Gravidade quântica de loop - Loop quantum gravity

Além do modelo padrão
Dados simulados do detector de partículas CMS do Large Hadron Collider representando um bóson de Higgs produzido pela colisão de prótons decaindo em jatos de hádrons e elétrons
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v t e

Gravidade quântica em loop ( LQG ) é uma teoria da gravidade quântica , que visa fundir a mecânica quântica e a relatividade geral , incorporando a matéria do Modelo Padrão ao arcabouço estabelecido para o caso da gravidade quântica pura. É uma tentativa de desenvolver uma teoria quântica da gravidade baseada diretamente na formulação geométrica de Einstein, em vez do tratamento da gravidade como uma força. Como teoria, o LQG postula que a estrutura do espaço e do tempo é composta de loops finitos tecidos em um tecido ou rede extremamente fino. Essas redes de loops são chamadas de redes de spin . A evolução de uma rede de spin, ou espuma de spin , tem uma escala da ordem do comprimento de Planck , aproximadamente ^10-35 metros, e escalas menores não fazem sentido. Conseqüentemente, não apenas a matéria, mas o próprio espaço, prefere uma estrutura atômica .

As áreas de pesquisa, que envolvem cerca de 30 grupos de pesquisa em todo o mundo, compartilham os pressupostos físicos básicos e a descrição matemática do espaço quântico. A pesquisa evoluiu em duas direções: a gravidade quântica de loop canônico mais tradicional e a gravidade quântica de loop covariante mais recente, chamada teoria da espuma de spin . A teoria mais bem desenvolvida que foi avançada como resultado direto da gravidade quântica de loop é chamada de cosmologia quântica de loop (LQC). O LQC avança no estudo do universo primitivo, incorporando o conceito de Big Bang à teoria mais ampla do Big Bounce , que prevê o Big Bang como o início de um período de expansão que segue um período de contração, do qual se poderia falar como o Big Crunch .

História

Em 1986, Abhay Ashtekar reformulou a relatividade geral de Einstein em uma linguagem mais próxima do resto da física fundamental, especificamente a teoria de Yang-Mills . Pouco depois, Ted Jacobson e Lee Smolin perceberam que a equação formal da gravidade quântica, chamada de equação de Wheeler-DeWitt , admitia soluções rotuladas por loops quando reescritas nas novas variáveis ​​de Ashtekar . Carlo Rovelli e Smolin definiram uma teoria quântica da gravidade não perturbativa e independente de fundo em termos dessas soluções de loop. Jorge Pullin e Jerzy Lewandowski entenderam que as intersecções dos loops são essenciais para a consistência da teoria, e a teoria deve ser formulada em termos de loops que se cruzam, ou gráficos .

Em 1994, Rovelli e Smolin mostraram que os operadores quânticos da teoria associada a área e volume possuem um espectro discreto. Ou seja, a geometria é quantizada. Este resultado define uma base explícita dos estados de geometria quântica, que acabou por ser rotulado por Roger Penrose 's redes de spin , que são gráficos rotulados por spins .

A versão canônica da dinâmica foi estabelecida por Thomas Thiemann, que definiu um operador hamiltoniano livre de anomalias e mostrou a existência de uma teoria independente de fundo matematicamente consistente. A versão covariante, ou " espuma de spin ", da dinâmica foi desenvolvida em conjunto ao longo de várias décadas por grupos de pesquisa na França, Canadá, Reino Unido, Polônia e Alemanha. Foi concluído em 2008, levando à definição de uma família de amplitudes de transição, que no limite clássico pode ser demonstrado que está relacionada a uma família de truncamentos da relatividade geral. A finitude dessas amplitudes foi comprovada em 2011. Requer a existência de uma constante cosmológica positiva , que é consistente com a aceleração observada na expansão do Universo .

Independência de fundo

LQG é formalmente independente do background . O que significa que as equações de LQG não estão embutidas ou dependentes de espaço e tempo (exceto por sua topologia invariável). Em vez disso, espera-se que dêem origem ao espaço e ao tempo a distâncias que são 10 vezes o comprimento de Planck . A questão da independência de background no LQG ainda tem algumas sutilezas não resolvidas. Por exemplo, algumas derivações requerem uma escolha fixa da topologia , enquanto qualquer teoria quântica consistente da gravidade deve incluir a mudança de topologia como um processo dinâmico.

O espaço-tempo como um "contêiner" sobre o qual a física ocorre não tem significado físico objetivo e, em vez disso, a interação gravitacional é representada como apenas um dos campos que formam o mundo. Isso é conhecido como a interpretação relacionalista do espaço-tempo. Em LQG, esse aspecto da relatividade geral é levado a sério e essa simetria é preservada ao exigir que os estados físicos permaneçam invariantes sob os geradores de difeomorfismos. A interpretação desta condição é bem compreendida para difeomorfismos puramente espaciais. No entanto, o entendimento dos difeomorfismos envolvendo o tempo (a restrição hamiltoniana ) é mais sutil porque está relacionado à dinâmica e ao chamado " problema do tempo " na relatividade geral. Uma estrutura de cálculo geralmente aceita para dar conta dessa restrição ainda não foi encontrada. Um candidato plausível para a restrição hamiltoniana quântica é o operador introduzido por Thiemann.

Restrições e sua álgebra de colchetes de Poisson

Observáveis ​​de Dirac

As restrições definem uma superfície de restrição no espaço de fase original. Os movimentos de calibre das restrições se aplicam a todo o espaço de fase, mas têm a característica de deixar a superfície de restrição onde está e, portanto, a órbita de um ponto na hipersuperfície sob transformações de calibre será uma órbita inteiramente dentro dele. Os observáveis ​​de Dirac são definidos como funções de espaço de fase , que Poisson comuta com todas as restrições quando as equações de restrição são impostas, ${\ displaystyle O}$

${\ displaystyle \ {G_ {j}, O \} _ {G_ {j} = C_ {a} = H = 0} = \ {C_ {a}, O \} _ {G_ {j} = C_ {a } = H = 0} = \ {H, O \} _ {G_ {j} = C_ {a} = H = 0} = 0,}$

ou seja, são quantidades definidas na superfície de restrição que são invariáveis ​​sob as transformações de calibre da teoria.

Então, resolver apenas a restrição e determinar os observáveis ​​de Dirac com respeito a ela nos leva de volta ao espaço de fase Arnowitt-Deser-Misner (ADM) com restrições . A dinâmica da relatividade geral é gerada pelas restrições, pode-se mostrar que seis equações de Einstein que descrevem a evolução do tempo (na verdade uma transformação de calibre) podem ser obtidas calculando os colchetes de Poisson da três métrica e seu momento conjugado com uma combinação linear de o difeomorfismo espacial e a restrição hamiltoniana. O desaparecimento das restrições, dando espaço à fase física, são as outras quatro equações de Einstein. ${\ displaystyle G_ {j} = 0}$${\ displaystyle H, C_ {a}}$

Quantização das restrições - as equações da relatividade geral quântica

Novas variáveis ​​de pré-história e Ashtekar

Muitos dos problemas técnicos da gravidade quântica canônica giram em torno das restrições. A relatividade geral canônica foi originalmente formulada em termos de variáveis ​​métricas, mas parecia haver dificuldades matemáticas intransponíveis em promover as restrições aos operadores quânticos por causa de sua dependência altamente não linear das variáveis ​​canônicas. As equações foram muito simplificadas com a introdução das novas variáveis ​​de Ashtekar. As variáveis ​​Ashtekar descrevem a relatividade geral canônica em termos de um novo par de variáveis ​​canônicas mais próximas das teorias de calibre. A primeira etapa consiste em usar tríades densificadas (uma tríade é simplesmente três campos vetoriais ortogonais marcados por e a tríade densificada é definida por ) para codificar informações sobre a métrica espacial, ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle i = 1,2,3}$${\ textstyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} = {\ sqrt {\ det (q)}} E_ {i} ^ {a}}$

${\ displaystyle \ det (q) q ^ {ab} = {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} \ delta ^ {ij} .}$

(onde é a métrica do espaço plano, e a equação acima expressa que , quando escrita em termos de base , é localmente plana). (Formular a relatividade geral com tríades em vez de métricas não era novo.) As tríades densificadas não são únicas e, de fato, pode-se realizar uma rotação local no espaço em relação aos índices internos . A variável canonicamente conjugada está relacionada à curvatura extrínseca por . Mas problemas semelhantes ao uso da formulação métrica surgem quando se tenta quantizar a teoria. O novo insight de Ashtekar foi introduzir uma nova variável de configuração, ${\ displaystyle \ delta ^ {ij}}$${\ displaystyle q ^ {ab}}$${\ displaystyle E_ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle i}$${\ textstyle K_ {a} ^ {i} = K_ {ab} {\ tilde {E}} ^ {ai} / {\ sqrt {\ det (q)}}}$

${\ displaystyle A_ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {a} ^ {i} -iK_ {a} ^ {i}}$

que se comporta como uma conexão complexa onde está relacionada à chamada conexão de spin via . Aqui é chamada de conexão de spin quiral. Ele define uma derivada covariante . Acontece que esse é o momento conjugado de e, juntos, eles formam as novas variáveis ​​de Ashtekar. ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i}}$${\ displaystyle \ Gamma _ {a} ^ {i} = \ Gamma _ {ajk} \ epsilon ^ {jki}}$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$${\ displaystyle {\ mathcal {D}} _ {a}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$

As expressões para as restrições nas variáveis ​​Ashtekar; a lei de Gauss, a restrição de difeomorfismo espacial e a restrição hamiltoniana (densificada), em seguida, leia:

${\ displaystyle G ^ {i} = {\ mathcal {D}} _ {a} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} = 0}$

${\ displaystyle C_ {a} = {\ tilde {E}} _ {i} ^ {b} F_ {ab} ^ {i} -A_ {a} ^ {i} ({\ mathcal {D}} _ { b} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {b}) = V_ {a} -A_ {a} ^ {i} G ^ {i} = 0,}$

${\ displaystyle {\ tilde {H}} = \ epsilon _ {ijk} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} F_ {ab } ^ {k} = 0}$

respectivamente, onde é o tensor de intensidade de campo da conexão e onde é referido como a restrição vetorial. A invariância rotacional local acima mencionada no espaço é o original da invariância de calibre aqui expressa pela lei de Gauss. Observe que essas restrições são polinomiais nas variáveis ​​fundamentais, ao contrário das restrições na formulação métrica. Essa simplificação dramática parecia abrir o caminho para quantizar as restrições. (Veja o artigo Ação autodual de Palatini para uma derivação do formalismo de Ashtekar). ${\ displaystyle F_ {ab} ^ {i}}$${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$${\ displaystyle V_ {a}}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$

Com as novas variáveis ​​de Ashtekar, dada a variável de configuração , é natural considerar as funções de onda . Esta é a representação da conexão. É análogo à mecânica quântica comum com variáveis ​​de configuração e funções de onda . A variável de configuração é promovida a um operador quântico por meio de: ${\ displaystyle A_ {a} ^ {i}}$${\ displaystyle \ Psi (A_ {a} ^ {i})}$${\ displaystyle q}$${\ displaystyle \ psi (q)}$

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {a} ^ {i} \ Psi (A) = A_ {a} ^ {i} \ Psi (A),}$

(análogo a ) e as tríades são derivados (funcionais), ${\ displaystyle {\ hat {q}} \ psi (q) = q \ psi (q)}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {E_ {i} ^ {a}}}} \ Psi (A) = - i {\ delta \ Psi (A) \ over \ delta A_ {a} ^ {i}} .}$

(análogo a ). Ao passar para a teoria quântica, as restrições tornam-se operadores em um espaço de Hilbert cinemático (o espaço de Yang-Mills de Hilbert sem restrições ). Observe que a ordem diferente de 'se ' ao substituir o 's por derivadas dá origem a operadores diferentes - a escolha feita é chamada de ordem de fator e deve ser escolhida por meio do raciocínio físico. Formalmente eles lêem ${\ displaystyle {\ hat {p}} \ psi (q) = - i \ hbar d \ psi (q) / dq}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle {\ tilde {E}}}$${\ displaystyle {\ tilde {E}}}$

${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {j} \ vert \ psi \ rangle = 0}$

${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{a} \ vert \ psi \ rangle = 0}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {H}}} \ vert \ psi \ rangle = 0.}$

Ainda existem problemas em definir adequadamente todas essas equações e resolvê-las. Por exemplo, a restrição hamiltoniana com a qual Ashtekar trabalhou era a versão densificada em vez da hamiltoniana original, ou seja, com a qual ele trabalhou . Houve sérias dificuldades em promover essa quantidade para um operador quântico. Além disso, embora as variáveis ​​de Ashtekar tenham a virtude de simplificar o hamiltoniano, elas são complexas. Quando se quantiza a teoria, é difícil garantir que se recupere a relatividade geral real em oposição à relatividade geral complexa. ${\ textstyle {\ tilde {H}} = {\ sqrt {\ det (q)}} H}$

Restrições quânticas como as equações da relatividade geral quântica

O resultado clássico do colchete de Poisson da lei de Gauss manchada com as conexões é ${\ textstyle G (\ lambda) = \ int d ^ {3} x \ lambda ^ {j} (D_ {a} E ^ {a}) ^ {j}}$

${\ displaystyle \ {G (\ lambda), A_ {a} ^ {i} \} = \ parcial _ {a} \ lambda ^ {i} + g \ epsilon ^ {ijk} A_ {a} ^ {j} \ lambda ^ {k} = (D_ {a} \ lambda) ^ {i}.}$

A lei quântica de Gauss lê

${\ displaystyle {\ hat {G}} _ {j} \ Psi (A) = - iD_ {a} {\ delta \ lambda \ Psi [A] \ over \ delta A_ {a} ^ {j}} = 0 .}$

Se alguém manchar a lei de Gauss quântica e estudar sua ação no estado quântico, descobrirá que a ação da restrição no estado quântico é equivalente a mudar o argumento de uma transformação de calibre infinitesimal (no sentido do parâmetro pequeno), ${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle \ lambda}$

${\ displaystyle \ left [1+ \ int d ^ {3} x \ lambda ^ {j} (x) {\ hat {G}} _ {j} \ right] \ Psi (A) = \ Psi [A + D \ lambda] = \ Psi [A],}$

e a última identidade vem do fato de que a restrição aniquila o estado. Portanto, a restrição, como um operador quântico, está impondo a mesma simetria que seu desaparecimento impôs classicamente: está nos dizendo que as funções têm de ser funções invariantes de calibre da conexão. A mesma ideia é verdadeira para as outras restrições. ${\ displaystyle \ Psi [A]}$

Portanto, o processo de duas etapas na teoria clássica de resolver as restrições (equivalente a resolver as condições de admissibilidade para os dados iniciais) e procurar as órbitas de calibre (resolvendo as equações de 'evolução') é substituído por um processo de uma etapa no quantum teoria, nomeadamente à procura de soluções para as equações quânticas . Isso ocorre porque ele obviamente resolve a restrição no nível quântico e simultaneamente procura estados que são invariantes de medidor porque é o gerador quântico das transformações de medidor (funções invariantes de medidor são constantes ao longo das órbitas de medidor e, portanto, as caracterizam). Lembre-se de que, no nível clássico, resolver as condições de admissibilidade e as equações de evolução era equivalente a resolver todas as equações de campo de Einstein; isso sublinha o papel central das equações de restrição quântica na gravidade quântica canônica. ${\ displaystyle C_ {I} = 0}$${\ displaystyle \ Psi}$${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{I} \ Psi = 0}$${\ displaystyle {\ hat {C}} _ ​​{I}}$

Introdução da representação do loop

Foi em particular a incapacidade de ter um bom controle sobre o espaço de soluções para as restrições da lei de Gauss e do difeomorfismo espacial que levou Rovelli e Smolin a considerar a representação do loop em teorias de calibre e gravidade quântica .

LQG inclui o conceito de holonomia . Uma holonomia é uma medida de quanto os valores iniciais e finais de um spinor ou vetor diferem após o transporte paralelo em torno de um loop fechado; é denotado

${\ displaystyle h _ {\ gamma} [A]}$.

O conhecimento das holonomias é equivalente ao conhecimento da conexão, até a equivalência de calibre. Holonomias também podem ser associadas a uma borda; sob a Lei de Gauss, eles se transformam como

${\ displaystyle (h '_ {e}) _ {\ alpha \ beta} = U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x) (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} U _ {\ sigma \ beta} (y).}$

Para um circuito fechado e assumindo , os rendimentos ${\ displaystyle x = y}$${\ displaystyle \ alpha = \ beta}$

${\ displaystyle (h '_ {e}) _ {\ alpha \ alpha} = U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x) (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} U _ {\ sigma \ alpha} (x) = [U _ {\ sigma \ alpha} (x) U _ {\ alpha \ gamma} ^ {- 1} (x)] (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} = \ delta _ {\ sigma \ gamma} (h_ {e}) _ {\ gamma \ sigma} = (h_ {e}) _ {\ gamma \ gamma}}$

ou

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} h '_ {\ gamma} = \ operatorname {Tr} h _ {\ gamma}.}$

O traço de uma holonomia em torno de um circuito fechado é escrito

${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A]}$

e é chamado de laço de Wilson. Assim, os loops de Wilson são invariantes de calibre. A forma explícita da Holonomia é

${\ displaystyle h _ {\ gamma} [A] = {\ mathcal {P}} \ exp \ left \ {- \ int _ {\ gamma _ {0}} ^ {\ gamma _ {1}} ds {\ dot {\ gamma}} ^ {a} A_ {a} ^ {i} (\ gamma (s)) T_ {i} \ right \}}$

onde é a curva ao longo da qual a holonomia é avaliada, e é um parâmetro ao longo da curva, denota fatores de significado de ordenação de caminho para valores menores de aparecem à esquerda e são matrizes que satisfazem a álgebra ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle T_ {i}}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$

${\ displaystyle [T ^ {i}, T ^ {j}] = 2i \ epsilon ^ {ijk} T_ {k}.}$

As matrizes de Pauli satisfazem a relação acima. Acontece que existem infinitamente muitos mais exemplos de conjuntos de matrizes que satisfazem essas relações, onde cada conjunto compreende matrizes com , e onde nenhuma delas pode ser considerada como "decomposta" em dois ou mais exemplos de dimensão inferior. Eles são chamados de diferentes representações irredutíveis da álgebra. A representação mais fundamental sendo as matrizes de Pauli. A holonomia é rotulada por meio inteiro de acordo com a representação irredutível usada. ${\ displaystyle (N + 1) \ times (N + 1)}$${\ displaystyle N = 1,2,3, \ dots}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle N / 2}$

O uso de loops de Wilson resolve explicitamente a restrição do medidor de Gauss. A representação de loop é necessária para lidar com a restrição de difeomorfismo espacial. Com os loops de Wilson como base, qualquer função invariante de calibre Gauss se expande como,

${\ displaystyle \ Psi [A] = \ sum _ {\ gamma} \ Psi [\ gamma] W _ {\ gamma} [A].}$

Isso é chamado de transformada de loop e é análoga à representação do momento na mecânica quântica (consulte Posição e espaço do momento ). A representação QM tem uma base de estados rotulados por um número e se expande como ${\ displaystyle \ exp (ikx)}$${\ displaystyle k}$

${\ displaystyle \ psi [x] = \ int dk \ psi (k) \ exp (ikx).}$

e trabalha com os coeficientes de expansão ${\ displaystyle \ psi (k).}$

A transformação de loop inverso é definida por

${\ displaystyle \ Psi [\ gamma] = \ int [dA] \ Psi [A] W _ {\ gamma} [A].}$

Isso define a representação do loop. Dado um operador na representação da conexão, ${\ displaystyle {\ hat {O}}}$

${\ displaystyle \ Phi [A] = {\ hat {O}} \ Psi [A] \ qquad Eq \; 1,}$

deve-se definir o operador correspondente na representação do loop via, ${\ displaystyle {\ hat {O}} '}$${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]}$

${\ displaystyle \ Phi [\ gamma] = {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] \ qquad Eq \; 2,}$

onde é definido pela transformação de loop inverso usual, ${\ displaystyle \ Phi [\ gamma]}$

${\ displaystyle \ Phi [\ gamma] = \ int [dA] \ Phi [A] W _ {\ gamma} [A] \ qquad Eq \; 3.}$

Uma fórmula de transformação que dá a acção do operador em em termos da acção do operador em é então obtida igualando a RHS com a RHS com substituído em , a saber ${\ displaystyle {\ hat {O}} '}$${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]}$${\ displaystyle {\ hat {O}}}$${\ displaystyle \ Psi [A]}$${\ displaystyle Eq \; 2}$${\ displaystyle Eq \; 3}$${\ displaystyle Eq \; 1}$${\ displaystyle Eq \; 3}$

${\ displaystyle {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] = \ int [dA] W _ {\ gamma} [A] {\ hat {O}} \ Psi [A],}$

ou

${\ displaystyle {\ hat {O}} '\ Psi [\ gamma] = \ int [dA] ({\ hat {O}} ^ {\ dagger} W _ {\ gamma} [A]) \ Psi [A] ,}$

onde significa o operador, mas com a ordem reversa do fator (lembre-se da mecânica quântica simples, onde o produto dos operadores é revertido sob conjugação). A ação desse operador no loop de Wilson é avaliada como um cálculo na representação da conexão e o resultado é reorganizado puramente como uma manipulação em termos de loops (com relação à ação no loop de Wilson, o operador transformado escolhido é aquele com a ordem do fator oposto em comparação com a usada para sua ação nas funções de onda ). Isso dá o significado físico do operador . Por exemplo, se correspondeu a um difeomorfismo espacial, então isso pode ser pensado como manter o campo de conexão de onde ele está enquanto realiza um difeomorfismo espacial em vez disso. Portanto, o significado de é um difeomorfismo espacial em , o argumento de . ${\ displaystyle {\ hat {O}} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle {\ hat {O}}}$${\ displaystyle \ Psi [A]}$${\ displaystyle {\ hat {O}} '}$${\ displaystyle {\ hat {O}} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A]}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle {\ hat {O}} '}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]}$

Na representação do loop, a restrição de difeomorfismo espacial é resolvida considerando funções de loops que são invariantes sob os difeomorfismos espaciais do loop . Ou seja, são usados invariantes de nó . Isso abre uma conexão inesperada entre a teoria do nó e a gravidade quântica. ${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]}$${\ displaystyle \ gamma}$

Qualquer coleção de loops de Wilson sem interseção satisfaz a restrição hamiltoniana quântica de Ashtekar. Usando uma ordem particular de termos e substituindo por uma derivada, a ação da restrição hamiltoniana quântica em um loop de Wilson é ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {H}}} ^ {\ dagger} W _ {\ gamma} [A] = - \ epsilon _ {ijk} {\ hat {F}} _ {ab} ^ {k} {\ frac {\ delta} {\ delta A_ {a} ^ {i}}} {\ frac {\ delta} {\ delta A_ {b} ^ {j}}} W _ {\ gamma} [A].}$

Quando uma derivada é obtida, ela traz para baixo o vetor tangente,, do loop ,. Então, ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} ^ {a}}$${\ displaystyle \ gamma}$

${\ displaystyle {\ hat {F}} _ {ab} ^ {i} {\ dot {\ gamma}} ^ {a} {\ dot {\ gamma}} ^ {b}.}$

No entanto, como é anti-simétrico nos índices e isso desaparece (isso assume que não é descontínuo em nenhum lugar e, portanto, o vetor tangente é único). ${\ displaystyle F_ {ab} ^ {i}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle \ gamma}$

Com relação à representação do loop, as funções de onda desaparecem quando o loop tem descontinuidades e são invariantes de nó. Tais funções resolvem a lei de Gauss, a restrição de difeomorfismo espacial e (formalmente) a restrição hamiltoniana. Isso produz um conjunto infinito de soluções exatas (embora apenas formais) para todas as equações da relatividade geral quântica! Isso gerou muito interesse na abordagem e, eventualmente, levou ao LQG. ${\ displaystyle \ Psi [\ gamma]}$

Operadores geométricos, a necessidade de interseção de loops de Wilson e estados de rede de spin

A quantidade geométrica mais fácil é a área. Vamos escolher as coordenadas para que a superfície seja caracterizada por . A área do pequeno paralelogramo da superfície é o produto do comprimento de cada lado vezes onde é o ângulo entre os lados. Digamos que uma aresta seja dada pelo vetor e a outra então, ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle x ^ {3} = 0}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ sin \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$${\ displaystyle {\ vec {u}}}$${\ displaystyle {\ vec {v}}}$

${\ displaystyle A = \ | {\ vec {u}} \ | \ | {\ vec {v}} \ | \ sin \ theta = {\ sqrt {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2 } \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2} (1- \ cos ^ {2} \ theta)}} = {\ sqrt {\ | {\ vec {u}} \ | ^ {2} \ | {\ vec {v}} \ | ^ {2} - ({\ vec {u}} \ cdot {\ vec {v}}) ^ {2}}}}$

No espaço medido por e há um paralelogramo infinitesimal descrito por e . Usando (onde os índices e executado a partir de 1 a 2), produz a área da superfície determinada por ${\ displaystyle x ^ {1}}$${\ displaystyle x ^ {2}}$${\ displaystyle {\ vec {u}} = {\ vec {e}} _ {1} dx ^ {1}}$${\ displaystyle {\ vec {v}} = {\ vec {e}} _ {2} dx ^ {2}}$${\ displaystyle q_ {AB} ^ {(2)} = {\ vec {e}} _ {A} \ cdot {\ vec {e}} _ {B}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle B}$${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle A _ {\ Sigma} = \ int _ {\ Sigma} dx ^ {1} dx ^ {2} {\ sqrt {\ det \ left (q ^ {(2)} \ right)}}}$

onde e é o determinante da métrica induzida . Este último pode ser reescrito onde os índices vão de 1 a 2. Isso pode ser reescrito posteriormente como ${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)}) = q_ {11} q_ {22} -q_ {12} ^ {2}}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)}) = \ epsilon ^ {AB} \ epsilon ^ {CD} q_ {AC} q_ {BD} / 2}$${\ displaystyle A \ dots D}$

${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)}) = {\ epsilon ^ {3ab} \ epsilon ^ {3cd} q_ {ac} q_ {bc} \ over 2}.}$

A fórmula padrão para uma matriz inversa é

${\ displaystyle q ^ {ab} = {\ epsilon ^ {bcd} \ epsilon ^ {aef} q_ {ce} q_ {df} \ over 2! \ det (q)}.}$

Há uma semelhança entre this e a expressão para . Mas em variáveis ​​Ashtekar ,. Portanto, ${\ displaystyle \ det (q ^ {(2)})}$${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} ^ {bi} = \ det (q) q ^ {ab}}$

${\ displaystyle A _ {\ Sigma} = \ int _ {\ Sigma} dx ^ {1} dx ^ {2} {\ sqrt {{\ tilde {E}} _ {i} ^ {3} {\ tilde {E }} ^ {3i}}}.}$

De acordo com as regras de quantização canônica, as tríades devem ser promovidas a operadores quânticos, ${\ displaystyle {\ tilde {E}} _ {i} ^ {3}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ tilde {E}}} _ {i} ^ {3} \ sim {\ delta \ over \ delta A_ {3} ^ {i}}.}$

A área pode ser promovida a um operador quântico bem definido, apesar de conter um produto de duas derivadas funcionais e uma raiz quadrada. Colocando ( -ésima representação), ${\ displaystyle A _ {\ Sigma}}$${\ displaystyle N = 2J}$${\ displaystyle J}$

${\ displaystyle \ sum _ {i} T ^ {i} T ^ {i} = J (J + 1) 1.}$

Esta quantidade é importante na fórmula final do espectro de área. O resultado é

${\ displaystyle {\ hat {A}} _ {\ Sigma} W _ {\ gamma} [A] = 8 \ pi \ ell _ {\ text {Planck}} ^ {2} \ beta \ sum _ {I} { \ sqrt {j_ {I} (j_ {I} +1)}} W _ {\ gamma} [A]}$

onde a soma é sobre todas as arestas do loop de Wilson que perfuram a superfície . ${\ displaystyle I}$${\ displaystyle \ Sigma}$

A fórmula para o volume de uma região é dada por ${\ displaystyle R}$

${\ displaystyle V = \ int _ {R} d ^ {3} x {\ sqrt {\ det (q)}} = \ int _ {R} dx ^ {3} {\ sqrt {{\ frac {1} {3!}} \ Epsilon _ {abc} \ epsilon ^ {ijk} {\ tilde {E}} _ {i} ^ {a} {\ tilde {E}} _ {j} ^ {b} {\ til {E}} _ {k} ^ {c}}}.}$

A quantização do volume ocorre da mesma forma que com a área. Cada vez que a derivada é obtida, ela derruba o vetor tangente e, quando o operador de volume atua em loops de Wilson que não se cruzam, o resultado desaparece. Os estados quânticos com volume diferente de zero devem, portanto, envolver interseções. Dado que a soma anti-simétrica é assumida na fórmula para o volume, ele precisa de interseções com pelo menos três linhas não coplanares . São necessários pelo menos vértices de quatro valências para que o operador de volume não desapareça. ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} ^ {a}}$

Assumindo a representação real onde o grupo de calibres está , os loops de Wilson são uma base completa, pois existem identidades relacionadas aos diferentes loops de Wilson. Eles ocorrem porque os loops de Wilson são baseados em matrizes (a holonomia) e essas matrizes satisfazem as identidades. Dadas quaisquer duas matrizes e , ${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle \ operatorname {SU} (2)}$${\ displaystyle \ mathbb {A}}$${\ displaystyle \ mathbb {B}}$

${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (\ mathbb {A}) \ operatorname {Tr} (\ mathbb {B}) = \ operatorname {Tr} (\ mathbb {A} \ mathbb {B}) + \ operatorname {Tr } (\ mathbb {A} \ mathbb {B} ^ {- 1}).}$

Isso implica que, dados dois loops e que se cruzam, ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ eta}$

${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A] W _ {\ eta} [A] = W _ {\ gamma \ circ \ eta} [A] + W _ {\ gamma \ circ \ eta ^ {- 1}} [A] }$

onde queremos dizer o loop percorrido na direção oposta e significa o loop obtido ao contornar o loop e depois ao longo . Veja a figura abaixo. Dado que as matrizes são unitárias, tem-se isso . Também dada a propriedade cíclica dos traços da matriz (ou seja ), um tem isso . Essas identidades podem ser combinadas entre si em outras identidades de complexidade crescente, adicionando mais loops. Essas identidades são as chamadas identidades de Mandelstam. Redes de spin são certas combinações lineares de loops de Wilson que se cruzam projetadas para lidar com a completude excessiva introduzida pelas identidades de Mandelstam (para interseções trivalentes, elas eliminam a completude excessiva inteiramente) e, na verdade, constituem uma base para todas as funções invariantes de calibre. ${\ displaystyle \ eta ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle \ gamma \ circ \ eta}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle \ eta}$${\ displaystyle W _ {\ gamma} [A] = W _ {\ gamma ^ {- 1}} [A]}$${\ displaystyle \ operatorname {Tr} (\ mathbb {A} \ mathbb {B}) = \ operatorname {Tr} (\ mathbb {B} \ mathbb {A})}$${\ displaystyle W _ {\ gamma \ circ \ eta} [A] = W _ {\ eta \ circ \ gamma} [A]}$

Representação gráfica da identidade não trivial mais simples do Mandelstam relacionando diferentes loops de Wilson .

Como mencionado acima, a holonomia informa como propagar meias partículas de spin de teste. Um estado de rede de spin atribui uma amplitude a um conjunto de meias partículas de spin traçando um caminho no espaço, fundindo-se e dividindo-se. Eles são descritos por redes de spin : as arestas são rotuladas por spins junto com 'intertwiners' nos vértices, que são a prescrição de como somar as diferentes maneiras em que os spins são redirecionados. A soma sobre o reencaminhamento é escolhida como tal para fazer a forma do entrelaçador invariante sob as transformações de calibre de Gauss. ${\ displaystyle \ gamma}$

Restrição hamiltoniana de LQG

Na longa história da gravidade quântica canônica, formular a restrição hamiltoniana como um operador quântico ( equação de Wheeler-DeWitt ) de maneira matematicamente rigorosa tem sido um problema formidável. Foi na representação do loop que uma restrição hamiltoniana bem definida matematicamente foi finalmente formulada em 1996. Deixamos mais detalhes de sua construção no artigo Restrição hamiltoniana de LQG . Isso, junto com as versões quânticas da lei de Gauss e as restrições de difeomorfismo espacial escritas na representação em loop, são as equações centrais de LQG (relatividade geral quântica canônica moderna).

Encontrar os estados que são aniquilados por essas restrições (os estados físicos) e encontrar o produto interno físico correspondente e os observáveis ​​é o objetivo principal do lado técnico do LQG.

Um aspecto muito importante do operador hamiltoniano é que ele age apenas nos vértices (uma consequência disso é que o operador hamiltoniano de Thiemann, como o operador de Ashtekar, aniquila loops que não se cruzam, exceto que agora não é apenas formal e tem um significado matemático rigoroso). Mais precisamente, sua ação é diferente de zero em pelo menos vértices de valência três e maiores e resulta em uma combinação linear de novas redes de spin onde o gráfico original foi modificado pela adição de linhas em cada vértice juntos e uma mudança nos rótulos dos links adjacentes do vértice.

Espumas giratórias

Na gravidade quântica em loop (LQG), uma rede de spin representa um "estado quântico" do campo gravitacional em uma hipersuperfície tridimensional. O conjunto de todas as redes de spin possíveis (ou, mais precisamente, "s-knots" - isto é, classes de equivalência de redes de spin sob difeomorfismos) é contável; constitui uma base do espaço LQG Hilbert.

Em física, uma espuma de spin é uma estrutura topológica feita de faces bidimensionais que representa uma das configurações que devem ser somadas para obter uma descrição integral do caminho de Feynman (integração funcional) da gravidade quântica. Está intimamente relacionado à gravidade quântica em loop.

Espuma de rotação derivada do operador de restrição hamiltoniana

A restrição hamiltoniana gera evolução de 'tempo'. Resolver a restrição hamiltoniana deve nos dizer como os estados quânticos evoluem no 'tempo' de um estado de rede de spin inicial para um estado de rede de spin final. Uma abordagem para resolver a restrição hamiltoniana começa com o que é chamado de função delta de Dirac . O somatório do qual em diferentes sequências de ações pode ser visualizado como um somatório de diferentes histórias de 'vértices de interação' na evolução do 'tempo', enviando a rede de spin inicial para a rede de spin final. Cada vez que um operador hamiltoniano age, ele o faz adicionando uma nova aresta no vértice.

Isso, então, naturalmente dá origem ao complexo de dois (um conjunto combinatório de faces que se unem ao longo das arestas, que por sua vez se unem nos vértices) subjacente à descrição da espuma de spin; Quando evoluímos para a frente uma rede de spin inicial varrendo uma superfície, a ação do operador de restrição hamiltoniana é produzir uma nova superfície plana começando no vértice. Podemos usar a ação da restrição hamiltoniana no vértice de um estado de rede de spin para associar uma amplitude a cada "interação" (em analogia aos diagramas de Feynman ). Veja a figura abaixo. Isso abre uma maneira de tentar vincular diretamente LQG canônico a uma descrição integral de caminho. Agora, assim como uma rede de spin descreve o espaço quântico, cada configuração que contribui para essas integrais de caminho, ou somas ao longo da história, descreve o 'espaço-tempo quântico'. Por causa de sua semelhança com espumas de sabão e do modo como são rotuladas, John Baez deu a esses 'espaços-tempos quânticos' o nome de 'espumas giratórias'.

A ação da restrição hamiltoniana traduzida para a integral do caminho ou a chamada descrição de espuma de spin . Um único nó se divide em três nós, criando um vértice de espuma de rotação. é o valor de no vértice e são os elementos da matriz da restrição hamiltoniana .${\ displaystyle N (x_ {n})}$${\ displaystyle N}$${\ displaystyle H_ {nop}}$${\ displaystyle {\ hat {H}}}$

No entanto, existem graves dificuldades com esta abordagem particular, por exemplo, o operador hamiltoniano não é auto-adjunto, na verdade, nem mesmo é um operador normal (ou seja, o operador não comuta com seu adjunto) e, portanto, o teorema espectral não pode ser usado para definir o exponencial em geral. O problema mais sério é que os 's não estão se deslocando mutuamente, pode-se então mostrar que a quantidade formal não pode nem mesmo definir um projetor (generalizado). A restrição principal (veja abaixo) não sofre com esses problemas e, como tal, oferece uma maneira de conectar a teoria canônica à formulação integral de caminho. ${\ displaystyle {\ hat {H}} (x)}$${\ textstyle \ int [dN] e ^ {i \ int d ^ {3} xN (x) {\ hat {H}} (x)}}$

Spin espumas da teoria BF

Acontece que existem rotas alternativas para formular a integral de caminho, no entanto, sua conexão com o formalismo hamiltoniano é menos clara. Uma maneira é começar com a teoria BF . Esta é uma teoria mais simples do que a relatividade geral, não tem graus de liberdade locais e, como tal, depende apenas dos aspectos topológicos dos campos. A teoria BF é conhecida como teoria de campo topológica . Surpreendentemente, verifica-se que a relatividade geral pode ser obtida da teoria de BF impondo uma restrição, a teoria de BF envolve um campo e se alguém escolher o campo como o produto (anti-simétrico) de duas tétrades ${\ displaystyle B_ {ab} ^ {IJ}}$${\ displaystyle B}$

${\ displaystyle B_ {ab} ^ {IJ} = {1 \ over 2} \ left (E_ {a} ^ {I} E_ {b} ^ {J} -E_ {b} ^ {I} E_ {a} ^ {J} \ right)}$

(as tétrades são como tríades, mas em quatro dimensões do espaço-tempo), recupera-se a relatividade geral. A condição de que o campo seja dado pelo produto de duas tétrades é chamada de restrição de simplicidade. A dinâmica da espuma de spin da teoria do campo topológico é bem compreendida. Dadas as amplitudes de 'interação' da espuma de spin para esta teoria simples, tenta-se então implementar as condições de simplicidade para obter uma integral de caminho para a relatividade geral. A tarefa não trivial de construir um modelo de espuma de spin é então reduzida à questão de como essa restrição de simplicidade deve ser imposta na teoria quântica. A primeira tentativa foi com o famoso modelo Barrett-Crane . No entanto, este modelo se mostrou problemático, por exemplo, não parecia haver graus de liberdade suficientes para garantir o limite clássico correto. Tem sido argumentado que a restrição de simplicidade foi imposta com muita força no nível quântico e só deveria ser imposta no sentido de valores esperados, assim como com a condição de medidor de Lorenz no formalismo Gupta-Bleuler da eletrodinâmica quântica . Novos modelos já foram apresentados, às vezes motivados pela imposição de condições de simplicidade em um sentido mais fraco. ${\ displaystyle B}$ ${\ displaystyle \ partial _ {\ mu} {\ hat {A}} ^ {\ mu}}$

Outra dificuldade aqui é que as espumas giratórias são definidas em uma discretização do espaço-tempo. Embora isso não apresente problemas para uma teoria de campo topológica, visto que não tem graus de liberdade locais, apresenta problemas para GR. Isso é conhecido como o problema de dependência de triangularização.

Formulação moderna de espumas giratórias

Assim como a imposição da restrição de simplicidade clássica recupera a relatividade geral da teoria de BF, espera-se que uma restrição de simplicidade quântica apropriada recupere a gravidade quântica da teoria quântica de BF.

Muito progresso foi feito em relação a esta questão por Engle, Pereira e Rovelli, Freidel e Krasnov e Livine e Speziale na definição de amplitudes de interação de espuma de spin com comportamento muito melhor.

Foi feita uma tentativa de fazer contato entre a espuma de rotação EPRL-FK e a formulação canônica de LQG.

Espuma de rotação derivada do operador de restrição principal

Veja abaixo.

O limite semiclássico e a gravidade quântica de loop

O limite clássico é a habilidade de uma teoria física de se aproximar da mecânica clássica. É usado com teorias físicas que prevêem comportamento não clássico. Qualquer teoria candidata da gravidade quântica deve ser capaz de reproduzir a teoria da relatividade geral de Einstein como um limite clássico de uma teoria quântica . Isso não é garantido por causa de uma característica das teorias quânticas de campo que é que elas têm diferentes setores, que são análogos às diferentes fases que surgem no limite termodinâmico dos sistemas estatísticos. Assim como diferentes fases são fisicamente diferentes, diferentes setores de uma teoria quântica de campos também o são. Pode ser que LQG pertença a um setor não físico - aquele em que não se recupera a relatividade geral no limite semiclássico (na verdade, pode não haver nenhum setor físico).

Além disso, o espaço físico de Hilbert deve conter estados semiclássicos suficientes para garantir que a teoria quântica que se obtém possa retornar à teoria clássica quando . Para garantir isso, deve-se evitar anomalias quânticas a todo custo, porque, do contrário, haverá restrições no espaço físico de Hilbert que não têm contrapartida na teoria clássica, o que implica que a teoria quântica tem menos graus de liberdade que a clássica teoria. ${\ displaystyle H_ {phys}}$${\ displaystyle \ hbar \ para 0}$

Teoremas que estabelecem a unicidade da representação do loop conforme definido por Ashtekar et al. (isto é, uma certa realização concreta de um espaço de Hilbert e operadores associados reproduzindo a álgebra de loop correta - a realização de que todos estavam usando) foram dados por dois grupos (Lewandowski, Okolow, Sahlmann e Thiemann; e Christian Fleischhack). Antes de este resultado ser estabelecido, não se sabia se poderia haver outros exemplos de espaços de Hilbert com operadores invocando a mesma álgebra de loop - outras realizações não equivalentes àquela que havia sido usada até agora. Esses teoremas de unicidade implicam que não existem outros, portanto, se LQG não tiver o limite semiclássico correto, os teoremas significariam o fim da representação do loop da gravidade quântica como um todo.

Dificuldades e avanços verificando o limite semiclássico

Há uma série de dificuldades em tentar estabelecer o LQG da teoria da relatividade geral de Einstein no limite semiclássico:

1. Não há operador correspondente a difeomorfismos espaciais infinitesimais (não é surpreendente que a teoria não tenha gerador de 'traduções' espaciais infinitesimais, pois prevê que a geometria espacial tem uma natureza discreta, comparada com a situação na matéria condensada). Em vez disso, deve ser aproximado por difeomorfismos espaciais finitos e, portanto, a estrutura de colchetes de Poisson da teoria clássica não é exatamente reproduzida. Este problema pode ser contornado com a introdução da chamada restrição principal (veja abaixo)
2. Existe o problema de reconciliar a natureza combinatória discreta dos estados quânticos com a natureza contínua dos campos da teoria clássica.
3. Existem sérias dificuldades decorrentes da estrutura dos colchetes de Poisson envolvendo o difeomorfismo espacial e as restrições hamiltonianas. Em particular, a álgebra de restrições hamiltonianas (manchadas) não fecha: é proporcional a uma soma sobre difeomorfismos espaciais infinitesimais (que, como acabamos de notar, não existe na teoria quântica) onde os coeficientes de proporcionalidade não são constantes mas tem dependência de espaço de fase não trivial - como tal, não forma uma álgebra de Lie . No entanto, a situação melhorou muito com a introdução da restrição mestre.
4. A máquina semiclássica desenvolvida até agora é apropriada apenas para operadores que não mudam de gráfico, no entanto, a restrição hamiltoniana de Thiemann é um operador de mudança de gráfico - o novo gráfico que ele gera tem graus de liberdade dos quais o estado coerente não depende e, portanto, seu quantum flutuações não são suprimidas. Há também a restrição, até agora, de que esses estados coerentes são definidos apenas no nível Cinemático, e agora é necessário elevá-los ao nível de e . Pode-se mostrar que a restrição hamiltoniana de Thiemann é necessária para mudar o gráfico para resolver o problema 3 em algum sentido. A álgebra de restrição mestre, no entanto, é trivial e, portanto, o requisito de alteração do gráfico pode ser eliminado e, de fato, os operadores de restrição mestre que não alteram o gráfico foram definidos. Tanto quanto se sabe atualmente, este problema ainda está fora de alcance.${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {Diff}}$${\ displaystyle {\ mathcal {H}} _ {Phys}}$
5. Formular observáveis ​​para a relatividade geral clássica é um problema formidável por si só por causa de sua natureza não linear e invariância de difeomorfismo espaço-tempo. Na verdade, um esquema de aproximação sistemática para calcular os observáveis ​​foi desenvolvido apenas recentemente.

As dificuldades em tentar examinar o limite semiclássico da teoria não devem ser confundidas com o fato de ela ter o limite semiclássico errado.

Com relação à questão número 2 acima, pode-se considerar os chamados estados de trama . Medidas comuns de quantidades geométricas são macroscópicas e a discrição planckiana é suavizada. O tecido de uma camiseta é análogo: à distância, é uma superfície bidimensional curva e lisa, mas, olhando mais de perto, vemos que na verdade é composta de milhares de fios unidimensionais unidos. A imagem do espaço dada em LQG é semelhante. Considere uma grande rede de spin formada por um grande número de nós e links, cada um na escala de Planck . Sondado em uma escala macroscópica, ele aparece como uma geometria métrica tridimensional contínua.

Para fazer contato com a física familiar de baixa energia, é obrigatório desenvolver esquemas de aproximação tanto para o produto físico interno quanto para os observáveis ​​de Dirac; os modelos de espuma de rotação que foram intensamente estudados podem ser vistos como caminhos para esquemas de aproximação para o referido produto físico interno.

Markopoulou, et al. adotou a ideia de subsistemas silenciosos na tentativa de resolver o problema do limite de baixa energia nas teorias de gravidade quântica independentes de fundo. A ideia levou até mesmo à intrigante possibilidade de a matéria do modelo padrão ser identificada com graus emergentes de liberdade de algumas versões de LQG (consulte a seção abaixo: LQG e programas de pesquisa relacionados ).

Como Wightman enfatizou na década de 1950, em Minkowski QFTs as funções de ponto ${\ displaystyle n-}$

${\ displaystyle W (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ langle 0 | \ phi (x_ {n}) \ dots \ phi (x_ {1}) | 0 \ rangle,}$

determinar completamente a teoria. Em particular, pode-se calcular as amplitudes de espalhamento a partir dessas quantidades. Conforme explicado abaixo na seção sobre as amplitudes de espalhamento independentes de fundo , no contexto independente de fundo, as funções de ponto referem-se a um estado e em gravidade esse estado pode codificar naturalmente informações sobre uma geometria específica que pode então aparecer nas expressões dessas quantidades . Para a ordem principal, os cálculos LQG mostraram concordar em um sentido apropriado com as funções de ponto calculadas na relatividade geral quântica de baixa energia efetiva. ${\ displaystyle n-}$${\ displaystyle n-}$

Dinâmica aprimorada e a restrição principal

A restrição principal

O Programa de Restrições Mestre de Thiemann para Gravidade Quântica de Loop (LQG) foi proposto como uma forma classicamente equivalente para impor o número infinito de equações de restrição hamiltonianas em termos de uma única restrição mestre, que envolve o quadrado das restrições em questão. Uma objeção inicial ao uso da restrição principal foi que, à primeira vista, ela não parecia codificar informações sobre os observáveis; como a restrição Mestre é quadrática na restrição, quando se calcula seu colchete de Poisson com qualquer quantidade, o resultado é proporcional à restrição, portanto, sempre desaparece quando as restrições são impostas e, como tal, não seleciona funções de espaço de fase específicas. Porém, percebeu-se que a condição equivale a ser um Dirac observável. Portanto, a restrição principal captura informações sobre os observáveis. Devido ao seu significado, isso é conhecido como a equação mestre.

O fato de a álgebra de Poisson de restrição mestre ser uma álgebra de Lie honesta abre a possibilidade de usar um determinado método, conhecido como média de grupo, a fim de construir soluções para o número infinito de restrições hamiltonianas, um produto interno físico e observáveis ​​de Dirac através do que é conhecido como quantização algébrica refinada RAQ.

A restrição mestre quântica

Defina a restrição mestre quântica (questões de regularização à parte) como

${\ displaystyle {\ hat {M}}: = \ int d ^ {3} x {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x)) }}} \ right)}} ^ {\ dagger} (x) {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ direita)}} (x).}$

Obviamente,

${\ displaystyle {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ right)}} (x) \ Psi = 0}$

para tudo implica . Por outro lado, se então ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ hat {M}} \ Psi = 0}$${\ displaystyle {\ hat {M}} \ Psi = 0}$

${\ displaystyle 0 = \ left \ langle \ Psi, {\ hat {M}} \ Psi \ right \ rangle = \ int d ^ {3} x \ left \ | {\ widehat {\ left ({\ frac {H } {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ direita)}} (x) \ Psi \ direita \ | ^ {2} \ qquad Eq \; 4}$

implica

${\ displaystyle {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ right)}} (x) \ Psi = 0}$.

O que é feito primeiro é que podemos calcular os elementos da matriz do operador potencial , ou seja, calculamos a forma quadrática . Acontece que, como um gráfico muda, a forma quadrática invariante do difeomorfismo não pode existir no espaço de Hilbert cinemático e deve ser definida em . Como o operador de restrição principal é densamente definido em , então é um operador positivo e simétrico em . Portanto, a forma quadrática associada a pode ser fechada . O fechamento de é a forma quadrática de um único operador auto-adjunto , chamado de extensão de Friedrichs . Nós relabel como pela simplicidade. ${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle Q_ {M}}$${\ displaystyle Q_ {M}}$${\ displaystyle H_ {Kin}}$${\ displaystyle H_ {Diff}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle H_ {Diff}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle H_ {Diff}}$${\ displaystyle Q_ {M}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle Q_ {M}}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ overline {M}}}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle {\ hat {\ overline {M}}}}$${\ displaystyle {\ hat {M}}}$

Observe que a presença de um produto interno, viz Eq 4, significa que não há soluções supérfluas, ou seja, não existem tais que ${\ displaystyle \ Psi}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ left ({\ frac {H} {\ sqrt [{4}] {\ det (q (x))}}} \ right)}} (x) \ Psi \ not = 0 ,}$

mas para qual . ${\ displaystyle {\ hat {M}} \ Psi = 0}$

Também é possível construir uma forma quadrática para o que é chamado de restrição principal estendida (discutida abaixo) na qual também envolve a integral ponderada do quadrado da restrição de difeomorfismo espacial (isso é possível porque não é mudança de gráfico). ${\ displaystyle Q_ {M_ {E}}}$${\ displaystyle H_ {Kin}}$${\ displaystyle Q_ {M_ {E}}}$

O espectro da restrição principal pode não conter zero devido aos efeitos de ordenação normal ou fatorial que são finitos, mas de natureza semelhante às energias infinitas do vácuo das teorias de campos quânticos dependentes de fundo. Nesse caso, é fisicamente correto substituir por, desde que a "constante de ordenação normal" desapareça no limite clássico, ou seja, ${\ displaystyle {\ hat {M}}}$${\ displaystyle {\ hat {M}} ': = {\ hat {M}} - \ min (spec ({\ hat {M}})) {\ hat {1}}}$

${\ displaystyle \ lim _ {\ hbar \ to 0} \ min (spec ({\ hat {M}})) = 0,}$

então essa é uma quantização válida de . ${\ displaystyle {\ hat {M}} '}$${\ displaystyle M}$

Testando a restrição mestre

As restrições em sua forma primitiva são bastante singulares, essa foi a razão para integrá-las sobre funções de teste para obter restrições manchadas. No entanto, parece que a equação para a restrição mestre, dada acima, é ainda mais singular, envolvendo o produto de duas restrições primitivas (embora integradas no espaço). Quadrar a restrição é perigoso, pois pode levar ao agravamento do comportamento ultravioleta do operador correspondente e, portanto, o programa de restrição mestre deve ser abordado com o devido cuidado.

Ao fazer isso, o programa de restrição mestre foi testado de forma satisfatória em uma série de sistemas de modelo com álgebras de restrição não triviais e teorias de campo livre e interativo. A restrição principal para LQG foi estabelecida como um operador auto-adjunto positivo genuíno e o espaço físico de Hilbert de LQG mostrou ser não vazio, um teste de consistência óbvio que LQG deve passar para ser uma teoria viável da relatividade geral quântica.

Aplicações da restrição mestre

A restrição mestre foi empregada em tentativas de aproximar o produto interno físico e definir integrais de caminho mais rigorosas.

A abordagem de Discretizações Consistentes para LQG é uma aplicação do programa de restrição mestre para construir o espaço de Hilbert físico da teoria canônica.

Gire a espuma da restrição mestre

Acontece que a restrição mestre é facilmente generalizada para incorporar as outras restrições. Ela é então referida como restrição principal estendida, denotada . Podemos definir a restrição principal estendida que impõe a restrição hamiltoniana e a restrição de difeomorfismo espacial como um único operador, ${\ displaystyle M_ {E}}$

${\ displaystyle M_ {E} = \ int _ {\ Sigma} d ^ {3} x {H (x) ^ {2} -q ^ {ab} V_ {a} (x) V_ {b} (x) \ over {\ sqrt {\ det (q)}}}}$.

Definir essa restrição única para zero é equivalente a e para tudo em . Esta restrição implementa o difeomorfismo espacial e a restrição hamiltoniana ao mesmo tempo no espaço de Hilbert Cinemático. O produto físico interno é então definido como ${\ displaystyle H (x) = 0}$${\ displaystyle V_ {a} (x) = 0}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ Sigma}$

${\ displaystyle \ langle \ phi, \ psi \ rangle _ {\ text {Phys}} = \ lim _ {T \ to \ infty} \ left \ langle \ phi, \ int _ {- T} ^ {T} dte ^ {it {\ hat {M}} _ {E}} \ psi \ right \ rangle}$

(como ). Uma representação de spin spin desta expressão é obtida dividindo o parâmetro -em etapas discretas e escrevendo ${\ textstyle \ delta ({\ hat {M_ {E}}}) = \ lim _ {T \ to \ infty} \ int _ {- T} ^ {T} dte ^ {it {\ hat {M}} _ {E}}}$${\ displaystyle t}$

${\ textstyle e ^ {it {\ hat {M}} _ {E}} = \ lim _ {n \ to \ infty} \ left [e ^ {it {\ hat {M}} _ {E} / n } \ right] ^ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} [1 + it {\ hat {M}} _ {E} / n] ^ {n}.}$

A descrição da espuma de spin segue então da aplicação de em uma rede de spin resultando em uma combinação linear de novas redes de spin cujo gráfico e rótulos foram modificados. Obviamente, uma aproximação é feita truncando o valor de para algum número inteiro finito. Uma vantagem da restrição mestre estendida é que estamos trabalhando no nível cinemático e, até agora, somente aqui temos acesso a estados coerentes semiclássicos. Além disso, não se pode encontrar nenhuma versão de alteração de gráfico desse operador de restrição mestre, que é o único tipo de operador apropriado para esses estados coerentes. ${\ displaystyle [1 + it {\ hat {M}} _ {E} / n]}$${\ displaystyle n}$

Gravidade quântica algébrica (AQG)

O programa de restrição mestre evoluiu para um tratamento totalmente combinatório da gravidade conhecido como gravidade quântica algébrica (AQG). O operador de restrição mestre sem alteração do gráfico é adaptado na estrutura da gravidade quântica algébrica. Embora AQG seja inspirado em LQG, ele difere drasticamente dele porque em AQG não há fundamentalmente nenhuma topologia ou estrutura diferencial - é independente de fundo em um sentido mais generalizado e poderia possivelmente ter algo a dizer sobre a mudança de topologia. Nesta nova formulação de gravidade quântica, os estados semiclássicos AQG sempre controlam as flutuações de todos os graus de liberdade presentes. Isso torna a análise semiclássica AQG superior à de LQG, e progresso foi feito em estabelecer que tem o limite semiclássico correto e fornecer contato com a física de baixa energia familiar.

Aplicações físicas de LQG

Entropia de buraco negro

Uma representação artística de dois buracos negros se fundindo, um processo no qual as leis da termodinâmica são mantidas.

A termodinâmica de buracos negros é a área de estudo que busca reconciliar as leis da termodinâmica com a existência de horizontes de eventos em buracos negros . A conjectura sem fio da relatividade geral afirma que um buraco negro é caracterizado apenas por sua massa , sua carga e seu momento angular ; portanto, não tem entropia . Parece, então, que se pode violar a segunda lei da termodinâmica deixando cair um objeto com entropia diferente de zero em um buraco negro. O trabalho de Stephen Hawking e Jacob Bekenstein mostrou que é possível preservar a segunda lei da termodinâmica atribuindo a cada buraco negro uma entropia de buraco negro

${\ displaystyle S _ {\ text {BH}} = {\ frac {k _ {\ text {B}} A} {4 \ ell _ {\ text {P}} ^ {2}}},}$

onde é a área do horizonte de eventos do buraco, é a constante de Boltzmann e é o comprimento de Planck . O fato de a entropia do buraco negro ser também a entropia máxima que pode ser obtida pelo limite de Bekenstein (em que o limite de Bekenstein se torna uma igualdade) foi a principal observação que levou ao princípio holográfico . ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle k _ {\ text {B}}}$${\ textstyle \ ell _ {\ text {P}} = {\ sqrt {G \ hbar / c ^ {3}}}}$

Um descuido na aplicação do teorema sem cabelo é a suposição de que os graus de liberdade relevantes que explicam a entropia do buraco negro devem ser de natureza clássica; e se eles fossem puramente mecânicos quânticos e tivessem entropia diferente de zero? Na verdade, isso é o que é realizado na derivação LQG da entropia do buraco negro, e pode ser visto como uma consequência de sua independência de fundo - o espaço-tempo clássico do buraco negro surge do limite semiclássico do estado quântico do campo gravitacional, mas existem muitos estados quânticos que têm o mesmo limite semiclássico. Especificamente, em LQG é possível associar uma interpretação geométrica quântica aos microestados: Estas são as geometrias quânticas do horizonte que são consistentes com a área ,, do buraco negro e a topologia do horizonte (isto é, esférica). LQG oferece uma explicação geométrica da finitude da entropia e da proporcionalidade da área do horizonte. Esses cálculos foram generalizados para buracos negros em rotação. ${\ displaystyle A}$

Representação de geometrias quânticas do horizonte. Excitações de polímeros no bulk perfuram o horizonte, dotando-o de área quantizada. Intrinsecamente, o horizonte é plano, exceto em furos onde adquire um ângulo de déficit quantizado ou quantidade quantizada de curvatura. Esses ângulos de déficit somam .${\ displaystyle 4 \ pi}$

É possível derivar, a partir da formulação covariante da teoria quântica completa ( Spinfoam ) a relação correta entre energia e área (1ª lei), a temperatura de Unruh e a distribuição que produz a entropia de Hawking. O cálculo faz uso da noção de horizonte dinâmico e é feito para buracos negros não extremos.

Um sucesso recente da teoria nesta direção é o cálculo da entropia de todos os buracos negros não singulares diretamente da teoria e independente do parâmetro de Immirzi . O resultado é a fórmula esperada , onde está a entropia e a área do buraco negro, derivada por Bekenstein e Hawking em bases heurísticas. Esta é a única derivação conhecida desta fórmula a partir de uma teoria fundamental, para o caso de buracos negros não singulares genéricos. As tentativas mais antigas de fazer esse cálculo apresentavam dificuldades. O problema era que, embora a gravidade quântica de Loop previsse que a entropia de um buraco negro é proporcional à área do horizonte de eventos, o resultado dependia de um parâmetro livre crucial na teoria, o parâmetro Immirzi mencionado acima. No entanto, não há cálculo conhecido do parâmetro Immirzi, então ele teve que ser corrigido exigindo concordância com o cálculo de Bekenstein e Hawking da entropia do buraco negro . ${\ displaystyle S = A / 4}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle A}$

Radiação Hawking em loop de gravidade quântica

Um estudo detalhado da geometria quântica de um horizonte de buraco negro foi feito usando a gravidade quântica em loop. A quantização em loop não reproduz o resultado para a entropia do buraco negro originalmente descoberta por Bekenstein e Hawking , a menos que se escolha o valor do parâmetro Immirzi para cancelar outra constante que surge na derivação. No entanto, isso levou ao cálculo de correções de ordem superior para a entropia e radiação dos buracos negros.

Com base nas flutuações da área do horizonte, um buraco negro quântico exibe desvios do espectro de Hawking que seriam observáveis ​​se os raios X da radiação de Hawking de buracos negros primordiais em evaporação fossem observados. Os efeitos quânticos são centrados em um conjunto de frequências discretas e não combinadas altamente pronunciadas no topo do espectro de radiação de Hawking.

Estrela Planck

Em 2014, Carlo Rovelli e Francesca Vidotto propuseram que houvesse uma estrela de Planck dentro de cada buraco negro . Com base no LQG, a teoria afirma que, à medida que as estrelas entram em colapso em buracos negros, a densidade de energia atinge a densidade de energia de Planck, causando uma força repulsiva que cria uma estrela. Além disso, a existência de tal estrela resolveria o firewall do buraco negro e o paradoxo da informação do buraco negro .

Loop cosmologia quântica

A literatura popular e técnica faz extensas referências ao tópico relacionado a LQG da cosmologia quântica em loop. LQC foi desenvolvido principalmente por Martin Bojowald, ele foi popularizado cosmologia quântica Loop na Scientific American para prever um Big Bounce antes do Big Bang . A cosmologia quântica de loop (LQC) é um modelo de simetria reduzida da relatividade geral clássica quantizada usando métodos que imitam os da gravidade quântica de loop (LQG) que prevê uma "ponte quântica" entre a contração e a expansão dos ramos cosmológicos.

As conquistas do LQC foram a resolução da singularidade do big bang, a previsão de um Big Bounce e um mecanismo natural para a inflação .

Os modelos LQC compartilham recursos do LQG e, portanto, é um modelo de brinquedo útil. No entanto, os resultados obtidos estão sujeitos à restrição usual de que uma teoria clássica truncada, então quantizada, pode não apresentar o verdadeiro comportamento da teoria completa devido à supressão artificial de graus de liberdade que podem ter grandes flutuações quânticas na teoria completa. Foi argumentado que a evitação de singularidade em LQC são por mecanismos disponíveis apenas nesses modelos restritivos e que a evitação de singularidade na teoria completa ainda pode ser obtida, mas por uma característica mais sutil de LQG.

Fenomenologia da gravitação quântica em loop

Os efeitos da gravidade quântica são notoriamente difíceis de medir porque o comprimento de Planck é incrivelmente pequeno. No entanto, recentemente físicos, como Jack Palmer, começaram a considerar a possibilidade de medir os efeitos da gravidade quântica principalmente a partir de observações astrofísicas e detectores de ondas gravitacionais. A energia dessas flutuações em escalas tão pequenas causa perturbações espaciais que são visíveis em escalas mais altas.

Amplitudes de espalhamento independentes de fundo

A gravidade quântica de loop é formulada em uma linguagem independente de fundo. Nenhum espaço-tempo é assumido a priori, mas sim construído pelos próprios estados da teoria - no entanto, as amplitudes de espalhamento são derivadas de funções -ponto ( função de correlação ) e estas, formuladas na teoria quântica de campo convencional, são funções de pontos de um fundo espaço-tempo. A relação entre o formalismo independente de fundo e o formalismo convencional da teoria quântica de campos em um determinado espaço-tempo está longe de ser óbvia, e está longe de ser óbvio como recuperar quantidades de baixa energia da teoria totalmente independente de fundo. Gostaríamos de derivar as funções -ponto da teoria do formalismo independente de fundo, a fim de compará-las com a expansão perturbativa padrão da relatividade geral quântica e, portanto, verificar se a gravidade quântica em loop produz o limite correto de baixa energia. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Uma estratégia para abordar este problema foi sugerida; a ideia é estudar a amplitude da fronteira, ou seja, uma integral de caminho sobre uma região finita do espaço-tempo, vista como uma função do valor da fronteira do campo. Na teoria quântica de campos convencional, essa amplitude de contorno é bem definida e codifica as informações físicas da teoria; ele também o faz na gravidade quântica, mas de uma maneira totalmente independente do fundo. Uma definição geralmente covariante de funções -ponto pode então ser baseada na ideia de que a distância entre pontos físicos -argumentos da função -ponto é determinada pelo estado do campo gravitacional na fronteira da região do espaço-tempo considerada. ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle n}$

Progresso foi feito no cálculo de amplitudes de espalhamento independentes de fundo desta forma com o uso de espumas giratórias. Esta é uma forma de extrair informações físicas da teoria. Alegações de ter reproduzido o comportamento correto para amplitudes de espalhamento de gráviton e de ter recuperado a gravidade clássica foram feitas. "Calculamos a lei de Newton partindo de um mundo sem espaço e sem tempo." - Carlo Rovelli.

Gravitons, teoria das cordas, supersimetria, dimensões extras em LQG

Algumas teorias quânticas da gravidade postulam um campo quântico de spin 2 que é quantizado, dando origem aos grávitons. Na teoria das cordas, geralmente se começa com excitações quantizadas no topo de um fundo classicamente fixo. Esta teoria é, portanto, descrita como dependente do background. Partículas como fótons, bem como mudanças na geometria do espaço-tempo (grávitons), são descritas como excitações na planilha de cordas. A dependência de fundo da teoria das cordas pode ter consequências físicas importantes, como determinar o número de gerações de quark. Em contraste, a gravidade quântica em loop, como a relatividade geral, é manifestamente independente do fundo, eliminando o fundo exigido na teoria das cordas. A gravidade quântica em loop, assim como a teoria das cordas, também visa superar as divergências não renormalizáveis ​​das teorias quânticas de campo.

LQG nunca apresenta um fundo e excitações que vivem nesse fundo, então LQG não usa grávitons como blocos de construção. Em vez disso, espera-se que se possa recuperar uma espécie de limite semiclássico ou limite de campo fraco onde algo como "grávitons" aparecerá novamente. Em contraste, os grávitons desempenham um papel fundamental na teoria das cordas, onde estão entre o primeiro nível (sem massa) de excitações de uma supercorda.

O LQG difere da teoria das cordas por ser formulado em 3 e 4 dimensões e sem supersimetria ou dimensões extras de Kaluza-Klein , enquanto a última requer que ambas sejam verdadeiras. Não há nenhuma evidência experimental até o momento que confirme as previsões da teoria das cordas sobre supersimetria e dimensões extras de Kaluza-Klein. Em um artigo de 2003 "A Dialog on Quantum Gravity", Carlo Rovelli considera o fato de LQG ser formulado em 4 dimensões e sem supersimetria como uma força da teoria, pois representa a explicação mais parcimoniosa , consistente com os resultados experimentais atuais, sobre sua corda rival / Teoria M. Os proponentes da teoria das cordas freqüentemente apontam para o fato de que, entre outras coisas, ela reproduz de maneira demonstrável as teorias estabelecidas da relatividade geral e da teoria quântica de campos nos limites apropriados, o que a gravidade quântica em loop tem se esforçado para fazer. Nesse sentido, a conexão da teoria das cordas com a física estabelecida pode ser considerada mais confiável e menos especulativa, no nível matemático. A gravidade quântica em loop não tem nada a dizer sobre a matéria (férmions) no universo.

Como o LQG foi formulado em 4 dimensões (com e sem supersimetria), e a teoria M requer supersimetria e 11 dimensões, uma comparação direta entre as duas não foi possível. É possível estender o formalismo LQG mainstream para supergravidade de dimensão superior, relatividade geral com supersimetria e dimensões extras de Kaluza-Klein se a evidência experimental estabelecer sua existência. Seria, portanto, desejável ter quantizações de loop de Supergravidade de dimensão superior à disposição, a fim de comparar essas abordagens. Na verdade, uma série de artigos recentes foi publicada tentando exatamente isso. Mais recentemente, Thiemann (e ex-alunos) fizeram progressos no cálculo da entropia do buraco negro para a supergravidade em dimensões superiores. Será interessante comparar esses resultados com os cálculos correspondentes da supercadeia.

LQG e programas de pesquisa relacionados

Vários grupos de pesquisa tentaram combinar LQG com outros programas de pesquisa: Johannes Aastrup, Jesper M. Grimstrup et al. a pesquisa combina geometria não comutativa com gravidade quântica canônica e variáveis ​​Ashtekar, Laurent Freidel, Simone Speziale, et al., teoria dos espinores e twistor com gravidade quântica em loop, e Lee Smolin et al. com gravidade entrópica de Verlinde e gravidade em loop. Stephon Alexander, Antonino Marciano e Lee Smolin tentaram explicar as origens da quiralidade de força fraca em termos das variáveis ​​de Ashketar, que descrevem a gravidade como quiral, e LQG com campos da teoria de Yang-Mills em quatro dimensões. Sundance Bilson-Thompson , Hackett et al., Tentou introduzir o modelo padrão via LQGs graus de liberdade como uma propriedade emergente (empregando a ideia de subsistemas silenciosos , uma noção útil introduzida em uma situação mais geral para sistemas restritos por Fotini Markopoulou -Kalamara et al.)

Além disso, LQG traçou comparações filosóficas com triangulação dinâmica causal e gravidade assintoticamente segura , e o spinfoam com teoria de campo de grupo e correspondência AdS / CFT . Smolin e Wen sugeriram combinar LQG com líquido string-net , tensores e grafia quântica Smolin e Fotini Markopoulou- Kalamara . Existe a abordagem de discretizações consistentes. Além disso, Pullin e Gambini fornecem uma estrutura para conectar as abordagens canônica e integral de caminho à gravidade quântica. Eles podem ajudar a reconciliar as abordagens de representação de espuma de spin e loop canônico. Uma pesquisa recente de Chris Duston e Matilde Marcolli apresenta a mudança de topologia por meio de redes topspin.

Problemas e comparações com abordagens alternativas

Alguns dos principais problemas não resolvidos da física são teóricos, o que significa que as teorias existentes parecem incapazes de explicar um determinado fenômeno observado ou resultado experimental. Os outros são experimentais, o que significa que existe uma dificuldade em criar um experimento para testar uma teoria proposta ou investigar um fenômeno com mais detalhes.

Muitos desses problemas se aplicam ao LQG, incluindo:

• A mecânica quântica e a relatividade geral podem ser percebidas como uma teoria totalmente consistente (talvez como uma teoria quântica de campo)?
• O espaço-tempo é fundamentalmente contínuo ou discreto?
• Uma teoria consistente envolveria uma força mediada por um gráviton hipotético, ou seria um produto de uma estrutura discreta do próprio espaço-tempo (como na gravidade quântica em loop)?
• Existem desvios das previsões da relatividade geral em escalas muito pequenas ou muito grandes ou em outras circunstâncias extremas que fluem de uma teoria da gravidade quântica?

A teoria de LQG é uma solução possível para o problema da gravidade quântica, assim como a teoria das cordas . No entanto, existem diferenças substanciais. Por exemplo, a teoria das cordas também aborda a unificação , a compreensão de todas as forças e partículas conhecidas como manifestações de uma única entidade, postulando dimensões extras e partículas e simetrias adicionais até agora não observadas. Ao contrário disso, o LQG é baseado apenas na teoria quântica e na relatividade geral e seu escopo é limitado ao entendimento dos aspectos quânticos da interação gravitacional. Por outro lado, as consequências do LQG são radicais, porque alteram fundamentalmente a natureza do espaço e do tempo e fornecem uma imagem física e matemática provisória, mas detalhada, do espaço-tempo quântico.

Atualmente, nenhum limite semiclássico recuperando a relatividade geral foi mostrado para existir. Isso significa que não está provado que a descrição do LQG do espaço-tempo na escala de Planck tem o limite do contínuo correto (descrito pela relatividade geral com possíveis correções quânticas). Especificamente, a dinâmica da teoria é codificada na restrição hamiltoniana , mas não há hamiltoniano candidato . Outros problemas técnicos incluem encontrar o fechamento fora da casca da álgebra de restrição e espaço vetorial de produto interno físico , acoplamento a campos de matéria da teoria quântica de campos , destino da renormalização do gráviton na teoria de perturbação que leva à divergência ultravioleta além de 2 loops (ver diagrama de Feynman de um loop no diagrama de Feynman ).

Embora tenha havido uma proposta relativa à observação de singularidades nuas e da relatividade duplamente especial como parte de um programa chamado cosmologia quântica de loop , não há observação experimental para a qual a gravidade quântica de loop faz uma previsão não feita pelo Modelo Padrão ou relatividade geral (um problema que infesta todas as teorias atuais da gravidade quântica). Por causa da já mencionada falta de um limite semiclássico, LQG ainda não reproduziu as previsões feitas pela relatividade geral.

Uma crítica alternativa é que a relatividade geral pode ser uma teoria de campo eficaz e, portanto, a quantização ignora os graus fundamentais de liberdade.

SEC 's INTEGRAL satélite medido polarização de fótons de diferentes comprimentos de onda e foi capaz de colocar um limite na granularidade de espaço que é inferior a 10 ^-48 m ou 13 ordens de grandeza abaixo da escala de Planck.

Veja também

Notas

Citações

Trabalhos citados

Leitura adicional

• Livros populares:
  • Rodolfo Gambini e Jorge Pullin , Loop Quantum Gravity for Everyone , World Scientific , 2020.
  • Carlo Rovelli , "A realidade não é o que parece ", Penguin, 2016.
  • Martin Bojowald , Once Before Time: A Whole Story of the Universe 2010.
  • Carlo Rovelli , que é o tempo? O que é espaço? , Di Renzo Editore, Roma, 2006.
  • Lee Smolin , Three Roads to Quantum Gravity , 2001
• Artigos de revistas:
  • Lee Smolin , "Atoms of Space and Time", Scientific American , janeiro de 2004
  • Martin Bojowald , " Follow the Bouncing Universe", Scientific American , outubro de 2008
• Trabalhos introdutórios, expositivos ou críticos mais fáceis:
  • Abhay Ashtekar , Gravity and the Quantum , e-print disponível como gr-qc / 0410054 (2004)
  • John C. Baez e Javier P. Muniain, Gauge Fields, Knots and Quantum Gravity , World Scientific (1994)
  • Carlo Rovelli , A Dialog on Quantum Gravity , e-print disponível como hep-th / 0310077 (2003)
  • Carlo Rovelli e Francesca Vidotto , Covariant Loop Quantum Gravity , Cambridge (2014); rascunho disponível online
• Trabalhos introdutórios / expositivos mais avançados:
  • Carlo Rovelli , Quantum Gravity , Cambridge University Press (2004); rascunho disponível online
  • Abhay Ashtekar , New Perspectives in Canonical Gravity , Bibliopolis (1988).
  • Abhay Ashtekar , Lectures on Non-Perturbative Canonical Gravity , World Scientific (1991)
  • Rodolfo Gambini e Jorge Pullin , Loops, Knots, Gauge Theories and Quantum Gravity , Cambridge University Press (1996)
  • T. Thiemann The LQG - String: Loop Quantum Gravity Quantization of String Theory (2004)
  • Celada, Mariano; Gonzalez, Diego; Montesinos, Merced (2016). "Gravidade BF". Gravidade Clássica e Quântica . 33 (21): 213001. arXiv : 1610.02020 . Bibcode : 2016CQGra..33u3001C . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 33/21/213001 . S2CID  119605468 .
• Resenhas de tópicos
  • Rovelli, Carlo (2011). "Zakopane dá palestras sobre gravidade em loop". arXiv : 1102.3660 [ gr-qc ].
  • Rovelli, Carlo (1998). "Loop Quantum Gravity" . Resenhas vivas na relatividade . 1 (1): 1. arXiv : gr-qc / 9710008 . Bibcode : 1998LRR ..... 1 .... 1R . doi : 10.12942 / lrr-1998-1 . PMC  5567241 . PMID  28937180 .
  • Thiemann, Thomas (2003). "Palestras sobre Loop Quantum Gravity". Gravidade Quântica . Notas de aula em Física . Volume 631. pp. 41–135. arXiv : gr-qc / 0210094 . Bibcode : 2003LNP ... 631 ... 41T . doi : 10.1007 / 978-3-540-45230-0_3 . ISBN 978-3-540-40810-9. S2CID  119151491 . |volume=tem texto extra ( ajuda )
  • Ashtekar, Abhay ; Lewandowski, Jerzy (2004). "Gravidade quântica independente do plano de fundo: um relatório de status". Gravidade Clássica e Quântica . 21 (15): R53 – R152. arXiv : gr-qc / 0404018 . Bibcode : 2004CQGra..21R..53A . doi : 10.1088 / 0264-9381 / 21/15 / R01 . S2CID  119175535 .
  • Carlo Rovelli e Marcus Gaul, Loop Quantum Gravity and the Meaning of Diffeomorphism Invariance , e-print disponível como gr-qc / 9910079 .
  • Lee Smolin , The case for background freedom , e-print disponível como hep-th / 0507235 .
  • Alejandro Corichi , Loop Quantum Geometry: A primer , e-print disponível como Loop Quantum Geometry: A primer .
  • Alejandro Perez, Introdução à gravidade quântica em loop e espumas giratórias , e-print disponível como Introdução à Gravidade quântica em loop e espumas giratórias .
• Artigos de pesquisa fundamental:
  • Roger Penrose , Momento angular: uma abordagem ao espaço-tempo combinatório em Quantum Theory and Beyond , ed. Ted Bastin, Cambridge University Press, 1971
  • Rovelli, Carlo ; Smolin, Lee (1988). "Teoria dos nós e gravidade quântica". Cartas de revisão física . 61 (10): 1155–1158. Bibcode : 1988PhRvL..61.1155R . doi : 10.1103 / PhysRevLett.61.1155 . PMID  10038716 .
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  • Carlo Rovelli e Lee Smolin , Discreteness of area and volume in quantum gravity , Nucl. Phys., B442 (1995) 593-622, e-print disponível como arXiv : gr-qc / 9411005
  • Thiemann, Thomas (2007). "Loop Quantum Gravity: An Inside View". Abordagens à Física Fundamental . Notas de aula em Física. 721 : 185–263. arXiv : hep-th / 0608210 . Bibcode : 2007LNP ... 721..185T . doi : 10.1007 / 978-3-540-71117-9_10 . ISBN 978-3-540-71115-5. S2CID  119572847 .

links externos

• Introdução às palestras Loop Quantum Gravity Online por Carlo Rovelli
• Covariant Loop Quantum Gravity de Carlo Rovelli e Francesca Vidotto
• "Loop Quantum Gravity" por Carlo Rovelli Physics World, novembro de 2003
• Quantum Foam e Loop Quantum Gravity
• Abhay Ashtekar: artigos semi-populares. Alguns artigos populares excelentes adequados para iniciantes sobre espaço, tempo, GR e LQG.
• Gravidade Quantum de Loop: Lee Smolin.
• Loop Quantum Gravity Lectures Online por Lee Smolin
• Redes de giro, espumas de giro e gravidade quântica em loop
• Revista Wired, Notícias: indo além da teoria das cordas
• A edição especial da Scientific American de abril de 2006, A Matter of Time , tem Lee Smolin Artigo LQG Atoms of Space and Time
• Setembro de 2006, The Economist, artigo Looping the loop
• Telescópio Espacial de Raios Gama de Grande Área: O Telescópio Espacial de Raios Gama Fermi
• Zeno encontra a ciência moderna. Artigo da Acta Physica Polonica B por ZK Silagadze.
• O universo pré-big bang deixou sua marca no céu? - De acordo com um modelo baseado na teoria da "gravidade quântica em loop", um universo pai que existia antes do nosso pode ter deixado uma marca ( New Scientist , 10 de abril de 2008)
• O'Dowd, Matt (15 de outubro de 2019). "Loop Quantum Gravity Explained" . PBS Space Time - via YouTube .