matemática - Mathematics


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Euclides (segurando pinças ), matemático grego, século 3 aC, como imaginado por Raphael neste detalhe de A Escola de Atenas .

Matemática (do grego μάθημα MATHEMA "conhecimento, estudo, aprendizagem") inclui o estudo de temas como a quantidade , estrutura , espaço e mudança .

Os matemáticos a procurar e usar padrões de formular novas conjecturas ; eles resolvem a verdade ou falsidade de conjecturas pela prova matemática . Quando as estruturas matemáticas são bons modelos de fenómenos reais, então o raciocínio matemático pode fornecer informações ou previsões sobre a natureza. Através do uso de abstração e lógica , a matemática desenvolvida a partir de contagem , cálculo , medição , eo estudo sistemático das formas e movimentos de objetos físicos. Matemática prática tem sido uma atividade humana de tão longe para trás como registros escritos existir. A investigação necessária para resolver problemas matemáticos pode levar anos ou mesmo séculos de investigação sustentado.

Argumentos rigorosos apareceu pela primeira vez em matemática grega , mais notavelmente em Euclides 's Elements . Desde o trabalho pioneiro de Giuseppe Peano (1858-1932), David Hilbert (1862-1943), e outros em sistemas axiomáticas no final do século 19 , tornou-se habitual para ver a pesquisa matemática como estabelecer a verdade por rigorosa dedução de apropriadamente escolhidos axiomas e definições . Matemática desenvolvida a um ritmo relativamente lento até a Renaissance , quando inovações matemáticas que interagem com novas descobertas científicas conduziu a um aumento rápido da taxa de descoberta matemática que se prolonga até aos nossos dias.

Matemática é essencial em muitos campos, incluindo a ciência natural , engenharia, medicina, finanças e as ciências sociais . Matemática aplicada levou a inteiramente novas disciplinas matemáticas, tais como estatísticas e teoria dos jogos . Os matemáticos se envolver em matemática pura , ou matemática para seu próprio bem, sem ter qualquer aplicação em mente. Aplicações práticas para o que começou como matemática pura muitas vezes são descobertos.

História

O tablet matemática babilônica Plimpton 322, datado de 1800 aC.
Arquimedes utilizado o método de exaustão para aproximar o valor de pi .
Os numerais usados no manuscrito Bakhshali , datada de entre o segundo e o século AEC 2 século EC.

A história da matemática pode ser visto como uma série cada vez maior de abstrações . A primeira abstração, que é compartilhada por muitos animais, foi provavelmente a de números: a percepção de que uma coleção de duas maçãs e uma coleção de duas laranjas (por exemplo) têm algo em comum, ou seja, quantidade de seus membros.

Como evidenciado por contagens encontradas no osso, além de reconhecer como contar objetos físicos, pré-históricos povos podem ter também reconhecido como contar quantidades abstratas, como o tempo - dias, estações, anos.

Evidência para a matemática mais complexas não aparece até por volta de 3000  aC , quando os babilônios e egípcios começaram a usar a aritmética , álgebra e geometria para a tributação e outros cálculos financeiros, na construção civil, e para a astronomia . Os mais antigos textos matemáticos de Mesopotâmia e Egito são de 2000-1800 aC. Muitos textos antigos mencionam triplos pitagóricos e assim, por inferência, o Teorema de Pitágoras parece ser o desenvolvimento matemático mais antigo e difundido após a aritmética básica e geometria. É em matemática babilônica que aritmética elementar ( adição , subtração , multiplicação e divisão ) aparecem primeiro no registro arqueológico. Os babilônios também possuía um sistema de lugar-valor, e usou uma sexagesimal sistema numeral, ainda em uso hoje para medir ângulos e tempo.

A partir do século 6 aC com os pitagóricos , os gregos antigos iniciou um estudo sistemático da matemática como um assunto em seu próprio direito com matemática grega . Cerca de 300 aC, Euclides introduziu o método axiomático ainda usado em matemática hoje, composta por definição, axioma, teorema e prova. Seu livro Elements é amplamente considerado o livro mais bem sucedida e influente de todos os tempos. O maior matemático da antiguidade é muitas vezes tida como Arquimedes (c. 287-212 aC) de Syracuse . Desenvolveu fórmulas para calcular a área de superfície eo volume dos sólidos de revolução e utilizado o método de exaustão para calcular a área sob o arco de uma parábola com o somatório de uma série infinita , de uma maneira não muito diferente do cálculo moderno. Outras realizações notáveis da matemática grega são cónicas ( Apolônio de Perga , século 3 aC), trigonometria ( Hiparco de Nicéia (século 2 aC), e os começos da álgebra ( Diofante , século 3 dC).

O sistema de numeração hindu-arábico e as regras para o uso de suas operações, em uso em todo o mundo de hoje, evoluiu ao longo do primeiro AD milênio na Índia e foram transmitidas para o mundo ocidental através de matemática islâmica . Outros desenvolvimentos notáveis da matemática indianas incluem a definição moderna de seno e cosseno , e uma forma primitiva de séries infinitas .

Uma página de al-Khwarizmi Álgebra

Durante a Idade de Ouro do Islã , especialmente durante os séculos 9 e 10, a matemática vi muitos edifício inovações importantes em matemática grega. A realização mais notável da matemática islâmica foi o desenvolvimento de álgebra . Outras realizações notáveis do período islâmico são avanços na trigonometria esférica e a adição do ponto decimal para o sistema numeral árabe. Muitos matemáticos notáveis deste período foram persa, como a Al-Khwarismi , Omar Khayyam e Sharaf al-Din al-Tusi .

Durante o período moderno , a matemática começou a desenvolver a um ritmo acelerado na Europa Ocidental . O desenvolvimento de cálculos por Newton e Leibniz no século 17, revolucionou a matemática. Leonhard Euler foi o mais notável matemático do século 18, contribuindo numerosos teoremas e descobertas. Talvez o matemático mais importante do século 19 foi o matemático alemão Carl Friedrich Gauss , que fez inúmeras contribuições para áreas como álgebra , análise , geometria diferencial , teoria da matriz , teoria dos números e estatísticas . No início do século 20, Kurt Gödel transformado matemática através da publicação de seus teoremas da incompletude , que mostram que qualquer sistema axiomático que é consistente irá conter proposições improváveis.

Matemática desde então tem sido muito prolongado, e tem havido uma interação frutífera entre a matemática e ciência, para o benefício de ambos. Descobertas matemáticas continuam a ser feitas hoje. De acordo com Mikhail B. Sevryuk, na edição do janeiro 2006 Boletim da American Mathematical Society ", o número de papéis e livros incluídos no Mathematical Comentários banco de dados desde 1940 (o primeiro ano de funcionamento do MR) é agora mais do que 1,9 milhão, e mais de 75 mil itens são adicionados ao banco de dados a cada ano. a esmagadora maioria dos trabalhos neste oceano conter novas matemáticas teoremas e suas provas ".

Etimologia

A palavra matemática vem do grego antigo μάθημα ( MATHEMA ), que significa "aquilo que se aprende", "o que se fica a saber", daí também "estudo" e "ciência". A palavra para "matemática" veio a ter o sentido mais estreito e mais técnico "estudo matemático" mesmo em tempos clássicos. Sua adjetivo é μαθηματικός ( mathēmatikós ), significando "relacionadas com a aprendizagem" ou "estudioso", que também ainda veio a significar "matemática". Em particular, μαθηματικὴ τέχνη ( mathēmatikḗ TEKHNE ), Latin : mathematica ars , significava "a arte matemática".

Da mesma forma, um dos dois principais escolas de pensamento em Pythagoreanism era conhecido como o mathēmatikoi (μαθηματικοί) -que na época significava "professores" em vez de "matemáticos", no sentido moderno.

Em latim, e em Inglês, até por volta de 1700, o termo matemática mais comumente significava "astrologia" (ou às vezes "astronomia") em vez de "matemática"; o significado gradualmente alterada para o seu um presente de cerca de 1500 a 1800. Isto resultou em vários erros de tradução. Por exemplo, Saint Augustine a advertência de que os cristãos devem tomar cuidado com mathematici , ou seja, astrólogos, às vezes é mal traduzida como uma condenação de matemáticos.

A forma aparente plural em Inglês, como a forma plural Francês les mathématiques (e menos comumente usado singular derivado la mathématique ), vai voltar para o plural neutro Latina mathematica ( Cicero ), baseado no grego plural μαθηματικά τὰ ( ta mathēmatiká ), usado por Aristóteles (384-322 aC), e significa mais ou menos "todas as coisas matemática"; embora seja plausível que Inglês emprestado apenas o adjectivo matemático (ai) e forma o substantivo matemática de novo, após o padrão de física e metafísica , que foram herdadas de grego. Em Inglês, o substantivo matemática leva um verbo no singular. Muitas vezes, é encurtado para matemática ou, na América do Norte, matemática .

Definições de matemática

Leonardo Fibonacci , do matemático italiano que introduziu o sistema de numeração hindu-arábico inventado entre o 1º e 4º séculos por matemáticos indianos, para o mundo ocidental

Matemática tem nenhuma definição geralmente aceita . Aristóteles definiu a matemática como "a ciência da quantidade", e esta definição prevaleceu até o século 18. Galileo Galilei (1564-1642) disse: "O universo não pode ser lido até que tenhamos aprendido a linguagem e se familiarizar com os personagens em que está escrito. Ele é escrito em linguagem matemática, e as letras são triângulos, círculos e outra geométrica figuras, sem que significa que é humanamente impossível entender uma única palavra. sem estes, um está vagando em um labirinto escuro ". Carl Friedrich Gauss (1777-1855) que se refere à matemática como "a Rainha das Ciências". Benjamin Peirce (1809-1880) chamou a matemática "a ciência que tira as conclusões necessárias". David Hilbert disse da matemática: "Nós não estamos falando aqui de arbitrariedade em qualquer sentido Matemática não é como um jogo cujas tarefas são determinadas por regras arbitrariamente estipulado Pelo contrário, é um sistema conceitual possuindo necessidade interna que só pode ser assim e por.. significa que não há outra maneira ". Albert Einstein (1879-1955) afirmou que "na medida em que as leis da matemática se referem à realidade, eles não estão certos; e, tanto quanto eles estão certos, eles não se referem à realidade."

A partir do século 19, quando o estudo da matemática aumentou em rigor e começou a tratar de temas abstratos como a teoria do grupo e geometria projetiva , que não têm nenhuma relação clara a quantidade e medição, matemáticos e filósofos começaram a propor uma variedade de novo definições. Algumas destas definições enfatizam o caráter dedutivo de grande parte da matemática, alguns enfatizar a sua abstração, alguns enfatizam determinados temas dentro da matemática. Hoje, não há consenso sobre a definição de matemática prevalece, mesmo entre os profissionais. Não há sequer consenso sobre se a matemática é uma arte ou uma ciência. Um grande número de matemáticos profissionais não têm interesse em uma definição da matemática, ou considerá-lo indefinível. Alguns simplesmente dizer: "Matemática é que os matemáticos fazem."

Três principais tipos de definição de matemática são chamados logicista , intuitionist e formalista , cada um refletindo uma escola filosófica diferente de pensamento. Todos têm problemas graves, nenhum tem ampla aceitação, e não há reconciliação parece possível.

Uma das primeiras definições da matemática em termos de lógica era Benjamin Peirce 's 'a ciência que tira as conclusões necessárias'(1870). No Principia Mathematica , Bertrand Russell e Alfred North Whitehead avançou o programa filosófica conhecida como logicismo , e tentou provar que todos os matemáticos conceitos, declarações e princípios podem ser definidos e provou inteiramente em termos de lógica simbólica . Uma definição logicista da matemática é Russell "All Matemática é lógica simbólica" (1903).

Intuitionist definições, desenvolvendo a partir da filosofia do matemático LEJ Brouwer , identificar matemática com certos fenômenos mentais. Um exemplo de uma definição intuitionist é "A matemática é a atividade mental que consiste na realização constrói um após o outro." Uma peculiaridade do intuitionism é que ele rejeita algumas ideias matemáticas consideradas válidas de acordo com outras definições. Em particular, enquanto outras filosofias da matemática permitir que objetos que podem ser provadas a existir mesmo que não pode ser construído, intuitionism permite apenas objetos matemáticos que se pode realmente construir.

Formalistas definições identificar matemática com seus símbolos e as regras para operá-los. Haskell Curry definido matemática simplesmente como "a ciência dos sistemas formais". Um sistema formal é um conjunto de símbolos ou sinais , e algumas regras dizendo como os tokens podem ser combinados em fórmulas . Em sistemas formais, a palavra axioma tem um significado especial, diferente do significado comum de "uma verdade auto-evidente". Em sistemas formais, um axioma é uma combinação de símbolos que está incluído em um dado sistema formal sem a necessidade de ser derivado usando as regras do sistema.

Matemática como ciência

Carl Friedrich Gauss , conhecido como o príncipe dos matemáticos

O matemático alemão Carl Friedrich Gauss refere à matemática como "a Rainha das Ciências". Mais recentemente, Marcus du Sautoy chamou a matemática "a Rainha da Ciência ... a principal força motriz por trás descoberta científica". No original Latina Regina Scientiarum , bem como em alemão Königin der Wissenschaften , a palavra correspondente a ciência significa um "campo de conhecimento", e esse era o significado original de "ciência" em Inglês, também; a matemática é, nesse sentido, um campo de conhecimento. A especialização restringir o significado de "ciência" a ciência natural segue a ascensão da ciência baconiana , que contrastava "ciência natural" para a escolástica , o método aristotélico de inquirir de primeiros princípios . O papel de experimentação e observação empírica é negligenciável em matemática, em comparação com as ciências naturais, tais como a biologia , a química ou física . Albert Einstein afirmou que "na medida em que as leis da matemática se referem à realidade, eles não estão certos; e, tanto quanto eles estão certos, eles não se referem à realidade."

Muitos filósofos acreditam que a matemática não é experimentalmente falsificável , e, portanto, não uma ciência de acordo com a definição de Karl Popper . No entanto, na década de 1930 teoremas da incompletude de Gödel convenceu muitos matemáticos que a matemática não pode ser reduzida à lógica sozinho, e Karl Popper concluiu que "a maioria das teorias matemáticas são, como os de física e biologia , hipotético - dedutivo : matemática pura, portanto, acaba por ser muito mais mais perto das ciências naturais cujas hipóteses são conjecturas, que parecia ainda recentemente." Outros pensadores, nomeadamente Imre Lakatos , aplicou uma versão do falsificacionismo para a matemática em si.

Uma visão alternativa é que certos domínios científicos (tais como física teórica ) são matemática com axiomas que se destinam a corresponder à realidade. Ações de matemática muito em comum com muitos campos nas ciências físicas, nomeadamente a exploração das conseqüências lógicas de suposições. Intuição e experimentação também desempenham um papel na formulação de conjecturas em matemática e as ciências (outros). Matemática Experimental continua a crescer em importância dentro da matemática e computação e simulação estão desempenhando um papel cada vez maior tanto nas ciências e matemática.

As opiniões dos matemáticos sobre esta matéria são variados. Muitos matemáticos sentir que chamar sua área de uma ciência é minimizar a importância do seu lado estético, e sua história nas tradicionais sete artes liberais ; outros acham que a ignorar a sua conexão com as ciências é a de fechar os olhos para o fato de que a interface entre a matemática e suas aplicações em ciência e engenharia tem impulsionado muito desenvolvimento em matemática. Uma maneira esta diferença de ponto de vista joga fora é no debate filosófico sobre se a matemática é criado (como na arte) ou descoberto (como na ciência). É comum ver universidades divididos em seções que incluem uma divisão da Ciência e Matemática , indicando que os campos são vistos como sendo aliado, mas que eles não coincidem. Na prática, matemáticos são tipicamente agrupados com os cientistas do nível bruto mas separados em níveis mais finos. Esta é uma das muitas questões consideradas na filosofia da matemática .

Inspiração, matemática pura e aplicada, e estética

Isaac Newton
Gottfried Wilhelm von Leibniz
Isaac Newton (esquerda) e Gottfried Wilhelm Leibniz (direita), os desenvolvedores do cálculo infinitesimal

Matemática surge a partir de muitos tipos diferentes de problemas. No começo estes foram encontrados no comércio, medição de terras , arquitetura e mais tarde a astronomia ; Hoje, todas as ciências sugerem problemas estudados pelos matemáticos, e muitos problemas surgem dentro da própria matemática. Por exemplo, o físico Richard Feynman inventou a integração funcional de mecânica quântica usando uma combinação de raciocínio matemático e percepção física, e de hoje a teoria das cordas , uma teoria científica ainda em desenvolvimento, que tenta unificar as quatro forças fundamentais da natureza , continua a inspirar nova matemática.

Alguns matemática é relevante apenas na área que o inspirou, e é aplicada para resolver mais problemas nessa área. Mas muitas vezes matemática inspirado por uma área se mostrou útil em muitas áreas, e junta-se ao estoque geral de conceitos matemáticos. É feita uma distinção entre muitas vezes matemática pura e matemática aplicada . No entanto tópicos matemática pura, muitas vezes vir a ter aplicações, por exemplo, a teoria dos números em criptografia . Este fato notável, que até mesmo a matemática "puros", muitas vezes acaba por ter aplicações práticas, é o que Eugene Wigner chamou de " a eficácia razoável da matemática ". Como na maioria das áreas de estudo, a explosão do conhecimento na era científica levou à especialização: agora existem centenas de áreas especializadas em matemática e as últimas Matemática Assunto Classificação corre para 46 páginas. Várias áreas de matemática aplicada se fundiram com tradições relacionados fora da matemática e tornar-se disciplinas em seu próprio direito, incluindo estatísticas, operações de investigação e ciência da computação .

Para aqueles que estão matematicamente inclinado, muitas vezes há um aspecto estético definitiva para muito da matemática. Muitos matemáticos falam sobre a elegância da matemática, suas intrínsecas estética e beleza interior. Simplicidade e generalidade são valorizados. Há beleza em um simples e elegante prova , como Euclides prova de que existem infinitos números primos , e em um elegante método numérico que acelera o cálculo, como a transformação rápida de Fourier . GH Hardy em Apologia do Matemático expressa a crença de que estas considerações estéticas são, em si, suficiente para justificar o estudo da matemática pura. Ele identificou critérios como relevância, inesperado, inevitabilidade e economia como fatores que contribuem para a estética matemática. Os matemáticos muitas vezes se esforçam para encontrar provas que são particularmente elegante, provas de "The Book" de Deus de acordo com Paul Erdős . A popularidade de matemática recreativa é mais um sinal do prazer muitos encontram para resolver questões matemáticas.

Notação, linguagem e rigor

Leonhard Euler , que criou e popularizou muito da notação matemática usada hoje

A maior parte da notação matemática em uso hoje não foi inventado até o século 16. Antes disso, a matemática foi escrito em palavras, limitando descoberta matemática. Euler (1707-1783) foi responsável por muitas das notações em uso hoje. Notação moderna faz a matemática muito mais fácil para o profissional, mas os novatos muitas vezes acham difícil. De acordo com Barbara Oakley , isso pode ser atribuído ao fato de que as ideias matemáticas são tanto mais abstrato e mais cifrada do que aqueles da linguagem natural. Ao contrário de linguagem natural, onde as pessoas muitas vezes pode igualar uma palavra (como a vaca ) com o objeto físico que corresponde a, símbolos matemáticos são abstratas, sem qualquer analógico física. Símbolos matemáticos também são mais altamente criptografadas que palavras regulares, ou seja, um único símbolo pode codificar um número de diferentes operações ou idéias.

Linguagem matemática pode ser difícil de entender para iniciantes, pois até mesmo termos comuns, como ou e única , tem um significado mais preciso do que eles têm na linguagem corrente, e outros termos como aberto e campo referem-se a idéias matemáticas específicas, não abrangidos pela sua significados leigos. Linguagem matemática também inclui muitos termos técnicos como homeomorphism e integrável que não têm significado fora da matemática. Além disso, frases taquigrafia como sse para " se e somente se " pertencem ao jargão matemático . Há uma razão para a notação especial e vocabulário técnico: matemática requer mais precisão do que a fala cotidiana. Os matemáticos se referem a esta precisão da linguagem e da lógica como "rigor".

Prova matemática é fundamentalmente uma questão de rigor . Os matemáticos querem que seus teoremas a seguir a partir de axiomas por meio de raciocínio sistemático. Isso é para evitar "equivocadas teoremas ", com base em intuições falíveis, dos quais muitos casos ocorreram na história do sujeito. O nível de rigor esperado em matemática tem variado ao longo do tempo: os gregos esperava argumentos detalhados, mas no momento da Isaac Newton os métodos empregados eram menos rigorosos. Problemas inerentes as definições utilizadas por Newton levaria a um ressurgimento de uma análise cuidadosa e prova formal no século 19. Incompreensão o rigor é um motivo de alguns dos equívocos comuns de matemática. Hoje, os matemáticos continuam a discutir entre si sobre provas assistidas por computador . Desde grandes cálculos são difíceis de verificar, tais provas podem não ser suficientemente rigoroso.

Axiomas do pensamento tradicional eram "verdades auto-evidentes", mas essa concepção é problemática. Em um nível formal, um axioma é apenas uma seqüência de símbolos, que tem um significado intrínseco apenas no contexto de todos deriváveis fórmulas de um sistema axiomático . Foi o objetivo de programa de Hilbert para colocar toda a matemática em uma base axiomática firme, mas de acordo com teorema da incompletude de Gödel cada (suficientemente poderosa) sistema axiomático tem indecidíveis fórmulas; e assim uma final axiomatization da matemática é impossível. No entanto matemática é muitas vezes imaginava ser (tanto quanto o seu conteúdo formal) nada, mas a teoria dos conjuntos , de alguma axiomatization, no sentido de que cada declaração matemática ou a prova poderia ser lançado no fórmulas dentro teoria dos conjuntos.

Campos da matemática

Um ábaco , uma ferramenta de cálculo simples usado desde os tempos antigos

Matemática pode, em termos gerais, ser subdividido no estudo da quantidade, estrutura, espaço, e alteração (isto é aritmética , álgebra , geometria , e análise ). Além destas principais preocupações, também existem subdivisões dedicados às ligações explorando do coração da matemática para outros campos: a lógica , a teoria dos conjuntos ( fundações ), à matemática empíricos das várias ciências ( matemática aplicada ) e, mais recentemente para o estudo rigoroso de incerteza . Enquanto algumas áreas pode parecer independentes, o programa Langlands descobriu conexões entre áreas que se pensava alheio, como grupos de Galois , superfícies de Riemann e teoria dos números .

Fundações e filosofia

A fim de esclarecer os fundamentos da matemática , os campos de lógica matemática e teoria dos conjuntos foram desenvolvidos. Lógica matemática inclui o estudo matemático da lógica e as aplicações da lógica formal para outras áreas da matemática; teoria dos conjuntos é o ramo da matemática que estuda conjuntos ou coleções de objetos. Teoria da categoria , que trata de um modo abstrato com estruturas matemáticas e as relações entre eles, ainda está em desenvolvimento. A "crise de fundações" frase descreve a busca de uma fundamentação rigorosa para a matemática que ocorreram a partir de cerca de 1900 a 1930. Alguns desacordo sobre os fundamentos da matemática continua até os dias atuais. A crise de fundações foi estimulado por uma série de controvérsias no momento, incluindo a controvérsia sobre a teoria dos conjuntos de Cantor ea controvérsia Brouwer-Hilbert .

Lógica matemática está preocupado com a definição matemática dentro de um rigoroso axiomático quadro, e estudando as implicações de tal quadro. Como tal, é o lar de teoremas da incompletude de Gödel que (informalmente) implica que qualquer eficaz sistema formal que contenha a aritmética básica, se som (o que significa que todos os teoremas que podem ser provadas são verdadeiras), é necessariamente incompleta (o que significa que existem verdadeiros teoremas que não pode ser provado nesse sistema ). Seja qual for o conjunto finito de axiomas número teórico é tomado como base, Gödel mostrou como construir uma declaração formal que é um fato verdadeiro número teórico, mas que não segue a partir desses axiomas. Portanto, nenhum sistema formal é uma axiomatização completa da teoria dos números completo. A lógica moderna é dividido em teoria da recursão , teoria de modelos e teoria da prova , e está intimamente ligada à ciência da computação teórica , bem como a teoria da categoria . No contexto da teoria da recursão, a impossibilidade de uma axiomatização completa da teoria dos números pode também ser formalmente demonstrou como uma consequência do teorema MRDP .

Ciência da computação teórica inclui teoria da computabilidade , teoria da complexidade computacional e teoria da informação . Teoria da computabilidade examina as limitações de vários modelos teóricos do computador, incluindo o modelo mais conhecido - a máquina de Turing . A teoria da complexidade é o estudo de tratabilidade por computador; alguns problemas, embora teoricamente solucionável por computador, são tão caros em termos de tempo ou espaço que resolvê-los é provável que se mantenha praticamente inviável, mesmo com o rápido avanço de hardware de computador. Um problema famoso é o " P = NP ? Problema", um dos Problemas do Prémio Millennium . Finalmente, a teoria da informação está relacionada com a quantidade de dados que pode ser armazenado em um dado meio, e, portanto, trata com conceitos tais como compressão e entropia .

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lógica matemática Teoria de conjuntos teoria da categoria Teoria da Computação

matemática pura

Quantidade

O estudo da quantidade começa com números, primeiro os familiares números naturais e inteiros ( "números inteiros") e operações aritméticas sobre eles, que são caracterizados em aritmética . As propriedades mais profundas dos números inteiros são estudadas na teoria dos números , de onde vem esses resultados populares como o Último Teorema de Fermat . A primos gêmeos conjecturas e conjectura de Goldbach são dois problemas não resolvidos na teoria dos números.

À medida que o sistema de numeração é mais desenvolvida, os números inteiros são reconhecidos como um subconjunto dos números racionais ( " fracções "). Estes, por sua vez, estão contidos dentro dos números reais , que são usados para representar contínuas quantidades. Os números reais são generalizados para números complexos . Estes são os primeiros passos de uma hierarquia de números que passa a incluir quaternions e octoniones . Consideração dos números naturais também leva aos números transfinitos , que formalizam o conceito de " infinito ". De acordo com o teorema fundamental da álgebra todas as soluções de equações em um desconhecido com coeficientes complexos são números complexos, independentemente do grau. Outra área de estudo é o tamanho dos conjuntos, a qual é descrita com os números cardinais . Estes incluem os números de aleph , que permitem uma comparação significativa da dimensão do infinitamente grandes conjuntos.

números naturais inteiros Números racionais Numeros reais Números complexos

Estrutura

Muitos objectos matemáticos, tais como conjuntos de números e funções , exibem estrutura interna, como consequência de operações ou relações que são definidos no conjunto. Matemática depois estuda propriedades desses conjuntos que podem ser expressas em termos de estrutura que; por exemplo teoria número estuda propriedades do conjunto de números inteiros que podem ser expressas em termos de aritméticas operações. Além disso, acontece frequentemente que diferentes tais conjuntos estruturados (ou estruturas ) exibem propriedades semelhantes, o que torna possível, por um passo adicional de abstracção , a estado axioma para uma classe de estruturas, e, em seguida, o estudo de uma só vez toda a classe de estruturas que satisfaçam estes axiomas. Assim, pode-se estudar grupos , anéis , campos e outros sistemas de sumário; em conjunto estes estudos (por estruturas definidas pelas operações algébricas) constituem o domínio de álgebra abstrato .

Por sua grande generalidade, álgebra abstrata muitas vezes pode ser aplicada a problemas aparentemente não relacionados; por exemplo, uma série de problemas antigos relativos a construções régua e compasso foram finalmente resolvidos usando a teoria de Galois , que envolve a teoria de campo e teoria de grupos. Outro exemplo de uma teoria algébrico é álgebra linear , que é o estudo geral de espaços vector , cujos elementos chamados vectores têm tanto a quantidade e direcção, e pode ser utilizado para modelar as relações entre () pontos no espaço. Este é um exemplo do fenômeno que as áreas originalmente não relacionados de geometria e álgebra tem muito fortes interações na matemática moderna. Combinatória estuda maneiras de enumerar o número de objetos que se encaixam uma determinada estrutura.

Elíptica simple.svg curva cube.svg de Rubik D6.svg diagdram grupo Malha da divisibilidade da 60.svg Braid-modular-group-cover.svg
combinatória Teoria dos Números teoria dos grupos teoria dos grafos teoria de ordem Álgebra

Espaço

O estudo do espaço origina com geometria  - em particular, a geometria Euclidiana , que combina espaço e números, e engloba o bem-conhecido teorema de Pitágoras . Trigonometria é o ramo da matemática que lida com relações entre os lados e os ângulos de triângulos e com as funções trigonométricas. O estudo moderno do espaço generaliza estas ideias para incluir geometria, de dimensão superior geometrias não-euclidianas (que desempenham um papel central na relatividade geral ) e topologia . Quantidade e espaço tanto desempenhar um papel na geometria analítica , geometria diferencial e geometria algébrica . Convex e geometria discreta foram desenvolvidos para resolver problemas na teoria dos números e análise funcional , mas agora são perseguidos com um olho em aplicações em otimização e ciência da computação . Dentro geometria diferencial são os conceitos de feixes de fibras e o cálculo em colectores , em particular, do vetor e cálculo tensor . Dentro geometria algébrico é a descrição de objectos geométricos como conjuntos de soluções de polinomiais equações, que combina os conceitos de quantidade e de espaço, e também no estudo de grupos topológicos , que combinam estrutura e espaço. Grupos de Lie são utilizados para estudar o espaço, a estrutura e mudança. Topologia em todas as suas muitas ramificações pode ter sido a maior área de crescimento na matemática do século 20; inclui topologia de ponto-conjunto , definir-teórico topologia , topologia algébrica e topologia diferencial . Em particular, os casos de topologia moderna são teoria metrizability , teoria dos conjuntos axiomática , teoria da homotopia e teoria de Morse . Topologia também inclui o agora resolvido conjectura de Poincaré , e as áreas ainda não resolvidos da conjectura Hodge . Outros resultados em geometria e topologia, incluindo o teorema de quatro cores e Kepler conjectura , foram provados apenas com a ajuda de computadores.

Ilustração para a prova da theorem.svg Pitágoras de Euclides Sinusvåg 400px.png triangle.svg hiperbólica Torus.svg Mandel zoom 07 satellite.jpg ilustração medida (Vector) .svg
Geometria Trigonometria geometria diferencial topologia A geometria fractal teoria da medida

mudança

Compreender e descrever a mudança é um tema comum nas ciências naturais , e cálculo foi desenvolvido como uma ferramenta poderosa para investigá-lo. Funções surgem aqui, como um conceito central que descreve uma quantidade mudando. O estudo rigoroso de números reais e funções de uma variável real é conhecido como análise real , com análise complexa o campo equivalente para os números complexos . Análise funcional focaliza a atenção sobre (geralmente de dimensão infinita) espaços de funções. Uma das muitas aplicações da análise funcional é a mecânica quântica . Muitos problemas levam naturalmente para as relações entre a quantidade e sua taxa de mudança, e estes são estudados como equações diferenciais . Muitos fenômenos na natureza pode ser descrita por sistemas dinâmicos ; teoria do caos faz precisas as maneiras pelas quais muitos destes sistemas apresentam imprevisível mas ainda determinística comportamento.

Integrante como região sob curve.svg field.svg Vector Navier Stokes Laminar.svg Limitcycle.svg Lorenz attractor.svg grade Conformal depois de Möbius transformation.svg
Cálculo cálculo vetorial Equações diferenciais sistemas dinâmicos Teoria do caos análise complexa

Matemática Aplicada

Matemática Aplicada se preocupa com métodos matemáticos que são normalmente utilizados em ciência, engenharia, negócios e indústria. Assim, "matemática aplicada" é uma ciência matemática com conhecimento especializado. O termo matemática aplicada também descreve a especialidade profissional em que os matemáticos trabalhar em problemas práticos; como uma profissão focada em problemas práticos, matemática aplicada centra-se na "formulação, estudo e uso de modelos matemáticos" em ciência, engenharia e outras áreas da prática matemática.

No passado, as aplicações práticas têm motivado o desenvolvimento de teorias matemáticas, que depois se tornou o objeto de estudo em matemática pura, onde a matemática é desenvolvido principalmente para seu próprio bem. Assim, a actividade de matemática aplicada é vitalmente com a pesquisa em matemática pura .

Estatísticas e outras ciências da decisão

Matemática Aplicada tem sobreposição significativa com a disciplina de estatísticas, cuja teoria é formulada matematicamente, especialmente com a teoria da probabilidade . Estatísticos (trabalhando como parte de um projeto de pesquisa) "criar dados que faz sentido", com amostragem aleatória e com randomizados experimentos ; o desenho de uma amostra estatística ou experiência especifica a análise dos dados (antes de estar disponíveis os dados). Quando reconsiderando dados de experimentos e amostras ou ao analisar dados de estudos observacionais , os estatísticos "fazer sentido dos dados" usando a arte da modelagem e da teoria da inferência  - com seleção de modelos e estimativas ; os modelos estimados e consequentes previsões devem ser testados em novos dados .

Teoria estatística estudos problemas de decisão , tais como minimizar o risco ( perda esperada ) de uma acção estatística, como o uso de um procedimento , por exemplo, estimativa de parâmetros , teste de hipóteses , e selecionar o melhor . Nessas áreas tradicionais de estatística matemática , um problema estatístico-decisão é formulado, minimizando a função objetivo , como perda esperada ou custo , sob restrições específicas: por exemplo, a concepção de um estudo geralmente envolve minimizar o custo de estimar uma média da população com uma determinada nível de confiança. Por causa de seu uso de otimização , a teoria matemática das estatísticas partilha das preocupações com outras ciências da decisão , como a pesquisa de operações , teoria de controle e economia matemática .

matemática computacional

Matemática computacional propõe e estudos de métodos de resolução de problemas matemáticos que são tipicamente muito grande para a capacidade numérica humana. Análise Numérica estudos métodos para problemas em análise utilizando análise funcional e teoria da aproximação ; análise numérica inclui o estudo da aproximação e discretização amplamente com preocupação especial para erros de arredondamento . Análise numérica e, mais amplamente, computação científica também estudam tópicos não-analíticas da ciência matemática, especialmente algorítmica matriz e teoria dos grafos . Outras áreas de matemática computacional incluem álgebra computacional e computação simbólica .

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prêmios matemáticos

Sem dúvida o mais prestigioso prêmio em matemática é a medalha Fields , criada em 1936 e concedido a cada quatro anos (exceto em torno da Segunda Guerra Mundial) para até quatro pessoas. A medalha Fields é muitas vezes considerado um equivalente matemático para o Prêmio Nobel.

O Prêmio Wolf em Matemática , instituído em 1978, reconhece a realização da vida, e outro prêmio internacional importante, o Prêmio Abel , foi instituído em 2003. A medalha Chern foi introduzido em 2010 para reconhecer a realização da vida. Estas distinções são concedidos em reconhecimento de um corpo particular de trabalho, que pode ser inovadora, ou fornecer uma solução para um problema pendente em um campo estabelecido.

A famosa lista de 23 problemas abertos , chamados de " Problemas de Hilbert ", foi compilado em 1900 pelo matemático alemão David Hilbert . Esta lista obteve grande celebridade entre os matemáticos, e pelo menos nove dos problemas já foram resolvidos. Uma nova lista de sete problemas importantes, intitulado " Problemas do Prémio Millennium ", foi publicado em 2000. Apenas um deles, a hipótese de Riemann , duplica um dos Problemas de Hilbert. A solução para qualquer um desses problemas carrega uma recompensa de US $ 1 milhão.

Veja também

Notas

notas de rodapé

Referências

Outras leituras

  • Benson, Donald C. (2000). O Momento da Prova: Epiphanies matemáticos . Imprensa da Universidade de Oxford. ISBN  978-0-19-513919-8 .
  • Davis, Philip J .; Hersh, Reuben (1999). A experiência matemática (ed Reimpressão.). Mariner Books. ISBN  978-0-395-92968-1 .
  • Gullberg, Jan (1997). Matemática: do nascimento dos Números (1ª ed.). WW Norton & Company. ISBN  978-0-393-04002-9 .
  • Hazewinkel, Michiel, ed. (2000). Encyclopaedia of Mathematics . Kluwer Academic Publishers. - A versão traduzida e uma enciclopédia matemática Soviética expandido, em dez volumes. Também em paperback e em CD-ROM e on-line .
  • Jourdain, Philip EB (2003). "A natureza da matemática". Em James R. Newman. O mundo da matemática . Dover Publications. ISBN  978-0-486-43268-7 .
  • Maier, Annaliese (1982). Steven Sargent, ed. No limiar de Ciências Exatas: Escritos de Annaliese Maier selecionados em Medieval Filosofia Natural . Filadélfia: University of Pennsylvania Press.

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