Ideal máximo - Maximal ideal

Em matemática , mais especificamente na teoria dos anéis , um ideal máximo é um ideal que é máximo (com relação à inclusão de conjuntos ) entre todos os ideais adequados . Em outras palavras, que é um máximo ideal de um anel R , se não houver outros ideais contido entre I e R .

Os ideais máximos são importantes porque os quocientes dos anéis pelos ideais máximos são anéis simples e, no caso especial dos anéis comutativos unitais , também são campos .

Na teoria dos anéis não comutativos, um ideal máximo direito é definido analogamente como sendo um elemento máximo no poset de ideais direitos próprios e, da mesma forma, um ideal máximo esquerdo é definido como um elemento máximo do poset de ideais próprios esquerdo. Uma vez que um unilateral ideal máxima Um não é, necessariamente, de dois lados, o quociente P / A não é necessariamente um anel, mas é um módulo simples sobre R . Se R tem um único ideal máximo à direita, então R é conhecido como um anel local , e o máximo ideal à direita também é o único máximo esquerdo máximo e único ideal bilateral máximo do anel, e é de fato o radical Jacobson J ( R )

É possível que um anel tenha um ideal bilateral máximo único e, no entanto, não tenha ideais unilaterais máximos únicos: por exemplo, no anel de matrizes 2 por 2 quadradas sobre um campo, o ideal zero é um ideal bilateral máximo , mas existem muitos ideais máximos corretos.

Definição

Existem outras maneiras equivalentes de expressar a definição dos ideais unilaterais máximos e dos dois lados máximos. Dado um anel R e um ideal adequado I de R (ou seja, IR ), I é um ideal máximo de R se qualquer uma das seguintes condições equivalentes se mantiver:

  • Não existe nenhum outro ideal adequado J de R modo que euJ .
  • Para qualquer ideal J com IJ , quer J = I ou J = R .
  • O anel quociente R / I é um anel simples.

Há uma lista análoga para ideais unilaterais, para os quais apenas as versões do lado direito serão fornecidas. Para um ideal correto A de um anel R , as seguintes condições são equivalentes a A sendo um ideal correto máximo de R :

  • Não existe nenhuma outra adequada certo ideal B de R modo que AB .
  • Para qualquer ideal direita B com umB , ou B = A ou B = R .
  • O módulo quociente R / A é um simples direito R -module.

Ideais máximos de direita / esquerda / dupla face são a noção dupla daquela de ideais mínimos .

Exemplos

  • Se F for um campo, o único ideal máximo é {0}.
  • No anel Z de inteiros, os ideais máximos são os principais ideais gerados por um número primo.
  • De maneira mais geral, todos os ideais primos diferentes de zero são máximos em um domínio ideal principal .
  • O ideal é um ideal máximo no ringue . Geralmente, os ideais máximos de são da forma em que é um número primo e é um polinómio no qual é o módulo irredutível .
  • Todo ideal primo é um ideal máximo em um anel booleano, ou seja, um anel que consiste apenas de elementos idempotentes. Na verdade, todo ideal primo é máximo em um anel comutativo sempre que existe um inteiro tal que para qualquer .
  • Os ideais máximos do anel polinomial são os principais ideais gerados por para alguns .
  • De forma mais geral, os ideais máximos do anel polinomial K [ x 1 , ..., x n ] sobre um campo algebricamente fechado K são os ideais da forma ( x 1  -  a 1 , ..., x n  -  a n ) . Esse resultado é conhecido como o Nullstellensatz fraco .

Propriedades

  • Um importante ideal do anel chamado radical de Jacobson pode ser definido usando ideais máximos à direita (ou à esquerda máximo).
  • Se R é um anel comutativo unital com um m ideal , então k = R / m é um campo se e somente se m é um ideal máximo. Nesse caso, R / m é conhecido como o campo de resíduo . Este fato pode falhar em anéis não unitais. Por exemplo, é um ideal máximo em , mas não é um campo.
  • Se L é um ideal máximo à esquerda, então R / L é um módulo R esquerdo simples . Inversamente, em anéis com unidade, qualquer módulo R esquerdo simples surge dessa maneira. Aliás Isso mostra que uma coleção de representantes de simples esquerda R -modules é na verdade um conjunto, uma vez que pode ser colocado em correspondência com parte do conjunto de máxima esquerda ideais de R .
  • Teorema de Krull (1929): Todo anel unital diferente de zero tem um ideal máximo. O resultado também é verdadeiro se "ideal" for substituído por "ideal certo" ou "ideal esquerdo". De maneira mais geral, é verdade que todo módulo gerado finitamente diferente de zerotem um submódulo máximo. Suponha que I seja um ideal que não seja R (respectivamente, A é um ideal correto que não seja R ). Então R / I é um anel com unidade (respectivamente, R / A é um módulo gerado finitamente), e então os teoremas acima podem ser aplicados ao quociente para concluir que há um ideal máximo (respectivamente, ideal máximo direito) de R contendo I (respectivamente, A ).
  • O teorema de Krull pode falhar para anéis sem unidade. Um anel radical , ou seja, um anel em que o radical Jacobson é o anel inteiro, não tem módulos simples e, portanto, não tem ideais máximos à direita ou à esquerda. Veja os ideais regulares para possíveis maneiras de contornar esse problema.
  • Em um anel comutativo com unidade, todo ideal máximo é um ideal primário . O inverso nem sempre é verdadeiro: por exemplo, em qualquer domínio integral não-campo, o ideal zero é um ideal primo que não é máximo. Os anéis comutativos nos quais os ideais primos são máximos são conhecidos como anéis de dimensão zero , onde a dimensão usada é a dimensão de Krull .
  • Um ideal máximo de um anel não comutativo pode não ser primo no sentido comutativo. Por exemplo, deixe ser o anel de todas as matrizes acabado . Este anel tem um ideal máximo para qualquer primo , mas este não é um ideal primo, pois (no caso ) e não estão , mas . No entanto, ideais máximos de anéis não comutativos são primos no sentido generalizado abaixo.

Generalização

Para um R -module um , um máximo submódulo H de A é um sub-módulo MUm satisfazer a propriedade de que para qualquer outro sub-módulo N , MNUm implica N = H ou N = Uma . Equivalentemente, M é um submódulo máximo se e somente se o módulo quociente A / M for um módulo simples . Os ideais máximas direita de um anel R são exatamente os submódulos máximas do módulo R R .

Ao contrário dos anéis com unidade, um módulo diferente de zero não tem necessariamente submódulos máximos. No entanto, como observado acima, os módulos não zero gerados finitamente têm submódulos máximos, e também os módulos projetivos têm submódulos máximos.

Tal como acontece com os anéis, pode-se definir o radical de um módulo usando submódulos máximos. Além disso, os ideais máximas podem ser generalizados pela definição de um sub-máxima bimodule M de um bimodule B para ser uma sub-bimodule adequada de H , que está contido em nenhum outro sub-bimodule adequada de M . Os ideais máximas de R são, então, exatamente os sub-bimodules máximas do bimodule R R R .

Referências