Formulação matemática da mecânica quântica - Mathematical formulation of quantum mechanics

As formulações matemáticas da mecânica quântica são aqueles formalismos matemáticos que permitem uma descrição rigorosa da mecânica quântica . Este formalismo matemático usa principalmente uma parte da análise funcional , especialmente os espaços de Hilbert , que são uma espécie de espaço linear . Esses são distintos dos formalismos matemáticos para as teorias da física desenvolvidas antes do início de 1900 pelo uso de estruturas matemáticas abstratas, como espaços de Hilbert de dimensão infinita ( espaço L 2 principalmente) e operadores nesses espaços. Em resumo, os valores dos observáveis físicos , como energia e momento , não eram mais considerados como valores de funções no espaço de fase , mas como autovalores ; mais precisamente como valores espectrais de operadores lineares no espaço de Hilbert.

Essas formulações da mecânica quântica continuam a ser usadas hoje. No cerne da descrição estão as idéias de estado quântico e observáveis ​​quânticos , que são radicalmente diferentes daqueles usados ​​em modelos anteriores de realidade física. Embora a matemática permita o cálculo de muitas quantidades que podem ser medidas experimentalmente, há um limite teórico definido para os valores que podem ser medidos simultaneamente. Essa limitação foi elucidada pela primeira vez por Heisenberg por meio de um experimento de pensamento e é representada matematicamente no novo formalismo pela não comutatividade dos operadores que representam os observáveis ​​quânticos.

Antes do desenvolvimento da mecânica quântica como uma teoria separada , a matemática usada na física consistia principalmente em análises matemáticas formais , começando com cálculo e aumentando em complexidade até geometria diferencial e equações diferenciais parciais . A teoria da probabilidade foi usada na mecânica estatística . A intuição geométrica desempenhou um papel importante nas duas primeiras e, consequentemente, as teorias da relatividade foram formuladas inteiramente em termos de conceitos geométricos diferenciais. A fenomenologia da física quântica surgiu aproximadamente entre 1895 e 1915, e durante os 10 a 15 anos antes do desenvolvimento da mecânica quântica (por volta de 1925), os físicos continuaram a pensar na teoria quântica dentro dos limites do que agora é chamado de física clássica , e em particular dentro das mesmas estruturas matemáticas. O exemplo mais sofisticado disso é a regra de quantização Sommerfeld-Wilson-Ishiwara , que foi formulada inteiramente no espaço de fase clássico .

História do formalismo

A "velha teoria quântica" e a necessidade de uma nova matemática

Na década de 1890, Planck foi capaz de derivar o espectro do corpo negro , que mais tarde foi usado para evitar a catástrofe ultravioleta clássica , fazendo a suposição pouco ortodoxa de que, na interação da radiação eletromagnética com a matéria , a energia só poderia ser trocada em unidades discretas que ele chamou quanta . Planck postulou uma proporcionalidade direta entre a frequência da radiação e o quantum de energia nessa frequência. A constante de proporcionalidade, h , agora é chamada de constante de Planck em sua homenagem.

Em 1905, Einstein explicou certas características do efeito fotoelétrico assumindo que os quanta de energia de Planck eram partículas reais, que mais tarde foram apelidadas de fótons .

luz na frequência certa

Todos esses desenvolvimentos foram fenomenológicos e desafiaram a física teórica da época. Bohr e Sommerfeld modificaram a mecânica clássica em uma tentativa de deduzir o modelo de Bohr a partir dos primeiros princípios. Eles propuseram que, de todas as órbitas clássicas fechadas traçadas por um sistema mecânico em seu espaço de fase , apenas aquelas que continham uma área que era um múltiplo da constante de Planck eram realmente permitidas. A versão mais sofisticada desse formalismo foi a chamada quantização Sommerfeld-Wilson-Ishiwara . Embora o modelo de Bohr do átomo de hidrogênio pudesse ser explicado dessa maneira, o espectro do átomo de hélio (classicamente um problema insolúvel de 3 corpos ) não poderia ser previsto. O status matemático da teoria quântica permaneceu incerto por algum tempo.

Em 1923, de Broglie propôs que a dualidade onda-partícula aplicada não apenas aos fótons, mas aos elétrons e todos os outros sistemas físicos.

A situação mudou rapidamente nos anos 1925-1930, quando fundamentos matemáticos de trabalho foram encontrados por meio do trabalho inovador de Erwin Schrödinger , Werner Heisenberg , Max Born , Pascual Jordan e o trabalho fundamental de John von Neumann , Hermann Weyl e Paul Dirac , e tornou-se possível unificar várias abordagens diferentes em termos de um novo conjunto de ideias. A interpretação física da teoria também foi esclarecida nesses anos depois que Werner Heisenberg descobriu as relações de incerteza e Niels Bohr introduziu a ideia de complementaridade .

A "nova teoria quântica"

A mecânica da matriz de Werner Heisenberg foi a primeira tentativa bem-sucedida de replicar a quantização observada de espectros atômicos . Mais tarde, no mesmo ano, Schrödinger criou sua mecânica de ondas . O formalismo de Schrödinger era considerado mais fácil de entender, visualizar e calcular, pois levava a equações diferenciais , que os físicos já estavam familiarizados com a solução. Em um ano, foi demonstrado que as duas teorias eram equivalentes.

O próprio Schrödinger inicialmente não entendia a natureza probabilística fundamental da mecânica quântica, pois pensava que o quadrado absoluto da função de onda de um elétron deveria ser interpretado como a densidade de carga de um objeto espalhado sobre um volume de espaço estendido, possivelmente infinito . Foi Max Born quem introduziu a interpretação do quadrado absoluto da função de onda como a distribuição de probabilidade da posição de um objeto pontual . A ideia de Born foi logo assumida por Niels Bohr em Copenhagen, que então se tornou o "pai" da interpretação de Copenhagen da mecânica quântica. A função de onda de Schrödinger pode ser vista como intimamente relacionada à equação clássica de Hamilton-Jacobi . A correspondência com a mecânica clássica era ainda mais explícita, embora um pouco mais formal, na mecânica matricial de Heisenberg. Em seu projeto de tese de doutorado, Paul Dirac descobriu que a equação para os operadores na representação de Heisenberg , como é agora chamada, se traduz de perto em equações clássicas para a dinâmica de certas quantidades no formalismo hamiltoniano da mecânica clássica, quando as expressamos por meio Colchetes de Poisson , um procedimento agora conhecido como quantização canônica .

Para ser mais preciso, já antes de Schrödinger, o jovem pós-doutorado Werner Heisenberg inventou sua mecânica de matriz , que foi a primeira mecânica quântica correta - o avanço essencial. A formulação da mecânica matricial de Heisenberg baseava-se em álgebras de matrizes infinitas, uma formulação muito radical à luz da matemática da física clássica, embora partisse da terminologia-índice dos experimentalistas da época, nem mesmo ciente de que seus "esquemas-índice" eram matrizes, como Born logo indicou a ele. Na verdade, nesses primeiros anos, a álgebra linear geralmente não era popular entre os físicos em sua forma atual.

Embora o próprio Schrödinger depois de um ano tenha provado a equivalência de sua mecânica ondulatória e a mecânica de matriz de Heisenberg, a reconciliação das duas abordagens e sua abstração moderna como movimentos no espaço de Hilbert é geralmente atribuída a Paul Dirac , que escreveu um relato lúcido em seu clássico de 1930 The Principles of Quantum Mechanics . Ele é o terceiro, e possivelmente o mais importante, pilar desse campo (ele logo foi o único a ter descoberto uma generalização relativística da teoria). Em seu relato acima mencionado, ele introduziu a notação bra-ket , junto com uma formulação abstrata em termos do espaço de Hilbert usado na análise funcional ; ele mostrou que as abordagens de Schrödinger e Heisenberg eram duas representações diferentes da mesma teoria e encontrou uma terceira, mais geral, que representava a dinâmica do sistema. Seu trabalho foi particularmente frutífero em todos os tipos de generalizações do campo.

A primeira formulação matemática completa dessa abordagem, conhecida como axiomas de Dirac-von Neumann , é geralmente creditada ao livro de John von Neumann de 1932, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics , embora Hermann Weyl já tivesse se referido aos espaços de Hilbert (que ele chamou de espaços unitários ) em seu livro e papel clássico de 1927. Ele foi desenvolvido em paralelo com uma nova abordagem da teoria espectral matemática baseada em operadores lineares em vez das formas quadráticas que eram a abordagem de David Hilbert uma geração antes. Embora as teorias da mecânica quântica continuem a evoluir até hoje, existe uma estrutura básica para a formulação matemática da mecânica quântica que fundamenta a maioria das abordagens e pode ser rastreada até o trabalho matemático de John von Neumann . Em outras palavras, as discussões sobre a interpretação da teoria e suas extensões são agora conduzidas principalmente com base em suposições compartilhadas sobre os fundamentos matemáticos.

Desenvolvimentos posteriores

A aplicação da nova teoria quântica ao eletromagnetismo resultou na teoria quântica de campos , que foi desenvolvida a partir de 1930. A teoria quântica de campos tem impulsionado o desenvolvimento de formulações mais sofisticadas da mecânica quântica, das quais as apresentadas aqui são simples casos especiais.

Um tópico relacionado é a relação com a mecânica clássica. Supõe-se que qualquer nova teoria física se reduz a velhas teorias bem-sucedidas em alguma aproximação. Para a mecânica quântica, isso se traduz na necessidade de estudar o chamado limite clássico da mecânica quântica . Além disso, como Bohr enfatizou, as habilidades cognitivas e a linguagem humanas estão inextricavelmente ligadas ao reino clássico, e assim as descrições clássicas são intuitivamente mais acessíveis do que as quânticas. Em particular, a quantização , ou seja, a construção de uma teoria quântica cujo limite clássico é uma teoria clássica dada e conhecida, torna-se uma área importante da física quântica em si mesma.

Finalmente, alguns dos criadores da teoria quântica (notadamente Einstein e Schrödinger) estavam descontentes com o que pensavam ser as implicações filosóficas da mecânica quântica. Em particular, Einstein assumiu a posição de que a mecânica quântica deve ser incompleta, o que motivou a pesquisa nas chamadas teorias de variáveis ​​ocultas . A questão das variáveis ​​ocultas tornou-se em parte um problema experimental com a ajuda da óptica quântica .

Estrutura matemática da mecânica quântica

Um sistema físico é geralmente descrito por três ingredientes básicos: estados ; observáveis ; e dinâmica (ou lei da evolução do tempo ) ou, mais geralmente, um grupo de simetrias físicas . Uma descrição clássica pode ser dada de uma forma bastante direta por um modelo de mecânica de espaço de fase : estados são pontos em um espaço de fase simplético , os observáveis ​​são funções de valor real nele, a evolução no tempo é dada por um grupo de um parâmetro de transformações simpléticas do espaço de fase, e as simetrias físicas são realizadas por transformações simpléticas. Uma descrição quântica normalmente consiste em um espaço de estados de Hilbert , os observáveis ​​são operadores auto-adjuntos no espaço de estados, a evolução do tempo é dada por um grupo de um parâmetro de transformações unitárias no espaço de estados de Hilbert, e simetrias físicas são realizadas por transformações unitárias. (É possível mapear esta imagem do espaço de Hilbert para uma formulação do espaço de fase , de forma invertida. Veja abaixo.)

Postulados da mecânica quântica

O seguinte resumo da estrutura matemática da mecânica quântica pode ser parcialmente rastreado até os axiomas de Dirac-von Neumann . Os postulados são apresentados canonicamente em seis afirmações, embora haja muitos pontos importantes para cada uma.

Descrição do estado de um sistema

Cada sistema físico está associado com um (topologicamente) separável complexo espaço de Hilbert H com produto interno& Phi; | ip ⟩. Os raios (isto é, subespaços de dimensão complexa 1) em H estão associados aos estados quânticos do sistema.

Postulado I
O estado de um sistema físico isolado é representado, em um tempo fixo , por um vetor de estado pertencente a um espaço de Hilbert denominado espaço de estado .

Em outras palavras, os estados quânticos podem ser identificados com classes de equivalência de vetores de comprimento 1 em H , onde dois vetores representam o mesmo estado se diferirem apenas por um fator de fase . A separabilidade é uma hipótese matematicamente conveniente, com a interpretação física de que contáveis ​​muitas observações são suficientes para determinar o estado de maneira única. "Um estado de mecânica quântica é um raio no espaço de Hilbert projetivo , não um vetor . Muitos livros falham em fazer essa distinção, o que pode ser em parte resultado do fato de que a própria equação de Schrödinger envolve" vetores "do espaço de Hilbert, com o resultado que o uso impreciso de "vetor de estado" em vez de raio é muito difícil de evitar. "

O espaço de Hilbert de um sistema composto é o produto tensor do espaço de Hilbert dos espaços de estado associados aos sistemas de componentes (por exemplo, JM Jauch, Foundations of Quantum Mechanics , seção 11.7). Para um sistema não relativístico que consiste em um número finito de partículas distinguíveis, os sistemas componentes são as partículas individuais.

Descrição das quantidades físicas

Físicas observáveis são representados por hermitianas matrizes em H . Como esses operadores são hermitianos, a medição é sempre um valor real. Se o espectro do observável for discreto, os resultados possíveis serão quantizados .

Postulado II
Cada quantidade física mensurável é descrita por um operador Hermitiano atuando no espaço de estados . Este operador é um observável , o que significa que seus autovetores formam uma base para .

Medição de quantidades físicas

Pela teoria espectral , podemos associar uma medida de probabilidade aos valores de A em qualquer estado ψ . Podemos também mostram que os valores possíveis da observável A em qualquer estado deve pertencer ao espectro de A . O valor esperado (no sentido da teoria da probabilidade) do observável A para o sistema no estado representado pelo vetor unitário ψH é .

Postulado III
O resultado da medição de uma quantidade física deve ser um dos autovalores do observável correspondente .

No caso especial de A ter apenas espectro discreto , os resultados possíveis da medição de A são seus autovalores . Mais precisamente, se representarmos o estado ψ na base formada pelos autovetores de A , então o quadrado do módulo do componente anexado a um dado autovetor é a probabilidade de observar seu autovalor correspondente.

Postulado IV
Quando a quantidade física é medida em um sistema em um estado normalizado , a probabilidade de obter um autovalor (denotado para espectros discretos e para espectros contínuos) do observável correspondente é dada pela amplitude ao quadrado da função de onda apropriada (projeção no autovetor correspondente) .

De forma mais geral, um estado pode ser representado por um chamado operador de densidade , que é uma classe de rastreamento , operador auto-adjunto não negativo ρ normalizado para ser de rastreamento 1. O valor esperado de A no estado ρ é .

Efeito da medição no estado

Quando uma medição é realizada, apenas um resultado é obtido (de acordo com algumas interpretações da mecânica quântica ). Isso é modelado matematicamente como o processamento de informações adicionais da medição, confinando as probabilidades de uma segunda medição imediata do mesmo observável. No caso de um espectro discreto e não degenerado, duas medições sequenciais do mesmo observável sempre darão o mesmo valor assumindo que a segunda segue imediatamente a primeira. Portanto, o vetor de estado deve mudar como resultado da medição e colapsar no auto-subespaço associado ao valor próprio medido.

Postulado V
Se a medição da quantidade física no sistema no estado der o resultado , então o estado do sistema imediatamente após a medição é a projeção normalizada de no subespaço autônomo associado com

Se ρ ψ é o projetor ortogonal no subespaço unidimensional de H estendido por | ip , em seguida .

Evolução temporal de um sistema

Embora seja possível derivar a equação de Schrödinger, que descreve como um vetor de estado evolui no tempo, a maioria dos textos afirma a equação como um postulado. Derivações comuns incluem o uso da hipótese DeBroglie ou integrais de caminho .

Postulado VI
A evolução do tempo do vetor de estado é governada pela equação de Schrödinger, onde o observável está associado à energia total do sistema (chamado de Hamiltoniano )


Outras implicações dos postulados

  • Operadores de densidade são aqueles que estão no fechamento do casco convexo dos projetores ortogonais unidimensionais. Por outro lado, os projetores ortogonais unidimensionais são pontos extremos do conjunto de operadores de densidade. Os físicos também chamam os projetores ortogonais unidimensionais de estados puros e outros operadores de densidade de estados mistos .

Nesse formalismo, pode-se afirmar o princípio da incerteza de Heisenberg e prová-lo como um teorema, embora a seqüência histórica exata de eventos, a respeito de quem derivou o quê e sob qual estrutura, seja objeto de investigações históricas fora do escopo deste artigo.

Além disso, aos postulados da mecânica quântica deve-se também adicionar afirmações básicas sobre as propriedades do spin e o princípio de exclusão de Pauli , veja abaixo.

Imagens de dinâmicas

  • Na chamada imagem de Schrödinger da mecânica quântica, a dinâmica é dada da seguinte forma:

A evolução temporal do estado é dada por uma função diferenciável dos números reais R , representando instantes de tempo, para o espaço de Hilbert de estados do sistema. Este mapa é caracterizado por uma equação diferencial da seguinte forma: Se | ψ ( t )⟩ denota o estado do sistema em qualquer momento t , a seguinte equação de Schrödinger é válida:

Equação de Schrödinger (geral)

onde H é um operador auto-adjunto densamente definido, chamado de sistema Hamiltoniano , i é a unidade imaginária e ħ é a constante de Planck reduzida . Como observável, H corresponde à energia total do sistema.

Alternativamente, pelo teorema de Stone pode-se afirmar que existe uma aplicação unitária de um parâmetro fortemente contínua U ( t ) : HH tal que

para todos os tempos s , t . A existência de um hamiltoniano H auto-adjunto tal que

é uma consequência do teorema de Stone em grupos unitários de um parâmetro . Assume-se que H não depende do tempo e que a perturbação começa em t 0 = 0 ; caso contrário, deve-se usar a série Dyson , formalmente escrita como

onde está o símbolo de ordenação do tempo de Dyson .

(Este símbolo permuta um produto de operadores não comutadores do formulário

na expressão reordenada exclusivamente determinada

com

O resultado é uma cadeia causal, a causa primária no passado nos últimos rhs e, finalmente, o efeito presente nos últimos lhs.)

  • A imagem de Heisenberg da mecânica quântica concentra-se nos observáveis ​​e, em vez de considerar os estados como variáveis ​​no tempo, considera os estados como fixos e os observáveis ​​como variáveis. Para ir da imagem de Schrödinger para a imagem de Heisenberg, é necessário definir estados independentes do tempo e operadores dependentes do tempo, assim:

É então facilmente verificado se os valores esperados de todos os observáveis ​​são os mesmos em ambas as imagens

e que os operadores de Heisenberg dependentes do tempo satisfaçam

Foto de Heisenberg (geral)

o que é verdadeiro para A = A ( t ) dependente do tempo . Observe que a expressão do comutador é puramente formal quando um dos operadores é ilimitado . Especificaria uma representação para a expressão para dar sentido a ela.

  • A chamada imagem de Dirac ou imagem de interação tem estados e observáveis dependentes do tempo , evoluindo em relação a diferentes hamiltonianos. Esta imagem é mais útil quando a evolução dos observáveis ​​pode ser resolvida com exatidão, confinando quaisquer complicações à evolução dos estados. Por esta razão, o hamiltoniano para os observáveis ​​é denominado "hamiltoniano livre" e o hamiltoniano para os estados é denominado "hamiltoniano de interação". Em símbolos:
Foto de Dirac

A imagem de interação nem sempre existe, no entanto. Em teorias quânticas de campo em interação, o teorema de Haag afirma que a imagem de interação não existe. Isso ocorre porque o hamiltoniano não pode ser dividido em uma parte livre e uma parte de interação dentro de um setor de superseleção . Além disso, mesmo se na imagem de Schrödinger o hamiltoniano não depende do tempo, por exemplo, H = H 0 + V , na imagem de interação depende, pelo menos, se V não comuta com H 0 , uma vez que

.

Portanto, a série Dyson mencionada acima deve ser usada de qualquer maneira.

A imagem de Heisenberg é a mais próxima da mecânica hamiltoniana clássica (por exemplo, os comutadores que aparecem nas equações acima se traduzem diretamente nos colchetes de Poisson clássicos ); mas isso já é bastante "intelectual", e a imagem de Schrödinger é considerada a mais fácil de visualizar e entender pela maioria das pessoas, a julgar pelos relatos pedagógicos da mecânica quântica. A imagem de Dirac é a usada na teoria das perturbações e está especialmente associada à teoria quântica de campos e à física de muitos corpos .

Equações semelhantes podem ser escritas para qualquer grupo unitário de um parâmetro de simetrias do sistema físico. O tempo seria substituído por uma coordenada adequada parametrizando o grupo unitário (por exemplo, um ângulo de rotação ou uma distância de translação) e o hamiltoniano seria substituído pela quantidade conservada associada à simetria (por exemplo, momento angular ou linear).

Resumo :

Evolução Imagem ()
de: Heisenberg Interação Schrödinger
Estado Ket constante
Observável constante
Matriz de densidade constante


Representações

A forma original da equação de Schrödinger depende da escolha de uma representação particular de Heisenberg 's relações de comutação canônicas . O teorema de Stone-von Neumann determina que todas as representações irredutíveis das relações de comutação de Heisenberg de dimensão finita são unitariamente equivalentes. Uma compreensão sistemática de suas consequências levou à formulação do espaço de fase da mecânica quântica, que funciona no espaço de fase completo em vez do espaço de Hilbert , portanto, com uma ligação mais intuitiva ao limite clássico do mesmo. Esta imagem também simplifica as considerações de quantização , a extensão da deformação da mecânica clássica à quântica.

O oscilador harmônico quântico é um sistema solucionável exatamente onde as diferentes representações são facilmente comparadas. Lá, além de Heisenberg, ou Schrödinger (posição ou momento), ou representações de espaço de fase, também se encontra a representação Fock (número) e a representação Segal-Bargmann (Fock-espaço ou estado coerente) (em homenagem a Irving Segal e Valentine Bargmann ). Todos os quatro são equivalentes unitariamente.

Tempo como operador

A estrutura apresentada até agora destaca o tempo como o parâmetro do qual tudo depende. É possível formular a mecânica de tal maneira que o próprio tempo se torne um observável associado a um operador auto-adjunto. No nível clássico, é possível parametrizar arbitrariamente as trajetórias das partículas em termos de um parâmetro não físico s , e nesse caso o tempo t torna-se uma coordenada generalizada adicional do sistema físico. No nível quântico, as traduções em s seriam geradas por um "hamiltoniano" H  -  E , onde E é o operador de energia e H é o hamiltoniano "comum". No entanto, uma vez que s é um parâmetro não físico , os estados físicos devem ser deixados invariantes por " s -evolução", e assim o espaço de estado físico é o núcleo de H  -  E (isso requer o uso de um espaço de Hilbert manipulado e uma renormalização do norma).

Isso está relacionado à quantização de sistemas restritos e quantização de teorias de gauge . Também é possível formular uma teoria quântica de "eventos" onde o tempo se torna observável (ver D. Edwards).

Rodar

Além de suas outras propriedades, todas as partículas possuem uma quantidade chamada spin , um momento angular intrínseco . Apesar do nome, as partículas não giram literalmente em torno de um eixo, e o giro da mecânica quântica não tem correspondência na física clássica. Na representação de posição, uma função de onda sem spin tem a posição r e o tempo t como variáveis ​​contínuas, ψ = ψ ( r , t ) . Para funções de onda de spin, o spin é uma variável discreta adicional: ψ = ψ ( r , t , σ ) , onde σ assume os valores;

Ou seja, o estado de uma única partícula com spin S é representado por um spinor (2 S + 1) -componente de funções de onda de valor complexo.

Duas classes de partículas com comportamento muito diferente são bósons que têm spin inteiro ( S  = 0, 1, 2 ... ) e férmions que possuem spin meio-inteiro ( S  =  123252 ,. .. ).

Princípio de Pauli

A propriedade de spin relaciona-se a outra propriedade básica relativa a sistemas de N partículas idênticas: o princípio de exclusão de Pauli , que é uma consequência do seguinte comportamento de permutação de uma função de onda de N- partícula; novamente na representação da posição deve-se postular que para a transposição de quaisquer duas das N partículas, deve-se sempre ter

Princípio de Pauli

isto é, na transposição dos argumentos de quaisquer duas partículas, a função de onda deve se reproduzir , exceto por um prefator (−1) 2 S que é +1 para bósons , mas ( −1 ) para férmions . Os elétrons são férmions com S  = 1/2 ; os quanta de luz são bósons com S  = 1 . Na mecânica quântica não relativística, todas as partículas são bósons ou férmions ; nas teorias quânticas relativísticas também existem teorias "supersimétricas" , onde uma partícula é uma combinação linear de uma parte bosônica e uma parte fermiônica. Apenas na dimensão d = 2 pode-se construir entidades onde (−1) 2 S é substituído por um número complexo arbitrário com magnitude 1, chamado anyons .

Embora o spin e o princípio de Pauli só possam ser derivados de generalizações relativísticas da mecânica quântica, as propriedades mencionadas nos dois últimos parágrafos pertencem aos postulados básicos já no limite não relativístico. Especialmente, muitas propriedades importantes nas ciências naturais, por exemplo, o sistema periódico da química, são consequências das duas propriedades.

O problema da medição

A imagem dada nos parágrafos anteriores é suficiente para a descrição de um sistema completamente isolado. No entanto, não consegue explicar uma das principais diferenças entre a mecânica quântica e a mecânica clássica, ou seja, os efeitos da medição . A descrição de von Neumann da medição quântica de um observável A , quando o sistema é preparado em um estado puro ψ é a seguinte (observe, no entanto, que a descrição de von Neumann data da década de 1930 e é baseada em experimentos realizados durante aquele tempo - mais especificamente, o experimento Compton-Simon ; não é aplicável à maioria das medições atuais dentro do domínio quântico):

  • Deixe A ter resolução espectral

onde E Uma é a resolução da identidade (também chamado medida espectral ) associado com um . Então, a probabilidade de o resultado da medição estar em um intervalo B de R é | E A ( Bψ | 2 . Em outras palavras, a probabilidade é obtida integrando a função característica de B contra a medida aditiva contável

  • Se o valor medido estiver contido em B , então imediatamente após a medição, o sistema estará no estado (geralmente não normalizado) E A ( B ) ψ . Se o valor medido não estiver em B , substitua B por seu complemento para o estado acima.

Por exemplo, suponha que o espaço de estado seja o complexo n- dimensional espaço de Hilbert C n e A é uma matriz Hermitiana com autovalores λ i , com autovetores correspondentes ψ i . A medida com valor de projeção associada a A , E A , é então

onde B é um conjunto de Borel contendo apenas o único autovalor λ i . Se o sistema está preparado no estado

Então, a probabilidade de uma medição retornar o valor λ i pode ser calculada integrando a medida espectral

sobre B i . Isso dá trivialmente

A propriedade característica do esquema de medição de von Neumann é que repetir a mesma medição dará os mesmos resultados. Isso também é chamado de postulado da projeção .

Uma formulação mais geral substitui a medida com valor de projeção por uma medida com valor de operador positivo (POVM) . Para ilustrar, considere novamente o caso de dimensão finita. Aqui, substituiríamos as projeções de classificação 1

por um conjunto finito de operadores positivos

cuja soma ainda é o operador de identidade como antes (a resolução da identidade). Assim como um conjunto de resultados possíveis { λ 1  ...  λ n } está associado a uma medida com valor de projeção, o mesmo pode ser dito para um POVM. Suponha que o resultado da medição seja λ i . Em vez de entrar em colapso para o estado (não normalizado)

após a medição, o sistema agora estará no estado

Uma vez que os operadores F i F i * não precisam ser projeções ortogonais mutuamente, o postulado de projeção de von Neumann não é mais válido.

A mesma formulação se aplica a estados mistos gerais .

Na abordagem de von Neumann, a transformação de estado devido à medição é diferente daquela devido à evolução do tempo de várias maneiras. Por exemplo, a evolução do tempo é determinística e unitária, enquanto a medição é não determinística e não unitária. No entanto, como os dois tipos de transformação de estado levam um estado quântico a outro, essa diferença foi vista por muitos como insatisfatória. O formalismo POVM vê a medição como uma entre muitas outras operações quânticas , que são descritas por mapas completamente positivos que não aumentam o traço.

Em qualquer caso, parece que os problemas acima mencionados só podem ser resolvidos se a evolução do tempo incluiu não apenas o sistema quântico, mas também, e essencialmente, o aparato de medição clássico (ver acima).

A interpretação do estado relativo

Uma interpretação alternativa da medição é a interpretação do estado relativo de Everett , que mais tarde foi apelidada de " interpretação de muitos mundos " da física quântica.

Lista de ferramentas matemáticas

Parte do folclore das preocupações sujeitas as Física Matemática livros didáticos Métodos de Física Matemática juntos por Richard Courant de David Hilbert 's Universidade de Göttingen cursos. A história é contada (por matemáticos) que físicos haviam descartado o material como não interessante nas áreas de pesquisa atuais, até o advento da equação de Schrödinger. Nesse ponto, percebeu-se que a matemática da nova mecânica quântica já estava definida nele. Também é dito que Heisenberg consultou Hilbert sobre sua mecânica de matriz , e Hilbert observou que sua própria experiência com matrizes de dimensão infinita derivou de equações diferenciais, conselho que Heisenberg ignorou, perdendo a oportunidade de unificar a teoria como Weyl e Dirac fizeram um Alguns anos depois. Qualquer que seja a base das anedotas, a matemática da teoria era convencional na época, enquanto a física era radicalmente nova.

As principais ferramentas incluem:

Notas

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Referências

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  • V. Moretti, "Fundamental Mathematical Structures of Quantum Theory". Springer, 2019, https://www.springer.com/it/book/9783030183455#aboutBook
  • K. Landsman, "Foundations of Quantum Theory", Springer 2017