Medida localmente finita - Locally finite measure

Em matemática , uma medida localmente finita é uma medida para a qual cada ponto do espaço de medida tem uma vizinhança de medida finita .

Definição

Seja ( X , T ) um espaço topológico de Hausdorff e seja Σ uma σ-álgebra em X que contém a topologia T (de modo que todo conjunto aberto seja um conjunto mensurável e Σ seja pelo menos tão fino quanto a σ-álgebra de Borel em X ). Uma medida / medida assinado / complexo medida μ definido em Σ é chamado localmente finito se, para cada ponto P do espaço X , há uma aberto vizinhança N p de p de modo a que o μ -measure de N p é finito.

Em uma notação mais condensada, μ é localmente finito se e somente se

Exemplos

  1. Qualquer medida de probabilidade em X é localmente finita, uma vez que atribui medida de unidade a todo o espaço. Da mesma forma, qualquer medida que atribua uma medida finita a todo o espaço é localmente finita.
  2. A medida de Lebesgue no espaço euclidiano é localmente finita.
  3. Por definição, qualquer medida de Radon é localmente finita.
  4. A medida de contagem às vezes é localmente finita e às vezes não: a medida de contagem nos inteiros com sua topologia discreta usual é localmente finita, mas a medida de contagem na linha real com sua topologia Borel usual não é.

Veja também

Referências

  1. ^ Berge, Claude (1963). Espaços Topológicos . p. 31. ISBN   0486696537 .
  2. ^ Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur (1978). Contra-exemplos em topologia . p. 22
  3. ^ Gemignani, Michael C. (1972). Topologia elementar . p. 228. ISBN   0486665224 .