Similaridade de matriz - Matrix similarity

Em álgebra linear , dois n -by- n matrizes A e B são chamados semelhante se existir um invertível n -by- n matriz P tal que

Matrizes semelhantes representam o mesmo mapa linear sob duas (possivelmente) bases diferentes , com P sendo a mudança da matriz de base .

Uma transformação UmP -1 AP é chamado uma transformação de semelhança ou conjugação da matriz Uma . No grupo linear geral , similaridade é, portanto, o mesmo que conjugação , e matrizes semelhantes também são chamadas de conjugadas ; no entanto, em um determinado subgrupo H do grupo linear geral, a noção de conjugação pode ser mais restritiva do que similaridade, uma vez que exige que P ser escolhido para se deitar na H .

Exemplo motivador

Ao definir uma transformação linear, pode ser que uma mudança de base resulte em uma forma mais simples da mesma transformação. Por exemplo, a matriz que representa uma rotação em R 3 quando o eixo de rotação não está alinhado com o eixo das coordenadas pode ser complicada de calcular. Se o eixo de rotação estivesse alinhado com o eixo z positivo , seria simplesmente

onde está o ângulo de rotação. No novo sistema de coordenadas, a transformação seria escrita como

onde x ' e y' são respectivamente os vetores original e transformado em uma nova base contendo um vetor paralelo ao eixo de rotação. Na base original, a transformação seria escrita como

onde vectores de x e y e o desconhecido matriz de transformação T estão na base original. Para escrever T em termos de matriz simples, usamos a matriz de mudança de base P que transforma x e y como e :

Assim, a matriz na base original é dada por . A transformação na base original é considerada o produto de três matrizes fáceis de derivar. Com efeito, a transformação de similaridade opera em três etapas: mude para uma nova base ( P ), execute a transformação simples ( S ) e mude de volta para a base antiga ( P −1 ).

Propriedades

Similaridade é uma relação de equivalência no espaço de matrizes quadradas.

Como as matrizes são semelhantes se e somente se representam o mesmo operador linear em relação a (possivelmente) bases diferentes, matrizes semelhantes compartilham todas as propriedades de seu operador subjacente compartilhado:

Devido a isso, para uma dada matriz A , um está interessada em encontrar um simples "forma normal" B , que é semelhante a uma -a estudo de uma então reduz-se ao estudo da matriz mais simples B . Por exemplo, A é denominado diagonalizável se for semelhante a uma matriz diagonal . Nem todas as matrizes são diagonalizáveis, mas pelo menos sobre os números complexos (ou qualquer campo algébricamente fechado ), cada matriz é semelhante a uma matriz na forma de Jordan . Nenhuma dessas formas é única (entradas diagonais ou blocos de Jordan podem ser permutados), portanto, não são formas realmente normais ; além disso, sua determinação depende de ser capaz de fatorar o polinômio mínimo ou característico de A (de forma equivalente para encontrar seus autovalores). A forma canônica racional não tem essas desvantagens: ela existe em qualquer campo, é verdadeiramente única e pode ser calculada usando apenas operações aritméticas no campo; A e B são semelhantes se e somente se eles têm a mesma forma canônica racional. A forma canônica racional é determinada pelos divisores elementares de A ; estes podem ser lidos imediatamente de uma matriz na forma de Jordan, mas também podem ser determinados diretamente para qualquer matriz calculando a forma normal de Smith , sobre o anel de polinômios, da matriz (com entradas polinomiais) XI n - A (o mesmo aquele cujo determinante define o polinômio característico). Observe que esta forma normal de Smith não é uma forma normal do próprio A ; além disso, também não é semelhante a XI n - A , mas obtido deste último por multiplicações à esquerda e à direita por diferentes matrizes invertíveis (com entradas polinomiais).

A similaridade das matrizes não depende do campo base: se L é um campo contendo K como um subcampo , e A e B são duas matrizes sobre K , então A e B são semelhantes como matrizes sobre K se e somente se eles são semelhantes como matrizes sobre G . Isto é assim porque a forma canônica racional sobre K é também a forma canônica racional sobre L . Isso significa que pode-se usar formas Jordan que existem apenas em um campo maior para determinar se as matrizes fornecidas são semelhantes.

Na definição de similaridade, se a matriz P pode ser escolhida para ser uma matriz de permutação, então A e B são semelhantes em termos de permutação; se P pode ser escolhido para ser uma matriz unitária, então A e B são unitariamente equivalentes. O teorema espectral diz que toda matriz normal é unitariamente equivalente a alguma matriz diagonal. O teorema de Specht afirma que duas matrizes são unitariamente equivalentes se e somente se satisfizerem certas igualdades de traço.

Veja também

Notas

Referências

  • Beauregard, Raymond A .; Fraleigh, John B. (1973), A First Course In Linear Algebra: with Optional Introduction to Groups, Rings, and Fields , Boston: Houghton Mifflin Co. , ISBN 0-395-14017-X
  • Bronson, Richard (1970), Matrix Methods: An Introduction , Nova York: Academic Press , LCCN  70097490
  • Horn e Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN  0-521-38632-2 . (A similaridade é discutida em muitos lugares, começando na página 44.)