Equivalência lógica - Logical equivalence

Em lógica e matemática , afirmações e são consideradas logicamente equivalentes se forem prováveis ​​umas das outras sob um conjunto de axiomas ou tiverem o mesmo valor de verdade em todos os modelos . A equivalência lógica de e é expressa por vezes, como , , , ou , dependendo da notação sendo usada. No entanto, esses símbolos também são usados ​​para equivalência de material , portanto, a interpretação adequada dependeria do contexto. A equivalência lógica é diferente da equivalência material, embora os dois conceitos estejam intrinsecamente relacionados. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ equiv q}$${\ displaystyle p :: q}$${\ displaystyle {\ textf {E}} pq}$${\ displaystyle p \ iff q}$

Equivalências lógicas

Na lógica, muitas equivalências lógicas comuns existem e são frequentemente listadas como leis ou propriedades. As tabelas a seguir ilustram alguns deles.

Equivalências lógicas gerais

Equivalência	Nome
${\ displaystyle p \ wedge \ top \ equiv p}$ ${\ displaystyle p \ vee \ bot \ equiv p}$	Leis de identidade
${\ displaystyle p \ vee \ top \ equiv \ top}$ ${\ displaystyle p \ wedge \ bot \ equiv \ bot}$	Leis de dominação
${\ displaystyle p \ vee p \ equiv p}$ ${\ displaystyle p \ wedge p \ equiv p}$	Leis idempotentes ou tautológicas
${\ displaystyle \ neg (\ neg p) \ equiv p}$	Lei de dupla negação
${\ displaystyle p \ vee q \ equiv q \ vee p}$ ${\ displaystyle p \ wedge q \ equiv q \ wedge p}$	Leis comutativas
${\ displaystyle (p \ vee q) \ vee r \ equiv p \ vee (q \ vee r)}$ ${\ displaystyle (p \ wedge q) \ wedge r \ equiv p \ wedge (q \ wedge r)}$	Leis associativas
${\ displaystyle p \ vee (q \ wedge r) \ equiv (p \ vee q) \ wedge (p \ vee r)}$ ${\ displaystyle p \ wedge (q \ vee r) \ equiv (p \ wedge q) \ vee (p \ wedge r)}$	Leis distributivas
${\ displaystyle \ neg (p \ wedge q) \ equiv \ neg p \ vee \ neg q}$ ${\ displaystyle \ neg (p \ vee q) \ equiv \ neg p \ wedge \ neg q}$	Leis De Morgan
${\ displaystyle p \ vee (p \ wedge q) \ equiv p}$ ${\ displaystyle p \ wedge (p \ vee q) \ equiv p}$	Leis de absorção
${\ displaystyle p \ vee \ neg p \ equiv \ top}$ ${\ displaystyle p \ wedge \ neg p \ equiv \ bot}$	Leis de Negação

Equivalências lógicas envolvendo declarações condicionais

1. ${\ displaystyle p \ implica q \ equiv \ neg p \ vee q}$
2. ${\ displaystyle p \ implica q \ equiv \ neg q \ implica \ neg p}$
3. ${\ displaystyle p \ vee q \ equiv \ neg p \ implica q}$
4. ${\ displaystyle p \ wedge q \ equiv \ neg (p \ implica \ neg q)}$
5. ${\ displaystyle \ neg (p \ implica q) \ equiv p \ wedge \ neg q}$
6. ${\ displaystyle (p \ implica q) \ wedge (p \ implica r) \ equiv p \ implica (q \ wedge r)}$
7. ${\ displaystyle (p \ implica q) \ vee (p \ implica r) \ equiv p \ implica (q \ vee r)}$
8. ${\ displaystyle (p \ implica r) \ cunha (q \ implica r) \ equiv (p \ vee q) \ implica r}$
9. ${\ displaystyle (p \ implica r) \ vee (q \ implica r) \ equiv (p \ wedge q) \ implica r}$

Equivalências lógicas envolvendo bicondicionais

1. ${\ displaystyle p \ iff q \ equiv (p \ implica q) \ wedge (q \ implica p)}$
2. ${\ displaystyle p \ iff q \ equiv \ neg p \ iff \ neg q}$
3. ${\ displaystyle p \ iff q \ equiv (p \ wedge q) \ vee (\ neg p \ wedge \ neg q)}$
4. ${\ displaystyle \ neg (p \ iff q) \ equiv p \ iff \ neg q}$

Exemplos

Na lógica

As seguintes declarações são logicamente equivalentes:

1. Se Lisa está na Dinamarca , ela está na Europa (uma declaração do formulário ).${\ displaystyle d \ implica e}$
2. Se Lisa não está na Europa, ela não está na Dinamarca (uma declaração do formulário ).${\ displaystyle \ neg e \ implica \ neg d}$

Sintaticamente, (1) e (2) são deriváveis ​​um do outro por meio das regras de contraposição e dupla negação . Semanticamente, (1) e (2) são verdadeiros exatamente nos mesmos modelos (interpretações, avaliações); a saber, aqueles em que Lisa está na Dinamarca é falso ou Lisa está na Europa é verdadeiro.

(Observe que, neste exemplo, a lógica clássica é assumida. Algumas lógicas não clássicas não consideram (1) e (2) como logicamente equivalentes.)

Na matemática

Em matemática, duas afirmações e são freqüentemente consideradas logicamente equivalentes, se forem prováveis ​​uma da outra, dado um conjunto de axiomas e pressuposições. Por exemplo, a afirmação " é divisível por 6" pode ser considerada equivalente à afirmação " é divisível por 2 e 3", uma vez que se pode provar o primeiro a partir do último (e vice-versa) usando algum conhecimento da teoria dos números básicos . ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Relação com equivalência de material

A equivalência lógica é diferente da equivalência material. As fórmulas e são logicamente equivalentes se e somente se a declaração de sua equivalência material ( ) for uma tautologia. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ iff q}$

A equivalência material de e (muitas vezes escrita como ) é em si outra declaração na mesma linguagem de objeto que e . Esta afirmação expressa a ideia "' se e somente se '". Em particular, o valor de verdade de pode mudar de um modelo para outro. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ leftrightarrow q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle p \ leftrightarrow q}$

Por outro lado, a afirmação de que duas fórmulas são logicamente equivalentes é um enunciado em metalinguagem , que expressa uma relação entre dois enunciados e . As declarações são logicamente equivalentes se, em todos os modelos, elas tiverem o mesmo valor de verdade. ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle q}$

Veja também

• Entailment
• Aquisitabilidade
• Se e apenas se
• Bicondicional lógico
• Igualdade lógica
• ≡ o símbolo iff (U + 2261 IDENTICAL TO )
• ∷ a um é a b a c é a d símbolo (L + 2237 PROPORÇÃO )
• ⇔ o duplo batido bicondicional (U + 21D4 SETA DUPLA ESQUERDA DIREITA )
• ↔ a seta bidirecional (U + 2194 SETA ESQUERDA DIREITA )

Referências