaço vector V é o conjunto de todas as combinações lineares de vectores em S .

Este teorema é tão conhecido que às vezes é referido como a definição de amplitude de um conjunto.

Teorema 2: Cada conjunto gerador S de um espaço vectorial V deve conter, pelo menos, tantos elementos como qualquer linearmente independente conjunto de vectores de V .

Teorema 3: Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Qualquer conjunto de vetores que se estende por V pode ser reduzido a uma base de V , descartando vetores se necessário (ou seja, se houver vetores linearmente dependentes no conjunto). Se o axioma da escolha for válido, isso é verdade sem a suposição de que V tem dimensão finita.

Isso também indica que uma base é um conjunto de abrangência mínimo quando V é de dimensão finita.

Generalizações

Generalizando a definição da extensão de pontos no espaço, um subconjunto X do conjunto básico de uma matróide é chamado de conjunto abrangente , se a classificação de X for igual à classificação de todo o conjunto básico.

A definição do espaço vetorial também pode ser generalizada para módulos. Dado um R -módulo A e uma coleção de elementos a ₁ , ..., a _n de A , o submódulo de A medido por a ₁ , ..., a _n é a soma dos módulos cíclicos

{\ displaystyle Ra_ {1} + \ cdots + Ra_ {n} = \ left \ {\ sum _ {k = 1} ^ {n} r_ {k} a_ {k} {\ Big |} r_ {k} \ em R \ right \}}

consistindo em todas as combinações R- lineares dos elementos a _i . Como no caso dos espaços vetoriais, o submódulo de A estendido por qualquer subconjunto de A é a interseção de todos os submódulos que contêm esse subconjunto.

Span linear fechado (análise funcional)

Na análise funcional , uma extensão linear fechada de um conjunto de vetores é o conjunto mínimo fechado que contém a extensão linear desse conjunto.

Suponha-se que X é um espaço vectorial normalizado e deixe E ser qualquer subconjunto não vazio de X . O intervalo linear fechado de E , denotado por ou , é a intersecção de todos os subespaços lineares fechados de X que contêm E . ${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E)}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Span}}} (E)}$

Uma formulação matemática disso é

{\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E) = \ {u \ in X | \ forall \ varepsilon> 0 \, \ exists x \ in \ operatorname {Sp} (E): \ | xu \ | <\ varepsilon \}.}

A amplitude linear fechada do conjunto de funções x ⁿ no intervalo [0, 1], onde n é um inteiro não negativo, depende da norma utilizada. Se a norma L ² for usada, então o intervalo linear fechado é o espaço de Hilbert de funções quadradas integráveis no intervalo. Mas se a norma máxima for usada, o intervalo linear fechado será o espaço de funções contínuas no intervalo. Em ambos os casos, o intervalo linear fechado contém funções que não são polinômios e, portanto, não estão no próprio intervalo linear. No entanto, a cardinalidade do conjunto de funções no vão linear fechado é a cardinalidade do contínuo , que é a mesma cardinalidade do conjunto de polinômios.

Notas

A extensão linear de um conjunto é densa na extensão linear fechada. Além disso, como afirmado no lema abaixo, o vão linear fechado é de fato o fechamento do vão linear.

Vãos lineares fechados são importantes ao lidar com subespaços lineares fechados (que são altamente importantes, consulte o lema de Riesz ).

Um lema útil

Deixe X ser um espaço normalizado e deixe E ser qualquer subconjunto não vazio de X . Então

${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E)}$ é um subespaço linear fechado de X que contém E ,
${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E) = {\ overline {\ operatorname {Sp} (E)}}}$ , viz. é o fechamento de , ${\ displaystyle {\ overline {\ operatorname {Sp}}} (E)}$ ${\ displaystyle \ operatorname {Sp} (E)}$
${\ displaystyle E ^ {\ perp} = (\ operatorname {Sp} (E)) ^ {\ perp} = \ left ({\ overline {\ operatorname {Sp} (E)}} \ right) ^ {\ perp }.}$

(Portanto, a maneira usual de encontrar o intervalo linear fechado é encontrar primeiro o intervalo linear e, em seguida, o fechamento desse intervalo linear.)

Veja também

Citações

^ Encyclopedia of Mathematics (2020) . Linear Hull.
^ Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ Math Vault (2021) Operadores relacionados ao espaço vetorial.
^ Axler (2015) p. 29, § 2.7
^ Hefferon (2020) p. 100, ch. 2, Definição 2.13
^ Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8
^ Romano (2005) pp. 41-42
^ MathWorld (2021) Vector Space Span.
^ Roman (2005) p. 96, ch. 4
^ Lane e Birkhoff (1999) p. 193, ch. 6

Origens

Livro didático

Axler, Sheldon Jay (2015). Linear Algebra Done Right (3ª ed.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0 .
Hefferon, Jim (2020). Linear Algebra (4ª ed.). Publicação Ortogonal. ISBN 978-1-944325-11-4 .
Lane, Saunders Mac ; Birkhoff, Garrett (1999) [1988]. Álgebra (3ª ed.). Publicação AMS Chelsea . ISBN 978-0821816462 .
Roman, Steven (2005). Álgebra Linear Avançada (2ª ed.). Springer . ISBN 0-387-24766-1 .
Rynne, Brian P .; Youngson, Martin A. (2008). Análise Funcional Linear . Springer. ISBN 978-1848000049 .

Rede

Lankham, Isaías; Nachtergaele, Bruno ; Schilling, Anne (13 de fevereiro de 2010). "Álgebra Linear - Como uma introdução à matemática abstrata" (PDF) . Universidade da Califórnia, Davis . Página visitada em 27 de setembro de 2011 .
"Lista Abrangente de Símbolos de Álgebra" . Math Vault . Recuperado em 16 de fevereiro de 2021 .
Weisstein, Eric Wolfgang . "Vector Space Span" . MathWorld . Recuperado em 16 de fevereiro de 2021 .
"Casco linear" . Enciclopédia de Matemática . 5 de abril de 2020 . Recuperado em 16 de fevereiro de 2021 .

links externos

Combinações lineares e extensão: Noções básicas sobre combinações lineares e extensões de vetores , khanacademy.org.
Sanderson, Grant (6 de agosto de 2016). "Combinações lineares, extensão e vetores de base" . Essence of Linear Algebra - via YouTube .

[1] Encyclopedia of Mathematics (2020) . Linear Hull.

[:0-2] Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[3] Math Vault (2021) Operadores relacionados ao espaço vetorial.

[4] Axler (2015) p. 29, § 2.7

[5] Hefferon (2020) p. 100, ch. 2, Definição 2.13

[:02-6] Axler (2015) pp. 29-30, §§ 2.5, 2.8

[7] Romano (2005) pp. 41-42

[8] MathWorld (2021) Vector Space Span.

[9] Roman (2005) p. 96, ch. 4

[10] Lane e Birkhoff (1999) p. 193, ch. 6

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