Bicondicional lógico - Logical biconditional
Em lógica e matemática , o bicondicional lógico , às vezes conhecido como o bicondicional material , é o conectivo lógico ( ) usado para unir duas declarações P e Q para formar a declaração " P se e somente se Q ", onde P é conhecido como o antecedente , e Q o consequente . Geralmente é abreviado como " P iff Q ". Outras maneiras de denotar este operador podem ser vistas ocasionalmente, como uma seta de duas pontas (↔ ou ⇔ podem ser representados em Unicode de várias maneiras), um E "E pq " prefixado (em notação asukasiewicz ou notação Bocheński ), um sinal de igualdade (=), um sinal de equivalência (≡) ou EQV . É logicamente equivalente a ambos e , e ao operador booleano XNOR (exclusivo nem) , que significa "ambos ou nenhum".
Semanticamente, o único caso em que uma bicondicional lógica é diferente de uma condicional material é o caso em que a hipótese é falsa, mas a conclusão é verdadeira. Nesse caso, o resultado é verdadeiro para o condicional, mas falso para o bicondicional.
Na interpretação conceitual, P = Q significa "Todos os P 's são Q 's e todos os Q 's são P 's". Em outras palavras, os conjuntos P e Q coincidem: eles são idênticos. No entanto, isso não significa que P e Q precisam ter o mesmo significado (por exemplo, P poderia ser "trilateral equiangular" e Q poderia ser "triângulo equilátero"). Quando formulado como uma frase, o antecedente é o sujeito e o consequente é o predicado de uma proposição afirmativa universal (por exemplo, na frase "todos os homens são mortais", "homens" é o sujeito e "mortal" é o predicado).
Na interpretação proposicional, significa que P implica Q e Q implica P ; em outras palavras, as proposições são logicamente equivalentes , no sentido de que ambas são conjuntamente verdadeiras ou conjuntamente falsas. Novamente, isso não significa que eles precisam ter o mesmo significado, já que P poderia ser "o triângulo ABC tem dois lados iguais" e Q poderia ser "o triângulo ABC tem dois ângulos iguais". Em geral, o antecedente é a premissa , ou a causa , e o consequente é a consequência . Quando uma implicação é traduzida por um julgamento hipotético (ou condicional ), o antecedente é chamado de hipótese (ou condição ) e o consequente é chamado de tese .
Uma maneira comum de demonstrar uma bicondicional da forma é demonstrá-la e separadamente (devido à sua equivalência à conjunção das duas condicionais inversas ). Ainda outra maneira de demonstrar o mesmo bicondicional é demonstrar que e .
Quando ambos os membros da bicondicional são proposições, ela pode ser separada em duas condicionais, das quais uma é chamada de teorema e a outra é recíproca . Assim, sempre que um teorema e seu recíproco são verdadeiros, temos um bicondicional. Um teorema simples dá origem a uma implicação, cujo antecedente é a hipótese e cujo consequente é a tese do teorema.
Costuma-se dizer que a hipótese é a condição suficiente da tese e que a tese é a condição necessária da hipótese. Ou seja, é suficiente que a hipótese seja verdadeira para que a tese seja verdadeira, ao passo que é necessário que a tese seja verdadeira se a hipótese fosse verdadeira. Quando um teorema e seu recíproco são verdadeiros, sua hipótese é considerada a condição necessária e suficiente da tese. Ou seja, a hipótese é a causa e a consequência da tese ao mesmo tempo.
Definição
Igualdade lógica (também conhecida como bicondicional) é uma operação em dois valores lógicos , normalmente os valores de duas proposições , que produz um valor verdadeiro se e somente se ambos os operandos forem falsos ou ambos os operandos forem verdadeiros.
Mesa da verdade
A seguir está uma tabela de verdade para (também escrita como , P = Q , ou P EQ Q ):
T | T | T |
T | F | F |
F | T | F |
F | F | T |
Quando mais de duas instruções estão envolvidas, combiná-las com pode ser ambíguo. Por exemplo, a declaração
pode ser interpretado como
- ,
ou pode ser interpretada como dizendo que tudo x i são conjuntamente verdadeira ou falsa em conjunto :
Acontece que essas duas declarações são apenas as mesmas - quando zero ou dois argumentos estão envolvidos. Na verdade, as seguintes tabelas de verdade mostram apenas o mesmo padrão de bits na linha sem argumento e nas linhas com dois argumentos:
O diagrama de Venn à esquerda abaixo e as linhas (AB) nessas matrizes representam a mesma operação.
Diagramas venn
As áreas vermelhas representam verdadeiras (como em para e ).
|
|
|
Propriedades
Comutatividade : Sim
Associatividade : Sim
Distributividade : a bicondicional não se distribui sobre nenhuma função binária (nem mesmo ela mesma), mas a disjunção lógica se distribui sobre a bicondicional.
idempotência : Não
Monotonicidade : Não
Preservação da verdade: Sim.
Quando todas as entradas são verdadeiras, a saída é verdadeira.
Preservação de falsidade: Não
Quando todas as entradas são falsas, a saída não é falsa.
Espectro de Walsh : (2,0,0,2)
Não linearidade : 0 (a função é linear)
Regras de inferência
Como todos os conectivos na lógica de primeira ordem, o bicondicional tem regras de inferência que governam seu uso em provas formais.
Introdução bicondicional
A introdução bicondicional permite inferir que se B segue de A e A segue de B, então A se e somente se B.
Por exemplo, a partir das afirmações "se estou respirando, então estou vivo" e "se estou vivo, então estou respirando", pode-se inferir que "estou respirando se e somente se eu ' m vivo "ou, equivalentemente," estou vivo se e somente se estou respirando. " Ou mais esquematicamente:
B → A A → B ∴ A ↔ B
B → A A → B ∴ B ↔ A
Eliminação bicondicional
A eliminação bicondicional permite inferir uma condicional a partir de uma bicondicional: se A ↔ B for verdadeiro, então pode-se inferir A → B ou B → A.
Por exemplo, se é verdade que estou respirando se e somente se estou vivo, então é verdade que se estou respirando, então estou vivo; da mesma forma, é verdade que, se estou vivo, estou respirando. Ou mais esquematicamente:
A ↔ B ∴ A → B
A ↔ B ∴ B → A
Uso coloquial
Uma maneira inequívoca de declarar um bicondicional em inglês simples é adotar a forma " b se a e a se b " - se a forma padrão " a se e somente se b " não for usada. Um pouco mais formal, pode-se também dizer que " b implica um e um implica b ", ou " um é necessária e suficiente para b ". O simples "if '" em português pode às vezes ser usado como bicondicional (especialmente no contexto de uma definição matemática). Nesse caso, deve-se levar em consideração o contexto circundante ao interpretar essas palavras.
Por exemplo, a declaração "Comprarei uma nova carteira se você precisar de uma" pode ser interpretada como bicondicional, uma vez que o palestrante não tem a intenção de comprar a carteira, quer a carteira seja necessária ou não (como em um condicional). No entanto, "está nublado se estiver chovendo" geralmente não é um termo bicondicional, uma vez que ainda pode estar nublado mesmo se não estiver chovendo.
Veja também
- Se e apenas se
- Equivalência lógica
- Igualdade lógica
- Portão XNOR
- Eliminação bicondicional
- Introdução bicondicional
Referências
links externos
- Mídia relacionada ao bicondicional lógico no Wikimedia Commons
Este artigo incorpora material da Biconditional no PlanetMath , que está licenciado sob a licença Creative Commons Atribuição / Compartilhamento pela mesma Licença .