Razão giromagnética - Gyromagnetic ratio

Na física , a razão giromagnética (também conhecida como razão magnetogírica em outras disciplinas) de uma partícula ou sistema é a razão de seu momento magnético para seu momento angular , e é freqüentemente denotada pelo símbolo $γ$ , gama. Sua unidade SI é o radiano por segundo por tesla (rad⋅s ⁻¹ ⋅T ⁻¹ ) ou, equivalentemente, o coulomb por quilograma (C⋅kg ⁻¹ ).

O termo "razão giromagnética" é freqüentemente usado como sinônimo de uma quantidade diferente, mas intimamente relacionada, o fator $g$ . O fator $g$ , ao contrário da razão giromagnética, é adimensional .

Para um corpo rotativo clássico

Considere um corpo carregado girando em torno de um eixo de simetria. De acordo com as leis da física clássica, ele tem um momento de dipolo magnético e um momento angular devido à sua rotação. Pode ser mostrado que, desde que sua carga e massa sejam distribuídas de forma idêntica (por exemplo, ambas distribuídas uniformemente), sua razão giromagnética é

{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {q} {\, 2m \,}}}

em que $q$ é a carga e $m$ é a sua massa. A derivação desta relação é a seguinte

É suficiente demonstrar isso para um anel circular infinitesimalmente estreito dentro do corpo, pois o resultado geral segue de uma integração . Suponha que o anel tenha raio $r$ , área $A$ = $π$ $r$ ² , massa $m$ , carga $q$ e momento angular $L$ = $mvr$ . Então, a magnitude do momento de dipolo magnético é

{\ displaystyle \ mu = I \, A = {\ frac {q \, v} {\, 2 \ pi \, r \,}} \; \ pi \, r ^ {2} = {\ frac {q } {\, 2m \,}} \, m \, v \, r = {\ frac {q} {\, 2m \,}} L ~.}

Para um elétron isolado

Um elétron isolado tem um momento angular e um momento magnético resultante de seu spin . Embora o spin de um elétron às vezes seja visualizado como uma rotação literal em torno de um eixo, não pode ser atribuído à massa distribuída de forma idêntica à carga. A relação acima clássica não se sustenta, dando o resultado errado por um fator adimensional chamado o elétron $g$ factor , denotada $g$ _e (ou apenas $g$ quando não há nenhum risco de confusão):

{\ displaystyle | \ gamma _ {\ mathrm {e}} | = {\ frac {| -e |} {\, 2m _ {\ mathrm {e}} \,}} \, g _ {\ mathrm {e}} = {\ frac {\, g _ {\ mathrm {e}} \ mu _ {\ mathrm {B}} \,} {\ hbar}} ~,}

onde $μ$ _B é o magneto de Bohr .

A razão giromagnética para o elétron autofirante é duas vezes maior do que o valor para um elétron em órbita.

No quadro da mecânica quântica relativística,

{\ displaystyle g _ {\ mathrm {e}} = 2 \, \ left (1 + {\ frac {\ alpha} {\, 2 \ pi \,}} + \ cdots \ right) ~,}

onde está a constante de estrutura fina . Aqui, as pequenas correções para o resultado relativístico $g$ = 2 vêm dos cálculos da teoria quântica de campo do momento de dipolo magnético anômalo . O fator $g do$ elétron é conhecido com doze casas decimais medindo o momento magnético do elétron em um cíclotron de um elétron: ${\ displaystyle \ alpha}$

{\ displaystyle g _ {\ mathrm {e}} = 2.0023193043617 (15).}

A razão giromagnética do elétron é dada pelo NIST como

{\ displaystyle \ left | \ gamma _ {\ mathrm {e}} \ right | = 1,760 \, 859 \, 644 (11) \ vezes 10 ^ {11} \, \ mathrm {\, {\ frac {rad} {\, ​​s \ cdot T \,}}}}

{\ displaystyle \ left | {\ frac {\ gamma _ {\ mathrm {e}}} {\, 2 \ pi \,}} \ right | = 28 \, 024.951 \, 64 (17) \ mathrm {\, {\ tfrac {MHz} {T}}}.}

O fator $g$ e $γ$ estão em excelente acordo com a teoria; consulte Testes de precisão do QED para obter detalhes.

Fator giromagnético não como consequência da relatividade

Visto que um fator giromagnético igual a 2 segue da equação de Dirac, é um equívoco frequente pensar que um fator $g$ 2 é uma consequência da relatividade; não é. O fator 2 pode ser obtido a partir da linearização da equação de Schrödinger e da equação relativística de Klein-Gordon (que leva à de Dirac). Em ambos os casos, um 4- espinor é obtido e para ambas as linearizações o fator $g$ é igual a 2; Portanto, o fator 2 é uma consequência da dependência da equação de onda da primeira (e não da segunda) derivada com respeito ao espaço e ao tempo.

Rotação física 1/2partículas que não podem ser descritas pela equação de Dirac de medida linear satisfazem a equação de Klein-Gordon medida estendida pelo $g$ $e / 4 σ μν F μν$ termo de acordo com,

{\ displaystyle \ left [\, \ left (\ partial ^ {\ mu} \, u + i \, e \, A ^ {\ mu} \ right) \, \ left (\ partial _ {\ mu} + i \, e \, A _ {\ mu} \ right) + g \, {\ frac {e} {\, 4 \,}} \, \ sigma ^ {\ mu \ nu} \, F _ {\ mu \ nu} + m ^ {2} \, \ right] \; \ psi \; = \; 0 ~, \ quad g \ neq 2 ~.}

Aqui, $1 / 2 σ μν$ e $F μν$ representam os geradores do grupo Lorentz no espaço de Dirac e o tensor eletromagnético , respectivamente, enquanto $A μ$ é o quatro potencial eletromagnético . Um exemplo para tal partícula, é o spin 1/2 companheiro para girar 3/2no espaço de representação $D (½, 1) \oplus D (1, ½)$ do grupo de Lorentz . Esta partícula demonstrou ser caracterizada por $g$ = -+2/3 e, conseqüentemente, comportar-se como um férmion verdadeiramente quadrático.

Para um núcleo

O sinal da razão giromagnética,

y

, determina a sensação de precessão. Enquanto os momentos magnéticos (as setas pretas) são orientados da mesma forma para ambos os casos de

y

, a precessão ocorre em direções opostas. Spin e momento magnético estão na mesma direção para

y

> 0 (como para prótons).

Prótons , nêutrons e muitos núcleos carregam spin nuclear , o que dá origem a uma razão giromagnética como acima. A relação é convencionalmente escrita em termos de massa e carga do próton, mesmo para nêutrons e outros núcleos, por uma questão de simplicidade e consistência. A fórmula é:

{\ displaystyle \ gamma _ {\ rm {n}} = {\ frac {e} {\, 2m_ {p} \,}} \, g _ {\ rm {n}} = g _ {\ rm {n}} \, {\ frac {\, \ mu _ {\ mathrm {N}} \,} {\ hbar}} ~,}

onde está o magneto nuclear , e é o fator $g$ do nucléon ou núcleo em questão. A proporção de igual a é 7,622593285 (47) MHz / T. ${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {N}}}$ ${\ displaystyle g _ {\ rm {n}}}$ ${\ displaystyle \, {\ frac {\ gamma _ {n}} {\, 2 \ pi \, g _ {\ rm {n}} \,}} \ ,,}$ ${\ displaystyle \ mu _ {\ mathrm {N}} / h}$

A razão giromagnética de um núcleo desempenha um papel na ressonância magnética nuclear (NMR) e na imagem por ressonância magnética (MRI). Esses procedimentos baseiam-se no fato de que a magnetização em massa devido aos spins nucleares precessam em um campo magnético a uma taxa chamada frequência de Larmor , que é simplesmente o produto da razão giromagnética com a força do campo magnético. Com este fenômeno, o sinal de $γ$ determina o sentido (sentido horário vs anti-horário) de precessão.

Os núcleos mais comuns, como ¹ H e ¹³ C, têm razões giromagnéticas positivas. Os valores aproximados para alguns núcleos comuns são fornecidos na tabela abaixo.

Núcleo	${\ displaystyle \ gamma _ {n}}$ (10 ⁶ rad⋅s ⁻¹ ⋅T ⁻¹ )	${\ displaystyle \ gamma _ {n} / (2 \ pi)}$ (MHz⋅T ⁻¹ )
¹ H	267,522 187 44 (11)	42,577 478 518 (18)
¹ H (em H ₂ O)	267.515 3151 (29)	42,576 384 74 (46)
² H	41.065	6,536
³ H	285.3508	45,415
³ ele	-203,789 4569 (24)	-32,434 099 42 (38)
⁷ Li	103.962	16.546
¹³ C	67,2828	10,7084
¹⁴ N	19,331	3.077
¹⁵ N	-27,116	-4,316
¹⁷ O	-36,264	-5,772
¹⁹ F	251.815	40.078
²³ Na	70,761	11,262
²⁷ Al	69,763	11,103
²⁹ Si	-53,190	-8,465
³¹ P	108,291	17,235
⁵⁷ Fe	8,681	1.382
⁶³ Cu	71,118	11,319
⁶⁷ Zn	16.767	2.669
¹²⁹ Xe	-73.997	-11,777

Precessão de Larmor

Qualquer sistema livre com uma razão giromagnética constante, como um sistema rígido de cargas, um núcleo ou um elétron , quando colocado em um campo magnético externo $B$ (medido em teslas) que não está alinhado com seu momento magnético , terá precessão em um frequência $f$ (medida em hertz ), que é proporcional ao campo externo:

{\ displaystyle f = {\ frac {\ gamma} {2 \ pi}} B.}

Por este motivo, valores de $γ$ /2 $π$ , em unidades de hertz por tesla (Hz / T), são freqüentemente citados em vez de $γ$ .

Derivação heurística

A derivação desta relação é a seguinte: Primeiro devemos provar que o torque resultante da sujeição de um momento magnético a um campo magnético é A identidade da forma funcional dos campos elétricos e magnéticos estacionários levou à definição da magnitude do dipolo magnético momento igualmente bem ou da seguinte maneira, imitando o momento $p$ de um dipolo elétrico: O dipolo magnético pode ser representado por uma agulha de uma bússola com cargas magnéticas fictícias nos dois pólos e distância vetorial entre os pólos sob a influência de o campo magnético da terra Pela mecânica clássica, o torque nesta agulha é Mas, como afirmado anteriormente , a fórmula desejada surge. é o vetor de distância unitária. ${\ displaystyle \ mathbf {m}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {B}}$ ${\ displaystyle \, {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} = \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B} \ ,.}$ ${\ displaystyle m = I \ pi r ^ {2}}$ ${\ displaystyle \ pm q _ {\ rm {m}}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {d}}$ ${\ displaystyle \, \ mathbf {B} \ ,.}$ ${\ displaystyle \, {\ boldsymbol {\ mathrm {T}}} = q _ {\ rm {m}} (\ mathbf {d} \ times \ mathbf {B}) \ ,.}$ ${\ displaystyle \, q _ {\ rm {m}} \ mathbf {d} = I \ pi r ^ {2} {\ hat {\ mathbf {d}}} = \ mathbf {m} \ ,,}$ ${\ displaystyle {\ hat {\ mathbf {d}}}}$

O modelo do elétron giratório que usamos na derivação tem uma analogia evidente com um giroscópio. Para qualquer corpo em rotação, a taxa de mudança do momento angular é igual ao torque aplicado : ${\ displaystyle \, \ mathbf {J} \,}$ ${\ displaystyle \ mathbf {T}}$

{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {J}} {dt}} = \ mathbf {T} ~.}

Observe como exemplo a precessão de um giroscópio. A atração gravitacional da Terra aplica uma força ou torque ao giroscópio na direção vertical, e o vetor de momento angular ao longo do eixo do giroscópio gira lentamente em torno de uma linha vertical através do pivô. No lugar do giroscópio, imagine uma esfera girando em torno do eixo e com seu centro no pivô do giroscópio, e ao longo do eixo do giroscópio dois vetores de direção oposta, ambos originados no centro da esfera, para cima e para baixo Substitua a gravidade com uma densidade de fluxo magnético ${\ displaystyle \ mathbf {J}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {m}.}$ ${\ displaystyle \, \ mathbf {B} ~.}$

${\ displaystyle {\ frac {\, \ operatorname {d} \ mathbf {J} \,} {\, \ operatorname {d} t \,}}}$ representa a velocidade linear da lança da flecha ao longo de um círculo cujo raio é onde está o ângulo entre e a vertical. Portanto, a velocidade angular da rotação do spin é ${\ displaystyle \, \ mathbf {J} \,}$ ${\ displaystyle \, J \ sin {\ phi} \ ,,}$ ${\ displaystyle \, \ phi \,}$ ${\ displaystyle \, \ mathbf {J} \,}$

{\ displaystyle \ omega = 2 \ pi \, f = {\ frac {1} {\, J \, \ sin {\ phi} \,}} \, \ left | {\ frac {\, {\ rm { {d} \, \ mathbf {J} \,}}} {\, {\ rm {{d} \, t \,}}}} \ right | = {\ frac {\, \ left | \ mathbf { T} \ right | \,} {\, J \, \ sin {\ phi} \,}} = {\ frac {\, \ left | \ mathbf {m} \ times \ mathbf {B} \ right | \ ,} {\, J \, \ sin {\ phi} \,}} = {\ frac {\, m \, B \ sin {\ phi} \,} {\, J \, \ sin {\ phi} \,}} = {\ frac {\, m \, B \,} {J}} = \ gamma \, B ~.}

Consequentemente, ${\ displaystyle f = {\ frac {\ gamma} {\, 2 \ pi \,}} \, B ~. \ quad {\ text {qed}}}$

Esta relação também explica uma aparente contradição entre os dois termos equivalentes, razão giromagnética versus razão magnetogírica : ao passo que é uma razão de uma propriedade magnética (isto é, momento de dipolo ) para uma propriedade gírica (rotacional, do grego : γύρος , "giro") ( isto é, momento angular ), é também, ao mesmo tempo , uma razão entre a frequência de precessão angular (outra propriedade gírica ) $ω$ = 2 $π$ $f$ e o campo magnético .

A frequência de precessão angular tem um significado físico importante: é a frequência do ciclotron angular , a frequência de ressonância de um plasma ionizado sob a influência de um campo magnético finito estático, quando sobrepomos um campo eletromagnético de alta frequência.

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