A média e predito de resposta - Mean and predicted response

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Análise de regressão
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Regressão linear regressão simples regressão polinomial modelo linear geral
modelo linear generalizado escolha discreta regressão logística logit multinomial logit misto probit probit multinomial logit ordenado probit ordenado Poisson
modelo multinível efeitos fixos efeitos aleatórios modelo misto
regressão não linear não paramétrico semiparamétrico Robusto quantile Isotônico Componentes principais ângulo de menos Local segmentado
Erros nas variáveis
Estimativa
mínimos quadrados Linear Não-linear
Comum Pesada Generalized
Parcial Total Não negativo regressão cume regularizada
desvios menos absolutos iterativamente redistribuídos Bayesian multivariada Bayesian
fundo
validação do modelo de regressão A média e predito de resposta Erros e resíduos Qualidade de ajuste studentized residual Gauss-Markov theorem
portal estatísticas
v t e

Em regressão linear , significa resposta e predito de resposta são valores da variável dependente calculada a partir dos parâmetros da regressão e um dado valor da variável independente. Os valores destas duas respostas são as mesmas, mas os seus desvios calculados são diferentes.

fundo

Na montagem linha recta, o modelo é

${\ Displaystyle Y_ {i} = \ alfa + \ x_ beta {i} + \ epsilon _ {i} \,}$

onde é a variável de resposta , é a variável de motivos , ε _i é o erro aleatório, e e são parâmetros. A média, e previsto, valor de resposta para um dado valor de motivos, x _d , é dado por ${\ Displaystyle Y_ {i}}$${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle \ alfa}$${\ Displaystyle \ beta}$

${\ Displaystyle {\ chapéu {y}} _ {d} = {\ chapéu {\ alfa}} + {\ chapéu {\ beta}} x_ {d},}$

enquanto a resposta real seria

${\ Displaystyle Y_ {d} = \ alfa + \ x_ beta {d} + \ epsilon _ {d} \,}$

Expressões para os valores e desvios de e são dadas em regressão linear . ${\ Displaystyle {\ hat {\ alpha}}}$${\ Displaystyle {\ hat {\ beta}}}$

resposta significa

Uma vez que os dados neste contexto é definido como sendo ( x , y ) pares para cada observação, a resposta média para um dado valor de x , digamos x _d , é uma estimativa da média dos y os valores na população no x valor de x _d , que é . A variância da resposta média é dada pela ${\ Displaystyle {\ hat {E}} (y ​​\ meados x_ {d}) \ equiv {\ hat {y}} _ {d} \!}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ esquerda ({\ chapéu {\ alfa}} + {\ chapéu {\ beta}} x_ {d} \ direita) = \ operatorname {Var} \ esquerda ({\ chapéu {\ alfa }} \ direita) + \ esquerda (\ operatorname {Var} {\ chapéu {\ beta}} \ direita) x_ {d} ^ {2} + 2x_ {d} \ operatorname {Cov} \ esquerda ({\ chapéu { \ alpha}}, {\ hat {\ beta}} \ right).}$

Esta expressão pode ser simplificada para

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ esquerda ({\ chapéu {\ alfa}} + {\ chapéu {\ beta}} x_ {d} \ direita) = \ sigma ^ {2} \ esquerda ({\ frac {1 } {m}} + {\ frac {\ esquerda (x_ {d} - {\ bar {x}} \ direita) ^ {2}} {\ soma (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}}} \ right),}$

onde m é o número de pontos de dados.

Para demonstrar esta simplificação, pode-se fazer uso da identidade

${\ Displaystyle \ soma (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2} = \ soma x_ {i} ^ {2} - {\ frac {1} {m}} \ esquerda (\ soma x_ {i} \ right) ^ {2}.}$

resposta prevista

A resposta prevista distribuição é a distribuição prevista de resíduos no ponto dado x _d . Assim, a variância é dada por

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ esquerda (Y_ {d} - \ esquerda [{\ chapéu {\ alfa}} + {\ chapéu {\ beta}} x_ {d} \ direita] \ direita) = \ operatorname { var} (Y_ {d}) + \ operatorname {var} \ esquerda ({\ chapéu {\ alfa}} + {\ chapéu {\ beta}} x_ {d} \ direita).}$

A segunda parte desta expressão já foi calculada para a resposta média. Desde (um parâmetro fixo, mas desconhecido, que podem ser estimadas), a variância da resposta prevista é dada por ${\ Displaystyle \ operatorname {Var} (Y_ {d}) = \ sigma ^ {2}}$

${\ Displaystyle {\ begin {alinhados} \ operatorname {Var} \ esquerda (Y_ {d} - \ esquerda [{\ chapéu {\ alfa}} + {\ chapéu {\ beta}} x_ {d} \ direita] \ direita) & = \ sigma ^ {2} + \ sigma ^ {2} \ esquerda ({\ frac {1} {m}} + {\ frac {\ esquerda (x_ {d} - {\ bar {x}} \ right) ^ {2}} {\ sum (x_ {i} - {\ bar {x}}) ^ {2}}} \ right) \\ [4pt] & = \ sigma ^ {2} \ left ( 1 + {\ frac {1} {m}} + {\ frac {(x_ {d} - {\ bar {x}}) ^ {2}} {\ soma (x_ {i} - {\ bar {x }}) ^ {2}}} \ direita). \ final {alinhados}}}$

intervalos de confiança

Os intervalos de confiança são computados como . Assim, o intervalo de confiança para a resposta prevista é mais amplo do que o intervalo de resposta média. Isto é esperado intuitivamente - a variância da população de valores não encolhe quando uma amostras a partir dele, porque a variável aleatória ε _i não diminui, mas a variância da média do que encolhem com o aumento da amostragem, pois a variância em e diminuição, de modo que a resposta média (valor de resposta previsto) torna-se mais perto . ${\ 100 displaystyle (1- \ alfa) \%}$${\ Displaystyle Y_ {d} \ pm t _ {{\ frac {\ alfa} {2}}, mn-1} {\ sqrt {\ {operatorname Var}}}}$${\ Y} displaystyle$${\ Y} displaystyle$${\ Displaystyle {\ hat {\ alpha}}}$${\ Displaystyle {\ hat {\ beta}}}$${\ Displaystyle \ alfa + \ x_ beta {d}}$

Isto é análogo à diferença entre a variância de uma população e a variância da média da amostra de uma população: a variância de uma população é um parâmetro e não se altera, mas a variação da média da amostra diminui com o aumento das amostras.

regressão linear geral

O modelo linear geral pode ser escrita como

${\ Displaystyle Y_ {i} = \ soma _ {j = 1} ^ {n} X_ {ij} \ beta _ {j} + \ epsilon _ {i} \,}$

Portanto, uma vez que a express geral para a variância da resposta média é ${\ Displaystyle Y_ {d} = \ soma _ {j = 1} ^ {n} X_ {dj} {\ chapéu {\ beta}} _ {j}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Var} \ esquerda (\ soma _ {j = 1} ^ {n} X_ {dj} {\ chapéu {\ beta}} _ {J} \ direita) = \ soma _ {i = 1 } ^ {n} \ _ soma {j = 1} ^ {n} X_ {di} S_ {ij} X_ {dj},}$

onde S é a matriz de covariância dos parâmetros, dada pela

${\ Displaystyle \ mathbf {S} = \ sigma ^ {2} \ esquerda (\ mathbf {X ^ {\ mathsf {T} X}} \ direita) ^ {-. 1}}$

Referências

• Draper, NR; Smith, H. (1998). Análise Aplicada de regressão (3ª ed.). John Wiley. ISBN  0-471-17082-8 .