Problema matemático - Mathematical problem

Um problema matemático é um problema que pode ser representado , analisado e possivelmente resolvido com os métodos matemáticos . Este pode ser um problema do mundo real, como calcular as órbitas dos planetas no sistema solar, ou um problema de natureza mais abstrata, como os problemas de Hilbert .
Também pode ser um problema referente à própria natureza da matemática , como o Paradoxo de Russell .

O resultado do problema matemático resolvido é demonstrado e examinado formalmente.

Problemas do mundo real

Problemas matemáticos informais do "mundo real" são questões relacionadas a um cenário concreto, como "Adam tem cinco maçãs e dá três a John. Quantas ele ainda tem?". Essas questões são geralmente mais difíceis de resolver do que exercícios matemáticos regulares como "5 - 3", mesmo se alguém souber a matemática necessária para resolver o problema. Conhecidos como problemas de palavras , eles são usados ​​na educação matemática para ensinar os alunos a conectar situações do mundo real à linguagem abstrata da matemática.

Em geral, para usar a matemática para resolver um problema do mundo real, o primeiro passo é construir um modelo matemático do problema. Isso envolve abstração dos detalhes do problema, e o modelador deve ter cuidado para não perder aspectos essenciais ao traduzir o problema original em um problema matemático. Depois que o problema foi resolvido no mundo da matemática, a solução deve ser traduzida de volta ao contexto do problema original.

Ao ver o exterior, existem vários fenômenos, do simples ao complexo, no mundo real. Alguns deles também têm o mecanismo complexo com observação microscópica, ao passo que têm uma aparência externa simples. Depende da escala da observação e da estabilidade do mecanismo. Não é apenas o caso daquele fenômeno simples explicado pelo modelo simples, mas também o caso de que o modelo simples pode ser capaz de explicar o fenômeno complexo. Um exemplo de modelo é um modelo da teoria do caos .

Problemas abstratos

Problemas matemáticos abstratos surgem em todos os campos da matemática. Embora os matemáticos geralmente os estudem por si próprios, ao fazê-lo, podem ser obtidos resultados que encontram aplicação fora do domínio da matemática. A física teórica foi historicamente, e continua sendo, uma rica fonte de inspiração .

Alguns problemas abstratos foram rigorosamente provados como insolúveis, como a quadratura do círculo e a trissecção do ângulo usando apenas as construções de compasso e régua da geometria clássica e a resolução da equação quíntica geral algebricamente. Provavelmente insolúveis também são os chamados problemas indecidíveis , como o problema de parada para máquinas de Turing .

Muitos problemas abstratos podem ser resolvidos rotineiramente, outros foram resolvidos com grande esforço, pois algumas incursões significativas foram feitas sem ainda ter conduzido a uma solução completa, e ainda outras resistiram a todas as tentativas, como a conjectura de Goldbach e a conjectura de Collatz . Alguns problemas abstratos difíceis bem conhecidos que foram resolvidos há relativamente pouco tempo são o teorema das quatro cores , o último teorema de Fermat e a conjectura de Poincaré .

Todas as novas idéias matemáticas que desenvolvem um novo horizonte em nossa imaginação não correspondem ao mundo real. A ciência é uma forma de buscar apenas novas matemáticas, se tudo isso corresponder. Do ponto de vista da matemática moderna, pensava-se que para resolver um problema matemático poderíamos reduzir formalmente a uma operação de símbolo que se restringia a certas regras como o xadrez (ou shogi , ou go ). Nesse sentido, Wittgenstein interpreta a matemática para um jogo de linguagem ( de: Sprachspiel ). Portanto, um problema matemático que não está relacionado ao problema real é proposto ou tentado resolver por um matemático. E pode ser que o interesse de estudar matemática para o próprio matemático (ou para ela mesma) tenha feito muito mais do que novidade ou diferença no julgamento de valor do trabalho matemático, se a matemática é um jogo. Popper critica tal ponto de vista que pode ser aceito na matemática, mas não em outras disciplinas de ciências.

Os computadores não precisam ter noção das motivações dos matemáticos para fazer o que fazem. Definições formais e deduções verificáveis ​​por computador são absolutamente centrais para a ciência matemática . A vitalidade das metodologias baseadas em símbolos verificáveis ​​por computador não é inerente apenas às regras, mas depende de nossa imaginação.

Degradação de problemas a exercícios

Educadores de matemática que usam a resolução de problemas para avaliação têm um problema formulado por Alan H. Schoenfeld:

Como comparar os resultados dos testes de ano para ano, quando são usados ​​problemas muito diferentes? (Se problemas semelhantes forem usados ​​ano após ano, professores e alunos aprenderão o que são, os alunos os praticarão: os problemas tornam-se exercícios e o teste não avalia mais a resolução de problemas).

O mesmo problema foi enfrentado por Sylvestre Lacroix quase dois séculos antes:

... é necessário variar as questões que os alunos podem comunicar uns com os outros. Embora possam ser reprovados no exame, podem ser aprovados posteriormente. Assim, a distribuição das perguntas, a variedade dos tópicos ou das respostas corre o risco de perder a oportunidade de comparar, com precisão, os candidatos.

Essa degradação de problemas em exercícios é característica da matemática na história. Por exemplo, ao descrever os preparativos para o Cambridge Mathematical Tripos no século 19, Andrew Warwick escreveu:

... muitas famílias dos então problemas padrão originalmente sobrecarregaram as habilidades dos maiores matemáticos do século XVIII.

Veja também

Referências