subgrupo compacto máximo - Maximal compact subgroup

Em matemática , uma máxima subgrupo compacto K de um grupo topológico L é um subgrupo K que é um espaço compacto , na topologia subespaço , e máxima entre estes subgrupos.

Subgrupos compactos máximas desempenhar um papel importante na classificação de grupos de Lie e grupos de Lie especialmente semi-simples. Subgrupos compactos máximas de grupos de Lie são não , em geral única, mas são únicos até conjugação - são essencialmente único .

Exemplo

Um exemplo seria o subgrupo O (2), o grupo ortogonal , no interior do grupo linear geral GL (2, R ). Um exemplo relacionado é o grupo círculo SO (2) dentro de SL (2, R ) . Evidentemente SO (2) no interior GL (2, R ) é compacto e não máxima. A não especificidade destes exemplos pode ser vista como qualquer produto interno tem um grupo ortogonal associado, e a singularidade essencial corresponde à singularidade essencial do produto interior.

Definição

Um subgrupo compacta máxima é um subgrupo máxima entre subgrupos compactos - uma máxima (subgrupo compacto) - em vez do ser (leitura alternativa possível) um subgrupo máxima que passa a ser compacto; que provavelmente seria chamado de um compacto (subgrupo máxima) , mas em qualquer caso não é o significado pretendido (e de fato subgrupos apropriados máximas não estão em compacto geral).

Existência e unicidade

O teorema de Cartan-Iwasawa-Malcev afirma que todos os grupo de Lie ligado (e de facto cada grupo ligado localmente compacto) admite subgrupos compactos máximas e que todos eles são conjugado para um outro. Para um grupo de Lie semisimples singularidade é uma consequência do teorema ponto Cartan fixo , o qual afirma que, se um grupo compacto actua por isometries numa simplesmente ligado completa negativamente curvo Riemaniano multiplicado , em seguida, que tem um ponto fixo.

Subgrupos compactos máximas de grupos de Lie ligados são geralmente não exclusivo, mas eles são únicos para cima para a conjugação, o que significa que, dada dois subgrupos compactos máximas de K e L , existe um elemento gG tal que GKG -1 = L -, portanto, um compacto mima subgrupo é essencialmente único , e muitas vezes as pessoas falam de "o" subgrupo compacto máximo.

Para o exemplo do grupo linear geral GL ( n , R ), isto corresponde ao facto de qualquer produto interno em R n define uma (compacta) grupo ortogonal (o seu grupo isometría) - e que admite uma base ortonormal: a mudança de base define o elemento conjugar conjugar o grupo isometría para o grupo o ortogonal clássica ( n , R ).

provas

Para um grupo de Lie semisimple real, a prova da existência e unicidade de um subgrupo compacto máximo de Cartan pode ser encontrado no Borel (1950) e Helgason (1978) . Cartier (1955) e Hochschild (1965) discutem a extensão de grupos de Lie ligados e conectados localmente grupos compactos.

Por grupos semi-simples, a existência é uma consequência da existência de um compacto forma real do grupo de Lie não compactos semisimples e o correspondente decomposição Cartan . A prova da singularidade se baseia no fato de que o correspondente Riemannian simétrica espaço G / K tem curvatura negativa e teorema de ponto fixo de Cartan. Mostow (1955) mostraram que o derivado do mapa exponencial em qualquer ponto de L / K satisfaz | d exp X | ≥ | X |. Isto implica que G / K é um espaço de Hadamard , ou seja, um espaço completo satisfazendo uma forma enfraquecida da regra de paralelogramo em um espaço euclidiano. Singularidade pode então ser deduzida a partir do ponto fixo teorema Bruhat-Tits . Na verdade, qualquer conjunto fechado delimitado em um espaço Hadamard está contido em uma bola fechada menor única, cujo centro é chamado de circuncentro . Em particular um grupo compacto deliberando por isometries deve fixar o circuncentro de cada uma de suas órbitas.

A prova da especificidade para grupos semisimples

Mostow (1955) também relacionada com o problema geral de grupos semisimples para o caso de GL ( n , R ). O espaço correspondente simétrico é o espaço de matrizes simétricas positivos. Uma prova direta da singularidade contando com propriedades elementares desse espaço é dado em Hilgert & Neeb (2012) .

Vamos ser uma verdadeira álgebra de Lie semisimple com Cartan involução σ. Assim, o subgrupo ponto fixo de σ é o subgrupo compacta máxima K e existe uma decomposição autoespaço

onde , a álgebra de Lie de K , é o +1 eigenspace. A decomposição Cartan dá

Se B é a forma de Killing em dada por B ( X , Y ) = Tr (ad X) (ad-Y), em seguida

é um produto interno real sobre . Sob a representação adjunta, K é o subgrupo de L que preserva este produto interno.

Se H é um outro subgrupo compacto de G , então a média do produto interno ao longo H em relação à medida de Haar dá uma invariante produto interno sob H . A operadores Ad p com p em P são simétricas operadores positivos. Esta nova produst interna pode ser escrita como

em que S é um operador simétrico positivo em tais que a DA ( h ) t S Ad h = S para H em H (com os transpostas calculados com respeito ao produto interno). Além disso, para x em L ,

Assim, para h em H ,

Para X em definir

Se e i é uma base ortonormal de vectores próprios para S com i = λ i e i , então

de modo que f é estritamente positivo e tende a ∞ como | X | tende a ∞. Na verdade, esta norma é equivalente à norma operador no simétrica operadores ad X e cada um diferente de zero valor próprio ocorre com a sua negativa, desde que eu ad X é um operador de inclinação-adjunta na forma real compacto .

Então f tem um mínimo global em Y dizer. Este mínimo é único, porque se Z fosse outro, em seguida,

onde X em é definido pela decomposição Cartan

Se f i é uma base ortonormal de autovetores de anúncio X com valores próprios reais correspondente u i , em seguida,

Desde que o lado direito é uma combinação positiva de exponenciais, o valor real função g é estritamente convexa se X ≠ 0, portanto, tem um mínimo único. Por outro lado, isso tem mínimos locais em t = 0 e t = 1, portanto, X = 0 e p = exp Y é o mínimo global única. Por construção de f ( x ) = f (σ ( h ) xh -1 ) para h em H , de modo que p = σ ( h ) pH -1 por h em H . Daí σ ( h ) = php -1 . Por conseguinte, se g = exp Y / 2, GHG -1 é fixado por σ e, portanto, encontra-se em K .

aplicações

teoria da representação

Subgrupos compactos máximas desempenhar um papel fundamental na teoria da representação quando G não é compacto. Nesse caso, um máximo compacto subgrupo K é um grupo de Lie compacto (uma vez que um subgrupo fechado de um grupo de Lie é um grupo de Lie), para os quais a teoria é mais fácil.

As operações relativas as teorias da representação de G e K estão restringindo representações de G a K , e induzindo representações de K a G , e estes são muito bem compreendidos; sua teoria que inclui de funções esféricas .

topologia

A topologia algébrica dos grupos de Lie também é amplamente realizada por um subgrupo compacta máxima K . Para ser mais preciso, um grupo de Lie ligado é um produto topológico (embora não seja um produto teórico grupo) de um compacto máxima K e um espaço euclidiano - L = K × R d - assim, em particular, K é um retrair deformação do L, e é homotopy equivalente , e, portanto, eles têm os mesmos grupos de homotopia . Com efeito, a inclusão e a retracção deformação são equivalências homotopia .

Para o grupo linear geral, esta decomposição é a decomposição Code , e a retracção deformação é o processo de Gram-Schmidt . Para um grupo de Lie semisimples geral, a decomposição é a decomposição Iwasawa de G como G = KAN em que K ocorre em um produto com um contraível subgrupo AN .

Veja também

Notas

Referências

  • Borel, Armand (1950), Sous-groupes compactos maximaux des groupes de Lie (Exposé N ° 33) , Séminaire Bourbaki, 1
  • Cartier, P. (1955), Estrutura topologique des groupes généraux Lie de (Exposé No. 22) , Séminaire "Sophus Lie", 1
  • Dieudonné, J. (1977), os grupos de Lie compactos e grupos de Lie semisimples, Capítulo XXI , Treatise on análise, 5 , Academic Press, ISBN  012215505X
  • Helgason, Sigurdur (1978), Geometria Diferencial, grupos de Lie e espaços simétricos , Academic Press, ISBN  978-0-12-338460-7
  • Hilgert, Joachim; Neeb, Karl-Hermann (2012), Estrutura e geometria de grupos de Lie , monografias Springer em matemática, Springer, ISBN  0387847944
  • Hochschild, G. (1965), A estrutura de grupos de Lie , Holden-Dia
  • Mostow, GD (1955), Alguns novos teoremas de decomposição dos grupos semi-simples , Mem. Amer. Matemática. Soc., 14 , pp. 31-54
  • Onishchik, AL; Vinberg, EB (1994), Lie Grupos e Lie Algebras III: Estrutura de Grupos de Lie e Lie Algebras , Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 41 , Springer, ISBN  9783540546832
  • Malcev, A. (1945), "Na teoria de grupos de Lie na grande", Mat.Sbornik , 16 : 163-189
  • Iwasawa, K. (1949), "Em alguns tipos de grupos topológicos", Ann. de matemática. , 50 : 507-558, DOI : 10,2307 / 1969548