Teoria M - M-theory

A teoria M é uma teoria da física que unifica todas as versões consistentes da teoria das supercordas . Edward Witten primeiro conjeturou a existência de tal teoria em uma conferência de teoria das cordas na University of Southern California na primavera de 1995. O anúncio de Witten deu início a uma enxurrada de atividades de pesquisa conhecida como a segunda revolução das supercordas .

Antes do anúncio de Witten, os teóricos das cordas identificaram cinco versões da teoria das supercordas. Embora essas teorias parecessem, a princípio, ser muito diferentes, o trabalho de muitos físicos mostrou que as teorias estavam relacionadas de maneiras intrincadas e não triviais. Os físicos descobriram que as teorias aparentemente distintas poderiam ser unificados por transformações matemáticas chamados S-dualidade e T-dualidade . A conjectura de Witten baseava-se em parte na existência dessas dualidades e em parte na relação das teorias das cordas com uma teoria de campo chamada supergravidade em onze dimensões .

Embora uma formulação completa da teoria M não seja conhecida, tal formulação deve descrever objetos bidimensionais e pentadimensionais chamados branas e deve ser aproximada por uma supergravidade de onze dimensões em baixas energias . As tentativas modernas de formular a teoria M são normalmente baseadas na teoria da matriz ou na correspondência AdS / CFT .

De acordo com Witten, M deve significar "mágica", "mistério" ou "membrana" de acordo com o gosto, e o verdadeiro significado do título deve ser decidido quando uma formulação mais fundamental da teoria for conhecida.

As investigações da estrutura matemática da teoria-M geraram resultados teóricos importantes na física e na matemática. Mais especulativamente, a teoria M pode fornecer uma estrutura para o desenvolvimento de uma teoria unificada de todas as forças fundamentais da natureza. As tentativas de conectar a teoria M ao experimento normalmente se concentram na compactação de suas dimensões extras para construir modelos candidatos do mundo quadridimensional, embora até agora nenhum tenha sido verificado para dar origem à física, conforme observado em experimentos de física de alta energia .

Fundo

Gravidade quântica e cordas

Um segmento aberto ondulado e um laço fechado de corda.
Os objetos fundamentais da teoria das cordas são cordas abertas e fechadas .

Um dos problemas mais profundos da física moderna é o problema da gravidade quântica . O entendimento atual da gravidade baseia-se Albert Einstein 's teoria geral da relatividade , que é formulado no âmbito da física clássica . No entanto, as forças não gravitacionais são descritas dentro da estrutura da mecânica quântica , um formalismo radicalmente diferente para descrever fenômenos físicos com base na probabilidade . Uma teoria quântica da gravidade é necessária para reconciliar a relatividade geral com os princípios da mecânica quântica, mas surgem dificuldades quando se tenta aplicar as prescrições usuais da teoria quântica à força da gravidade.

A teoria das cordas é uma estrutura teórica que tenta reconciliar a gravidade e a mecânica quântica. Na teoria das cordas, as partículas pontuais da física das partículas são substituídas por objetos unidimensionais chamados cordas . A teoria das cordas descreve como as cordas se propagam pelo espaço e interagem umas com as outras. Em uma determinada versão da teoria das cordas, existe apenas um tipo de corda, que pode parecer um pequeno laço ou segmento de uma corda comum e pode vibrar de maneiras diferentes. Em escalas de distância maiores que a escala da corda, uma corda se parecerá com uma partícula comum, com sua massa , carga e outras propriedades determinadas pelo estado vibracional da corda. Desta forma, todas as diferentes partículas elementares podem ser vistas como cordas vibrantes. Um dos estados vibracionais de uma corda dá origem ao gráviton , uma partícula da mecânica quântica que carrega a força gravitacional.

Existem várias versões da teoria das cordas: tipo I , tipo IIA , tipo IIB e dois sabores da teoria das cordas heterótica ( SO (32) e E 8 × E 8 ). As diferentes teorias permitem diferentes tipos de cordas, e as partículas que surgem em baixas energias exibem diferentes simetrias . Por exemplo, a teoria do tipo I inclui cordas abertas (que são segmentos com pontos finais) e cordas fechadas (que formam loops fechados), enquanto os tipos IIA e IIB incluem apenas cordas fechadas. Cada uma dessas cinco teorias das cordas surge como um caso limite especial da teoria-M. Essa teoria, como suas predecessoras da teoria das cordas, é um exemplo de teoria quântica da gravidade. Ele descreve uma força como a conhecida força gravitacional sujeita às regras da mecânica quântica.

Número de dimensões

Uma superfície tubular e uma curva unidimensional correspondente.
Um exemplo de compactação : em grandes distâncias, uma superfície bidimensional com uma dimensão circular parece unidimensional.

Na vida cotidiana, existem três dimensões familiares de espaço: altura, largura e profundidade. A teoria geral da relatividade de Einstein trata o tempo como uma dimensão equivalente às três dimensões espaciais; na relatividade geral, o espaço e o tempo não são modelados como entidades separadas, mas, em vez disso, são unificados em um espaço - tempo quadridimensional , três dimensões espaciais e uma dimensão temporal. Nessa estrutura, o fenômeno da gravidade é visto como uma consequência da geometria do espaço-tempo.

Apesar de o universo ser bem descrito por um espaço-tempo quadridimensional, existem várias razões pelas quais os físicos consideram teorias em outras dimensões. Em alguns casos, ao modelar o espaço-tempo em um número diferente de dimensões, uma teoria se torna mais matematicamente tratável e pode-se realizar cálculos e obter percepções gerais com mais facilidade. Existem também situações em que teorias em duas ou três dimensões do espaço-tempo são úteis para descrever fenômenos na física da matéria condensada . Finalmente, existem cenários em que poderia realmente haver mais de quatro dimensões do espaço-tempo que, no entanto, conseguiram escapar da detecção.

Uma característica notável da teoria das cordas e da teoria M é que essas teorias requerem dimensões extras de espaço-tempo para sua consistência matemática. Na teoria das cordas, o espaço-tempo é dez-dimensional (nove dimensões espaciais e uma dimensão de tempo),enquanto na teoria M é onze dimensões (dez dimensões espaciais e uma dimensão de tempo). Para descrever fenômenos físicos reais usando essas teorias, deve-se, portanto, imaginar cenários nos quais essas dimensões extras não seriam observadas em experimentos.

Compactificação é uma forma de modificar o número de dimensões em uma teoria física. Na compactação, algumas das dimensões extras são consideradas "fechadas" para formar círculos. No limite em que essas dimensões recurvadas tornam-se muito pequenas, obtém-se uma teoria em que o espaço-tempo tem efetivamente um número menor de dimensões. Uma analogia padrão para isso é considerar um objeto multidimensional, como uma mangueira de jardim. Se a mangueira for vista de uma distância suficiente, parece ter apenas uma dimensão, seu comprimento. Porém, ao se aproximar da mangueira, descobrimos que ela contém uma segunda dimensão, sua circunferência. Assim, uma formiga rastejando na superfície da mangueira se moveria em duas dimensões.

Dualidades

Um diagrama que indica as relações entre a teoria M e as cinco teorias das cordas.
Um diagrama das dualidades da teoria das cordas. Setas amarelas indicam dualidade-S . As setas azuis indicam T-dualidade . Essas dualidades podem ser combinadas para obter equivalências de qualquer uma das cinco teorias com a teoria-M.

As teorias que surgem como limites diferentes da teoria M acabam se relacionando de maneiras altamente não triviais. Uma das relações que podem existir entre essas diferentes teorias físicas é chamada de S-dualidade . Esta é uma relação que diz que uma coleção de partículas de interação forte em uma teoria pode, em alguns casos, ser vista como uma coleção de partículas de interação fraca em uma teoria completamente diferente. A grosso modo, diz-se que uma coleção de partículas está interagindo fortemente se elas se combinam e decaem freqüentemente e interagindo fracamente se o fazem com pouca frequência. A teoria das cordas do tipo I acabou sendo equivalente pela dualidade S à teoria das cordas heterótica SO (32) . Da mesma forma, a teoria das cordas do tipo IIB está relacionada a si mesma de uma maneira não trivial pela dualidade-S.

Outra relação entre as diferentes teorias das cordas é a dualidade-T . Aqui, consideramos as strings se propagando em torno de uma dimensão circular extra. A dualidade-T afirma que uma corda que se propaga em torno de um círculo de raio R é equivalente a uma corda que se propaga em torno de um círculo de raio 1 / R no sentido de que todas as quantidades observáveis ​​em uma descrição são identificadas com as quantidades na descrição dual. Por exemplo, uma corda tem impulso à medida que se propaga em torno de um círculo e também pode enrolar ao redor do círculo uma ou mais vezes. O número de vezes que a corda se enrola em um círculo é chamado de número de enrolamento . Se uma corda tem momento p e número de enrolamento n em uma descrição, ela terá momento ne número de enrolamento p na descrição dual. Por exemplo, a teoria das cordas do tipo IIA é equivalente à teoria das cordas do tipo IIB por meio da dualidade-T, e as duas versões da teoria das cordas heteróticas também estão relacionadas pela dualidade-T.

Em geral, o termo dualidade se refere a uma situação em que dois sistemas físicos aparentemente diferentes acabam sendo equivalentes de uma maneira não trivial. Se duas teorias estão relacionadas por uma dualidade, isso significa que uma teoria pode ser transformada de alguma forma, de modo que acaba se parecendo com a outra. As duas teorias são então ditas como duais entre si sob a transformação. Em outras palavras, as duas teorias são descrições matematicamente diferentes dos mesmos fenômenos.

Supersimetria

Outra ideia teórica importante que desempenha um papel na teoria-M é a supersimetria . Esta é uma relação matemática que existe em certas teorias físicas entre uma classe de partículas chamadas bósons e uma classe de partículas chamadas férmions . Grosso modo, os férmions são os constituintes da matéria, enquanto os bósons medeiam as interações entre as partículas. Em teorias com supersimetria, cada bóson tem uma contraparte que é um férmion e vice-versa. Quando a supersimetria é imposta como uma simetria local, obtém-se automaticamente uma teoria da mecânica quântica que inclui a gravidade. Essa teoria é chamada de teoria da supergravidade .

Uma teoria das cordas que incorpora a ideia de supersimetria é chamada de teoria das supercordas . Existem várias versões diferentes da teoria das supercordas, todas incluídas na estrutura da teoria-M. Em baixas energias , as teorias das supercordas são aproximadas pela supergravidade em dez dimensões do espaço-tempo. Da mesma forma, a teoria M é aproximada em baixas energias pela supergravidade em onze dimensões.

Branes

Na teoria das cordas e teorias relacionadas, como as teorias da supergravidade, uma brana é um objeto físico que generaliza a noção de uma partícula pontual para dimensões superiores. Por exemplo, uma partícula pontual pode ser vista como uma brana de dimensão zero, enquanto uma corda pode ser vista como uma brana de dimensão um. Também é possível considerar branas de dimensões superiores. Na dimensão p , são chamadas de p -branas. Branas são objetos dinâmicos que podem se propagar no espaço-tempo de acordo com as regras da mecânica quântica. Eles podem ter massa e outros atributos, como carga. Uma p -brana varre um volume ( p  + 1) -dimensional no espaço-tempo chamado de volume mundial . Os físicos freqüentemente estudam campos análogos ao campo eletromagnético que vivem no volume mundial de uma brana. A palavra brana vem da palavra "membrana", que se refere a uma brana bidimensional.

Na teoria das cordas, os objetos fundamentais que dão origem às partículas elementares são as cordas unidimensionais. Embora os fenômenos físicos descritos pela teoria M ainda sejam mal compreendidos, os físicos sabem que a teoria descreve branas bidimensionais e pentadimensionais. Grande parte da pesquisa atual na teoria M tenta entender melhor as propriedades dessas branas.

História e desenvolvimento

Teoria de Kaluza-Klein

No início do século 20, físicos e matemáticos, incluindo Albert Einstein e Hermann Minkowski, foram os pioneiros no uso da geometria quadridimensional para descrever o mundo físico. Esses esforços culminaram na formulação da teoria geral da relatividade de Einstein, que relaciona a gravidade à geometria do espaço-tempo quadridimensional.

O sucesso da relatividade geral levou a esforços para aplicar geometria dimensional superior para explicar outras forças. Em 1919, o trabalho de Theodor Kaluza mostrou que, ao passar para o espaço-tempo de cinco dimensões, pode-se unificar a gravidade e o eletromagnetismo em uma única força. Essa ideia foi aprimorada pelo físico Oskar Klein , que sugeriu que a dimensão adicional proposta por Kaluza poderia assumir a forma de um círculo com raio em torno de 10-30 cm.

A teoria Kaluza-Klein e as tentativas subsequentes de Einstein de desenvolver a teoria do campo unificado nunca foram completamente bem-sucedidas. Em parte, isso ocorreu porque a teoria de Kaluza-Klein previu uma partícula (o radion ), que nunca foi mostrada, e em parte porque não foi capaz de prever corretamente a razão entre a massa de um elétron e sua carga. Além disso, essas teorias estavam sendo desenvolvidas exatamente quando outros físicos começavam a descobrir a mecânica quântica, que acabaria se mostrando bem-sucedida na descrição de forças conhecidas como o eletromagnetismo, bem como novas forças nucleares que estavam sendo descobertas ao longo da metade do século. Assim, levaria quase cinquenta anos para que a ideia de novas dimensões fosse levada a sério novamente.

Trabalho inicial sobre supergravidade

Um retrato de Edward Witten.
Na década de 1980, Edward Witten contribuiu para a compreensão das teorias da supergravidade . Em 1995, ele introduziu a teoria M, desencadeando a segunda revolução das supercordas .

Novos conceitos e ferramentas matemáticas forneceram novos insights sobre a relatividade geral, dando origem a um período entre os anos 1960 e 1970, agora conhecido como a idade de ouro da relatividade geral . Em meados da década de 1970, os físicos começaram a estudar teorias de dimensões superiores combinando a relatividade geral com a supersimetria, as chamadas teorias da supergravidade.

A relatividade geral não coloca nenhum limite nas dimensões possíveis do espaço-tempo. Embora a teoria seja tipicamente formulada em quatro dimensões, pode-se escrever as mesmas equações para o campo gravitacional em qualquer número de dimensões. A supergravidade é mais restritiva porque coloca um limite superior no número de dimensões. Em 1978, o trabalho de Werner Nahm mostrou que a dimensão máxima do espaço-tempo em que se pode formular uma teoria supersimétrica consistente é onze. No mesmo ano, Eugene Cremmer , Bernard Julia e Joël Scherk da École Normale Supérieure mostraram que a supergravidade não apenas permite até onze dimensões, mas é de fato mais elegante neste número máximo de dimensões.

Inicialmente, muitos físicos esperavam que, ao compactar a supergravidade em onze dimensões, fosse possível construir modelos realistas de nosso mundo quadridimensional. A esperança era que tais modelos forneceriam uma descrição unificada das quatro forças fundamentais da natureza: eletromagnetismo, as forças nucleares fortes e fracas e a gravidade. O interesse pela supergravidade em onze dimensões logo diminuiu à medida que várias falhas neste esquema foram descobertas. Um dos problemas era que as leis da física parecem distinguir entre horário e anti-horário, um fenômeno conhecido como quiralidade . Edward Witten e outros observaram que essa propriedade quiralidade não pode ser facilmente derivada compactando de onze dimensões.

Na primeira revolução das supercordas em 1984, muitos físicos se voltaram para a teoria das cordas como uma teoria unificada da física de partículas e da gravidade quântica. Ao contrário da teoria da supergravidade, a teoria das cordas foi capaz de acomodar a quiralidade do modelo padrão e forneceu uma teoria da gravidade consistente com os efeitos quânticos. Outra característica da teoria das cordas que atraiu muitos físicos nas décadas de 1980 e 1990 foi seu alto grau de exclusividade. Nas teorias de partículas comuns, pode-se considerar qualquer coleção de partículas elementares cujo comportamento clássico é descrito por um Lagrangiano arbitrário . Na teoria das cordas, as possibilidades são muito mais restritas: na década de 1990, os físicos argumentaram que havia apenas cinco versões supersimétricas consistentes da teoria.

Relações entre as teorias das cordas

Embora houvesse apenas um punhado de teorias de supercordas consistentes, permaneceu um mistério por que não havia apenas uma formulação consistente. No entanto, à medida que os físicos começaram a examinar a teoria das cordas mais de perto, eles perceberam que essas teorias estão relacionadas de maneiras intrincadas e não triviais.

No final dos anos 1970, Claus Montonen e David Olive conjeturaram uma propriedade especial de certas teorias físicas. Uma versão afiada de sua conjectura diz respeito a uma teoria chamada teoria N = 4 supersimétrica de Yang-Mills , que descreve partículas teóricas formalmente semelhantes aos quarks e glúons que constituem os núcleos atômicos . A força com a qual as partículas dessa teoria interagem é medida por um número denominado constante de acoplamento . O resultado de Montonen e Olive, agora conhecido como dualidade Montonen-Olive , afirma que a teoria supersimétrica de Yang-Mills N = 4 com constante de acoplamento g é equivalente à mesma teoria com constante de acoplamento 1 / g . Em outras palavras, um sistema de partículas de interação forte (grande constante de acoplamento) tem uma descrição equivalente como um sistema de partículas de interação fraca (pequena constante de acoplamento) e vice-versa por momento de spin.

Na década de 1990, vários teóricos generalizaram a dualidade Montonen-Olive para a relação de dualidade S, que conecta diferentes teorias das cordas. Ashoke Sen estudou a dualidade S no contexto de cordas heteróticas em quatro dimensões. Chris Hull e Paul Townsend mostraram que a teoria das cordas do tipo IIB com uma grande constante de acoplamento é equivalente por meio da dualidade S à mesma teoria com pequena constante de acoplamento. Os teóricos também descobriram que diferentes teorias das cordas podem ser relacionadas pela T-dualidade. Essa dualidade implica que as cordas que se propagam em geometrias de espaço-tempo completamente diferentes podem ser fisicamente equivalentes.

Membranas e Fivebranes

A teoria das cordas estende a física de partículas comum, substituindo as partículas pontuais de dimensão zero por objetos unidimensionais chamados cordas. No final da década de 1980, era natural que os teóricos tentassem formular outras extensões nas quais as partículas são substituídas por supermembranas bidimensionais ou por objetos de dimensões superiores chamados branas. Esses objetos foram considerados já em 1962 por Paul Dirac , e foram reconsiderados por um pequeno, mas entusiástico grupo de físicos na década de 1980.

A supersimetria restringe severamente o número possível de dimensões de uma brana. Em 1987, Eric Bergshoeff, Ergin Sezgin e Paul Townsend mostraram que a supergravidade onze dimensões inclui branas bidimensionais. Intuitivamente, esses objetos parecem folhas ou membranas que se propagam no espaço-tempo de onze dimensões. Pouco depois dessa descoberta, Michael Duff , Paul Howe, Takeo Inami e Kellogg Stelle consideraram uma compactação particular da supergravidade de onze dimensões com uma das dimensões enrolada em um círculo. Nesse cenário, pode-se imaginar a membrana envolvendo a dimensão circular. Se o raio do círculo for suficientemente pequeno, essa membrana se parecerá com uma corda no espaço-tempo de dez dimensões. Na verdade, Duff e seus colaboradores mostraram que essa construção reproduz exatamente as cordas que aparecem na teoria das supercordas do tipo IIA.

Em 1990, Andrew Strominger publicou um resultado semelhante que sugeria que cordas de interação forte em dez dimensões podem ter uma descrição equivalente em termos de branas de cinco dimensões de interação fraca. Inicialmente, os físicos não conseguiram provar essa relação por duas razões importantes. Por um lado, a dualidade Montonen-Olive ainda não estava comprovada e, portanto, a conjectura de Strominger era ainda mais tênue. Por outro lado, havia muitos problemas técnicos relacionados às propriedades quânticas das branas de cinco dimensões. O primeiro desses problemas foi resolvido em 1993, quando Ashoke Sen estabeleceu que certas teorias físicas exigem a existência de objetos com carga elétrica e magnética que foram previstos pelo trabalho de Montonen e Olive.

Apesar desse progresso, a relação entre as cordas e as branas pentadimensionais permaneceu conjectural porque os teóricos foram incapazes de quantizar as branas. A partir de 1991, uma equipe de pesquisadores incluindo Michael Duff, Ramzi Khuri, Jianxin Lu e Ruben Minasian considerou uma compactificação especial da teoria das cordas em que quatro das dez dimensões se enrolam. Se considerarmos uma brana pentadimensional envolvida em torno dessas dimensões extras, a brana se parece com uma corda unidimensional. Desta forma, a relação conjecturada entre cordas e branas foi reduzida a uma relação entre cordas e cordas, e esta última poderia ser testada usando técnicas teóricas já estabelecidas.

Segunda revolução da supercorda

Um diagrama em forma de estrela com os vários limites da teoria M rotulados em seus seis vértices.
Uma ilustração esquemática da relação entre a teoria M, as cinco teorias das supercordas e a supergravidade em onze dimensões . A região sombreada representa uma família de diferentes cenários físicos possíveis na teoria-M. Em certos casos limites correspondentes às cúspides, é natural descrever a física usando uma das seis teorias ali rotuladas.

Falando na conferência de teoria das cordas na University of Southern California em 1995, Edward Witten, do Institute for Advanced Study, fez a surpreendente sugestão de que todas as cinco teorias das supercordas eram na verdade apenas diferentes casos limitantes de uma única teoria em onze dimensões do espaço-tempo. O anúncio de Witten reuniu todos os resultados anteriores sobre a dualidade S e T e o aparecimento de branas bidimensionais e pentadimensionais na teoria das cordas. Nos meses que se seguiram ao anúncio de Witten, centenas de novos artigos apareceram na Internet confirmando que a nova teoria envolvia membranas de uma maneira importante. Hoje, essa enxurrada de trabalho é conhecida como a segunda revolução das supercordas .

Um dos desenvolvimentos importantes após o anúncio de Witten foi o trabalho de Witten em 1996 com o teórico das cordas Petr Hořava . Witten e Hořava estudaram a teoria-M em uma geometria especial do espaço-tempo com duas componentes de limite de dez dimensões. Seu trabalho lançou luz sobre a estrutura matemática da teoria M e sugeriu possíveis maneiras de conectar a teoria M à física do mundo real.

Origem do termo

Inicialmente, alguns físicos sugeriram que a nova teoria era uma teoria fundamental das membranas, mas Witten era cético quanto ao papel das membranas na teoria. Em um artigo de 1996, Hořava e Witten escreveram

Como foi proposto que a teoria onze dimensões é uma teoria da supermembrana, mas há algumas razões para duvidar dessa interpretação, não nos comprometeremos a chamá-la de teoria M, deixando para o futuro a relação de M com as membranas.

Na ausência de uma compreensão do verdadeiro significado e estrutura da teoria M, Witten sugeriu que o M deveria representar "mágica", "mistério" ou "membrana" de acordo com o gosto, e o verdadeiro significado do título deveria ser decidido quando uma formulação mais fundamental da teoria for conhecida. Anos depois, ele diria: "Achei que meus colegas entenderiam que isso realmente significa membrana. Infelizmente, isso confundiu as pessoas".

Teoria da matriz

Modelo de matriz BFSS

Em matemática, uma matriz é uma matriz retangular de números ou outros dados. Em física, um modelo de matriz é um tipo particular de teoria física cuja formulação matemática envolve a noção de uma matriz de uma maneira importante. Um modelo matricial descreve o comportamento de um conjunto de matrizes dentro da estrutura da mecânica quântica.

Um exemplo importante de modelo matricial é o modelo matricial BFSS proposto por Tom Banks , Willy Fischler , Stephen Shenker e Leonard Susskind em 1997. Essa teoria descreve o comportamento de um conjunto de nove grandes matrizes. Em seu artigo original, esses autores mostraram, entre outras coisas, que o limite de baixa energia desse modelo de matriz é descrito pela supergravidade onze dimensões. Esses cálculos os levaram a propor que o modelo matricial BFSS é exatamente equivalente à teoria-M. O modelo de matriz BFSS pode, portanto, ser usado como um protótipo para uma formulação correta da teoria M e uma ferramenta para investigar as propriedades da teoria M em um ambiente relativamente simples.

Geometria não comutativa

Em geometria, geralmente é útil introduzir coordenadas . Por exemplo, a fim de estudar a geometria do plano euclidiano , uma define as coordenadas x e y como as distâncias entre qualquer ponto no plano e um par de eixos . Na geometria comum, as coordenadas de um ponto são números, portanto, podem ser multiplicadas e o produto de duas coordenadas não depende da ordem de multiplicação. Ou seja, xy = yx . Essa propriedade da multiplicação é conhecida como lei comutativa , e essa relação entre a geometria e a álgebra comutativa de coordenadas é o ponto de partida para grande parte da geometria moderna.

A geometria não comutativa é um ramo da matemática que tenta generalizar essa situação. Em vez de trabalhar com números comuns, considera-se alguns objetos semelhantes, como matrizes, cuja multiplicação não satisfaz a lei comutativa (ou seja, objetos para os quais xy não é necessariamente igual a yx ). Imagina-se que esses objetos não comutáveis ​​são coordenadas em alguma noção mais geral de "espaço" e prova teoremas sobre esses espaços generalizados explorando a analogia com a geometria ordinária.

Em um artigo de 1998, Alain Connes , Michael R. Douglas e Albert Schwarz mostraram que alguns aspectos dos modelos de matriz e da teoria M são descritos por uma teoria quântica de campo não comutativa , um tipo especial de teoria física em que as coordenadas no espaço-tempo fazem não satisfaz a propriedade de comutatividade. Isso estabeleceu uma ligação entre os modelos de matriz e a teoria M, por um lado, e a geometria não comutativa, por outro. Isso rapidamente levou à descoberta de outras ligações importantes entre a geometria não comutativa e várias teorias físicas.

Correspondência AdS / CFT

Visão geral

Um disco dividido em triângulos e quadriláteros que se tornam cada vez menores perto do círculo de fronteira.
Uma tesselação do plano hiperbólico por triângulos e quadrados

A aplicação da mecânica quântica a objetos físicos como o campo eletromagnético, que se estendem no espaço e no tempo, é conhecida como teoria quântica de campos . Na física de partículas, as teorias quânticas de campo formam a base para nossa compreensão das partículas elementares, que são modeladas como excitações nos campos fundamentais. As teorias quânticas de campo também são usadas em toda a física da matéria condensada para modelar objetos parecidos com partículas chamados quasipartículas .

Uma abordagem para formular a teoria M e estudar suas propriedades é fornecida pela correspondência anti-de Sitter / teoria de campo conforme (AdS / CFT) . Proposta por Juan Maldacena no final de 1997, a correspondência AdS / CFT é um resultado teórico que implica que a teoria M é, em alguns casos, equivalente a uma teoria quântica de campos. Além de fornecer informações sobre a estrutura matemática das cordas e da teoria M, a correspondência AdS / CFT lançou luz sobre muitos aspectos da teoria quântica de campos em regimes onde as técnicas de cálculo tradicionais são ineficazes.

Na correspondência AdS / CFT, a geometria do espaço-tempo é descrita em termos de uma certa solução de vácuo da equação de Einstein chamada de espaço anti-de Sitter . Em termos muito elementares, o espaço anti-de Sitter é um modelo matemático de espaço-tempo no qual a noção de distância entre pontos (a métrica ) é diferente da noção de distância na geometria euclidiana comum . Ele está intimamente relacionado ao espaço hiperbólico , que pode ser visto como um disco, conforme ilustrado à esquerda. Esta imagem mostra um mosaico de um disco por triângulos e quadrados. Pode-se definir a distância entre os pontos desse disco de forma que todos os triângulos e quadrados tenham o mesmo tamanho e o contorno externo circular esteja infinitamente distante de qualquer ponto do interior.

Um cilindro formado pelo empilhamento de cópias do disco ilustrado na figura anterior.
O espaço anti-de Sitter tridimensional é como uma pilha de discos hiperbólicos , cada um representando o estado do universo em um determinado momento. Pode-se estudar as teorias da gravidade quântica , como a teoria M no espaço-tempo resultante .

Agora imagine uma pilha de discos hiperbólicos em que cada disco representa o estado do universo em um determinado momento. O objeto geométrico resultante é o espaço anti-de Sitter tridimensional. Parece um cilindro sólido no qual qualquer seção transversal é uma cópia do disco hiperbólico. O tempo corre ao longo da direção vertical nesta imagem. A superfície deste cilindro desempenha um papel importante na correspondência AdS / CFT. Tal como acontece com o plano hiperbólico, o espaço anti-de Sitter é curvo de tal forma que qualquer ponto no interior está infinitamente longe dessa superfície limite.

Esta construção descreve um universo hipotético com apenas duas dimensões espaciais e uma dimensão de tempo, mas pode ser generalizado para qualquer número de dimensões. Na verdade, o espaço hiperbólico pode ter mais de duas dimensões e pode-se "empilhar" cópias do espaço hiperbólico para obter modelos dimensionais mais elevados do espaço anti-de Sitter.

Uma característica importante do espaço anti-de Sitter é seu limite (que se parece com um cilindro no caso do espaço anti-de Sitter tridimensional). Uma propriedade dessa fronteira é que, dentro de uma pequena região da superfície em torno de qualquer ponto, ela se parece com o espaço de Minkowski , o modelo de espaço-tempo usado na física não gravitacional. Pode-se, portanto, considerar uma teoria auxiliar na qual "espaço-tempo" é dado pela fronteira do espaço anti-de Sitter. Esta observação é o ponto de partida para a correspondência AdS / CFT, que afirma que a fronteira do espaço anti-de Sitter pode ser considerada como o "espaço-tempo" para uma teoria quântica de campos. A alegação é que esta teoria quântica de campo é equivalente à teoria gravitacional no espaço anti-de Sitter no sentido de que há um "dicionário" para traduzir entidades e cálculos em uma teoria em suas contrapartes na outra teoria. Por exemplo, uma única partícula na teoria gravitacional pode corresponder a alguma coleção de partículas na teoria da fronteira. Além disso, as previsões nas duas teorias são quantitativamente idênticas, de modo que se duas partículas têm 40 por cento de chance de colidir na teoria gravitacional, então as coleções correspondentes na teoria de fronteira também teriam 40 por cento de chance de colidir.

6D (2,0) teoria de campo superconformal

Uma coleção de diagramas de nós no avião.
A teoria (2,0) de seis dimensões tem sido usada para entender os resultados da teoria matemática dos nós .

Uma realização particular da correspondência AdS / CFT afirma que a teoria M no espaço do produto AdS 7 × S 4 é equivalente à chamada teoria (2,0) na fronteira de seis dimensões. Aqui, "(2,0)" refere-se ao tipo particular de supersimetria que aparece na teoria. Neste exemplo, o espaço-tempo da teoria gravitacional é efetivamente sete-dimensional (daí a notação AdS 7 ), e há quatro dimensões " compactas " adicionais (codificadas pelo fator S 4 ). No mundo real, o espaço-tempo é quadridimensional, pelo menos macroscopicamente, portanto, esta versão da correspondência não fornece um modelo realista da gravidade. Da mesma forma, a teoria dual não é um modelo viável de qualquer sistema do mundo real, pois descreve um mundo com seis dimensões do espaço-tempo.

No entanto, a teoria (2,0) tem se mostrado importante para estudar as propriedades gerais das teorias quânticas de campo. Na verdade, esta teoria inclui muitas teorias de campo quânticas eficazes matematicamente interessantes e aponta para novas dualidades relacionadas com essas teorias. Por exemplo, Luis Alday, Davide Gaiotto e Yuji Tachikawa mostraram que, ao compactar esta teoria em uma superfície , obtém-se uma teoria quântica de campo quadridimensional, e há uma dualidade conhecida como correspondência AGT que relaciona a física desta teoria com certos conceitos físicos associados à própria superfície. Mais recentemente, os teóricos ampliaram essas idéias para estudar as teorias obtidas compactando em três dimensões.

Além de suas aplicações na teoria quântica de campos, a teoria (2,0) gerou resultados importantes em matemática pura . Por exemplo, a existência da (2,0) -teoria foi usada por Witten para dar uma explicação "física" para uma relação conjectural em matemática chamada de correspondência geométrica de Langlands . Em um trabalho subsequente, Witten mostrou que a (2,0) -teoria poderia ser usada para entender um conceito em matemática chamado homologia de Khovanov . Desenvolvido por Mikhail Khovanov por volta de 2000, a homologia de Khovanov fornece uma ferramenta na teoria dos nós , o ramo da matemática que estuda e classifica as diferentes formas dos nós. Outra aplicação da (2,0) -teoria em matemática é o trabalho de Davide Gaiotto , Greg Moore e Andrew Neitzke , que usou ideias físicas para derivar novos resultados na geometria hyperkähler .

Teoria de campo superconformal ABJM

Outra realização da correspondência AdS / CFT afirma que a teoria M em AdS 4 × S 7 é equivalente a uma teoria quântica de campos chamada teoria ABJM em três dimensões. Nesta versão da correspondência, sete das dimensões da teoria M estão enroladas, deixando quatro dimensões não compactas. Como o espaço-tempo de nosso universo é quadridimensional, esta versão da correspondência fornece uma descrição um pouco mais realista da gravidade.

A teoria ABJM que aparece nesta versão da correspondência também é interessante por uma variedade de razões. Introduzido por Aharony, Bergman, Jafferis e Maldacena, está intimamente relacionado a outra teoria quântica de campos chamada teoria de Chern-Simons . A última teoria foi popularizada por Witten no final dos anos 1980 por causa de suas aplicações à teoria do nó. Além disso, a teoria ABJM serve como um modelo simplificado semi-realista para resolver problemas que surgem na física da matéria condensada.

Fenomenologia

Visão geral

Visualização de uma superfície matemática complexa com muitas convoluções e auto intersecções.
Uma seção transversal de um coletor de Calabi – Yau

Além de ser uma ideia de considerável interesse teórico, a teoria M fornece uma estrutura para a construção de modelos da física do mundo real que combinam a relatividade geral com o modelo padrão da física de partículas . A fenomenologia é o ramo da física teórica em que os físicos constroem modelos realistas da natureza a partir de ideias teóricas mais abstratas. A fenomenologia das cordas é a parte da teoria das cordas que tenta construir modelos realistas da física de partículas com base nas cordas e na teoria-M.

Normalmente, esses modelos são baseados na ideia de compactação. Começando com o espaço-tempo de dez ou onze dimensões das cordas ou teoria M, os físicos postulam uma forma para as dimensões extras. Ao escolher essa forma de forma adequada, eles podem construir modelos mais ou menos semelhantes ao modelo padrão da física de partículas, juntamente com partículas não descobertas adicionais, geralmente parceiros supersimétricos para análogos de partículas conhecidas. Uma maneira popular de derivar a física realista da teoria das cordas é começar com a teoria heterótica em dez dimensões e assumir que as seis dimensões extras do espaço-tempo têm a forma de uma variedade Calabi-Yau de seis dimensões . Este é um tipo especial de objeto geométrico em homenagem aos matemáticos Eugenio Calabi e Shing-Tung Yau . As variedades Calabi – Yau oferecem muitas maneiras de extrair física realista da teoria das cordas. Outros métodos semelhantes podem ser usados ​​para construir modelos com a física semelhante, em certa medida, ao nosso mundo quadridimensional baseado na teoria M.

Em parte por causa de dificuldades teóricas e matemáticas e em parte por causa das energias extremamente altas (além do que é tecnologicamente possível no futuro previsível) necessárias para testar essas teorias experimentalmente, não há até agora nenhuma evidência experimental que apontaria inequivocamente para qualquer um desses modelos sendo uma correta descrição fundamental da natureza. Isso levou alguns na comunidade a criticar essas abordagens de unificação e a questionar o valor da pesquisa contínua sobre esses problemas.

Compactificação em manifolds G 2

Em uma abordagem da fenomenologia da teoria M, os teóricos assumem que as sete dimensões extras da teoria M têm a forma de uma variedade G 2 . Este é um tipo especial de forma de sete dimensões construída pelo matemático Dominic Joyce, da Universidade de Oxford . Essas variedades G 2 ainda são mal compreendidas matematicamente, e esse fato tornou difícil para os físicos desenvolverem completamente essa abordagem da fenomenologia.

Por exemplo, físicos e matemáticos freqüentemente assumem que o espaço tem uma propriedade matemática chamada suavidade , mas essa propriedade não pode ser assumida no caso de uma variedade G 2 se alguém deseja recuperar a física de nosso mundo quadridimensional. Outro problema é que variedades G 2 não são variedades complexas , então os teóricos são incapazes de usar ferramentas do ramo da matemática conhecido como análise complexa . Finalmente, existem muitas questões em aberto sobre a existência, singularidade e outras propriedades matemáticas das variedades G 2 , e os matemáticos não têm uma maneira sistemática de pesquisar essas variedades.

Teoria Heterótica M

Por causa das dificuldades com variedades G 2 , a maioria das tentativas de construir teorias realistas da física com base na teoria M adotou uma abordagem mais indireta para compactar o espaço-tempo de onze dimensões. Uma abordagem, iniciada por Witten, Hořava, Burt Ovrut e outros, é conhecida como teoria M heterótica. Nesta abordagem, pode-se imaginar que uma das onze dimensões da teoria M tem a forma de um círculo. Se este círculo for muito pequeno, o espaço-tempo torna-se efetivamente dez-dimensional. Supõe-se então que seis das dez dimensões formam uma variedade Calabi-Yau. Se essa variedade de Calabi-Yau também for considerada pequena, resta uma teoria em quatro dimensões.

A teoria M heterótica foi usada para construir modelos de cosmologia de brana em que se pensa que o universo observável existe em uma brana em um espaço ambiente de dimensão superior. Também gerou teorias alternativas do universo primitivo que não se baseiam na teoria da inflação cósmica .

Referências

Notas

Citações

Bibliografia

Popularização

Veja também

links externos

  • Superstringtheory.com  - O "Site Oficial da Teoria das Cordas", criado por Patricia Schwarz. Referências sobre teoria das cordas e teoria-M para leigos e especialistas.
  • Not Even Wrong  - blog de Peter Woit sobre física em geral e teoria das cordas em particular.