Independência linear - Linear independence

Vetores linearmente independentes em
Vetores linearmente dependentes em um plano em

Na teoria dos espaços vetoriais , um conjunto de vetores é chamado de linearmente dependente se houver umacombinação linearnão trivialdos vetores que é igual ao vetor zero. Se essa combinação linear não existe, então os vetores são consideradoslinearmente independente . Esses conceitos são centrais para a definição dedimensão.

Um espaço vetorial pode ser de dimensão finita ou infinita dependendo do número máximo de vetores linearmente independentes. A definição de dependência linear e a capacidade de determinar se um subconjunto de vetores em um espaço vetorial é linearmente dependente são centrais para determinar a dimensão de um espaço vetorial.

Definição

Uma sequência de vetores de um espaço vetorial V é considerada linearmente dependente , se existirem escalares nem todos zero, de modo que

onde denota o vetor zero.

Isso implica que pelo menos um dos escalares é diferente de zero, digamos , e a equação acima pode ser escrita como

se e se

Assim, um conjunto de vetores é linearmente dependente se e somente se um deles for zero ou uma combinação linear dos outros.

Uma sequência de vetores é considerada linearmente independente se não for linearmente dependente, ou seja, se a equação

só pode ser satisfeito por for Isso implica que nenhum vetor na sequência pode ser representado como uma combinação linear dos vetores restantes na sequência. Em outras palavras, uma sequência de vetores é linearmente independente se a única representação de como uma combinação linear de seus vetores for a representação trivial em que todos os escalares são zero. Ainda mais concisamente, uma sequência de vetores é linearmente independente se, e somente se, puder ser representada como uma combinação linear de seus vetores de uma maneira única.

Se uma sequência de vetores contém duas vezes o mesmo vetor, ela é necessariamente dependente. A dependência linear de uma sequência de vetores não depende da ordem dos termos na sequência. Isso permite definir a independência linear para um conjunto finito de vetores: Um conjunto finito de vetores é linearmente independente se a sequência obtida ao ordená-los for linearmente independente. Em outras palavras, obtém-se o seguinte resultado, que geralmente é útil.

Uma sequência de vetores é linearmente independente se e somente se não contiver duas vezes o mesmo vetor e o conjunto de seus vetores for linearmente independente.

Caso infinito

Um conjunto infinito de vetores é linearmente independente se todo subconjunto finito não vazio for linearmente independente. Por outro lado, um conjunto infinito de vetores é linearmente dependente se ele contém um subconjunto finito que é linearmente dependente, ou equivalentemente, se algum vetor no conjunto é uma combinação linear de outros vetores no conjunto.

Uma família indexada de vetores é linearmente independente se não contiver duas vezes o mesmo vetor e se o conjunto de seus vetores for linearmente independente. Caso contrário, a família é dita linearmente dependente .

Um conjunto de vetores que é linearmente independente e abrange algum espaço vetorial, forma uma base para esse espaço vetorial. Por exemplo, o espaço vetorial de todos os polinômios em x sobre os reais tem o subconjunto (infinito) {1, x , x 2 , ...} como base.

Exemplos geométricos

Vectores independientes.png
  • e são independentes e definem o plano P.
  • , e são dependentes porque todos os três estão contidos no mesmo plano.
  • e são dependentes porque são paralelos entre si.
  • , e são independentes porque e são independentes um do outro e não é uma combinação linear deles ou, o que é o mesmo, porque não pertencem a um plano comum. Os três vetores definem um espaço tridimensional.
  • Os vetores (vetor nulo, cujos componentes são iguais a zero) e são dependentes desde

Localização geográfica

Uma pessoa que descreve a localização de um determinado lugar pode dizer: "Fica a 3 milhas ao norte e 6,4 milhas a leste daqui." Essas informações são suficientes para descrever a localização, pois o sistema de coordenadas geográficas pode ser considerado um espaço vetorial bidimensional (ignorando a altitude e a curvatura da superfície terrestre). A pessoa pode acrescentar: "O lugar fica a 8 km a nordeste daqui." Esta última afirmação é verdadeira , mas não é necessário encontrar o local.

Neste exemplo, o vetor "3 milhas ao norte" e o vetor "4 milhas a leste" são linearmente independentes. Ou seja, o vetor norte não pode ser descrito em termos do vetor leste e vice-versa. O terceiro vetor "5 milhas a nordeste" é uma combinação linear dos outros dois vetores, e torna o conjunto de vetores linearmente dependente , ou seja, um dos três vetores é desnecessário para definir uma localização específica em um plano.

Observe também que, se a altitude não for ignorada, será necessário adicionar um terceiro vetor ao conjunto linearmente independente. Em geral, n vetores linearmente independentes são necessários para descrever todas as localizações no espaço n- dimensional.

Avaliando a independência linear

O vetor zero

Se um ou mais vetores de uma dada sequência de vetores for o vetor zero, então o vetor é necessariamente linearmente dependente (e, conseqüentemente, não é linearmente independente). Para ver o porquê, suponha que seja um índice (ou seja, um elemento de ) tal que Then let (alternativamente, permitindo ser igual a qualquer outro escalar diferente de zero também funcionará) e, em seguida, deixe todos os outros escalares serem (explicitamente, isso significa que para qualquer índice diferente de (ou seja, para ), deixe assim que, conseqüentemente ). Simplificar dá:

Como nem todos os escalares são zero (em particular, ), isso prova que os vetores são linearmente dependentes.

Como consequência, o vector de zero não pode possivelmente pertencem a qualquer conjunto de vectores que é linearmente em dependente.

Agora considere o caso especial em que a sequência de tem comprimento (ou seja, o caso em que ). Uma coleção de vetores que consiste em exatamente um vetor é linearmente dependente se e somente se esse vetor for zero. Explicitamente, se for qualquer vetor, a sequência (que é uma sequência de comprimento ) é linearmente dependente se e somente se ; alternativamente, a coleção é linearmente independente se e somente se

Dependência linear e independência de dois vetores

Este exemplo considera o caso especial onde existem exatamente dois vetores e de algum espaço vetorial real ou complexo. Os vetores e são linearmente dependentes se e somente se pelo menos uma das seguintes opções for verdadeira:

  1. é um múltiplo escalar de (explicitamente, isso significa que existe um escalar tal que ) ou
  2. é um múltiplo escalar de (explicitamente, isso significa que existe um escalar tal que ).

Se então, ao definirmos , temos (essa igualdade é válida independentemente do valor de ), o que mostra que (1) é verdadeiro neste caso particular. Da mesma forma, se então (2) é verdadeiro porque If (por exemplo, se ambos são iguais ao vetor zero ) então ambos (1) e (2) são verdadeiros (usando para ambos).

Se então, só é possível se e ; neste caso, é possível multiplicar ambos os lados por para concluir. Isso mostra que se e então (1) é verdadeiro se e somente se (2) é verdadeiro; isto é, neste caso particular, ou ambos (1) e (2) são verdadeiras (e os vectores são linearmente dependente) ou então ambos (1) e (2) são falsas (e os vectores são linearmente em dependente). Se, mas em vez disso , pelo menos um de e deve ser zero. Além disso, se exatamente um de e é (enquanto o outro é diferente de zero), então exatamente um de (1) e (2) é verdadeiro (com o outro sendo falso).

Os vectores e são linearmente em dependente se e apenas se não é um múltiplo de escalar e não é um múltiplo de escalar .

Vetores em R 2

Três vetores: considere o conjunto de vetores e então a condição para dependência linear busca um conjunto de escalares diferentes de zero, tais que

ou

A linha reduz esta equação da matriz subtraindo a primeira linha da segunda para obter,

Continue a redução da linha (i) dividindo a segunda linha por 5, e então (ii) multiplicando por 3 e adicionando à primeira linha, isto é

Reorganizar esta equação nos permite obter

o que mostra que não zero um i existir de tal forma que pode ser definida em termos de ea Assim, os três vectores são linearmente dependente.

Dois vetores: Agora considere a dependência linear dos dois vetores e e verificação,

ou

A mesma redução de linha apresentada acima produz,

Isso mostra o que significa que os vetores v 1 = (1, 1) ev 2 = (−3, 2) são linearmente independentes.

Vetores em R 4

A fim de determinar se os três vetores em

são linearmente dependentes, formam a equação da matriz,

Reduza a linha esta equação para obter,

Reorganize para resolver para v 3 e obtenha,

Esta equação é facilmente resolvida para definir não zero a i ,

onde pode ser escolhido arbitrariamente. Assim, os vetores e são linearmente dependentes.

Método alternativo usando determinantes

Um método alternativo baseia-se no fato de que os vetores em são linearmente independentes se e somente se o determinante da matriz formada tomando os vetores como suas colunas for diferente de zero.

Neste caso, a matriz formada pelos vetores é

Podemos escrever uma combinação linear das colunas como

Estamos interessados ​​em saber se A Λ = 0 para algum vetor diferente de zero Λ. Isso depende do determinante de , que é

Desde o determinante não é zero, os vetores e são linearmente independentes.

Caso contrário, suponha que temos vetores de coordenadas, com Então A é uma matriz n × m e Λ é um vetor coluna com entradas, e estamos novamente interessados ​​em A Λ = 0 . Como vimos anteriormente, isso é equivalente a uma lista de equações. Considere as primeiras linhas das primeiras equações; qualquer solução da lista completa de equações também deve ser verdadeira para a lista reduzida. Na verdade, se i 1 , ..., i m é qualquer lista de linhas, então a equação deve ser verdadeira para essas linhas.

Além disso, o inverso é verdadeiro. Ou seja, podemos testar se os vetores são linearmente dependentes, testando se

para todas as listas de linhas possíveis . (No caso , isso requer apenas um determinante, como acima. Se , então é um teorema que os vetores devem ser linearmente dependentes.) Este fato é valioso para a teoria; em cálculos práticos, métodos mais eficientes estão disponíveis.

Mais vetores do que dimensões

Se houver mais vetores do que dimensões, os vetores são linearmente dependentes. Isso é ilustrado no exemplo acima de três vetores em

Vetores de base natural

Deixe e considere os seguintes elementos em , conhecidos como vetores de base natural :

Então são linearmente independentes.

Prova  -

Suponha que sejam números reais tais que

Desde a

então para todos

Independência linear de funções

Let Ser o espaço vetorial de todas as funções diferenciáveis de uma variável real . Então, as funções e in são linearmente independentes.

Prova

Suponha e sejam dois números reais tais que

Faça a primeira derivada da equação acima:

para todos os valores de Precisamos mostrar que e. Para fazer isso, subtraímos a primeira equação da segunda, dando . Uma vez que não é zero para alguns , segue-se isso também. Portanto, de acordo com a definição de independência linear, e são linearmente independentes.

Espaço de dependências lineares

Uma dependência linear ou relação linear entre os vetores v 1 , ..., v n é uma tupla ( a 1 , ..., a n ) com n componentes escalares tais que

Se tal dependência linear existe com pelo menos um componente diferente de zero, então os n vetores são linearmente dependentes. Dependências lineares entre v 1 , ..., v n formam um espaço vetorial.

Se os vetores são expressos por suas coordenadas, então as dependências lineares são as soluções de um sistema homogêneo de equações lineares , com as coordenadas dos vetores como coeficientes. Uma base do espaço vetorial de dependências lineares pode, portanto, ser calculada por eliminação gaussiana .

Independência afim

Diz-se que um conjunto de vetores é afinamente dependente se pelo menos um dos vetores no conjunto puder ser definido como uma combinação afim dos outros. Caso contrário, o conjunto é denominado afinamente independente . Qualquer combinação afim é uma combinação linear; portanto, todo conjunto afinamente dependente é linearmente dependente. Por outro lado, todo conjunto linearmente independente é afinamente independente.

Considere um conjunto de vetores de tamanho cada, e considere o conjunto de vetores aumentados de tamanho cada. Os vetores originais são independentes por afinidade se e somente se os vetores aumentados forem linearmente independentes.

Veja também: espaço afim .

Veja também

  • Matroid  - Estrutura abstrata que modela e generaliza a independência linear

Referências

links externos