Transformação de Lorentz - Lorentz transformation

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v t e

Na física , as transformações de Lorentz são uma família de seis parâmetros de transformações lineares de um quadro de coordenadas no espaço - tempo para outro quadro que se move a uma velocidade constante em relação ao anterior. A respectiva transformação inversa é então parametrizada pelo negativo desta velocidade. As transformações têm o nome do físico holandês Hendrik Lorentz .

A forma mais comum da transformação, parametrizada pela constante real que representa uma velocidade confinada à direção x , é expressa como ${\ displaystyle v,}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {vx} {c ^ {2}}} \ right) \\ x' & = \ gamma \ left (x- vt \ right) \\ y '& = y \\ z' & = z \ end {alinhado}}}$

onde ( t , x , y , z ) e ( t ′, x ′, y ′, z ′) são as coordenadas de um evento em dois quadros, onde o quadro inicial é visto a partir do quadro não iniciado movendo-se com velocidade v ao longo o eixo x , c é a velocidade da luz e é o fator de Lorentz . Quando a velocidade v é muito menor que c , o fator de Lorentz é desprezivelmente diferente de 1, mas à medida que v se aproxima de c , cresce sem limites. O valor de v deve ser menor do que c para que a transformação faça sentido. ${\ displaystyle \ gamma = \ textstyle \ left ({\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}} \ right) ^ {- 1}}$${\ displaystyle \ gamma}$

Expressar a velocidade como uma forma equivalente da transformação é ${\ displaystyle \ beta = {\ frac {v} {c}},}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} ct '& = \ gamma \ left (ct- \ beta x \ right) \\ x' & = \ gamma \ left (x- \ beta ct \ right) \\ y '& = y \\ z '& = z. \ end {alinhado}}}$

Os referenciais podem ser divididos em dois grupos: inerciais (movimento relativo com velocidade constante) e não inerciais (aceleração, movimento em trajetórias curvas, movimento rotacional com velocidade angular constante , etc.). O termo "transformações de Lorentz" refere-se apenas a transformações entre referenciais inerciais, geralmente no contexto da relatividade especial.

Em cada referencial , um observador pode usar um sistema de coordenadas local (geralmente coordenadas cartesianas neste contexto) para medir comprimentos e um relógio para medir intervalos de tempo. Um evento é algo que acontece em um ponto do espaço em um instante de tempo ou, mais formalmente, em um ponto do espaço-tempo . As transformações conectam as coordenadas de espaço e tempo de um evento medidas por um observador em cada quadro.

Eles substituem a transformação galileana da física newtoniana , que assume um espaço e um tempo absolutos (ver relatividade galileana ). A transformação de Galileu é uma boa aproximação apenas em velocidades relativas muito menores do que a velocidade da luz. As transformações de Lorentz têm várias características não intuitivas que não aparecem nas transformações de Galileu. Por exemplo, eles refletem o fato de que observadores se movendo em velocidades diferentes podem medir distâncias , tempos decorridos e até mesmo ordenações diferentes de eventos , mas sempre de forma que a velocidade da luz seja a mesma em todos os referenciais inerciais. A invariância da velocidade da luz é um dos postulados da relatividade especial .

Historicamente, as transformações foram o resultado das tentativas de Lorentz e outros de explicar como a velocidade da luz era observada como independente do referencial e de compreender as simetrias das leis do eletromagnetismo . A transformação de Lorentz está de acordo com Albert Einstein 's relatividade especial , mas foi derivada primeira.

A transformação de Lorentz é uma transformação linear . Pode incluir uma rotação do espaço; uma transformação de Lorentz sem rotação é chamada de aumento de Lorentz . No espaço de Minkowski - o modelo matemático do espaço-tempo na relatividade especial - as transformações de Lorentz preservam o intervalo do espaço-tempo entre quaisquer dois eventos. Esta propriedade é a propriedade definidora de uma transformação de Lorentz. Eles descrevem apenas as transformações nas quais o evento do espaço-tempo na origem é deixado fixo. Eles podem ser considerados como uma rotação hiperbólica do espaço de Minkowski. O conjunto mais geral de transformações que também inclui traduções é conhecido como grupo de Poincaré .

História

Muitos físicos - incluindo Woldemar Voigt , George FitzGerald , Joseph Larmor e o próprio Hendrik Lorentz - vinham discutindo a física implícita nessas equações desde 1887. No início de 1889, Oliver Heaviside tinha mostrado a partir das equações de Maxwell que o campo elétrico em torno de uma distribuição esférica de a carga deve deixar de ter simetria esférica uma vez que a carga esteja em movimento em relação ao éter luminífero . FitzGerald então conjecturou que o resultado da distorção de Heaviside poderia ser aplicado a uma teoria das forças intermoleculares. Alguns meses depois, FitzGerald publicou a conjectura de que corpos em movimento estão sendo contraídos, a fim de explicar o resultado desconcertante do experimento de vento de éter de Michelson e Morley em 1887 . Em 1892, Lorentz apresentou independentemente a mesma ideia de uma maneira mais detalhada, que foi posteriormente chamada de hipótese de contração de FitzGerald-Lorentz . A explicação deles era amplamente conhecida antes de 1905.

Lorentz (1892–1904) e Larmor (1897–1900), que acreditavam na hipótese do éter luminífero, também procuraram a transformação sob a qual as equações de Maxwell são invariantes quando transformadas do éter em um quadro móvel. Eles estenderam a hipótese de contração de FitzGerald-Lorentz e descobriram que a coordenada de tempo também deve ser modificada (" hora local "). Henri Poincaré deu uma interpretação física da hora local (de primeira ordem em v / c , a velocidade relativa dos dois referenciais normalizados para a velocidade da luz) como consequência da sincronização do relógio, assumindo que a velocidade da luz é constante em quadros móveis. Larmor é considerado o primeiro a compreender a propriedade crucial de dilatação do tempo inerente a suas equações.

Em 1905, Poincaré foi o primeiro a reconhecer que a transformação tem as propriedades de um grupo matemático e deu-lhe o nome de Lorentz. Mais tarde, no mesmo ano, Albert Einstein publicou o que agora é chamado de relatividade especial , derivando a transformação de Lorentz sob os pressupostos do princípio da relatividade e da constância da velocidade da luz em qualquer referencial inercial , e abandonando o éter mecanicista como desnecessário .

Derivação do grupo de transformações de Lorentz

Um evento é algo que acontece em um determinado ponto no espaço-tempo, ou mais geralmente, o próprio ponto no espaço-tempo. Em qualquer referencial inercial, um evento é especificado por uma coordenada de tempo ct e um conjunto de coordenadas cartesianas x , y , z para especificar a posição no espaço nesse referencial. Os subscritos rotulam eventos individuais.

Do segundo postulado da relatividade de Einstein (invariância de c ) segue-se que:

${\ displaystyle c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} - (y_ {2} -y_ {1} ) ^ {2} - (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2} = 0 \ quad {\ text {(eventos separados por luz 1, 2)}}}$

( D1 )

em todos os frames inerciais para eventos conectados por sinais de luz . A quantidade à esquerda é chamada de intervalo de espaço-tempo entre eventos a ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) e a ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) . O intervalo entre dois eventos quaisquer , não necessariamente separados por sinais de luz, é de fato invariante, isto é, independente do estado de movimento relativo dos observadores em diferentes referenciais inerciais, como é mostrado usando homogeneidade e isotropia do espaço . A transformação desejada, portanto, deve possuir a propriedade de:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & c ^ {2} (t_ {2} -t_ {1}) ^ {2} - (x_ {2} -x_ {1}) ^ {2} - (y_ {2 } -y_ {1}) ^ {2} - (z_ {2} -z_ {1}) ^ {2} \\ [6pt] = {} & c ^ {2} (t_ {2} '- t_ {1 } ') ^ {2} - (x_ {2}' - x_ {1} ') ^ {2} - (y_ {2}' - y_ {1} ') ^ {2} - (z_ {2}' -z_ {1} ') ^ {2} \ quad {\ text {(todos os eventos 1, 2)}}. \ end {alinhados}}}$

( D2 )

onde ( ct , x , y , z ) são as coordenadas do espaço-tempo usadas para definir eventos em um quadro, e ( ct ′, x ′, y ′, z ′) são as coordenadas em outro quadro. Em primeiro lugar, observa-se que (D2) é satisfeito se um 4- quinto b arbitrário de números for adicionado aos eventos a ₁ e a ₂ . Essas transformações são chamadas de translações do espaço-tempo e não são tratadas mais adiante aqui. Então, pode-se observar que uma solução linear preservando a origem do problema mais simples resolve o problema geral também:

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} & c ^ {2} t ^ {2} -x ^ {2} -y ^ {2} -z ^ {2} = c ^ {2} t '^ {2} - x '^ {2} -y' ^ {2} -z '^ {2} \\ [6pt] {\ text {ou}} \ quad & c ^ {2} t_ {1} t_ {2} -x_ { 1} x_ {2} -y_ {1} y_ {2} -z_ {1} z_ {2} = c ^ {2} t '_ {1} t' _ {2} -x '_ {1} x '_ {2} -y' _ {1} y '_ {2} -z' _ {1} z '_ {2} \ end {alinhado}}}$

( D3 )

(uma solução que satisfaz a fórmula da esquerda também satisfaz automaticamente a da direita; consulte a identidade de polarização ). Encontrar a solução para o problema mais simples é apenas uma questão de pesquisar na teoria dos grupos clássicos que preservam formas bilineares de várias assinaturas. A primeira equação em (D3) pode ser escrita de forma mais compacta como:

${\ displaystyle (a, a) = (a ', a') \ quad {\ text {ou}} \ quad a \ cdot a = a '\ cdot a',}$

( D4 )

onde (·, ·) refere-se à forma bilinear de assinatura (1, 3) em R ⁴ exposto pela fórmula lado direito em (D3) . A notação alternativa definida à direita é conhecida como produto escalar relativístico . Espaço-tempo matematicamente visto como R ⁴ dotado com esta forma bilinear é conhecido como Minkowski espaço M . A transformação de Lorentz é, portanto, um elemento do grupo O (1, 3) , do grupo de Lorentz ou, para aqueles que preferem a outra assinatura métrica , O (3, 1) (também chamado de grupo de Lorentz). Um tem:

${\ displaystyle (a, a) = (\ Lambda a, \ Lambda a) = (a ', a'), \ quad \ Lambda \ in \ mathrm {O} (1,3), \ quad a, a ' \ em M,}$

( D5 )

que é precisamente a preservação da forma bilinear (D3) que implica (por linearidade de Λ e bilinearidade da forma) que (D2) é satisfeita. Os elementos do grupo Lorentz são rotações e impulsos e misturas deles. Se as traduções do espaço-tempo forem incluídas, obtém-se o grupo não homogêneo de Lorentz ou o grupo de Poincaré .

Generalidades

As relações entre as coordenadas do espaço-tempo com e sem primed são as transformações de Lorentz , cada coordenada em um quadro é uma função linear de todas as coordenadas no outro quadro e as funções inversas são a transformação inversa. Dependendo de como os quadros se movem em relação uns aos outros e como são orientados no espaço em relação uns aos outros, outros parâmetros que descrevem direção, velocidade e orientação entram nas equações de transformação.

As transformações que descrevem o movimento relativo com velocidade constante (uniforme) e sem rotação dos eixos das coordenadas espaciais são chamadas de impulsos , e a velocidade relativa entre os quadros é o parâmetro da transformação. O outro tipo básico de transformação de Lorentz é a rotação nas coordenadas espaciais apenas, esses impulsos semelhantes são transformações inerciais, uma vez que não há movimento relativo, os quadros são simplesmente inclinados (e não girando continuamente) e, neste caso, as quantidades que definem a rotação são os parâmetros da transformação (por exemplo, representação do ângulo do eixo ou ângulos de Euler , etc.). Uma combinação de rotação e aumento é uma transformação homogênea , que transforma a origem de volta à origem.

O grupo Lorentz completo O (3, 1) também contém transformações especiais que não são rotações nem impulsos, mas sim reflexos em um plano através da origem. Dois deles podem ser destacados; inversão espacial em que as coordenadas espaciais de todos os eventos são revertidas em sinal e inversão temporal em que a coordenada de tempo para cada evento obtém seu sinal invertido.

Os impulsos não devem ser confundidos com meros deslocamentos no espaço-tempo; neste caso, os sistemas de coordenadas são simplesmente deslocados e não há movimento relativo. No entanto, eles também contam como simetrias forçadas pela relatividade especial, uma vez que deixam o intervalo do espaço-tempo invariante. Uma combinação de uma rotação com um impulso, seguida por uma mudança no espaço-tempo, é uma transformação de Lorentz não homogênea , um elemento do grupo de Poincaré, que também é chamado de grupo de Lorentz não homogêneo.

Formulação física de Lorentz aumenta

Transformação de coordenadas

Um observador "estacionário" no quadro F define eventos com coordenadas t , x , y , z . Outro referencial F ′ se move com velocidade v em relação a F , e um observador neste referencial "móvel" F ′ define eventos usando as coordenadas t ′, x ′, y ′, z ′ .

Os eixos coordenados em cada quadro são paralelos (os eixos x e x ′ são paralelos, os eixos y e y ′ são paralelos e os eixos z e z ′ são paralelos), permanecem mutuamente perpendiculares e o movimento relativo ocorre ao longo de xx coincidente ′ Eixos. Em t = t ′ = 0 , as origens de ambos os sistemas de coordenadas são as mesmas, ( x, y, z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) . Em outras palavras, os horários e posições são coincidentes neste evento. Se tudo isso for válido, então os sistemas de coordenadas são considerados na configuração padrão ou sincronizados .

Se um observador em F registra um evento t, x, y, z , então um observador em F ′ registra o mesmo evento com coordenadas

onde v é a velocidade relativa entre os quadros na direção x , c é a velocidade da luz , e

${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$

( gama minúscula ) é o fator de Lorentz .

Aqui, v é o parâmetro da transformação, para um determinado aumento é um número constante, mas pode assumir uma faixa contínua de valores. Na configuração usada aqui, a velocidade relativa positiva v > 0 é o movimento ao longo das direções positivas dos eixos xx ′ , a velocidade relativa zero v = 0 não é nenhum movimento relativo, enquanto a velocidade relativa negativa v <0 é o movimento relativo ao longo das direções negativas de os eixos xx ′ . A magnitude da velocidade relativa v não pode ser igual ou superior a c , portanto, apenas as velocidades subluminais - c < v < c são permitidas. O intervalo correspondente de γ é 1 ≤ γ <∞ .

As transformações não são definidas se v estiver fora desses limites. À velocidade da luz ( v = c ) γ é infinito e mais rápido do que a luz ( v > c ) γ é um número complexo , cada um dos quais torna as transformações não físicas. As coordenadas de espaço e tempo são quantidades mensuráveis ​​e numericamente devem ser números reais.

Como uma transformação ativa , um observador em F ′ percebe as coordenadas do evento a serem "impulsionadas" nas direções negativas dos eixos xx ′ , devido ao - v nas transformações. Isso tem o efeito equivalente do sistema de coordenadas F ′ aumentado nas direções positivas dos eixos xx ′ , enquanto o evento não muda e é simplesmente representado em outro sistema de coordenadas, uma transformação passiva .

As relações inversas ( t , x , y , z em termos de t ′, x ′, y ′, z ′ ) podem ser encontradas resolvendo algebricamente o conjunto original de equações. Uma maneira mais eficiente é usar princípios físicos. Aqui F ′ é o quadro "estacionário", enquanto F é o quadro "móvel". De acordo com o princípio da relatividade, não existe um referencial privilegiado, então as transformações de F ′ para F devem assumir exatamente a mesma forma que as transformações de F para F ′ . A única diferença é que F se move com velocidade - v em relação a F ′ (ou seja, a velocidade relativa tem a mesma magnitude, mas é direcionada de forma oposta). Assim, se um observador em F ′ nota um evento t ′, x ′, y ′, z ′ , então um observador em F nota o mesmo evento com coordenadas

e o valor de γ permanece inalterado. Este "truque" de simplesmente inverter a direção da velocidade relativa, preservando sua magnitude e trocando variáveis ​​iniciadas e não iniciadas, sempre se aplica a encontrar a transformação inversa de cada impulso em qualquer direção.

Às vezes é mais conveniente usar β = v / c ( beta minúsculo ) em vez de v , de modo que

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} ct '& = \ gamma \ left (ct- \ beta x \ right) \ ,, \\ x' & = \ gamma \ left (x- \ beta ct \ right) \, , \\\ end {alinhado}}}$

o que mostra muito mais claramente a simetria na transformação. A partir dos intervalos permitidos de ve da definição de β , segue-se −1 < β <1 . O uso de β e γ é padrão em toda a literatura.

As transformações de Lorentz também podem ser derivadas de uma forma que se assemelha a rotações circulares no espaço 3d usando as funções hiperbólicas . Para o aumento na direção x , os resultados são

onde ζ ( zeta minúsculo ) é um parâmetro chamado rapidez (muitos outros símbolos são usados, incluindo θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ ). Dada a forte semelhança com as rotações das coordenadas espaciais no espaço 3d nos planos cartesianos xy, yz e zx, um aumento de Lorentz pode ser pensado como uma rotação hiperbólica das coordenadas do espaço-tempo nos planos de tempo cartesiano xt, yt e zt de Espaço 4d Minkowski . O parâmetro ζ é o ângulo hiperbólico de rotação, análogo ao ângulo comum para rotações circulares. Essa transformação pode ser ilustrada com um diagrama de Minkowski .

As funções hiperbólicas surgem da diferença entre os quadrados do tempo e as coordenadas espaciais no intervalo do espaço-tempo, ao invés de uma soma. O significado geométrico das funções hiperbólicas pode ser visualizado tomando x = 0 ou ct = 0 nas transformações. Quadrando e subtraindo os resultados, pode-se derivar curvas hiperbólicas de valores de coordenadas constantes, mas variando ζ , que parametriza as curvas de acordo com a identidade

${\ displaystyle \ cosh ^ {2} \ zeta - \ sinh ^ {2} \ zeta = 1 \ ,.}$

Por outro lado, os eixos ct e x podem ser construídos para coordenadas variáveis, mas constantes ζ . A definição

${\ displaystyle \ tanh \ zeta = {\ frac {\ sinh \ zeta} {\ cosh \ zeta}} \ ,,}$

fornece a ligação entre um valor constante de rapidez e a inclinação do eixo ct no espaço-tempo. Uma consequência dessas duas fórmulas hiperbólicas é uma identidade que corresponde ao fator de Lorentz

${\ displaystyle \ cosh \ zeta = {\ frac {1} {\ sqrt {1- \ tanh ^ {2} \ zeta}}} \ ,.}$

Comparando as transformações de Lorentz em termos de velocidade relativa e rapidez, ou usando as fórmulas acima, as conexões entre β , γ e ζ são

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ beta & = \ tanh \ zeta \ ,, \\\ gamma & = \ cosh \ zeta \ ,, \\\ beta \ gamma & = \ sinh \ zeta \,. \ end {alinhado}}}$

Tomando a tangente hiperbólica inversa dá a rapidez

${\ displaystyle \ zeta = \ tanh ^ {- 1} \ beta \ ,.}$

Como −1 < β <1 , segue-se −∞ < ζ <∞ . Da relação entre ζ e β , rapidez positiva ζ > 0 é movimento ao longo das direções positivas dos eixos xx ′ , rapidez zero ζ = 0 não é movimento relativo, enquanto rapidez negativa ζ <0 é movimento relativo ao longo das direções negativas do xx ′ eixos.

As transformações inversas são obtidas trocando quantidades iniciadas e não iniciadas para mudar os quadros de coordenadas e negando a rapidez ζ → - ζ, pois isso é equivalente a negar a velocidade relativa. Portanto,

As transformações inversas podem ser visualizadas de forma semelhante considerando os casos em que x ′ = 0 e ct ′ = 0 .

Até agora, as transformações de Lorentz foram aplicadas a um evento . Se houver dois eventos, há uma separação espacial e intervalo de tempo entre eles. Segue-se da linearidade das transformações de Lorentz que dois valores de coordenadas de espaço e tempo podem ser escolhidos, as transformações de Lorentz podem ser aplicadas a cada um, então subtraídas para obter as transformações de Lorentz das diferenças;

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Delta t '& = \ gamma \ left (\ Delta t - {\ frac {v \, \ Delta x} {c ^ {2}}} \ right) \ ,, \ \\ Delta x '& = \ gamma \ left (\ Delta xv \, \ Delta t \ right) \ ,, \ end {alinhado}}}$

com relações inversas

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Delta t & = \ gamma \ left (\ Delta t '+ {\ frac {v \, \ Delta x'} {c ^ {2}}} \ right) \ ,, \ \\ Delta x & = \ gamma \ left (\ Delta x '+ v \, \ Delta t' \ right) \,. \ End {alinhado}}}$

onde Δ ( delta maiúsculo ) indica uma diferença de quantidades; por exemplo, Δ x = x ₂ - x ₁ para dois valores de coordenadas x e assim por diante.

Essas transformações em diferenças, em vez de pontos espaciais ou instantes de tempo, são úteis por uma série de razões:

• em cálculos e experimentos, são os comprimentos entre dois pontos ou intervalos de tempo que são medidos ou de interesse (por exemplo, o comprimento de um veículo em movimento ou o tempo que leva para viajar de um lugar para outro),
• as transformações de velocidade podem ser facilmente derivadas, tornando a diferença infinitesimalmente pequena e dividindo as equações, e o processo repetido para a transformação da aceleração,
• se os sistemas de coordenadas nunca são coincidentes (ou seja, não estão na configuração padrão), e se ambos os observadores podem concordar em um evento t ₀ , x ₀ , y ₀ , z ₀ em F e t ₀ ′, x ₀ ′, y ₀ ′ , z ₀ ′ em F ′ , então eles podem usar esse evento como a origem, e as diferenças de coordenadas do espaço-tempo são as diferenças entre suas coordenadas e esta origem, por exemplo, Δ x = x - x ₀ , Δ x ′ = x ′ - x ₀ ′ , etc.

Implicações físicas

Um requisito crítico das transformações de Lorentz é a invariância da velocidade da luz, fato usado em sua derivação e contido nas próprias transformações. Se em F a equação para um pulso de luz ao longo da direção x for x = ct , então em F ′ as transformações de Lorentz fornecem x ′ = ct ′ , e vice-versa, para qualquer - c < v < c .

Para velocidades relativas muito menores do que a velocidade da luz, as transformações de Lorentz se reduzem à transformação de Galileu

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} t '& \ approx t \\ x' & \ approx x-vt \ end {alinhado}}}$

de acordo com o princípio da correspondência . Às vezes se diz que a física não relativística é uma física de "ação instantânea à distância".

Três previsões contra-intuitivas, mas corretas, das transformações são:

Relatividade da simultaneidade

Suponha que dois eventos ocorram simultaneamente ( Δ t = 0 ) ao longo do eixo x, mas separados por um deslocamento diferente de zero Δ x . Então, em F ′ , encontramos isso , então os eventos não são mais simultâneos de acordo com um observador em movimento.${\ displaystyle \ Delta t '= \ gamma {\ frac {-v \, \ Delta x} {c ^ {2}}}}$

Dilatação do tempo

Suponha que há um relógio em repouso F . Se um intervalo de tempo é medido no mesmo ponto naquele quadro, de modo que Δ x = 0 , então as transformações fornecem esse intervalo em F ′ por Δ t ′ = γ Δ t . Por outro lado, suponha que haja um relógio em repouso em F ′ . Se um intervalo é medido no mesmo ponto naquele quadro, de modo que Δ x ′ = 0 , então as transformações dão esse intervalo em F por Δ t = γ Δ t ′ . De qualquer maneira, cada observador mede o intervalo de tempo entre os tiques de um relógio em movimento para ser mais longo por um fator γ do que o intervalo de tempo entre os tiques de seu próprio relógio.

Contração de comprimento

Suponha que haja uma haste em repouso em F alinhada ao longo do eixo x, com comprimento Δ x . Em F ′ , a barra se move com velocidade - v , então seu comprimento deve ser medido fazendo duas medições simultâneas ( Δ t ′ = 0 ) em extremidades opostas. Nessas condições, a transformada de Lorentz inversa mostra que Δ x = γ Δ x ′ . Em F as duas medições não são em simultâneo, mas isto não importa, porque a haste está em repouso em F . Assim, cada observador mede a distância entre os pontos finais de uma haste em movimento, sendo mais curta por um fator 1 / γ do que os pontos finais de uma haste idêntica em repouso em seu próprio referencial. A contração do comprimento afeta qualquer quantidade geométrica relacionada aos comprimentos, portanto, da perspectiva de um observador em movimento, as áreas e os volumes também parecerão encolher ao longo da direção do movimento.

Transformações vetoriais

O uso de vetores permite que posições e velocidades sejam expressas em direções arbitrárias de forma compacta. Um único aumento em qualquer direção depende do vetor de velocidade relativa total v com uma magnitude | v | = v que não pode ser igual ou superior a c , de modo que 0 ≤ v < c .

Apenas o tempo e as coordenadas paralelas à direção do movimento relativo mudam, enquanto as coordenadas perpendiculares não. Com isso em mente, divida o vetor de posição espacial r conforme medido em F e r ′ conforme medido em F ′ , cada um em componentes perpendiculares (⊥) e paralelos (‖) a v ,

${\ displaystyle \ mathbf {r} = \ mathbf {r} _ {\ perp} + \ mathbf {r} _ {\ |} \ ,, \ quad \ mathbf {r} '= \ mathbf {r} _ {\ perp} '+ \ mathbf {r} _ {\ |}' \ ,,}$

então as transformações são

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} t '& = \ gamma \ left (t - {\ frac {\ mathbf {r} _ {\ parallel} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}} \ right) \\\ mathbf {r} _ {\ |} '& = \ gamma (\ mathbf {r} _ {\ |} - \ mathbf {v} t) \\\ mathbf {r} _ {\ perp } '& = \ mathbf {r} _ {\ perp} \ end {alinhado}}}$

onde · é o produto escalar . O fator de Lorentz γ mantém sua definição para um impulso em qualquer direção, pois depende apenas da magnitude da velocidade relativa. A definição β = v / c com magnitude 0 ≤ β <1 também é usada por alguns autores.

Apresentando um vetor unitário n = v / v = β / β na direção do movimento relativo, a velocidade relativa é v = v n com magnitude v e direção n , e a projeção do vetor e a rejeição dão respectivamente

${\ displaystyle \ mathbf {r} _ {\ parallel} = (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} \ ,, \ quad \ mathbf {r} _ {\ perp} = \ mathbf {r} - (\ mathbf {r} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n}}$

Acumular os resultados dá as transformações completas,

A projeção e rejeição também se aplicam a r ′ . Para as transformações inversas, troque r e r ′ para trocar as coordenadas observadas e negue a velocidade relativa v → - v (ou simplesmente o vetor unitário n → - n, uma vez que a magnitude v é sempre positiva) para obter

O vetor unitário tem a vantagem de simplificar as equações para um único reforço, permite que v ou β sejam reinstaurados quando conveniente, e a parametrização da rapidez é obtida imediatamente pela substituição de β e βγ . Não é conveniente para vários reforços.

A relação vetorial entre velocidade relativa e rapidez é

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ beta}} = \ beta \ mathbf {n} = \ mathbf {n} \ tanh \ zeta \ ,,}$

e o "vetor de rapidez" pode ser definido como

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ zeta}} = \ zeta \ mathbf {n} = \ mathbf {n} \ tanh ^ {- 1} \ beta \ ,,}$

cada um dos quais serve como uma abreviação útil em alguns contextos. A magnitude de ζ é o valor absoluto do escalar de rapidez confinado a 0 ≤ ζ <∞ , que concorda com o intervalo 0 ≤ β <1 .

Transformação de velocidades

Definindo as velocidades coordenadas e o fator de Lorentz por

${\ displaystyle \ mathbf {u} = {\ frac {d \ mathbf {r}} {dt}} \ ,, \ quad \ mathbf {u} '= {\ frac {d \ mathbf {r}'} {dt '}} \ ,, \ quad \ gamma _ {\ mathbf {v}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ dfrac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {v}} {c ^ {2}}}}}}}$

tomando as diferenciais nas coordenadas e no tempo das transformações do vetor, então dividindo as equações, leva a

${\ displaystyle \ mathbf {u} '= {\ frac {1} {1 - {\ frac {\ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {u}} {c ^ {2}}}}} \ left [{ \ frac {\ mathbf {u}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}}}} - \ mathbf {v} + {\ frac {1} {c ^ {2}}} {\ frac {\ gamma _ {\ mathbf {v}}} {\ gamma _ {\ mathbf {v}} +1}} \ left (\ mathbf {u} \ cdot \ mathbf {v} \ right) \ mathbf {v} \ right]}$

As velocidades u e u ′ são a velocidade de algum objeto massivo. Eles também podem ser para um terceiro referencial inercial (digamos F ′ ′), caso em que devem ser constantes . Denote qualquer entidade por X. Então X se move com velocidade u em relação a F, ou equivalentemente com velocidade u ′ em relação a F ′, por sua vez, F ′ se move com velocidade v em relação a F. As transformações inversas podem ser obtidas de maneira semelhante, ou como com as coordenadas de posição, troque u e u ′ , e mude v para - v .

A transformação da velocidade é útil na aberração estelar , no experimento Fizeau e no efeito Doppler relativístico .

As transformações de Lorentz de aceleração podem ser obtidas de forma semelhante tomando as diferenciais nos vetores de velocidade e dividindo-as pelo diferencial de tempo.

Transformação de outras quantidades

Em geral, dadas quatro quantidades A e Z = ( Z _x , Z _y , Z _z ) e suas contrapartes reforçadas por Lorentz A ′ e Z ′ = ( Z ′ _x , Z ′ _y , Z ′ _z ) , uma relação de Formato

${\ displaystyle A ^ {2} - \ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {Z} = {A '} ^ {2} - \ mathbf {Z}' \ cdot \ mathbf {Z} '}$

implica na transformação das quantidades sob as transformações de Lorentz semelhantes à transformação das coordenadas do espaço-tempo;

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} A '& = \ gamma \ left (A - {\ frac {v \ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {Z}} {c}} \ right) \ ,, \\ \ mathbf {Z} '& = \ mathbf {Z} + (\ gamma -1) (\ mathbf {Z} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} - {\ frac {\ gamma Av \ mathbf { n}} {c}} \,. \ end {alinhado}}}$

A decomposição de Z (e Z ′ ) em componentes perpendiculares e paralelas av é exatamente a mesma que para o vetor posição, assim como o processo de obtenção das transformações inversas (troca ( A , Z ) e ( A ′, Z ′) para mudar as quantidades observadas, e inverter a direção do movimento relativo pela substituição n ↦ - n ).

As quantidades ( A , Z ) coletivamente formam um quatro vetores , onde A é o "componente semelhante ao tempo" e Z o "componente semelhante ao espaço". Exemplos de A e Z são os seguintes:

Quatro vetores	UMA	Z
Posição de quatro vetores	Tempo (multiplicado por c ), ct	Vetor de posição , r
Quatro momentum	Energia (dividido por c ), E / c	Momentum , p
Vetor de quatro ondas	frequência angular (dividida por c ), ω / c	vetor de onda , k
Quatro giros	(Sem nome), s t	Spin , s
Quatro atuais	Densidade de carga (multiplicada por c ), ρc	Densidade atual , j
Quatro potenciais eletromagnéticos	Potencial elétrico (dividido por c ), φ / c	Potencial de vetor magnético , A

Para um determinado objeto (por exemplo, partícula, fluido, campo, material), se A ou Z correspondem a propriedades específicas do objeto, como sua densidade de carga , densidade de massa , spin , etc., suas propriedades podem ser fixadas no quadro restante de esse objeto. Então, as transformações de Lorentz fornecem as propriedades correspondentes em um quadro que se move em relação ao objeto com velocidade constante. Isso quebra algumas noções tidas como certas na física não relativística. Por exemplo, a energia E de um objeto é um escalar na mecânica não relativística, mas não na mecânica relativística porque a energia muda sob as transformações de Lorentz; seu valor é diferente para vários referenciais inerciais. No quadro de repouso de um objeto, ele tem energia de repouso e momento zero. Em um quadro ampliado, sua energia é diferente e parece ter um impulso. Da mesma forma, na mecânica quântica não relativística, o spin de uma partícula é um vetor constante, mas na mecânica quântica relativística o spin s depende do movimento relativo. No quadro de repouso da partícula, o pseudovetor de spin pode ser fixado para ser seu spin não relativístico comum com uma quantidade zero semelhante ao tempo s _t , no entanto, um observador impulsionado perceberá um componente não zero semelhante ao tempo e um spin alterado.

Nem todas as quantidades são invariantes na forma como mostrado acima, por exemplo orbital momento angular G não tem uma quantidade de tipo tempo, e nem o campo eléctrico E nem o campo magnético B . A definição de momento angular é L = r × p , e em um referencial reforçado o momento angular alterado é L ′ = r ′ × p ′ . Aplicar esta definição usando as transformações de coordenadas e momento leva à transformação do momento angular. Acontece que L se transforma com outra quantidade vetorial N = ( E / c ² ) r - t p relacionada a impulsos, consulte o momento angular relativístico para obter detalhes. Para o caso dos campos E e B , as transformações não podem ser obtidas diretamente usando álgebra vetorial. A força de Lorentz é a definição desses campos, e em F é F = q ( E + v × B ) enquanto em F ′ é F ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′) . Um método para derivar as transformações do campo EM de uma maneira eficiente que também ilustra a unidade do campo eletromagnético usa álgebra tensorial, fornecida abaixo .

Formulação matemática

Por toda parte, letras maiúsculas em itálico não negrito são matrizes 4 × 4, enquanto letras em negrito não itálico são matrizes 3 × 3.

Grupo de Lorentz homogêneo

Escrevendo as coordenadas em vetores de coluna e a métrica de Minkowski η como uma matriz quadrada

${\ displaystyle X '= {\ begin {bmatrix} c \, t' \\ x '\\ y' \\ z '\ end {bmatrix}} \ ,, \ quad \ eta = {\ begin {bmatrix} - 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad X = {\ begin {bmatrix} c \, t \\ x \\ y \\ z \ end {bmatrix}}}$

o intervalo de espaço-tempo assume a forma (T denota transposição )

${\ displaystyle X \ cdot X = X ^ {\ mathrm {T}} \ eta X = {X '} ^ {\ mathrm {T}} \ eta {X'}}$

e é invariante sob uma transformação de Lorentz

${\ displaystyle X '= \ Lambda X}$

onde Λ é uma matriz quadrada que pode depender de parâmetros.

O conjunto de todas as transformações de Lorentz Λ neste artigo é denotado . Este conjunto junto com a multiplicação de matrizes forma um grupo , neste contexto conhecido como grupo de Lorentz . Além disso, a expressão acima X · X é uma forma quadrática de assinatura (3,1) no espaço-tempo, e o grupo de transformações que deixa esta forma quadrática invariante é o grupo ortogonal indefinido O (3,1), um grupo de Lie . Em outras palavras, o grupo de Lorentz é O (3,1). Conforme apresentado neste artigo, quaisquer grupos de Lie mencionados são grupos de Lie de matriz . Nesse contexto, a operação de composição equivale à multiplicação da matriz . ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Da invariância do intervalo do espaço-tempo segue-se

${\ displaystyle \ eta = \ Lambda ^ {\ mathrm {T}} \ eta \ Lambda}$

e essa equação de matriz contém as condições gerais da transformação de Lorentz para garantir a invariância do intervalo do espaço-tempo. Tomando o determinante da equação usando a regra do produto dá imediatamente

${\ displaystyle [\ det (\ Lambda)] ^ {2} = 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ det (\ Lambda) = \ pm 1}$

Escrevendo a métrica de Minkowski como uma matriz de bloco e a transformação de Lorentz na forma mais geral,

${\ displaystyle \ eta = {\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {I} \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad \ Lambda = {\ begin {bmatrix} \ Gamma & - \ mathbf {a } ^ {\ mathrm {T}} \\ - \ mathbf {b} & \ mathbf {M} \ end {bmatrix}} \ ,,}$

realizar as multiplicações da matriz de bloco obtém condições gerais em Γ, a , b , M para garantir a invariância relativística. Poucas informações podem ser extraídas diretamente de todas as condições, porém um dos resultados

${\ displaystyle \ Gamma ^ {2} = 1 + \ mathbf {b} ^ {\ mathrm {T}} \ mathbf {b}}$

é útil; b ^T b ≥ 0 sempre então segue que

${\ displaystyle \ Gamma ^ {2} \ geq 1 \ quad \ Rightarrow \ quad \ Gamma \ leq -1 \ ,, \ quad \ Gamma \ geq 1}$

A desigualdade negativa pode ser inesperada, porque Γ multiplica a coordenada de tempo e isso tem um efeito na simetria de tempo . Se a igualdade positiva for mantida, então Γ é o fator de Lorentz.

O determinante e a desigualdade fornecem quatro maneiras de classificar as transformações de L orentz T ( aqui LT s por brevidade ). Qualquer LT particular tem apenas um sinal determinante e apenas uma desigualdade. Existem quatro conjuntos que incluem todos os pares possíveis dados pelas interseções (símbolo em forma de "n" que significa "e") desses conjuntos de classificação.

Cruzamento, ∩	LTs anti- crônicas (ou não-ortócronas) ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ downarrow} = \ {\ Lambda \,: \, \ Gamma \ leq -1 \}}$	LTs ortócrons ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow} = \ {\ Lambda \,: \, \ Gamma \ geq 1 \}}$
LTs adequados ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} = \ {\ Lambda \,: \, \ det (\ Lambda) = + 1 \}}$	LTs anticrônicos adequados ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ downarrow} = {\ mathcal {L}} _ {+} \ cap {\ mathcal {L}} ^ {\ downarrow}}$	LTs ortócronas adequadas ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow} = {\ mathcal {L}} _ {+} \ cap {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow}}$
LTs impróprios ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} = \ {\ Lambda \,: \, \ det (\ Lambda) = - 1 \}}$	LTs anticronos impróprios ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ downarrow} = {\ mathcal {L}} _ {-} \ cap {\ mathcal {L}} ^ {\ downarrow}}$	LTs ortócronas impróprias ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ uparrow} = {\ mathcal {L}} _ {-} \ cap {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow}}$

onde "+" e "-" indicam o sinal determinante, enquanto "↑" para ≥ e "↓" para ≤ denotam as desigualdades.

O grupo Lorentz completo se divide na união (símbolo em forma de "u" que significa "ou") de quatro conjuntos disjuntos

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow} \ cup {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ uparrow} \ cup {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ downarrow} \ cup {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ downarrow}}$

Um subgrupo de um grupo deve ser fechado sob a mesma operação do grupo (aqui, multiplicação de matrizes). Em outras palavras, para duas transformações de Lorentz Λ e L a partir de um conjunto particular, o composto de Lorentz transformações Λ G e G Λ deve estar no mesmo conjunto como Λ e G . Nem sempre é o caso: a composição de duas transformações de Lorentz anticronicas é ortócrona, e a composição de duas transformações de Lorentz impróprias é adequada. Em outras palavras, enquanto os conjuntos , , , e todos os subgrupos forma, os conjuntos contendo transformações impróprios e / ou antichronous sem transformações orthochronous adequadas suficientes (por exemplo , , ) não formam subgrupos. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} ^ {\ uparrow}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {0} = {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ uparrow} \ cup {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ downarrow}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {+} ^ {\ downarrow}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ downarrow}}$${\ displaystyle {\ mathcal {L}} _ {-} ^ {\ uparrow}}$

Transformações adequadas

Se um vetor covariante de Lorentz 4 é medido em um referencial inercial com resultado , e a mesma medição feita em outro referencial inercial (com a mesma orientação e origem) dá o resultado , os dois resultados serão relacionados por ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X '}$

${\ displaystyle X '= B (\ mathbf {v}) X}$

em que a matriz de aumento representa a transformação de Lorentz entre os quadros não ativado e inicializado e é a velocidade do quadro inicial visto a partir do quadro não ativado. A matriz é dada por ${\ displaystyle B (\ mathbf {v})}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

${\ displaystyle B (\ mathbf {v}) = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ gamma v_ {x} / c & - \ gamma v_ {y} / c & - \ gamma v_ {z} / c \\ - \ gamma v_ {x} / c & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} ^ {2}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x } v_ {y}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {x} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {y } / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {x}} {v ^ {2}}} & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} ^ {2}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {y} v_ {z}} {v ^ {2}}} \\ - \ gamma v_ {z} / c & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {x}} {v ^ {2}}} & (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} v_ {y}} {v ^ {2} }} & 1 + (\ gamma -1) {\ dfrac {v_ {z} ^ {2}} {v ^ {2}}} \ end {bmatrix}},}$

onde é a magnitude da velocidade e é o fator de Lorentz. Esta fórmula representa uma transformação passiva, pois descreve como as coordenadas da quantidade medida mudam do quadro não inicializado para o quadro inicializado. A transformação ativa é dada por . ${\ displaystyle v = {\ sqrt {v_ {x} ^ {2} + v_ {y} ^ {2} + v_ {z} ^ {2}}}}$${\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}}$${\ displaystyle B (- \ mathbf {v})}$

Se um quadro F ′ é aumentado com velocidade u em relação ao quadro F , e outro quadro F ′ ′ é aumentado com velocidade v em relação a F ′ , os reforços separados são

${\ displaystyle X '' = B (\ mathbf {v}) X '\ ,, \ quad X' = B (\ mathbf {u}) X}$

e a composição dos dois impulsos conecta as coordenadas em F ′ ′ e F ,

${\ displaystyle X '' = B (\ mathbf {v}) B (\ mathbf {u}) X \,}$

Transformações sucessivas atuam à esquerda. Se u e v são colineares (paralela ou antiparalela ao longo da mesma linha de movimento relativo), as matrizes de impulso comutar : B ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v ) . Essa transformação composta é outro boost, B ( w ) , onde w é colinear com u e v .

Se u e v não estiverem alinhados, mas em direções diferentes, a situação é consideravelmente mais complicado. Os impulsos de Lorentz ao longo de diferentes direções não comutam: B ( v ) B ( u ) e B ( u ) B ( v ) não são iguais. Além disso, cada uma dessas composições não é um impulso único, mas ainda são transformações de Lorentz, cada uma preservando o intervalo do espaço-tempo. Acontece que a composição de quaisquer dois impulsos de Lorentz é equivalente a um impulso seguido ou precedido por uma rotação nas coordenadas espaciais, na forma de R ( ρ ) B ( w ) ou B ( w ) R ( ρ ) . O w e w são velocidades compostas , enquanto ρ e ρ são parâmetros de rotação (por exemplo , variáveis ​​do ângulo do eixo , ângulos de Euler , etc.). A rotação em forma de matriz de bloco é simplesmente

${\ displaystyle \ quad R ({\ boldsymbol {\ rho}}) = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {R} ({\ boldsymbol {\ rho}}) \ end {bmatrix}} \, ,}$

onde R ( ρ ) é uma matriz de rotação 3d , que gira qualquer vetor 3d em um sentido (transformação ativa), ou equivalentemente o quadro de coordenadas no sentido oposto (transformação passiva). É não simples para conectar w e ρ (ou w e ρ ) para os parâmetros de boost originais u e v . Em uma composição de reforços, a matriz R é chamada de rotação de Wigner e dá origem à precessão de Thomas . Esses artigos fornecem as fórmulas explícitas para as matrizes de transformação compostas, incluindo expressões para w , ρ , w , ρ .

Neste artigo, a representação do ângulo do eixo é usada para ρ . A rotação é em torno de um eixo na direção de um vetor unitário e , através do ângulo θ (positivo no sentido anti-horário, negativo no sentido horário, de acordo com a regra da mão direita ). O "vetor eixo-ângulo"

${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ theta}} = \ theta \ mathbf {e}}$

servirá como uma abreviatura útil.

As rotações espaciais por si só também são transformações de Lorentz, elas deixam o intervalo do espaço-tempo invariante. Como impulsos, rotações sucessivas em torno de eixos diferentes não comutam. Ao contrário dos impulsos, a composição de quaisquer duas rotações é equivalente a uma única rotação. Algumas outras semelhanças e diferenças entre as matrizes de aumento e rotação incluem:

• inversos : B ( v ) ⁻¹ = B (- v ) (movimento relativo na direção oposta) e R ( θ ) ⁻¹ = R (- θ ) (rotação no sentido oposto sobre o mesmo eixo)
• transformação de identidade para nenhum movimento / rotação relativa: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• determinante da unidade : det ( B ) = det ( R ) = +1 . Esta propriedade os torna transformações adequadas.
• simetria da matriz : B é simétrica (igual a transpor ), enquanto R é não simétrico, mas ortogonal (transposta igual a inversa , R ^T = R ⁻¹ ).

A transformação de Lorentz apropriada mais geral Λ ( v , θ ) inclui um aumento e rotação juntos, e é uma matriz não simétrica. Como casos especiais, Λ ( 0 , θ ) = R ( θ ) e Λ ( v , 0 ) = B ( v ) . Uma forma explícita da transformação geral de Lorentz é difícil de escrever e não será fornecida aqui. No entanto, expressões de forma fechada para as matrizes de transformação serão fornecidas a seguir usando argumentos teóricos de grupo. Será mais fácil usar a parametrização de rapidez para impulsos, caso em que escreve-se Λ ( ζ , θ ) e B ( ζ ) .

O grupo de Lie SO ⁺ (3,1)

O conjunto de transformações

${\ displaystyle \ {B ({\ boldsymbol {\ zeta}}), R ({\ boldsymbol {\ theta}}), \ Lambda ({\ boldsymbol {\ zeta}}, {\ boldsymbol {\ theta}}) \}}$

com multiplicação de matrizes como a operação de composição forma um grupo, denominado "grupo de Lorentz restrito", e é o grupo ortogonal indefinido especial SO ⁺ (3,1). (O sinal de mais indica que ele preserva a orientação da dimensão temporal).

Para simplificar, observe o aumento infinitesimal de Lorentz na direção x (examinar um aumento em qualquer outra direção ou rotação em torno de qualquer eixo segue um procedimento idêntico). O impulso infinitesimal é um pequeno impulso longe da identidade, obtido pela expansão de Taylor da matriz de impulso para a primeira ordem sobre ζ = 0 ,

${\ displaystyle B_ {x} = I + \ zeta \ left. {\ frac {\ partial B_ {x}} {\ partial \ zeta}} \ right | _ {\ zeta = 0} + \ cdots}$

onde os termos de ordem superior não mostrados são desprezíveis porque ζ é pequeno, e B _x é simplesmente a matriz de reforço na direção x . A derivada da matriz é a matriz de derivadas (das entradas, em relação à mesma variável), e entende-se que as derivadas são encontradas primeiro e depois avaliadas em ζ = 0 ,

${\ displaystyle \ left. {\ frac {\ partial B_ {x}} {\ partial \ zeta}} \ right | _ {\ zeta = 0} = - K_ {x} \ ,.}$

Por enquanto, K _x é definido por este resultado (seu significado será explicado em breve). No limite de um número infinito de passos infinitamente pequenos, a transformação boost finita na forma de uma matriz exponencial é obtida.

${\ displaystyle B_ {x} = \ lim _ {N \ rightarrow \ infty} \ left (I - {\ frac {\ zeta} {N}} K_ {x} \ right) ^ {N} = e ^ {- \ zeta K_ {x}}}$

onde a definição de limite do exponencial foi usada (ver também caracterizações da função exponencial ). De forma geral

${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {\ zeta}}) = e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K}} \ ,, \ quad R ({\ boldsymbol {\ theta}} ) = e ^ {{\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}} \ ,.}$

O vetor eixo-ângulo θ e vetor rapidez ζ são ao todo seis variáveis ​​contínuas que constituem os parâmetros do grupo (nesta representação particular), e os geradores do grupo são K = ( K _x , K _y , K _z ) e J = ( J _x , J _y , J _z ) , cada vetor de matrizes com as formas explícitas

${\ displaystyle K_ {x} = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ ,, \ quad K_ {y} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \ \ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad K_ {z} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \ end {bmatrix}$

${\ displaystyle J_ {x} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\ end {bmatrix}} \ ,, \ quad J_ {y} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \ end {bmatrix}} \ ,, \ quad J_ {z} = {\ begin {bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \ bmatrix \ bmatrix \ end {bmatrix} }}}$

Todos eles são definidos de maneira análoga a K _x acima, embora os sinais de menos nos geradores de boost sejam convencionais. Fisicamente, os geradores do grupo Lorentz correspondem a simetrias importantes no espaço-tempo: J são os geradores de rotação que correspondem ao momento angular e K são os geradores de impulso que correspondem ao movimento do sistema no espaço-tempo. A derivada de qualquer curva suave C ( t ) com C (0) = I no grupo dependendo de algum parâmetro de grupo t com respeito a esse parâmetro de grupo, avaliado em t = 0 , serve como uma definição de um gerador de grupo correspondente G , e isso reflete uma transformação infinitesimal longe da identidade. A curva suave pode sempre ser considerada como um exponencial, já que o exponencial sempre mapeará G suavemente de volta ao grupo via t → exp ( tG ) para todo t ; esta curva produzirá G novamente quando diferenciada em t = 0 .

Expandir os exponenciais em sua série de Taylor obtém

${\ displaystyle B ({\ boldsymbol {\ zeta}}) = I- \ sinh \ zeta (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) + (\ cosh \ zeta -1) (\ mathbf {n} \ cdot \ mathbf {K}) ^ {2}}$

${\ displaystyle R ({\ boldsymbol {\ theta}}) = I + \ sin \ theta (\ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {J}) + (1- \ cos \ theta) (\ mathbf {e} \ cdot \ mathbf {J}) ^ {2} \ ,.}$

que reproduzem compactamente as matrizes de impulso e rotação, conforme apresentado na seção anterior.

Afirmou-se que a transformação de Lorentz geral adequada é um produto de um impulso e rotação. No nível infinitesimal , o produto

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ Lambda & = (I - {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + \ cdots) (I + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf { J} + \ cdots) \\ & = (I + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J} + \ cdots) (I - {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + \ cdots) \\ & = I - {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J} + \ cdots \ end {alinhado}}}$

é comutativo porque apenas termos lineares são necessários (produtos como ( θ · J ) ( ζ · K ) e ( ζ · K ) ( θ · J ) contam como termos de ordem superior e são desprezíveis). Tomando o limite como antes leva à transformação finita na forma de um exponencial

${\ displaystyle \ Lambda ({\ boldsymbol {\ zeta}}, {\ boldsymbol {\ theta}}) = e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}}.}$

O inverso também é verdadeiro, mas a decomposição de uma transformação geral de Lorentz finita em tais fatores não é trivial. Em particular,

${\ displaystyle e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}} \ neq e ^ {- {\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K}} e ^ {{\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J}},}$

porque os geradores não comutam. Para obter uma descrição de como encontrar os fatores de uma transformação geral de Lorentz em termos de um impulso e uma rotação em princípio (isso geralmente não produz uma expressão inteligível em termos dos geradores J e K ), consulte Rotação de Wigner . Se, por outro lado, a decomposição é dada em termos dos geradores, e se deseja encontrar o produto em termos dos geradores, então se aplica a fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff .

A álgebra de Lie assim (3,1)

Os geradores Lorentz podem ser somados ou multiplicados por números reais para obter mais geradores Lorentz. Em outras palavras, o conjunto de todos os geradores Lorentz

${\ displaystyle V = \ {{\ boldsymbol {\ zeta}} \ cdot \ mathbf {K} + {\ boldsymbol {\ theta}} \ cdot \ mathbf {J} \}}$

junto com as operações de adição e multiplicação de matriz ordinária de uma matriz por um número , forma um espaço vetorial sobre os números reais. Os geradores J _x , J _y , J _z , K _x , K _y , K _z formam um conjunto de base de V e os componentes dos vetores de eixo-ângulo e rapidez, θ _x , θ _y , θ _z , ζ _x , ζ _y , ζ _z , são as coordenadas de um gerador de Lorentz com relação a esta base.

Três das relações de comutação dos geradores Lorentz são

${\ displaystyle [J_ {x}, J_ {y}] = J_ {z} \ ,, \ quad [K_ {x}, K_ {y}] = - J_ {z} \ ,, \ quad [J_ {x }, K_ {y}] = K_ {z} \ ,,}$

onde o colchete [ A , B ] = AB - BA é conhecido como o comutador , e as outras relações podem ser encontradas tomando permutações cíclicas de componentes x, y, z (ou seja, mude x para y, y para z e z para x, repita).

Essas relações de comutação e o espaço vetorial dos geradores cumprem a definição da álgebra de Lie . Em resumo, uma álgebra de Lie é definida como um espaço vetorial V sobre um campo de números, e com uma operação binária [,] (chamada de colchete de Lie neste contexto) nos elementos do espaço vetorial, satisfazendo os axiomas de bilinearidade , alternatização e a identidade Jacobi . Aqui, a operação [,] é o comutador que satisfaz todos esses axiomas, o espaço vetorial é o conjunto de geradores de Lorentz V conforme dado anteriormente e o campo é o conjunto de números reais. ${\ displaystyle {\ mathfrak {so}} (3,1)}$

Terminologia de ligação usada em matemática e física: Um gerador de grupo é qualquer elemento da álgebra de Lie. Um parâmetro de grupo é um componente de um vetor de coordenadas que representa um elemento arbitrário da álgebra de Lie com respeito a alguma base. Uma base, então, é um conjunto de geradores sendo uma base da álgebra de Lie no sentido usual do espaço vetorial.

O mapa exponencial da álgebra de Lie para o grupo de Lie,

${\ displaystyle \ mathrm {exp} \,: \, {\ mathfrak {so}} (3,1) \ rightarrow \ mathrm {SO} (3,1),}$

fornece uma correspondência um-para-um entre vizinhanças suficientemente pequenas da origem da álgebra de Lie e vizinhanças do elemento de identidade do grupo de Lie. No caso do grupo Lorentz, o mapa exponencial é apenas o exponencial da matriz . Globalmente, o mapa exponencial não é um para um, mas no caso do grupo de Lorentz, é sobrejetivo (para). Portanto, qualquer elemento de grupo no componente conectado da identidade pode ser expresso como um exponencial de um elemento da álgebra de Lie.

Transformações impróprias

As transformações de Lorentz também incluem inversão de paridade

${\ displaystyle P = {\ begin {bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - \ mathbf {I} \ end {bmatrix}}}$

que nega todas as coordenadas espaciais apenas, e a reversão do tempo

${\ displaystyle T = {\ begin {bmatrix} -1 & 0 \\ 0 & \ mathbf {I} \ end {bmatrix}}}$

que nega a coordenada de tempo apenas, porque essas transformações deixam o intervalo do espaço-tempo invariante. Aqui I está a matriz de identidade 3d . Ambos são simétricos, são seus próprios inversos (ver involução (matemática) ), e cada um tem determinante -1. Esta última propriedade os torna transformações impróprias.

Se Λ é uma transformação de Lorentz ortócrona apropriada, então T Λ é anticronico impróprio, P Λ é ortócrono impróprio e TP Λ = PT Λ é anticronó adequado.

Grupo não homogêneo de Lorentz

Duas outras simetrias do espaço-tempo não foram consideradas. Para que o intervalo de espaço-tempo seja invariável, pode-se mostrar que é necessário e suficiente para que a transformação de coordenadas seja da forma

${\ displaystyle X '= \ Lambda X + C}$

onde C é uma coluna constante contendo traduções no tempo e no espaço. Se C ≠ 0, esta é uma transformação de Lorentz ou transformação de Poincaré não homogênea . Se C = 0, esta é uma transformação de Lorentz homogênea . As transformações de Poincaré não são tratadas mais detalhadamente neste artigo.

Formulação de tensor

Vetores contravariantes

Escrevendo a transformação geral da matriz de coordenadas como a equação da matriz

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} {x '} ^ {0} \\ {x'} ^ {1} \\ {x '} ^ {2} \\ {x'} ^ {3} \ end { bmatrix}} = {\ begin {bmatrix} {\ Lambda ^ {0}} _ {0} & {\ Lambda ^ {0}} _ {1} & {\ Lambda ^ {0}} _ {2} & { \ Lambda ^ {0}} _ {3} \\ {\ Lambda ^ {1}} _ {0} & {\ Lambda ^ {1}} _ {1} & {\ Lambda ^ {1}} _ {2 } & {\ Lambda ^ {1}} _ {3} \\ {\ Lambda ^ {2}} _ {0} & {\ Lambda ^ {2}} _ {1} & {\ Lambda ^ {2}} _ {2} & {\ Lambda ^ {2}} _ {3} \\ {\ Lambda ^ {3}} _ {0} & {\ Lambda ^ {3}} _ {1} & {\ Lambda ^ { 3}} _ {2} & {\ Lambda ^ {3}} _ {3} \\\ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x ^ {0} \\ x ^ {1} \\ x ^ {2} \\ x ^ {3} \ end {bmatrix}}}$

permite a transformação de outras grandezas físicas que não podem ser expressas como quatro vetores; por exemplo, tensores ou espinores de qualquer ordem no espaço-tempo 4d, a serem definidos. Na notação de índice de tensor correspondente , a expressão da matriz acima é

${\ displaystyle {x ^ {\ prime}} ^ {\ nu} = {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ mu} x ^ {\ mu},}$

onde os índices inferior e superior marcam os componentes covariantes e contravariantes, respectivamente, e a convenção de soma é aplicada. É uma convenção padrão usar índices gregos que assumem o valor 0 para componentes de tempo e 1, 2, 3 para componentes espaciais, enquanto índices latinos simplesmente assumem os valores 1, 2, 3, para componentes espaciais. Observe que o primeiro índice (leitura da esquerda para a direita) corresponde na notação da matriz a um índice de linha . O segundo índice corresponde ao índice da coluna.

A matriz de transformação é universal para todos os quatro vetores , não apenas para as coordenadas de espaço-tempo de 4 dimensões. Se A for qualquer vetor de quatro, então em notação de índice de tensor

${\ displaystyle {A ^ {\ prime}} ^ {\ nu} = {\ Lambda ^ {\ nu}} _ {\ mu} A ^ {\ mu} \,}$

Alternativamente, alguém escreve

${\ displaystyle A ^ {\ nu '} = {\ Lambda ^ {\ nu'}} _ {\ mu} A ^ {\ mu} \,}$

em que os índices com primed denotam os índices de A no quadro com primed. Essa notação reduz o risco de esgotar o alfabeto grego pela metade.

Para um objeto geral de n componentes, pode-se escrever

${\ displaystyle {X '} ^ {\ alpha} = {\ Pi (\ Lambda) ^ {\ alpha}} _ {\ beta} X ^ {\ beta} \ ,,}$

onde Π é a adequada representação do grupo de Lorentz , um n × n matriz para cada Λ . Nesse caso, os índices não devem ser considerados índices do espaço-tempo (às vezes chamados de índices de Lorentz) e variam de 1 a n . Por exemplo, se X for um bispinor , os índices são chamados de índices de Dirac .

Vetores covariantes

Existem também quantidades vetoriais com índices covariantes. Eles são geralmente obtidos de seus objetos correspondentes com índices contravariantes pela operação de redução de um índice ; por exemplo,

${\ displaystyle x _ {\ nu} = \ eta _ {\ mu \ nu} x ^ {\ mu},}$

onde η é o tensor métrico . (O artigo vinculado também fornece mais informações sobre o que a operação de aumentar e diminuir os índices realmente é matematicamente.) O inverso dessa transformação é dado por

${\ displaystyle x ^ {\ mu} = \ eta ^ {\ mu \ nu} x _ {\ nu},}$

onde, quando visto como matrizes, η ^μν é o inverso de η _μν . Acontece que η ^μν = η _μν . Isso é conhecido como aumento de um índice . Para transformar um vetor covariante A _μ , primeiro aumente seu índice, depois transforme-o de acordo com a mesma regra dos 4 vetores contravariantes e, finalmente, diminua o índice;

${\ displaystyle {A '} _ {\ nu} = \ eta _ {\ rho \ nu} {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {\ sigma} \ eta ^ {\ mu \ sigma} A _ {\ mu} .}$

Mas

${\ displaystyle \ eta _ {\ rho \ nu} {\ Lambda ^ {\ rho}} _ {\ sigma} \ eta ^ {\ mu \ sigma} = {\ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) ^ {\ mu}} _ {\ nu},}$

I. e., É o ( µ , ν ) -componente da transformação de Lorentz inversa . Um define (como uma questão de notação),

${\ displaystyle {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} \ equiv {\ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) ^ {\ mu}} _ {\ nu},}$

e pode nesta notação escrever

${\ displaystyle {A '} _ {\ nu} = {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} A _ {\ mu}.}$

Agora, para uma sutileza. O somatório implícito no lado direito de

${\ displaystyle {A '} _ {\ nu} = {\ Lambda _ {\ nu}} ^ {\ mu} A _ {\ mu} = {\ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) ^ {\ mu}} _ {\ nu} A _ {\ mu}}$

está executando sobre um índice de linha da matriz que representa Λ ⁻¹ . Assim, em termos de matrizes, essa transformação deve ser pensada como a transposta inversa de Λ agindo no vetor coluna A _μ . Ou seja, em notação de matriz pura,

${\ displaystyle A '= \ left (\ Lambda ^ {- 1} \ right) ^ {\ mathrm {T}} A.}$

Isso significa exatamente que os vetores covariantes (considerados como matrizes de coluna) se transformam de acordo com a representação dual da representação padrão do grupo de Lorentz. Esta noção se generaliza para representações gerais, simplesmente substitua Λ por Π (Λ) .

Tensores

Se A e B são operadores lineares nos espaços vetoriais U e V , então um operador linear A ⊗ B pode ser definido no produto tensorial de U e V , denotado U ⊗ V de acordo com

A partir disto, é imediatamente evidente que, se u e v são de quatro vectores em V , em seguida, u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ V transformadas quanto

O segundo passo usa a bilinearidade do produto tensorial e o último passo define um tensor 2 na forma do componente, ou melhor, apenas renomeia o tensor u ⊗ v .

Essas observações generalizam de maneira óbvia para mais fatores, e usando o fato de que um tensor geral em um espaço vetorial V pode ser escrito como a soma de um coeficiente (componente!) Vezes os produtos tensoriais de vetores de base e covetores de base, chega-se a a lei de transformação para qualquer tensor quantidade T . É dado por

onde Λ _{χ ′} ^ψ é definido acima. Esta forma pode geralmente ser reduzida à forma para objetos gerais de n componentes dados acima com uma única matriz ( Π (Λ) ) operando em vetores de coluna. Esta última forma é às vezes preferida; por exemplo, para o tensor de campo eletromagnético.

Transformação do campo eletromagnético

As transformações de Lorentz também podem ser usadas para ilustrar que o campo magnético B e o campo elétrico E são simplesmente aspectos diferentes da mesma força - a força eletromagnética , como uma consequência do movimento relativo entre cargas elétricas e observadores. O fato de que o campo eletromagnético mostra efeitos relativísticos torna-se claro realizando um experimento mental simples.

• Um observador mede uma carga em repouso no quadro F. O observador detectará um campo elétrico estático. Como a carga é estacionária neste referencial, não há corrente elétrica, portanto o observador não observa nenhum campo magnético.
• O outro observador no referencial F ′ se move na velocidade v em relação a F e a carga. Este observador vê um campo elétrico diferente porque a carga se move na velocidade - v em seu referencial de repouso. O movimento da carga corresponde a uma corrente elétrica e, portanto, o observador no quadro F ′ também vê um campo magnético.

Os campos elétrico e magnético se transformam de maneira diferente a partir do espaço e do tempo, mas exatamente da mesma maneira que o momento angular relativístico e o vetor de impulso.

O tensor de força do campo eletromagnético é dado por

${\ displaystyle F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & - {\ frac {1} {c}} E_ {x} & - {\ frac {1} {c}} E_ {y} & - {\ frac {1} {c}} E_ {z} \\ {\ frac {1} {c}} E_ {x} & 0 & -B_ {z} & B_ {y} \\ {\ frac {1} {c}} E_ {y} & B_ {z} & 0 & -B_ {x} \\ {\ frac {1} {c}} E_ {z} & - B_ {y} & B_ {x} & 0 \ end {bmatrix} } {\ text {(unidades SI, assinatura}} (+, -, -, -) {\ text {)}}.}$

em unidades SI . Na relatividade, o sistema gaussiano de unidades é frequentemente preferido às unidades SI, mesmo em textos cuja principal escolha de unidades são unidades SI, porque nele o campo elétrico E e a indução magnética B têm as mesmas unidades fazendo o aparecimento do campo eletromagnético tensor mais natural. Considere um aumento de Lorentz na direção x . É dado por

${\ displaystyle {\ Lambda ^ {\ mu}} _ {\ nu} = {\ begin {bmatrix} \ gamma & - \ gamma \ beta & 0 & 0 \\ - \ gamma \ beta & \ gamma & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\\ end {bmatrix}}, \ qquad F ^ {\ mu \ nu} = {\ begin {bmatrix} 0 & E_ {x} & E_ {y} & E_ {z} \\ - E_ {x} & 0 & B_ {z} & -B_ {y} \\ - E_ {y} & - B_ {z} & 0 & B_ {x} \\ - E_ {z} & B_ {y} & - B_ {x} & 0 \ end {bmatrix}} {\ text { (Unidades gaussianas, assinatura}} (-, +, +, +) {\ text {)}},}$

onde o tensor de campo é exibido lado a lado para referência mais fácil possível nas manipulações abaixo.

A lei geral de transformação (T3) torna-se

${\ displaystyle F ^ {\ mu '\ nu'} = {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu'}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu}.}$

Para o campo magnético obtém-se

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} B_ {x '} & = F ^ {2'3'} = {\ Lambda ^ {2}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {3}} _ {\ nu } F ^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {2}} _ {2} {\ Lambda ^ {3}} _ {3} F ^ {23} = 1 \ vezes 1 \ vezes B_ {x} \\ & = B_ {x}, \\ B_ {y '} & = F ^ {3'1'} = {\ Lambda ^ {3}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {1}} _ { \ nu} F ^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {3}} _ {3} {\ Lambda ^ {1}} _ {\ nu} F ^ {3 \ nu} = {\ Lambda ^ { 3}} _ {3} {\ Lambda ^ {1}} _ {0} F ^ {30} + {\ Lambda ^ {3}} _ {3} {\ Lambda ^ {1}} _ {1} F ^ {31} \\ & = 1 \ times (- \ beta \ gamma) (- E_ {z}) + 1 \ times \ gamma B_ {y} = \ gamma B_ {y} + \ beta \ gamma E_ {z } \\ & = \ gamma \ left (\ mathbf {B} - {\ boldsymbol {\ beta}} \ times \ mathbf {E} \ right) _ {y} \\ B_ {z '} & = F ^ { 1'2 '} = {\ Lambda ^ {1}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {2}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {1}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {\ mu 2} = {\ Lambda ^ {1}} _ {0} {\ Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {02} + {\ Lambda ^ {1}} _ {1} {\ Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {12} \\ & = (- \ gamma \ beta) \ vezes 1 \ vezes E_ {y} + \ gamma \ times 1 \ times B_ {z} = \ gamma B_ {z} - \ beta \ gamma E_ {y} \\ & = \ gamma \ left (\ mathbf {B} - {\ boldsymbol { \ beta}} \ times \ mathbf {E} \ right) _ {z} \ end {alinhados}}}$

Para os resultados do campo elétrico

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} E_ {x '} & = F ^ {0'1'} = {\ Lambda ^ {0}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {1}} _ {\ nu } F ^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {0}} _ {1} {\ Lambda ^ {1}} _ {0} F ^ {10} + {\ Lambda ^ {0}} _ { 0} {\ Lambda ^ {1}} _ {1} F ^ {01} \\ & = (- \ gamma \ beta) (- \ gamma \ beta) (- E_ {x}) + \ gamma \ gamma E_ {x} = - \ gamma ^ {2} \ beta ^ {2} (E_ {x}) + \ gamma ^ {2} E_ {x} = E_ {x} (1- \ beta ^ {2}) \ gama ^ {2} \\ & = E_ {x}, \\ E_ {y '} & = F ^ {0'2'} = {\ Lambda ^ {0}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ { 2}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {0}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {\ mu 2} = {\ Lambda ^ {0}} _ {0} {\ Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {02} + {\ Lambda ^ {0}} _ {1} {\ Lambda ^ {2}} _ {2} F ^ {12} \\ & = \ gamma \ times 1 \ times E_ {y} + (- \ beta \ gamma) \ times 1 \ times B_ {z} = \ gamma E_ {y} - \ beta \ gamma B_ {z} \\ & = \ gamma \ left (\ mathbf {E} + {\ boldsymbol {\ beta}} \ times \ mathbf {B} \ right) _ {y} \\ E_ {z ' } & = F ^ {0'3 '} = {\ Lambda ^ {0}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {3}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu} = {\ Lambda ^ {0}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {3}} _ {3} F ^ {\ mu 3} = {\ Lambda ^ {0}} _ {0} {\ Lambda ^ {3}} _ {3} F ^ {03} + {\ Lambda ^ {0}} _ {1} {\ Lambda ^ {3}} _ {3} F ^ {13} \\ & = \ gamma \ times 1 \ times E_ {z} - \ beta \ gamma \ times 1 \ times (- B_ {y}) = \ gamma E_ {z} + \ beta \ gamma B_ {y} \\ & = \ gamma \ left (\ mathbf {E} + {\ boldsymbol {\ beta}} \ times \ mathbf {B } \ right) _ {z}. \ end {alinhado}}}$

Aqui, β = ( β , 0, 0) é usado. Esses resultados podem ser resumidos por

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {E} _ {\ parallel '} & = \ mathbf {E} _ {\ parallel} \\\ mathbf {B} _ {\ parallel'} & = \ mathbf { B} _ {\ parallel} \\\ mathbf {E} _ {\ bot '} & = \ gamma \ left (\ mathbf {E} _ {\ bot} + {\ boldsymbol {\ beta}} \ times \ mathbf {B} _ {\ bot} \ right) = \ gamma \ left (\ mathbf {E} + {\ boldsymbol {\ beta}} \ times \ mathbf {B} \ right) _ {\ bot}, \\\ mathbf {B} _ {\ bot '} & = \ gamma \ left (\ mathbf {B} _ {\ bot} - {\ boldsymbol {\ beta}} \ times \ mathbf {E} _ {\ bot} \ right ) = \ gamma \ left (\ mathbf {B} - {\ boldsymbol {\ beta}} \ times \ mathbf {E} \ right) _ {\ bot}, \ end {alinhado}}}$

e são independentes da assinatura métrica. Para unidades SI, substitua E → E ⁄ c . Misner, Thorne & Wheeler (1973) referem-se a esta última forma como a vista 3 + 1 em oposição à vista geométrica representada pela expressão tensorial

${\ displaystyle F ^ {\ mu '\ nu'} = {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu'}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu},}$

e enfatize a facilidade com que resultados difíceis de obter usando a visualização 3 + 1 podem ser obtidos e compreendidos. Somente objetos que têm propriedades de transformação de Lorentz bem definidas (na verdade, em qualquer transformação de coordenadas suave) são objetos geométricos. Na visão geométrica, o campo eletromagnético é um objeto geométrico de seis dimensões no espaço-tempo, em oposição a dois campos de três vetores interdependentes, mas separados, no espaço e no tempo . Os campos E (sozinho) e B (sozinho) não têm propriedades de transformação de Lorentz bem definidas. Os fundamentos matemáticos são as equações (T1) e (T2) que geram imediatamente (T3) . Deve-se notar que os tensores preparados e não acionados referem-se ao mesmo evento no espaço-tempo . Assim, a equação completa com a dependência do espaço-tempo é

${\ displaystyle F ^ {\ mu '\ nu'} \ left (x '\ right) = {\ Lambda ^ {\ mu'}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu '}} _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu} \ left (\ Lambda ^ {- 1} x '\ right) = {\ Lambda ^ {\ mu'}} _ {\ mu} {\ Lambda ^ {\ nu '} } _ {\ nu} F ^ {\ mu \ nu} (x).}$

A contração do comprimento tem um efeito na densidade de carga ρ e na densidade de corrente J , e a dilatação do tempo tem um efeito na taxa de fluxo de carga (corrente), então as distribuições de carga e corrente devem se transformar de uma maneira relacionada sob um impulso. Acontece que eles se transformam exatamente como os quatro vetores de espaço-tempo e energia-momento,

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} \ mathbf {j} '& = \ mathbf {j} - \ gamma \ rho v \ mathbf {n} + \ left (\ gamma -1 \ right) (\ mathbf {j} \ cdot \ mathbf {n}) \ mathbf {n} \\\ rho '& = \ gamma \ left (\ rho - \ mathbf {j} \ cdot {\ frac {v \ mathbf {n}} {c ^ { 2}}} \ direita), \ end {alinhado}}}$

ou, na visão geométrica mais simples,

${\ displaystyle j ^ {\ mu ^ {\ prime}} = {\ Lambda ^ {\ mu '}} _ {\ mu} j ^ {\ mu}.}$

Diz-se que a densidade de carga se transforma como o componente de tempo de um vetor quádruplo. É um escalar rotacional. A densidade de corrente é um vetor triplo.

As equações de Maxwell são invariantes sob transformações de Lorentz.

Spinors

A equação (T1) permanece inalterada para qualquer representação do grupo de Lorentz, incluindo a representação bispinor . Em (T2) um simplesmente substitui todas as ocorrências de Λ pela representação bispinor Π (Λ) ,

A equação acima poderia, por exemplo, ser a transformação de um estado no espaço Fock descrevendo dois elétrons livres.

Transformação de campos gerais

Um geral não interagem estado de multi-partículas (estado espaço Fock) em teoria quântica transformadas de acordo com a regra

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & U (\ Lambda, a) \ Psi _ {p_ {1} \ sigma _ {1} n_ {1}; p_ {2} \ sigma _ {2} n_ {2}; \ cdots} \\ = {} & e ^ {- ia _ {\ mu} \ left [(\ Lambda p_ {1}) ^ {\ mu} + (\ Lambda p_ {2}) ^ {\ mu} + \ cdots \ right]} {\ sqrt {\ frac {(\ Lambda p_ {1}) ^ {0} (\ Lambda p_ {2}) ^ {0} \ cdots} {p_ {1} ^ {0} p_ {2 } ^ {0} \ cdots}}} \ left (\ sum _ {\ sigma _ {1} '\ sigma _ {2}' \ cdots} D _ {\ sigma _ {1} '\ sigma _ {1}} ^ {(j_ {1})} \ left [W (\ Lambda, p_ {1}) \ right] D _ {\ sigma _ {2} '\ sigma _ {2}} ^ {(j_ {2})} \ left [W (\ Lambda, p_ {2}) \ right] \ cdots \ right) \ Psi _ {\ Lambda p_ {1} \ sigma _ {1} 'n_ {1}; \ Lambda p_ {2} \ sigma _ {2} 'n_ {2}; \ cdots}, \ end {alinhado}}}$

( 1 )

onde W (Λ, p ) é a rotação de Wigner e D ^{( j )} é a representação (2 j + 1) -dimensional de SO (3) .

Veja também

Notas de rodapé

Notas

Referências

Sites

• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. (1996), A History of Special Relativity
• Brown, Harvey R. (2003), Michelson, FitzGerald e Lorentz: as origens da relatividade revisitada

Papéis

Livros

Leitura adicional

• Ernst, A .; Hsu, J.-P. (2001), "Primeira proposta da velocidade universal da luz por Voigt 1887" (PDF) , Chinese Journal of Physics , 39 (3): 211–230, Bibcode : 2001ChJPh..39..211E , arquivado do original ( PDF) em 16/07/2011
• Thornton, Stephen T .; Marion, Jerry B. (2004), Dinâmica clássica de partículas e sistemas (5ª ed.), Belmont, [CA]: Brooks / Cole, pp. 546–579, ISBN 978-0-534-40896-1
• Voigt, Woldemar (1887), "Über das Dopplerche princip", Nachrichten von der Königlicher Gesellschaft den Wissenschaft zu Göttingen , 2 : 41–51

links externos

• Derivação das transformações de Lorentz . Esta página da web contém uma derivação mais detalhada da transformação de Lorentz com ênfase especial nas propriedades do grupo.
• The Paradox of Special Relativity . Esta página da web apresenta um problema, cuja solução é a transformação de Lorentz, que é apresentada graficamente na próxima página.
• Relatividade - um capítulo de um livro online
• Simulador de Relatividade Especial Warp . Um programa de computador que demonstra as transformações de Lorentz em objetos do cotidiano.
• Clipe de animação no YouTube visualizando a transformação de Lorentz.
• Vídeo da MinutePhysics no YouTube explicando e visualizando a transformação de Lorentz com um diagrama mecânico de Minkowski
• Gráfico interativo no Desmos (gráficos) mostrando as transformações de Lorentz com um diagrama virtual de Minkowski
• Gráfico interativo no Desmos mostrando as transformações de Lorentz com pontos e hipérboles
• Lorentz Frames animados de John de Pillis. Animações em Flash online de quadros de Galileu e de Lorentz, vários paradoxos, EM fenómenos ondulatórios, etc .