Problema matemático do xadrez - Mathematical chess problem
Um problema matemático de xadrez é um problema matemático formulado usando um tabuleiro de xadrez e peças de xadrez . Esses problemas pertencem à matemática recreativa . Os problemas mais conhecidos desse tipo são o quebra - cabeça das oito rainhas ou problemas do Knight's Tour , que têm conexão com a teoria dos grafos e combinatória . Muitos matemáticos famosos estudaram problemas matemáticos de xadrez; por exemplo, Thabit , Euler , Legendre e Gauss . Além de encontrar uma solução para um determinado problema, os matemáticos costumam se interessar em contar o número total de soluções possíveis, encontrar soluções com certas propriedades, bem como generalizar os problemas para placas N × N ou retangulares.
Problemas de independência
Problemas de independência (ou desguardos ) são uma família dos seguintes problemas. Dada uma determinada peça de xadrez (rainha, torre, bispo, cavalo ou rei) encontre o número máximo dessas peças, que podem ser colocadas em um tabuleiro de xadrez de forma que nenhuma das peças se ataque. Também é necessário que um arranjo real para este número máximo de peças seja encontrado. O problema mais famoso desse tipo é o quebra-cabeça das oito rainhas . Os problemas são estendidos ainda mais perguntando-se quantas soluções possíveis existem. Outras generalizações são os mesmos problemas para placas NxN.
O número máximo de reis independentes em um tabuleiro de xadrez 8 × 8 é 16, rainhas - 8, torres - 8, bispos - 14, cavalos - 32. Soluções para reis e bispos são mostradas abaixo. Para obter 8 torres independentes é suficiente colocá-las em uma das diagonais principais. Uma solução para 32 cavaleiros independentes é colocá-los todos em quadrados da mesma cor (por exemplo, colocar todos os 32 cavaleiros em quadrados escuros).
16 reis independentes
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14 bispos independentes
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8 rainhas independentes
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Problemas de dominação
Outro tipo de problema matemático de xadrez é um problema de dominação (ou cobertura ). Este é um caso especial do problema de cobertura de vértices . Nestes problemas é solicitado encontrar um número mínimo de peças do tipo dado e colocá-las em um tabuleiro de xadrez de forma que todas as casas livres do tabuleiro sejam atacadas por pelo menos uma peça. O número mínimo de reis dominantes é 9, rainhas - 5, torres - 8, bispos - 8, cavalos - 12. Para obter 8 torres dominantes é suficiente colocá-las em qualquer classificação, uma para cada coluna. Soluções para outras peças são fornecidas nos diagramas abaixo.
9 reis dominantes
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5 rainhas dominantes
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8 bispos dominantes
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12 cavaleiros dominantes
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Os problemas de dominação às vezes também são formulados de forma a encontrar o número mínimo de peças, que atacam todas as casas do tabuleiro, inclusive as ocupadas. A solução para as torres é colocá-las todas em uma das fileiras ou fileiras. As soluções para outras peças são fornecidas a seguir.
12 reis atacam todos os quadrados
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5 rainhas atacam todos os quadrados
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10 bispos atacando todos os quadrados
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14 cavaleiros atacando todas as casas
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A dominação por rainhas na diagonal principal de um tabuleiro de xadrez de qualquer tamanho pode ser mostrada como equivalente a um problema na teoria dos números de encontrar um conjunto Salem-Spencer , um conjunto de números em que nenhum dos números é a média de dois outros. A colocação ideal das rainhas é obtida deixando vago um conjunto de quadrados que têm a mesma paridade (todos estão em posições pares ou todos em posições ímpares ao longo da diagonal) e que formam um conjunto Salem-Spencer.
Problemas de turnê de peças
Esses tipos de problemas pedem para encontrar um passeio por determinada peça de xadrez, que visita todas as casas de um tabuleiro de xadrez. O problema mais conhecido desse tipo é o Knight's Tour . Além do cavalo, esses passeios existem para rei, rainha e torre. Os bispos são incapazes de alcançar cada quadrado do tabuleiro, então o problema para eles é formulado para alcançar todos os quadrados de uma cor.
Problemas de troca de xadrez
Em problemas de troca de xadrez, as peças brancas trocam com as peças pretas. Isso é feito com os movimentos legais normais das peças durante o jogo, mas não é necessário alternar voltas. Por exemplo, um cavalo branco pode se mover duas vezes seguidas. Não é permitido capturar peças. Dois desses problemas são mostrados abaixo. No primeiro o objetivo é trocar as posições dos cavaleiros brancos e negros. Na segunda, as posições dos bispos devem ser trocadas com uma limitação adicional, que as peças inimigas não se ataquem.
Quebra-cabeça de troca de cavaleiro
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Quebra-cabeça de troca de bispo
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Veja também
Notas
Referências
- Evgeni J Gik (1986). Schach und Mathematik . Moskau, Verlag MIR und Leipzig, Urania-Verlag. ISBN 978-3930640379.(em alemão). Alguns capítulos do livro estão disponíveis online: Евгений Гик "Шахматы и математика" e como arquivo DJVU (em russo).
links externos
- Xadrez de Weisstein, Eric W. da MathWorld .
- Problemas de arranjo de peças de xadrez por George Jelliss (do The Games and Puzzles Journal).
- Tarefas do tabuleiro de xadrez por Ed Pegg Jr.