Fórmula de massa semi-empírica - Semi-empirical mass formula

Na física nuclear , a fórmula semi-empírica de massa ( SEMF ) (às vezes também chamada de fórmula de Weizsäcker , fórmula de Bethe-Weizsäcker ou fórmula de massa de Bethe-Weizsäcker para distingui-la do processo de Bethe-Weizsäcker ) é usada para aproximar a massa e vários outras propriedades de um núcleo atômico de seu número de prótons e nêutrons . Como o nome sugere, é baseado em parte na teoria e em parte em medições empíricas. A fórmula representa o modelo de gota líquida proposto por George Gamow , que pode ser responsável pela maioria dos termos na fórmula e fornece estimativas grosseiras para os valores dos coeficientes. Foi formulado pela primeira vez em 1935 pelo físico alemão Carl Friedrich von Weizsäcker e, embora tenham sido feitos refinamentos nos coeficientes ao longo dos anos, a estrutura da fórmula permanece a mesma hoje.

A fórmula fornece uma boa aproximação para massas atômicas e, portanto, outros efeitos. No entanto, não consegue explicar a existência de linhas de maior energia de ligação em certos números de prótons e nêutrons. Esses números, conhecidos como números mágicos , são a base do modelo de invólucro nuclear .

O modelo de gota de líquido

Ilustração dos termos da fórmula semi-empírica da massa no modelo de gota líquida do núcleo atômico.

O modelo de gota líquida foi proposto pela primeira vez por George Gamow e posteriormente desenvolvido por Niels Bohr e John Archibald Wheeler . Trata o núcleo como uma gota de fluido incompressível de altíssima densidade, mantida unida pela força nuclear (efeito residual da força forte ), há uma semelhança com a estrutura de uma gota esférica de líquido. Embora seja um modelo bruto, o modelo de gota líquida é responsável pela forma esférica da maioria dos núcleos e faz uma previsão aproximada da energia de ligação.

A fórmula de massa correspondente é definida puramente em termos do número de prótons e nêutrons que contém. A fórmula original de Weizsäcker define cinco termos:

  • Energia de volume , quando um conjunto de núcleos do mesmo tamanho é compactado no menor volume, cada núcleo interno tem um certo número de outros núcleos em contato com ele. Então, essa energia nuclear é proporcional ao volume.
  • A energia da superfície corrige a suposição anterior de que cada núcleo interage com o mesmo número de outros núcleos. Este termo é negativo e proporcional à área superficial e, portanto, é aproximadamente equivalente à tensão superficial do líquido .
  • Energia de Coulomb , a energia potencial de cada par de prótons. Como se trata de uma força repulsiva, a energia de ligação é reduzida.
  • Energia de assimetria (também chamada de Energia de Pauli ), responsável pelo princípio de exclusão de Pauli . Números desiguais de nêutrons e prótons implicam no preenchimento de níveis de energia mais altos para um tipo de partícula, enquanto os níveis de energia mais baixos ficam vagos para o outro tipo.
  • Energia de emparelhamento , responsável pela tendência de ocorrência de pares de prótons e pares de nêutrons . Um número par de partículas é mais estável do que um número ímpar devido ao acoplamento de spin .

A fórmula

A energia de ligação por nucleon (em MeV ) mostrada como uma função do número de nêutrons N e número atômico Z como dado pela fórmula semi-empírica de massa. Uma linha tracejada é incluída para mostrar os nuclídeos que foram descobertos por experimento.
A diferença entre as energias previstas e as energias de ligação conhecidas, dada em quiloeletronvolts. Os fenômenos presentes podem ser explicados por outros termos sutis, mas a fórmula da massa não pode explicar a presença de linhas, claramente identificáveis ​​por picos agudos nos contornos.

A massa de um núcleo atômico, para nêutrons , prótons e, portanto , núcleons , é dada por

onde e são a massa de repouso de um próton e um nêutron, respectivamente, e é a energia de ligação do núcleo. A fórmula de massa semi-empírica afirma que a energia de ligação é:

O termo é zero ou , dependendo da paridade de e , onde para algum expoente . Observe que como , o numerador do termo pode ser reescrito como .

Cada um dos termos desta fórmula tem uma base teórica. Os coeficientes , , , , e são determinados empiricamente; embora possam ser derivados de experimentos, eles são normalmente derivados de mínimos quadrados ajustados aos dados contemporâneos. Embora normalmente expresso por seus cinco termos básicos, existem outros termos para explicar fenômenos adicionais. Semelhante a como alterar um ajuste polinomial irá alterar seus coeficientes, a interação entre esses coeficientes conforme novos fenômenos são introduzidos é complexa; alguns termos influenciam uns aos outros, enquanto o termo é amplamente independente.

Termo de volume

O termo é conhecido como termo de volume . O volume do núcleo é proporcional a A , então esse termo é proporcional ao volume, daí o nome.

A base para este termo é a força nuclear forte . A força forte afeta ambos os prótons e nêutrons, e como esperado, este termo é independente do Z . Como o número de pares que podem ser obtidos das partículas A é , pode-se esperar um termo proporcional a . No entanto, a força forte tem um alcance muito limitado, e um dado nucleon pode interagir fortemente com seus vizinhos mais próximos e com os vizinhos mais próximos. Portanto, o número de pares de partículas que realmente interagem é aproximadamente proporcional a A , dando ao termo de volume sua forma.

O coeficiente é menor que a energia de ligação possuída pelos núcleos em relação aos seus vizinhos ( ), que é da ordem de 40 MeV . Isso porque quanto maior o número de núcleos no núcleo, maior é sua energia cinética, devido ao princípio de exclusão de Pauli . Se tratarmos o núcleo como uma bola Fermi de núcleons , com números iguais de prótons e nêutrons, então a energia cinética total é , com a energia de Fermi que é estimada em 38 MeV . Assim, o valor esperado de neste modelo não está longe do valor medido.

Termo de superfície

O termo é conhecido como termo de superfície . Este termo, também baseado na força forte, é uma correção para o termo de volume.

O termo volume sugere que cada interage nucleônicas com um número constante de núcleos, independente de um . Embora isso seja quase verdadeiro para os núcleos nas profundezas do núcleo, os núcleos da superfície do núcleo têm menos vizinhos mais próximos, justificando essa correção. Isso também pode ser considerado um termo de tensão superficial e, de fato, um mecanismo semelhante cria tensão superficial em líquidos.

Se o volume do núcleo é proporcional a A , então o raio deve ser proporcional a e a área da superfície a . Isso explica por que o termo superfície é proporcional a . Também pode ser deduzido que deve ter uma ordem de magnitude semelhante a .

Termo de Coulomb

O termo ou é conhecido como Coulomb ou termo eletrostático .

A base para este termo é a repulsão eletrostática entre prótons. Em uma aproximação muito grosseira, o núcleo pode ser considerado uma esfera de densidade de carga uniforme . A energia potencial de tal distribuição de carga pode ser mostrada como

onde Q é a carga total e R é o raio da esfera. O valor de pode ser calculado aproximadamente usando esta equação para calcular a energia potencial, usando um raio nuclear empírico de e Q = Ze . No entanto, como a repulsão eletrostática só existirá para mais de um próton, torna - se :

onde agora a constante eletrostática de Coulomb é

.

Usando a constante de estrutura fina , podemos reescrever o valor de :

onde é a constante de estrutura fina e é o raio de um núcleo , dando a aproximadamente 1,25 femtômetros . é o comprimento de onda Compton reduzido do próton e é a massa do próton. Isso dá um valor teórico aproximado de 0,691 MeV , não muito longe do valor medido.

Termo de assimetria

Ilustração da base para o termo assimétrico

O termo é conhecido como termo de assimetria (ou termo de Pauli ).

A justificativa teórica para este termo é mais complexa. O princípio de exclusão de Pauli afirma que dois férmions idênticos não podem ocupar exatamente o mesmo estado quântico em um átomo. Em um determinado nível de energia, existem apenas um número finito de estados quânticos disponíveis para as partículas. O que isso significa no núcleo é que quanto mais partículas são "adicionadas", essas partículas devem ocupar níveis de energia mais elevados, aumentando a energia total do núcleo (e diminuindo a energia de ligação). Observe que este efeito não é baseado em nenhuma das forças fundamentais ( gravitacional , eletromagnética, etc.), apenas no princípio de exclusão de Pauli.

Prótons e nêutrons, sendo tipos distintos de partículas, ocupam diferentes estados quânticos. Pode-se pensar em dois "pools" diferentes de estados, um para prótons e outro para nêutrons. Agora, por exemplo, se houver significativamente mais nêutrons do que prótons em um núcleo, alguns dos nêutrons terão mais energia do que os estados disponíveis no reservatório de prótons. Se pudéssemos mover algumas partículas do pool de nêutrons para o pool de prótons, em outras palavras, transformar alguns nêutrons em prótons, diminuiríamos significativamente a energia. O desequilíbrio entre o número de prótons e nêutrons faz com que a energia seja maior do que o necessário para um determinado número de núcleons . Esta é a base para o termo de assimetria.

A forma real do termo de assimetria pode novamente ser derivada modelando o núcleo como uma bola de Fermi de prótons e nêutrons. Sua energia cinética total é

onde e estão as energias Fermi dos prótons e nêutrons. Uma vez que estes são proporcionais a e , respectivamente, obtém-se

para algum C constante .

Os principais termos na expansão da diferença são então

Na ordem zero da expansão, a energia cinética é apenas a energia total de Fermi multiplicada por . Assim nós obtemos

O primeiro termo contribui para o termo de volume na fórmula semi-empírica de massa e o segundo termo é menos o termo de assimetria (lembre-se de que a energia cinética contribui para a energia de ligação total com um sinal negativo ).

é 38 MeV , então, calculando a equação acima, obtemos apenas metade do valor medido. A discrepância é explicada por nosso modelo não ser preciso: os núcleons de fato interagem uns com os outros e não estão espalhados uniformemente pelo núcleo. Por exemplo, no modelo de casca , um próton e um nêutron com funções de onda sobrepostas terão uma interação mais forte entre eles e uma energia de ligação mais forte. Isso torna energeticamente favorável (ou seja, ter energia inferior) para prótons e nêutrons terem os mesmos números quânticos (exceto isospin ) e, assim, aumentar o custo de energia da assimetria entre eles.

Também se pode entender o termo assimetria intuitivamente, como segue. Deve ser dependente da diferença absoluta , e a forma é simples e diferenciável , o que é importante para certas aplicações da fórmula. Além disso, pequenas diferenças entre Z e N não têm um alto custo de energia. O A no denominador reflete o fato de que uma dada diferença é menos significativa para valores maiores de Uma .

Termo de emparelhamento

Magnitude do termo de emparelhamento na energia de ligação total para núcleos pares e ímpares, em função do número de massa. Dois ajustes são mostrados (linha azul e linha vermelha). O termo de emparelhamento (positivo para pares pares e negativos para núcleos ímpares) foi derivado dos dados de energia de ligação em: G. Audi et al., 'The AME2012 atomic mass assessment', in Chinese Physics C 36 (2012/12 ) pp. 1287–1602.

O termo é conhecido como termo de emparelhamento (possivelmente também conhecido como interação de pares). Este termo captura o efeito do acoplamento de spin . É dado por:

onde é encontrada empiricamente para ter um valor de cerca de 1,000 keV, lentamente diminuindo com o número de massa  Uma . A energia de ligação pode ser aumentada convertendo um dos prótons ou nêutrons ímpares em um nêutron ou próton para que o núcleo ímpar possa formar um par com sua formação vizinha ímpar e até Z, N. O par tem funções de onda sobrepostas e ficam muito próximos. com um vínculo mais forte do que qualquer outra configuração. Quando o termo de emparelhamento é substituído na equação de energia de ligação, para Z, N pares, o termo de emparelhamento adiciona energia de ligação e para Z, N ímpar, o termo de emparelhamento remove a energia de ligação.

A dependência do número de massa é comumente parametrizada como

O valor do expoente k P é determinado a partir de dados experimentais de energia de ligação. No passado, seu valor era frequentemente assumido como sendo −3/4, mas os dados experimentais modernos indicam que um valor de −1/2 está mais próximo da marca:

ou .

Devido ao princípio de exclusão de Pauli, o núcleo teria uma energia menor se o número de prótons com spin para cima fosse igual ao número de prótons com spin para baixo. Isso também é verdadeiro para nêutrons. Somente se Z e N forem pares, os prótons e nêutrons terão números iguais de partículas de spin para cima e para baixo. Este é um efeito semelhante ao termo de assimetria.

O fator não é facilmente explicado teoricamente. O cálculo da bola de Fermi que usamos acima, baseado no modelo de gota de líquido, mas desprezando as interações, dará uma dependência, como no termo de assimetria. Isso significa que o efeito real para grandes núcleos será maior do que o esperado por esse modelo. Isso deve ser explicado pelas interações entre os núcleons; Por exemplo, no modelo de casca , dois prótons com os mesmos números quânticos (exceto spin ) terão funções de onda completamente sobrepostas e, portanto, terão maior interação forte entre eles e energia de ligação mais forte. Isso o torna energeticamente favorável (ou seja, com menor energia) para que os prótons formem pares de spin opostos. O mesmo é verdade para nêutrons.

Calculando os coeficientes

Os coeficientes são calculados ajustando-se a massas de núcleos medidas experimentalmente. Seus valores podem variar dependendo de como eles são ajustados aos dados e qual unidade é usada para expressar a massa. Vários exemplos são mostrados abaixo.

Eisberg e Resnick Ajuste de mínimos quadrados (1) Ajuste de mínimos quadrados (2) Rohlf Wapstra
unidade você MeV MeV MeV MeV
0,01691 15,8 15,76 15,75 14,1
0,01911 18,3 17,81 17,8 13
0,000673 0,714 0,711 0,711 0,595
0,10175 23,2 23,702 23,7 19
0,012 12 34 11,18 33,5
-1/2 -1/2 -3/4 -1/2 -3/4
(par-par)
(ímpar-ímpar)
(par-ímpar, ímpar-par) 0 0 0 0 0

A fórmula não considera a estrutura de concha interna do núcleo.

A fórmula de massa semi-empírica, portanto, fornece um bom ajuste para núcleos mais pesados ​​e um ajuste ruim para núcleos muito leves, especialmente 4 He . Para núcleos leves, geralmente é melhor usar um modelo que leve essa estrutura de casca em consideração.

Exemplos de consequências da fórmula

Ao maximizar E b ( A, Z ) com respeito a Z , uma iria encontrar a melhor relação de neutrão-protão N / Z para um dado peso atómico Uma . Nós temos

Isso é aproximadamente 1 para núcleos leves, mas para núcleos pesados ​​a proporção cresce de acordo com o experimento .

Substituindo o valor de Z acima de volta em E b , obtém-se a energia de ligação em função do peso atômico, E b ( A ) . Maximizar E b ( A ) / A em relação a A dá o núcleo que está mais fortemente ligado, isto é, mais estável. O valor que obtemos é A = 63 ( cobre ), próximo aos valores medidos de A = 62 ( níquel ) e A = 58 ( ferro ).

O modelo de gota de líquido também permite o cálculo de barreiras de fissão para núcleos, que determinam a estabilidade de um núcleo contra a fissão espontânea . Especulou-se originalmente que os elementos além do número atômico 104 não poderiam existir, pois eles sofreriam fissão com meias-vidas muito curtas, embora esta fórmula não considerasse os efeitos estabilizadores de invólucros nucleares fechados . Uma fórmula modificada considerando os efeitos da casca reproduz os dados conhecidos e a ilha de estabilidade prevista (na qual se espera que as barreiras de fissão e as meias-vidas aumentem, atingindo um máximo nos fechamentos da casca), embora também sugira um possível limite para a existência de núcleos superpesados ​​além Z  =  120 e N  = 184.

Referências

Origens

links externos