Lista de declarações independentes de ZFC - List of statements independent of ZFC
As declarações matemáticas discutidas abaixo são comprovadamente independentes de ZFC (a teoria dos conjuntos axiomáticos canônicos da matemática contemporânea, consistindo nos axiomas de Zermelo – Fraenkel mais o axioma de escolha ), assumindo que ZFC é consistente . Uma declaração é independente de ZFC (às vezes expressa como "indecidível em ZFC") se não puder ser provada nem refutada dos axiomas de ZFC.
Teoria dos conjuntos axiomáticos
Em 1931, Kurt Gödel provou o primeiro resultado da independência do ZFC, ou seja, que a consistência do próprio ZFC era independente do ZFC ( segundo teorema da incompletude de Gödel ).
As seguintes declarações são independentes do ZFC, entre outras:
- a consistência do ZFC;
- a hipótese do contínuo ou CH (Gödel produziu um modelo de ZFC em que CH é verdadeiro, mostrando que CH não pode ser refutado em ZFC; Paul Cohen inventou posteriormente o método de forçar a exibir um modelo de ZFC em que CH falha, mostrando que CH não pode ser provado em ZFC. Os quatro resultados de independência a seguir também são devidos a Gödel / Cohen.);
- a hipótese do contínuo generalizado (GCH);
- uma declaração independente relacionada é que se um conjunto x tiver menos elementos do que y , então x também terá menos subconjuntos do que y . Em particular, esta declaração falha quando o cardinalidades dos conjuntos de potência de x e y coincidem;
- o axioma de construtibilidade ( V = L );
- o princípio do diamante (◊);
- Axioma de Martin (MA);
- MA + ¬CH (independência mostrada por Solovay e Tennenbaum ).
Temos as seguintes cadeias de implicações:
- V = L → ◊ → CH,
- V = L → GCH → CH,
- CH → MA,
e (consulte a seção sobre teoria da ordem):
Várias declarações relacionadas à existência de cardeais grandes não podem ser provadas no ZFC (assumindo que o ZFC é consistente). Eles são independentes do ZFC, desde que sejam consistentes com o ZFC, o que a maioria dos teóricos do conjunto de trabalho acredita ser o caso. Essas declarações são fortes o suficiente para sugerir a consistência do ZFC. Isso tem a consequência (através do segundo teorema da incompletude de Gödel ) que sua consistência com ZFC não pode ser provada em ZFC (assumindo que ZFC é consistente). As seguintes declarações pertencem a esta classe:
- Existência de cardeais inacessíveis
- Existência de cardeais Mahlo
- Existência de cardeais mensuráveis (primeiro conjecturado por Ulam )
- Existência de cardeais supercompactos
As seguintes declarações podem ser comprovadas como independentes de ZFC, assumindo a consistência de um grande cardeal adequado:
- Axioma de força adequada
- Axioma de coloração aberta
- Máximo de Martin
- Existência de 0 #
- Hipótese de cardinais singulares
- Determinação projetiva (e até mesmo o axioma completo de determinação se o axioma da escolha não for assumido)
Teoria dos conjuntos da linha real
Existem muitos invariantes cardinais da linha real, conectados com a teoria da medida e declarações relacionadas ao teorema da categoria de Baire , cujos valores exatos são independentes de ZFC. Embora relações não triviais possam ser provadas entre eles, a maioria dos invariantes cardinais pode ser qualquer cardinal regular entre ℵ 1 e 2 ℵ 0 . Esta é uma área importante de estudo na teoria dos conjuntos da linha real (consulte o diagrama de Cichon ). MA tem uma tendência de definir os invariantes cardinais mais interessantes iguais a 2 ℵ 0 .
Um subconjunto X da reta real é um forte conjunto de medida zero se para cada sequência ( ε n ) de reais positivos existe uma sequência de intervalos ( I n ) que cobre X e tal que I n tem comprimento no máximo ε n . A conjectura de Borel, de que todo conjunto zero de medida forte é contável, é independente de ZFC.
Um subconjunto X da linha real é -dense se cada intervalo aberto contém elementos -muitos de X . Se todos os conjuntos densos são isomórficos de ordem é independente de ZFC.
Teoria da ordem
Problema de suslin pergunta se um específica curta lista de propriedades caracteriza o conjunto ordenado de números reais R . Isso é indecidível no ZFC. A linha Suslin é um conjunto ordenado que satisfaz essa lista específica de propriedades, mas não é fim-isomorfo a R . O princípio do diamante ◊ prova a existência de uma linha Suslin, enquanto MA + ¬CH implica EATS ( cada árvore Aronszajn é especial ), o que por sua vez implica (mas não é equivalente a) a inexistência de linhas Suslin. Ronald Jensen provou que CH não implica a existência de uma linha Suslin.
A existência de árvores Kurepa é independente de ZFC, assumindo a consistência de um cardeal inacessível .
A existência de uma partição do número ordinal em duas cores sem subconjunto sequencialmente fechado incontável monocromático é independente de ZFC, ZFC + CH e ZFC + ¬CH, assumindo a consistência de um cardinal Mahlo . Este teorema de Shelah responde a uma pergunta de H. Friedman .
Álgebra abstrata
Em 1973, Saharon Shelah mostrou que o problema de Whitehead ("é todo grupo abeliano A com Ext 1 (A, Z ) = 0 um grupo abeliano livre ?") É independente de ZFC. Um grupo abeliano com Ext 1 (A, Z ) = 0 é chamado de grupo Whitehead; MA + ¬CH prova a existência de um grupo Whitehead não livre, enquanto V = L prova que todos os grupos Whitehead são livres. Em uma das primeiras aplicações do forçamento adequado , Shelah construiu um modelo de ZFC + CH no qual existe um grupo Whitehead não livre.
Considere o anel A = R [ x , y , z ] de polinômios em três variáveis sobre os números reais e seu campo de frações M = R ( x , y , z ). A dimensão projetiva de M como módulo A é 2 ou 3, mas é independente de ZFC se é igual a 2; é igual a 2 se e somente se CH for mantido.
Um produto direto de muitos campos contáveis tem dimensão global 2 se e somente se a hipótese do contínuo for válida.
Teoria dos Números
Pode-se escrever um polinômio concreto p ∈ Z [ x 1 , ..., x 9 ] tal que a afirmação "há inteiros m 1 , ..., m 9 com p ( m 1 , ..., m 9 ) = 0 "não pode ser provado nem refutado em ZFC (assumindo que ZFC é consistente). Isso segue da resolução de Yuri Matiyasevich do décimo problema de Hilbert ; o polinômio é construído de forma que tenha uma raiz inteira se e somente se ZFC for inconsistente.
Teoria da medida
Uma versão mais forte do teorema de Fubini para funções positivas, em que a função não é mais considerada mensurável, mas apenas que as duas integrais iteradas estão bem definidas e existem, é independente de ZFC. Por um lado, CH implica que existe uma função no quadrado da unidade cujos integrais iterados não são iguais - a função é simplesmente a função indicadora de uma ordenação de [0, 1] equivalente a uma ordenação do cardinal ω 1 . Um exemplo semelhante pode ser construído usando MA . Por outro lado, a consistência do forte teorema de Fubini foi mostrada pela primeira vez por Friedman . Também pode ser deduzido de uma variante do axioma de simetria de Freiling .
Topologia
A conjectura do Espaço de Moore normal, ou seja, que todo espaço de Moore normal é metrizável , pode ser refutada assumindo CH ou MA + ¬CH, e pode ser provada assumindo um certo axioma que implica a existência de grandes cardeais. Assim, concedidos grandes cardeais, a conjectura do Espaço Normal de Moore é independente de ZFC.
Várias afirmações sobre finito, pontos P, pontos Q, ...
Espaços S e L
Análise funcional
Garth Dales e Robert M. Solovay provaram em 1976 que a conjectura de Kaplansky , ou seja, que todo homomorfismo de álgebra da álgebra de Banach C (X) (onde X é algum espaço de Hausdorff compacto ) em qualquer outra álgebra de Banach deve ser contínua, é independente de ZFC. CH implica que para qualquer X infinito existe um homomorfismo descontínuo em qualquer álgebra de Banach.
Considere o álgebra B ( H ) de operadores lineares delimitadas no infinito-dimensional separável espaço de Hilbert H . Os operadores compactos formam um ideal bilateral em B ( H ). A questão de se esse ideal é a soma de dois ideais apropriadamente menores é independente do ZFC, como foi provado por Andreas Blass e Saharon Shelah em 1987.
Charles Akemann e Nik Weaver mostraram em 2003 que a afirmação "existe um contra-exemplo para o problema de Naimark que é gerado por ℵ 1 , elementos" é independente de ZFC.
Miroslav Bačák e Petr Hájek provaram em 2008 que a afirmação "todo espaço Asplund de caractere de densidade ω 1 tem uma nova forma com a propriedade de interseção Mazur " é independente de ZFC. O resultado é mostrado usando o axioma máximo de Martin , enquanto Mar Jiménez e José Pedro Moreno (1997) apresentaram um contra-exemplo assumindo CH.
Como mostrado por Ilijas Farah e N. Christopher Phillips e Nik Weaver , a existência de automorfismos externos da álgebra de Calkin depende de suposições teóricas definidas além de ZFC.
Teoria do modelo
A conjectura de Chang é independente de ZFC assumindo a consistência de um cardeal Erdős .
Teoria da computabilidade
Marcia Groszek e Theodore Slaman deram exemplos de declarações independentes do ZFC sobre a estrutura dos graus de Turing. Em particular, se existe um conjunto maximamente independente de graus de tamanho menor que o contínuo.