Covariância de manifesto - Manifest covariance

Parte de uma série de artigos sobre
Relatividade geral
${\ displaystyle G _ {\ mu \ nu} + \ Lambda g _ {\ mu \ nu} = {\ frac {8 \ pi G} {c ^ {4}}} T _ {\ mu \ nu}}$
Introdução História Formulação matemática Testes
Conceitos fundamentais Princípio da Relatividade Teoria da relatividade Quadro de Referência Quadro de referência inercial Quadro de descanso Quadro de centro de impulso Cone de luz Princípio de equivalência Equivalência massa-energia Relatividade especial Relatividade duplamente especial Relatividade especial invariante de Sitter Relatividade de escala Linha mundial Hora certa Geometria riemanniana Condição de energia
Fenômenos Gravitoeletromagnetismo Problema Kepler Gravidade Campo gravitacional Gravidade bem Lente gravitacional Ondas gravitacionais Redshift gravitacional Redshift Turno azul Dilatação do tempo Dilatação do tempo gravitacional Atraso de tempo Shapiro Potencial gravitacional Compressão gravitacional Colapso gravitacional Arrasto de quadro Efeito geodésico Horizonte aparente Horizonte de eventos Singularidade gravitacional Singularidade nua Buraco negro Buraco branco Espaço-tempo Espaço Tempo Diagramas de espaço-tempo Espaço-tempo de Minkowski Curva tipo tempo fechada (CTC) Buraco de minhoca Buraco de minhoca de Ellis
Equações Formalismos Equações Gravidade linearizada Equações de campo de Einstein Friedmann Geodésica Mathisson – Papapetrou – Dixon Hamilton – Jacobi – Einstein Invariante de curvatura (relatividade geral) Variedade Lorentziana Formalismos ADM BSSN Newman – Penrose Pós-newtoniana Teoria avançada Teoria de Kaluza-Klein Gravidade quântica Supergravidade
Soluções Schwarzschild ( interior ) Reissner – Nordström Gödel Kerr Kerr-Newman Kasner Lemaître – Tolman Taub-NUT Milne Robertson – Walker onda pp poeira van Stockum Weyl – Lewis – Papapetrou Solução de vácuo
Teoremas Teorema de Birkhoff Teorema de divisão de Geroch Teorema de Goldberg-Sachs Teorema de Lovelock Teorema sem cabelo Teoremas de singularidade de Penrose-Hawking Teorema da energia positiva
Cientistas Einstein Lorentz Hilbert Poincaré Schwarzschild de Sitter Reissner Nordström Weyl Eddington Friedman Milne Zwicky Lemaître Gödel Wheeler Robertson Bardeen andador Kerr Chandrasekhar Ehlers Penrose Hawking Raychaudhuri Taylor Hulse van Stockum Taub Novo homem Yau Thorne outras
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Na relatividade geral , uma equação manifestamente covariante é aquela em que todas as expressões são tensores . As operações de adição, multiplicação de tensor , contração de tensor , aumento e redução de índices e diferenciação covariante podem aparecer na equação. Os termos proibidos incluem, mas não estão restritos a derivados parciais . Densidades de tensores , especialmente integrantes e variáveis ​​de integração, podem ser permitidas em equações manifestamente covariantes se forem claramente ponderadas pela potência apropriada do determinante da métrica.

Escrever uma equação na forma manifestamente covariante é útil porque garante a covariância geral após uma inspeção rápida. Se uma equação é manifestamente covariante e se reduz a uma equação correta e correspondente na relatividade especial quando avaliada instantaneamente em um referencial inercial local , então geralmente é a generalização correta da equação relativística especial na relatividade geral.

Exemplo

Uma equação pode ser covariante de Lorentz mesmo que não seja manifestamente covariante. Considere o tensor de campo eletromagnético

${\ displaystyle F_ {ab} \, = \, \ partial _ {a} A_ {b} \, - \, \ partial _ {b} A_ {a} \,}$

onde está o quatro potencial eletromagnético no medidor Lorenz . A equação acima contém derivadas parciais e, portanto, não é manifestamente covariante. Observe que as derivadas parciais podem ser escritas em termos de derivadas covariantes e símbolos de Christoffel como ${\ displaystyle A_ {a}}$

${\ displaystyle \ partial _ {a} A_ {b} = \ nabla _ {a} A_ {b} + \ Gamma _ {ab} ^ {c} A_ {c}}$

${\ displaystyle \ partial _ {b} A_ {a} = \ nabla _ {b} A_ {a} + \ Gamma _ {ba} ^ {c} A_ {c}}$

Para uma métrica livre de torção assumida na relatividade geral, podemos apelar para a simetria dos símbolos de Christoffel

${\ displaystyle \ Gamma _ {ab} ^ {c} - \ Gamma _ {ba} ^ {c} = 0,}$

que permite que o tensor de campo seja escrito em forma manifestamente covariante

${\ displaystyle F_ {ab} \, = \, \ nabla _ {a} A_ {b} \, - \, \ nabla _ {b} A_ {a}.}$

Veja também

• Covariância de Lorentz
• Introdução à matemática da relatividade geral
• Introdução à relatividade especial

Referências

• CB Parker (1994). McGraw Hill Encyclopaedia of Physics (2ª ed.). McGraw Hill. ISBN   0-07-051400-3 .
• John Archibald Wheeler ; C. Misner ; KS Thorne (1973). Gravitação . WH Freeman & Co. ISBN   0-7167-0344-0 .