espiral logarítmica -Logarithmic spiral

Espiral logarítmica (inclinação 10°)
Uma seção do conjunto de Mandelbrot seguindo uma espiral logarítmica

Uma espiral logarítmica , espiral equiangular ou espiral de crescimento é uma curva espiral auto-semelhante que geralmente aparece na natureza. O primeiro a descrever uma espiral logarítmica foi Albrecht Dürer (1525) que a chamou de "linha eterna" ("ewige lini"). Mais de um século depois, a curva foi discutida por Descartes (1638), e mais tarde extensivamente investigada por Jacob Bernoulli , que a chamou de Spira mirabilis , "a espiral maravilhosa".

A espiral logarítmica pode ser distinguida da espiral de Arquimedes pelo fato de que as distâncias entre os giros de uma espiral logarítmica aumentam em progressão geométrica , enquanto em uma espiral de Arquimedes essas distâncias são constantes.

Definição

Em coordenadas polares, a espiral logarítmica pode ser escrita como

ou
sendo a base de logaritmos naturais , e , sendo constantes reais.

Em coordenadas cartesianas

A espiral logarítmica com a equação polar

pode ser representado em coordenadas cartesianas por
No plano complexo :

Spira mirabilis e Jacob Bernoulli

Spira mirabilis , latim para "espiral milagrosa", é outro nome para a espiral logarítmica. Embora esta curva já tivesse sido nomeada por outros matemáticos, o nome específico (espiral "milagrosa" ou "maravilhosa") foi dado a esta curva por Jacob Bernoulli , porque ele era fascinado por uma de suas propriedades matemáticas únicas: o tamanho da espiral aumenta, mas sua forma é inalterada a cada curva sucessiva, uma propriedade conhecida como auto-semelhança . Possivelmente como resultado desta propriedade única, a spira mirabilis evoluiu na natureza, aparecendo em certas formas de crescimento, comoconchas de nautilus e cabeças de girassol . Jacob Bernoulli queria tal espiral gravada em sua lápide junto com a frase " Eadem mutata resurgo " ("Embora mudado, eu me levantarei o mesmo"), mas, por engano, uma espiral de Arquimedes foi colocada lá.

Propriedades

Definição de ângulo de inclinação e setor

A espiral logarítmica tem as seguintes propriedades (ver

Espiral ):
  • Inclinação polar :
    com ângulo de inclinação polar (ver diagrama).
    (No caso de ângulo seria 0 e a curva um círculo com raio .)
  • Curvatura :
  • Comprimento do arco :
    Especialmente: , se .
    Esta propriedade foi realizada pela primeira vez por Evangelista Torricelli antes mesmo de o cálculo ter sido inventado.
  • Área do setor:
  • Inversão: A inversão do círculo ( ) mapeia a espiral logarítmica na espiral logarítmica
Exemplos para
  • Girando, dimensionando : Girar a espiral por ângulo produz a espiral , que é a espiral original uniformemente dimensionada (na origem) por .
    A escala por dá a
mesma curva.
  • Auto-semelhança : Um resultado da propriedade anterior:
    Uma espiral logarítmica em escala é congruente (por rotação) à curva original.
    Exemplo: O diagrama mostra espirais com ângulo de inclinação e . Portanto, eles são todos cópias em escala do vermelho. Mas eles também podem ser gerados girando o vermelho por ângulos resp.. Todas as espirais não têm pontos em comum (ver propriedade sobre
  • função exponencial complexa ).
  • Relação com outras curvas: As espirais logarítmicas são congruentes com suas próprias involutas , evolutas e as curvas dos pedais com base em seus centros.
  • Função exponencial complexa : A função exponencial mapeia exatamente todas as linhas não paralelas ao eixo real ou imaginário no plano complexo, para todas as espirais logarítmicas no plano complexo com centro em :
    O ângulo de inclinação polar da espiral logarítmica é o ângulo entre a linha e o eixo imaginário.
  • Casos especiais e aproximações

    A espiral áurea é uma espiral logarítmica que cresce para fora por um fator da proporção áurea para cada 90 graus de rotação (ângulo de inclinação polar de cerca de 17,03239 graus). Pode ser aproximado por uma "espiral de Fibonacci", feita de uma sequência de quartos de círculo com raios proporcionais aos números de Fibonacci .

    Na natureza

    Um ciclone extratropical sobre a Islândia mostra um padrão espiral aproximadamente logarítmico
    Os braços das galáxias espirais geralmente têm a forma de uma espiral logarítmica, aqui a Galáxia do Redemoinho
    Corte de uma concha de náutilo mostrando as câmaras dispostas em uma espiral aproximadamente logarítmica. A espiral traçada (curva azul tracejada) é baseada no parâmetro de taxa de crescimento , resultando em um passo de .

    Em vários fenômenos naturais podem-se encontrar curvas que se aproximam de espirais logarítmicas. Seguem alguns exemplos e motivos:

    • A aproximação de um falcão à sua presa em perseguição clássica , assumindo que a presa viaja em linha reta. Sua visão mais nítida está em um ângulo com a direção do vôo; este ângulo é o mesmo que o passo da espiral.
    • A aproximação de um inseto a uma fonte de luz. Eles estão acostumados a ter a fonte de luz em um ângulo constante em relação à sua trajetória de vôo. Normalmente o sol (ou lua para espécies noturnas) é a única fonte de luz e voar dessa forma resultará em uma linha praticamente reta.
    • Os braços das galáxias espirais . Nossa própria galáxia, a Via Láctea , tem vários braços espirais, cada um dos quais é aproximadamente uma espiral logarítmica com inclinação de cerca de 12 graus.
    • Os nervos da córnea (isto é, os nervos da córnea da camada subepitelial terminam perto da camada epitelial superficial da córnea em um padrão espiral logarítmico).
    • As bandas de ciclones tropicais , como furacões.
    • Muitas estruturas biológicas , incluindo as conchas dos moluscos . Nesses casos, o motivo pode ser a construção a partir da expansão de formas semelhantes, como é o caso das figuras poligonais .
    • Praias espirais logarítmicas podem se formar como resultado da refração e difração das ondas pela costa. Half Moon Bay (Califórnia) é um exemplo desse tipo de praia.

    Em aplicações de engenharia

    Um mecanismo de cancelamento de corte aproveita a auto-semelhança da espiral logarítmica para travar no lugar sob rotação, independentemente do corte do corte.
    Uma antena espiral logarítmica
    • Antenas espirais logarítmicas são antenas independentes de frequência, ou seja, antenas cujo padrão de radiação, impedância e polarização permanecem praticamente inalterados em uma ampla largura de banda.
    • Ao fabricar mecanismos por máquinas de fabricação subtrativa (como cortadoras a laser ), pode haver perda de precisão quando o mecanismo é fabricado em uma máquina diferente devido à diferença de material removido (ou seja, o kerf) por cada máquina no corte processar. Para ajustar essa variação de corte, a propriedade auto-semelhante da espiral logarítmica foi usada para projetar um mecanismo de cancelamento de corte para cortadores a laser.
    • Engrenagens cônicas espirais logarítmicas são um tipo de engrenagem cônica espiral cuja linha central do dente da engrenagem é uma espiral logarítmica. Uma espiral logarítmica tem a vantagem de fornecer ângulos iguais entre a linha central do dente e as linhas radiais, o que confere maior estabilidade à transmissão de malha.

    Veja também

    Referências

    links externos