Estruturalismo (filosofia da matemática) - Structuralism (philosophy of mathematics)

O estruturalismo é uma teoria na filosofia da matemática que sustenta que as teorias matemáticas descrevem estruturas de objetos matemáticos . Os objetos matemáticos são exaustivamente definidos por seu lugar em tais estruturas. Consequentemente, o estruturalismo afirma que os objetos matemáticos não possuem nenhuma propriedade intrínseca, mas são definidos por suas relações externas em um sistema. Por exemplo, o estruturalismo sustenta que o número 1 é exaustivamente definido por ser o sucessor de 0 na estrutura da teoria dos números naturais . Por generalização deste exemplo, qualquer número natural é definido por seu respectivo lugar nesta estrutura da reta numérica . Outros exemplos de objetos matemáticos podem incluir linhas e planos em geometria ou elementos e operações em álgebra abstrata .

O estruturalismo é uma visão epistemologicamente realista na medida em que sustenta que os enunciados matemáticos têm um valor de verdade objetivo . No entanto, sua reivindicação central refere-se apenas a que tipo de entidade é um objeto matemático, não a que tipo de existência os objetos ou estruturas matemáticas têm (não, em outras palavras, a sua ontologia ). O tipo de existência que os objetos matemáticos têm seria claramente dependente das estruturas nas quais estão embutidos; diferentes subvariedades de estruturalismo fazem diferentes afirmações ontológicas a esse respeito.

O estruturalismo na filosofia da matemática está particularmente associado a Paul Benacerraf , Geoffrey Hellman , Michael Resnik , Stewart Shapiro e James Franklin .

Motivação histórica

A motivação histórica para o desenvolvimento do estruturalismo deriva de um problema fundamental da ontologia . Desde os tempos medievais , os filósofos discutem se a ontologia da matemática contém objetos abstratos . Na filosofia da matemática, um objeto abstrato é tradicionalmente definido como uma entidade que: (1) existe independente da mente; (2) existe independente do mundo empírico; e (3) tem propriedades eternas e imutáveis. O platonismo matemático tradicional afirma que algum conjunto de elementos matemáticos - números naturais , números reais , funções , relações , sistemas - são tais objetos abstratos. Contrariamente, o nominalismo matemático nega a existência de quaisquer desses objetos abstratos na ontologia da matemática.

No final do século 19 e no início do século 20, vários programas antiplatônicos ganharam popularidade. Isso incluía intuicionismo , formalismo e predicativismo . Em meados do século 20, no entanto, essas teorias antiplatônicas tinham vários problemas próprios. Posteriormente, isso resultou em um ressurgimento do interesse pelo platonismo. Foi nesse contexto histórico que se desenvolveram as motivações para o estruturalismo. Em 1965, Paul Benacerraf publicou um artigo de mudança de paradigma intitulado "What Numbers Could Not Be". Benacerraf concluiu, em dois argumentos principais, que o platonismo teórico dos conjuntos não pode ter sucesso como uma teoria filosófica da matemática.

Em primeiro lugar, Benacerraf argumentou que as abordagens platônicas não passam no teste ontológico. Ele desenvolveu um argumento contra a ontologia do platonismo teórico dos conjuntos, que agora é historicamente conhecido como o problema de identificação de Benacerraf . Benacerraf notou que existem maneiras elementarmente equivalentes e teóricas dos conjuntos de relacionar os números naturais aos conjuntos puros . No entanto, se alguém pede as declarações de identidade "verdadeiras" para relacionar números naturais a conjuntos puros, então diferentes métodos da teoria dos conjuntos produzem declarações de identidade contraditórias quando esses conjuntos elementarmente equivalentes estão relacionados entre si. Isso gera uma falsidade teórica dos conjuntos. Conseqüentemente, Benacerraf inferiu que essa falsidade da teoria dos conjuntos demonstra que é impossível haver qualquer método platônico de reduzir números a conjuntos que revele quaisquer objetos abstratos.

Em segundo lugar, Benacerraf argumentou que as abordagens platônicas não passam no teste epistemológico . Benacerraf argumentou que não existe um método empírico ou racional para acessar objetos abstratos. Se os objetos matemáticos não são espaciais ou temporais, Benacerraf infere que tais objetos não são acessíveis por meio da teoria causal do conhecimento . O problema epistemológico fundamental, portanto, surge para o platônico oferecer uma explicação plausível de como um matemático com uma mente empírica limitada é capaz de acessar com precisão verdades eternas independentes da mente, do mundo e Foi a partir dessas considerações, do argumento ontológico e do argumento epistemológico, que as críticas antiplatônicas de Benacerraf motivaram o desenvolvimento do estruturalismo na filosofia da matemática.

Variedades

Stewart Shapiro divide o estruturalismo em três escolas principais de pensamento. Essas escolas são chamadas de ante rem , in re e post rem .

O estruturalismo ante rem ("antes da coisa"), ou estruturalismo abstrato ou abstracionismo (particularmente associado a Michael Resnik , Stewart Shapiro , Edward N. Zalta e Øystein Linnebo ) tem uma ontologia semelhante ao platonismo (ver também neo-lógico modal ) . As estruturas são consideradas como tendo uma existência real, mas abstrata e imaterial. Como tal, enfrenta o problema epistemológico padrão, conforme observado por Benacerraf, de explicar a interação entre tais estruturas abstratas e matemáticos de carne e osso.

O estruturalismo in re ("na coisa"), ou estruturalismo modal (particularmente associado a Geoffrey Hellman ), é o equivalente do realismo aristotélico (realismo em valor de verdade, mas anti-realismo sobre objetos abstratos em ontologia). As estruturas são consideradas existentes na medida em que algum sistema de concreto as exemplifica. Isso acarreta os problemas usuais de que algumas estruturas perfeitamente legítimas podem acidentalmente não existir, e que um mundo físico finito pode não ser "grande" o suficiente para acomodar algumas estruturas legítimas de outra forma. O realismo aristotélico de James Franklin também é um estruturalismo in re , argumentando que propriedades estruturais como a simetria são instanciadas no mundo físico e são perceptíveis. Em resposta ao problema de estruturas não instanciadas que são grandes demais para caber no mundo físico, Franklin responde que outras ciências também podem lidar com universais não instanciados; por exemplo, a ciência das cores pode lidar com um tom de azul que não ocorre em nenhum objeto real.

O estruturalismo post rem ("depois da coisa"), ou estruturalismo eliminativo (particularmente associado a Paul Benacerraf ), é anti-realista sobre as estruturas de uma forma paralela ao nominalismo . Como o nominalismo, a abordagem post rem nega a existência de objetos matemáticos abstratos com propriedades diferentes de seu lugar em uma estrutura relacional. De acordo com essa visão, os sistemas matemáticos existem e têm características estruturais em comum. Se algo é verdadeiro para uma estrutura, será verdadeiro para todos os sistemas que exemplificam a estrutura. No entanto, é meramente instrumental falar de estruturas sendo "mantidas em comum" entre sistemas: na verdade, elas não têm existência independente.

Veja também

Precursores

Referências

Bibliografia

links externos