Estatística matemática - Mathematical statistics
A estatística matemática é a aplicação da teoria da probabilidade , um ramo da matemática , à estatística , em oposição às técnicas de coleta de dados estatísticos. Técnicas matemáticas específicas que são usadas para isso incluem análise matemática , álgebra linear , análise estocástica , equações diferenciais e teoria da medida .
Introdução
A coleta de dados estatísticos preocupa-se com o planejamento dos estudos, principalmente com o delineamento de experimentos randomizados e com o planejamento de inquéritos por amostragem aleatória . A análise inicial dos dados geralmente segue o protocolo do estudo especificado antes da realização do estudo. Os dados de um estudo também podem ser analisados para considerar hipóteses secundárias inspiradas nos resultados iniciais ou para sugerir novos estudos. Uma análise secundária dos dados de um estudo planejado usa ferramentas de análise de dados , e o processo de fazer isso é a estatística matemática.
A análise de dados é dividida em:
- estatísticas descritivas - a parte das estatísticas que descreve os dados, ou seja, resume os dados e suas propriedades típicas.
- estatística inferencial - a parte da estatística que tira conclusões dos dados (usando algum modelo para os dados): Por exemplo, a estatística inferencial envolve selecionar um modelo para os dados, verificar se os dados cumprem as condições de um modelo específico e quantificar o incerteza envolvida (por exemplo, usando intervalos de confiança ).
Embora as ferramentas de análise de dados funcionem melhor com dados de estudos randomizados, elas também são aplicadas a outros tipos de dados. Por exemplo, a partir de experimentos naturais e estudos observacionais , caso em que a inferência é dependente do modelo escolhido pelo estatístico, e portanto subjetiva.
Tópicos
A seguir estão alguns dos tópicos importantes em estatística matemática:
Distribuições de probabilidade
Uma distribuição de probabilidade é uma função que atribui uma probabilidade a cada subconjunto mensurável dos resultados possíveis de um experimento aleatório , pesquisa ou procedimento de inferência estatística . Exemplos são encontrados em experimentos cujo espaço amostral é não numérico, onde a distribuição seria uma distribuição categórica ; experimentos cujo espaço amostral é codificado por variáveis aleatórias discretas , onde a distribuição pode ser especificada por uma função de massa de probabilidade ; e experimentos com espaços de amostra codificados por variáveis aleatórias contínuas, onde a distribuição pode ser especificada por uma função de densidade de probabilidade . Experimentos mais complexos, como aqueles envolvendo processos estocásticos definidos em tempo contínuo , podem exigir o uso de medidas de probabilidade mais gerais .
Uma distribuição de probabilidade pode ser univariada ou multivariada . Uma distribuição univariada fornece as probabilidades de uma única variável aleatória assumir vários valores alternativos; uma distribuição multivariada (uma distribuição de probabilidade conjunta ) fornece as probabilidades de um vetor aleatório - um conjunto de duas ou mais variáveis aleatórias - assumindo várias combinações de valores. Distribuições de probabilidade univariadas importantes e comumente encontradas incluem a distribuição binomial , a distribuição hipergeométrica e a distribuição normal . A distribuição normal multivariada é uma distribuição multivariada comumente encontrada.
Distribuições especiais
- Distribuição normal , a distribuição contínua mais comum
- Distribuição de Bernoulli , para o resultado de um único ensaio de Bernoulli (por exemplo, sucesso / fracasso, sim / não)
- Distribuição binomial , para o número de "ocorrências positivas" (por exemplo, sucessos, votos sim, etc.) dado um número total fixo de ocorrências independentes
- Distribuição binomial negativa , para observações do tipo binomial, mas onde a quantidade de interesse é o número de falhas antes que um determinado número de sucessos ocorra
- Distribuição geométrica , para observações do tipo binomial, mas onde a quantidade de interesse é o número de falhas antes do primeiro sucesso; um caso especial da distribuição binomial negativa, onde o número de sucessos é um.
- Distribuição uniforme discreta , para um conjunto finito de valores (por exemplo, o resultado de um dado justo)
- Distribuição uniforme contínua , para valores continuamente distribuídos
- Distribuição de Poisson , para o número de ocorrências de um evento do tipo Poisson em um determinado período de tempo
- Distribuição exponencial , para o tempo antes de ocorrer o próximo evento do tipo Poisson
- Distribuição gama , para o tempo antes de ocorrerem os próximos k eventos do tipo Poisson
- Distribuição do qui-quadrado , a distribuição de uma soma das variáveis normais padrão ao quadrado ; útil, por exemplo, para inferência sobre a variância da amostra de amostras normalmente distribuídas (ver teste qui-quadrado )
- Distribuição t de Student , a distribuição da razão de uma variável normal padrão e a raiz quadrada de uma variável qui-quadrada escalonada ; útil para inferência em relação à média de amostras normalmente distribuídas com variância desconhecida (ver teste t de Student )
- Distribuição beta , para uma única probabilidade (número real entre 0 e 1); conjugado com a distribuição Bernoulli e distribuição binomial
Inferência estatística
Inferência estatística é o processo de tirar conclusões de dados que estão sujeitos a variação aleatória, por exemplo, erros de observação ou variação de amostragem. Os requisitos iniciais de tal sistema de procedimentos para inferência e indução são que o sistema deve produzir respostas razoáveis quando aplicado a situações bem definidas e que deve ser geral o suficiente para ser aplicado em uma variedade de situações. As estatísticas inferenciais são usadas para testar hipóteses e fazer estimativas usando dados de amostra. Enquanto as estatísticas descritivas descrevem uma amostra, as estatísticas inferenciais inferem previsões sobre uma população maior que a amostra representa.
O resultado da inferência estatística pode ser uma resposta à pergunta "o que deve ser feito a seguir?", Onde esta pode ser uma decisão sobre fazer novos experimentos ou pesquisas, ou sobre tirar uma conclusão antes de implementar alguma política organizacional ou governamental. Na maior parte, a inferência estatística faz proposições sobre as populações, usando dados retirados da população de interesse por meio de alguma forma de amostragem aleatória. De maneira mais geral, os dados sobre um processo aleatório são obtidos a partir de seu comportamento observado durante um período finito de tempo. Dado um parâmetro ou hipótese sobre a qual se deseja fazer inferência, a inferência estatística usa com mais frequência:
- um modelo estatístico do processo aleatório que deve gerar os dados, que é conhecido quando a randomização foi usada, e
- uma realização particular do processo aleatório; ou seja, um conjunto de dados.
Regressão
Em estatística , a análise de regressão é um processo estatístico para estimar as relações entre as variáveis. Inclui muitas maneiras de modelar e analisar várias variáveis, quando o foco está na relação entre uma variável dependente e uma ou mais variáveis independentes . Mais especificamente, a análise de regressão ajuda a entender como o valor típico da variável dependente (ou 'variável critério') muda quando qualquer uma das variáveis independentes é variada, enquanto as outras variáveis independentes são mantidas fixas. Mais comumente, a análise de regressão estima a expectativa condicional da variável dependente dadas as variáveis independentes - isto é, o valor médio da variável dependente quando as variáveis independentes são fixas. Menos comumente, o foco está em um quantil , ou outro parâmetro de localização da distribuição condicional da variável dependente, dadas as variáveis independentes. Em todos os casos, o alvo da estimativa é uma função das variáveis independentes chamadas de função de regressão . Na análise de regressão, também é interessante caracterizar a variação da variável dependente em torno da função de regressão, que pode ser descrita por uma distribuição de probabilidade .
Muitas técnicas para realizar análises de regressão foram desenvolvidas. Métodos familiares, como regressão linear , são paramétricos , em que a função de regressão é definida em termos de um número finito de parâmetros desconhecidos que são estimados a partir dos dados (por exemplo, usando mínimos quadrados ordinários ). A regressão não paramétrica refere-se a técnicas que permitem que a função de regressão esteja em um conjunto especificado de funções , que pode ser infinito .
Estatística não paramétrica
Estatísticas não paramétricas são valores calculados a partir de dados de uma maneira que não é baseada em famílias parametrizadas de distribuições de probabilidade . Eles incluem estatísticas descritivas e inferenciais . Os parâmetros típicos são a média, a variância, etc. Ao contrário das estatísticas paramétricas , as estatísticas não paramétricas não fazem suposições sobre as distribuições de probabilidade das variáveis que estão sendo avaliadas.
Métodos não paramétricos são amplamente usados para estudar populações que assumem uma ordem de classificação (como críticas de filmes que recebem de uma a quatro estrelas). O uso de métodos não paramétricos pode ser necessário quando os dados têm uma classificação, mas não uma interpretação numérica clara, como na avaliação de preferências . Em termos de níveis de medição , os métodos não paramétricos resultam em dados "ordinais".
Como os métodos não paramétricos fazem menos suposições, sua aplicabilidade é muito mais ampla do que os métodos paramétricos correspondentes. Em particular, eles podem ser aplicados em situações em que menos se sabe sobre a aplicação em questão. Além disso, devido à confiança em menos suposições, os métodos não paramétricos são mais robustos .
Outra justificativa para o uso de métodos não paramétricos é a simplicidade. Em certos casos, mesmo quando o uso de métodos paramétricos é justificado, os métodos não paramétricos podem ser mais fáceis de usar. Devido a essa simplicidade e à sua maior robustez, os métodos não paramétricos são vistos por alguns estatísticos como deixando menos espaço para uso impróprio e mal-entendidos.
Estatística, matemática e estatística matemática
A estatística matemática é um subconjunto chave da disciplina de estatística . Os teóricos da estatística estudam e aprimoram os procedimentos estatísticos com a matemática, e a pesquisa estatística freqüentemente levanta questões matemáticas. A teoria estatística depende da teoria da probabilidade e da decisão .
Matemáticos e estatísticos como Gauss , Laplace e CS Peirce usaram a teoria da decisão com distribuições de probabilidade e funções de perda (ou funções de utilidade ). A abordagem da teoria da decisão à inferência estatística foi revigorada por Abraham Wald e seus sucessores e faz uso extensivo de computação científica , análise e otimização ; para o projeto de experimentos , os estatísticos usam álgebra e combinatória .
Veja também
Referências
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- ^ Hogg, RV, A. Craig e JW McKean. "Introdução à estatística matemática." (2005).
- ^ Larsen, Richard J. e Marx, Morris L. "Uma introdução à estatística matemática e suas aplicações" (2012). Prentice Hall.
- ^ Upton, G., Cook, I. (2008) Dicionário de estatísticas de Oxford , OUP. ISBN 978-0-19-954145-4
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Ver reimpressão de Dover, 2004: ISBN 0-486-43912-7
- ^ Wald, Abraham (1950). Funções de decisão estatística . John Wiley and Sons, Nova York.
- ^ Lehmann, Erich (1997). Testing Statistical Hypotheses (2ª ed.). ISBN 0-387-94919-4.
- ^ Lehmann, Erich ; Cassella, George (1998). Teoria da estimativa de pontos (2ª ed.). ISBN 0-387-98502-6.
- ^ Bickel, Peter J .; Doksum, Kjell A. (2001). Estatística Matemática: Tópicos Básicos e Selecionados . 1 (Segunda (impressão atualizada em 2007) ed.). Pearson Prentice-Hall.
- ^ Le Cam, Lucien (1986). Métodos Assintóticos em Teoria da Decisão Estatística . Springer-Verlag. ISBN 0-387-96307-3.
- ^ Liese, Friedrich & Miescke, Klaus-J. (2008). Teoria da Decisão Estatística: Estimativa, Teste e Seleção . Springer.
Leitura adicional
- Borovkov, AA (1999). Estatística Matemática . CRC Press. ISBN 90-5699-018-7
- Laboratórios Virtuais de Probabilidade e Estatística (Univ. Of Ala.-Huntsville)
- StatiBot , sistema especialista online interativo em testes estatísticos.
- Estatística matemática ISBN 978-9383385188 por Manohar Ray, Har swarup Sharma publicado por Ram Prasad Agra
- ^ Ray, M .; Sharma, HS (1966). Estatística Matemática . Ram Prasad & Sons.