Bicondicional lógico - Logical biconditional

Diagrama de Venn de (parte verdadeira em vermelho)

Em lógica e matemática , o bicondicional lógico , às vezes conhecido como o bicondicional material , é o conectivo lógico ( ) usado para unir duas declarações P e Q para formar a declaração " P se e somente se Q ", onde P é conhecido como o antecedente , e Q o consequente . Geralmente é abreviado como " P iff Q ". Outras maneiras de denotar este operador podem ser vistas ocasionalmente, como uma seta de duas pontas (↔ ou ⇔ podem ser representados em Unicode de várias maneiras), um E "E pq " prefixado (em notação asukasiewicz ou notação Bocheński ), um sinal de igualdade (=), um sinal de equivalência (≡) ou EQV . É logicamente equivalente a ambos e , e ao operador booleano XNOR (exclusivo nem) , que significa "ambos ou nenhum".

Semanticamente, o único caso em que uma bicondicional lógica é diferente de uma condicional material é o caso em que a hipótese é falsa, mas a conclusão é verdadeira. Nesse caso, o resultado é verdadeiro para o condicional, mas falso para o bicondicional.

Na interpretação conceitual, P = Q significa "Todos os P 's são Q 's e todos os Q 's são P 's". Em outras palavras, os conjuntos P e Q coincidem: eles são idênticos. No entanto, isso não significa que P e Q precisam ter o mesmo significado (por exemplo, P poderia ser "trilateral equiangular" e Q poderia ser "triângulo equilátero"). Quando formulado como uma frase, o antecedente é o sujeito e o consequente é o predicado de uma proposição afirmativa universal (por exemplo, na frase "todos os homens são mortais", "homens" é o sujeito e "mortal" é o predicado).

Na interpretação proposicional, significa que P implica Q e Q implica P ; em outras palavras, as proposições são logicamente equivalentes , no sentido de que ambas são conjuntamente verdadeiras ou conjuntamente falsas. Novamente, isso não significa que eles precisam ter o mesmo significado, já que P poderia ser "o triângulo ABC tem dois lados iguais" e Q poderia ser "o triângulo ABC tem dois ângulos iguais". Em geral, o antecedente é a premissa , ou a causa , e o consequente é a consequência . Quando uma implicação é traduzida por um julgamento hipotético (ou condicional ), o antecedente é chamado de hipótese (ou condição ) e o consequente é chamado de tese .

Uma maneira comum de demonstrar uma bicondicional da forma é demonstrá-la e separadamente (devido à sua equivalência à conjunção das duas condicionais inversas ). Ainda outra maneira de demonstrar o mesmo bicondicional é demonstrar que e .

Quando ambos os membros da bicondicional são proposições, ela pode ser separada em duas condicionais, das quais uma é chamada de teorema e a outra é recíproca . Assim, sempre que um teorema e seu recíproco são verdadeiros, temos um bicondicional. Um teorema simples dá origem a uma implicação, cujo antecedente é a hipótese e cujo consequente é a tese do teorema.

Costuma-se dizer que a hipótese é a condição suficiente da tese e que a tese é a condição necessária da hipótese. Ou seja, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para que a tese seja verdadeira, ao passo que é necessário que a tese seja verdadeira se a hipótese fosse verdadeira. Quando um teorema e seu recíproco são verdadeiros, sua hipótese é considerada a condição necessária e suficiente da tese. Ou seja, a hipótese é a causa e a consequência da tese ao mesmo tempo.

Definição

Igualdade lógica (também conhecida como bicondicional) é uma operação em dois valores lógicos , normalmente os valores de duas proposições , que produz um valor verdadeiro se e somente se ambos os operandos forem falsos ou ambos os operandos forem verdadeiros.

Mesa da verdade

A seguir está uma tabela de verdade para (também escrita como , P = Q , ou P EQ Q ):

T T T
T F F
F T F
F F T

Quando mais de duas instruções estão envolvidas, combiná-las com pode ser ambíguo. Por exemplo, a declaração

pode ser interpretado como

,

ou pode ser interpretada como dizendo que tudo x i são conjuntamente verdadeira ou falsa em conjunto :

Acontece que essas duas declarações são apenas as mesmas - quando zero ou dois argumentos estão envolvidos. Na verdade, as seguintes tabelas de verdade mostram apenas o mesmo padrão de bits na linha sem argumento e nas linhas com dois argumentos:


pretende-se como equivalente ao diagrama de Venn central abaixo, e a linha (ABC) nesta matriz representam a mesma operação.





significa uma abreviação para o diagrama de Venn diretamente abaixo, e a linha (ABC) nesta matriz representa a mesma operação.





O diagrama de Venn à esquerda abaixo e as linhas (AB) nessas matrizes representam a mesma operação.

Diagramas venn

As áreas vermelhas representam verdadeiras (como em Venn0001.svgpara e ).

Venn1001.svg
O bicondicional de duas afirmações
é a negação do exclusivo ou :

Venn1001.svg Venn0110.svg

Venn 0110 1001.svg
O bicondicional e o
exclusivo ou de três declarações
fornecem o mesmo resultado:


Venn 1001 1001.svg Venn 0000 1111.svg

Venn 0110 0110.svg Venn 0000 1111.svg Venn 0110 1001.svg

Venn 1000 0001.svg
Mas também pode ser usado como uma abreviatura para

Venn 1001 1001.svg Venn 1100 0011.svg Venn 1000 0001.svg

Propriedades

Comutatividade : Sim

        
Venn1001.svg          Venn1001.svg

Associatividade : Sim

        
Venn 0101 0101.svg Venn 1100 0011.svg          Venn 0110 1001.svg          Venn 1001 1001.svg Venn 0000 1111.svg

Distributividade : a bicondicional não se distribui sobre nenhuma função binária (nem mesmo ela mesma), mas a disjunção lógica se distribui sobre a bicondicional.

idempotência : Não

                 
Venn01.svg Venn01.svg          Venn11.svg          Venn01.svg

Monotonicidade : Não

        
Venn 1011 1011.svg          Venn 1101 1011.svg          Venn 1010 0101.svg Venn 1100 0011.svg

Preservação da verdade: Sim.
Quando todas as entradas são verdadeiras, a saída é verdadeira.

        
Venn0001.svg          Venn1001.svg

Preservação de falsidade: Não
Quando todas as entradas são falsas, a saída não é falsa.

        
Venn1001.svg          Venn0111.svg

Espectro de Walsh : (2,0,0,2)

Não linearidade : 0 (a função é linear)

Regras de inferência

Como todos os conectivos na lógica de primeira ordem, o bicondicional tem regras de inferência que governam seu uso em provas formais.

Introdução bicondicional

A introdução bicondicional permite inferir que se B segue de A e A segue de B, então A se e somente se B.

Por exemplo, a partir das afirmações "se estou respirando, então estou vivo" e "se estou vivo, então estou respirando", pode-se inferir que "estou respirando se e somente se eu ' m vivo "ou, equivalentemente," estou vivo se e somente se estou respirando. " Ou mais esquematicamente:

 B → A   
 A → B   
 ∴ A ↔ B
 B → A   
 A → B   
 ∴ B ↔ A

Eliminação bicondicional

A eliminação bicondicional permite inferir uma condicional a partir de uma bicondicional: se A B for verdadeiro, então pode-se inferir A B ou B A.

Por exemplo, se é verdade que estou respirando se e somente se estou vivo, então é verdade que se estou respirando, então estou vivo; da mesma forma, é verdade que, se estou vivo, estou respirando. Ou mais esquematicamente:

 A ↔ B  
 ∴ A → B
 A ↔ B  
 ∴ B → A

Uso coloquial

Uma maneira inequívoca de declarar um bicondicional em inglês simples é adotar a forma " b se a e a se b " - se a forma padrão " a se e somente se b " não for usada. Um pouco mais formal, pode-se também dizer que " b implica um e um implica b ", ou " um é necessária e suficiente para b ". O simples "if '" em português pode às vezes ser usado como bicondicional (especialmente no contexto de uma definição matemática). Nesse caso, deve-se levar em consideração o contexto circundante ao interpretar essas palavras.

Por exemplo, a declaração "Comprarei uma nova carteira se você precisar de uma" pode ser interpretada como bicondicional, uma vez que o palestrante não tem a intenção de comprar a carteira, quer a carteira seja necessária ou não (como em um condicional). No entanto, "está nublado se estiver chovendo" geralmente não é um termo bicondicional, uma vez que ainda pode estar nublado mesmo se não estiver chovendo.

Veja também

Referências

links externos

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