Significa caminho livre - Mean free path

Em física , caminho livre médio é uma distância média sobre a qual uma partícula em movimento (como um átomo , uma molécula , um fóton ) muda substancialmente sua direção ou energia (ou, em um contexto específico, outras propriedades), normalmente como resultado de uma ou mais colisões sucessivas com outras partículas.

Teoria de dispersão

Laje de alvo

Imagine um feixe de partículas sendo disparado através de um alvo e considere uma placa infinitesimalmente fina do alvo (veja a figura). Os átomos (ou partículas) que podem parar uma partícula de feixe são mostrados em vermelho. A magnitude do caminho livre médio depende das características do sistema. Assumindo que todas as partículas alvo estão em repouso, mas apenas a partícula do feixe está se movendo, isso dá uma expressão para o caminho livre médio:

{\ displaystyle \ ell = (\ sigma n) ^ {- 1},}

onde $ℓ$ é o caminho livre médio, $n$ é o número de partículas alvo por unidade de volume e $σ$ é a área da seção transversal efetiva para colisão.

A área da laje é $L 2$ , e seu volume é $L 2 dx$ . O número típico de átomos de parada na placa é a concentração $n$ vezes o volume, ou seja, $n L 2 dx$ . A probabilidade de que uma partícula de viga seja interrompida nessa laje é a área líquida dos átomos de parada dividida pela área total da laje:

{\ displaystyle {\ mathcal {P}} ({\ text {parando dentro de}} dx) = {\ frac {{\ text {Área}} _ {\ text {átomos}}} {{\ text {Área}} _ {\ text {slab}}}} = {\ frac {\ sigma nL ^ {2} \, dx} {L ^ {2}}} = n \ sigma \, dx,}

onde $σ$ é a área (ou, mais formalmente, a " seção transversal de espalhamento ") de um átomo.

A queda na intensidade do feixe é igual à intensidade do feixe de entrada multiplicada pela probabilidade da partícula ser parada dentro da laje:

{\ displaystyle dI = -In \ sigma \, dx.}

Esta é uma equação diferencial ordinária :

{\ displaystyle {\ frac {dI} {dx}} = - In \ sigma {\ overset {\ text {def}} {=}} - {\ frac {I} {\ ell}},}

cuja solução é conhecida como lei de Beer-Lambert e tem a forma , onde $x$ é a distância percorrida pelo feixe através do alvo, e $I$ $0$ é a intensidade do feixe antes de entrar no alvo; $ℓ$ é chamado de caminho livre médio porque é igual à distância média percorrida por uma partícula de feixe antes de ser parada. Para ver isso, observe que a probabilidade de que uma partícula seja absorvida entre $x$ e $x$ $+$ $dx$ é dada por ${\ displaystyle I = I_ {0} e ^ {- x / \ ell}}$

{\ displaystyle d {\ mathcal {P}} (x) = {\ frac {I (x) -I (x + dx)} {I_ {0}}} = {\ frac {1} {\ ell}} e ^ {- x / \ ell} dx.}

Assim, o valor esperado (ou média, ou simplesmente média) de $x$ é

{\ displaystyle \ langle x \ rangle {\ overset {\ text {def}} {=}} \ int _ {0} ^ {\ infty} xd {\ mathcal {P}} (x) = \ int _ {0 } ^ {\ infty} {\ frac {x} {\ ell}} e ^ {- x / \ ell} \, dx = \ ell.}

A fração de partículas que não são paradas ( atenuadas ) pela laje é chamada de transmissão , onde $x$ é igual à espessura da laje $x = dx$ . ${\ displaystyle T = I / I_ {0} = e ^ {- x / \ ell}}$

Teoria cinética dos gases

Na teoria cinética dos gases , o caminho livre médio de uma partícula, como uma molécula , é a distância média que a partícula percorre entre as colisões com outras partículas em movimento. A derivação acima assumiu que as partículas-alvo estavam em repouso, portanto, na realidade, a fórmula é válida para uma partícula de feixe com uma alta velocidade em relação às velocidades de um conjunto de partículas idênticas com localizações aleatórias. Nesse caso, os movimentos das partículas alvo são comparativamente desprezíveis, daí a velocidade relativa . ${\ displaystyle \ ell = (n \ sigma) ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle v}$ ${\ displaystyle v _ {\ rm {rel}} \ approx v}$

Se, por outro lado, a partícula do feixe faz parte de um equilíbrio estabelecido com partículas idênticas, então o quadrado da velocidade relativa é:

${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {v} _ {\ rm {parente}} ^ {2}}} = {\ overline {(\ mathbf {v} _ {1} - \ mathbf {v} _ {2 }) ^ {2}}} = {\ overline {\ mathbf {v} _ {1} ^ {2} + \ mathbf {v} _ {2} ^ {2} -2 \ mathbf {v} _ {1 } \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}}.}$

Em equilíbrio, e são aleatórios e não correlacionados, portanto , e a velocidade relativa é ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {2}}$ ${\ displaystyle {\ overline {\ mathbf {v} _ {1} \ cdot \ mathbf {v} _ {2}}} = 0}$

${\ displaystyle v _ {\ rm {rel}} = {\ sqrt {\ overline {\ mathbf {v} _ {\ rm {relativo}} ^ {2}}}} = {\ sqrt {\ overline {\ mathbf { v} _ {1} ^ {2} + \ mathbf {v} _ {2} ^ {2}}}} = {\ sqrt {2}} v.}$

Isso significa que o número de colisões é multiplicado pelo número com alvos estacionários. Portanto, a seguinte relação se aplica: ${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

{\ displaystyle \ ell = ({\ sqrt {2}} \, n \ sigma) ^ {- 1},}

e usando ( lei do gás ideal ) e (área de seção transversal efetiva para partículas esféricas com raio ), pode ser mostrado que o caminho livre médio é ${\ displaystyle n = N / V = p / (k _ {\ text {B}} T)}$ ${\ displaystyle \ sigma = \ pi (2r) ^ {2} = \ pi d ^ {2}}$ ${\ displaystyle r}$

{\ displaystyle \ ell = {\ frac {k _ {\ text {B}} T} {{\ sqrt {2}} \ pi d ^ {2} p}},}

onde k _B é a constante de Boltzmann , é a pressão do gás e é a temperatura absoluta. ${\ displaystyle p}$ ${\ displaystyle T}$

Na prática, o diâmetro das moléculas de gás não está bem definido. Na verdade, o diâmetro cinético de uma molécula é definido em termos do caminho livre médio. Normalmente, as moléculas de gás não se comportam como esferas duras, mas se atraem em distâncias maiores e se repelem em distâncias mais curtas, como pode ser descrito com um potencial de Lennard-Jones . Uma maneira de lidar com essas moléculas "suaves" é usar o parâmetro σ de Lennard-Jones como o diâmetro. Outra maneira é assumir um gás de esfera dura que tem a mesma viscosidade do gás real que está sendo considerado. Isso leva a um caminho livre médio

{\ displaystyle \ ell = {\ frac {\ mu} {p}} {\ sqrt {\ frac {\ pi k _ {\ text {B}} T} {2m}}},}

onde m é a massa molecular e μ é a viscosidade. Esta expressão pode ser colocada na seguinte forma conveniente

{\ displaystyle \ ell = {\ frac {\ mu} {p}} {\ sqrt {\ frac {\ pi RT} {2M}}},}

com sendo a constante universal dos gases e o peso molecular . Essas diferentes definições do diâmetro molecular podem levar a valores ligeiramente diferentes do caminho livre médio. ${\ displaystyle R}$ ${\ displaystyle M}$

A tabela a seguir lista alguns valores típicos para ar em diferentes pressões em temperatura ambiente.

Faixa de vácuo	Pressão em hPa ( mbar )	Pressão em mmHg ( Torr )	densidade numérica ( moléculas / cm ³ )	densidade numérica ( moléculas / m ³ )	Significa caminho livre
Pressão ambiente	1013	759,8	2,7 × 10 ¹⁹	2,7 × 10 ²⁵	68 nm
Baixo vácuo	300 - 1	220 - 8 × 10 ⁻¹	10 ¹⁹ - 10 ¹⁶	10 ²⁵ - 10 ²²	0,1 - 100 μm
Vácuo médio	1 - 10 ⁻³	8 × 10 ⁻¹ - 8 × 10 ⁻⁴	10 ¹⁶ - 10 ¹³	10 ²² - 10 ¹⁹	0,1 - 100 mm
Alto vácuo	10 ⁻³ - 10 ⁻⁷	8 × 10 ⁻⁴ - 8 × 10 ⁻⁸	10 ¹³ - 10 ⁹	10 ¹⁹ - 10 ¹⁵	10 cm - 1 km
Vácuo ultra-alto	10 ⁻⁷ - 10 ⁻¹²	8 × 10 ⁻⁸ - 8 × 10 ⁻¹³	10 ⁹ - 10 ⁴	10 ¹⁵ - 10 ¹⁰	1 km - 10 ⁵ km
Vácuo extremamente alto	< ^10-12	<8 × 10 ⁻¹³	<10 ⁴	<10 ¹⁰	> 10 ⁵ km

Em outros campos

Radiografia

O caminho livre médio para fótons na faixa de energia de 1 keV a 20 MeV para elementos com Z = 1 a 100. As descontinuidades são devidas à baixa densidade dos elementos gasosos. Seis bandas correspondem a vizinhanças de seis gases nobres . Também são mostradas as localizações das bordas de absorção .

Na radiografia de raios gama, o caminho livre médio de um feixe de lápis de fótons monoenergéticos é a distância média que um fóton percorre entre colisões com átomos do material alvo. Depende do material e da energia dos fótons:

{\ displaystyle \ ell = \ mu ^ {- 1} = ((\ mu / \ rho) \ rho) ^ {- 1},}

onde μ é o coeficiente de atenuação linear , μ / ρ é o coeficiente de atenuação de massa e ρ é a densidade do material. O coeficiente de atenuação de massa pode ser pesquisado ou calculado para qualquer combinação de material e energia usando os bancos de dados do Instituto Nacional de Padrões e Tecnologia (NIST).

No raio-X radiografia o cálculo do percurso livre médio é mais complicado, porque fotões não são mono-energético, mas têm alguma distribuição de energias chamados um espectro . À medida que os fótons se movem através do material alvo, eles são atenuados com probabilidades dependendo de sua energia, como resultado, sua distribuição muda no processo denominado endurecimento do espectro. Por causa do endurecimento do espectro, o caminho livre médio do espectro de raios-X muda com a distância.

Às vezes, mede-se a espessura de um material pelo número de caminhos livres médios . O material com a espessura de um caminho livre médio atenuará para 37% (1 / e ) dos fótons. Este conceito está intimamente relacionado à camada de meio-valor (HVL): um material com espessura de um HVL atenuará 50% dos fótons. Uma imagem de raio-x padrão é uma imagem de transmissão, uma imagem com logaritmo negativo de suas intensidades às vezes é chamada de imagem de vários caminhos livres médios .

Eletrônicos

No transporte macroscópico de carga, o caminho livre médio de um portador de carga em um metal é proporcional à mobilidade elétrica , um valor diretamente relacionado à condutividade elétrica , ou seja: ${\ displaystyle \ ell}$ ${\ displaystyle \ mu}$

{\ displaystyle \ mu = {\ frac {q \ tau} {m}} = {\ frac {q \ ell} {m ^ {*} v _ {\ rm {F}}}},}

em que q é a carga , é o tempo livre médio , m ^* é a massa efectiva e v _M é a velocidade de Fermi do portador de carga. A velocidade de Fermi pode ser facilmente derivada da energia de Fermi por meio da equação de energia cinética não relativística. Em filmes finos , no entanto, a espessura do filme pode ser menor do que o caminho livre médio previsto, tornando o espalhamento da superfície muito mais perceptível, aumentando efetivamente a resistividade . ${\ displaystyle \ tau}$

A mobilidade de elétrons através de um meio com dimensões menores do que o caminho livre médio dos elétrons ocorre por meio de condução balística ou transporte balístico. Em tais cenários, os elétrons alteram seu movimento apenas em colisões com paredes condutoras.

Óptica

Se tomarmos uma suspensão de partículas não absorventes de luz de diâmetro d com uma fração de volume Φ , o caminho livre médio dos fótons é:

{\ displaystyle \ ell = {\ frac {2d} {3 \ Phi Q _ {\ text {s}}}},}

onde Q _s é o fator de eficiência de espalhamento. Q _s pode ser avaliado numericamente para partículas esféricas usando a teoria de Mie .

Acústica

Em uma cavidade vazia, o caminho livre médio de uma única partícula ricocheteando nas paredes é:

{\ displaystyle \ ell = {\ frac {FV} {S}},}

onde V é o volume da cavidade, S é a área total da superfície interna da cavidade e F é uma constante relacionada ao formato da cavidade. Para a maioria dos formatos de cavidade simples, F é aproximadamente 4.

Essa relação é usada na derivação da equação de Sabine em acústica, usando uma aproximação geométrica da propagação do som.

Física nuclear e de partículas

Na física de partículas, o conceito de caminho livre médio não é comumente usado, sendo substituído pelo conceito semelhante de comprimento de atenuação . Em particular, para fótons de alta energia, que interagem principalmente pela produção do par elétron-pósitron , o comprimento da radiação é usado de forma muito semelhante ao caminho livre médio na radiografia.

Modelos de partículas independentes na física nuclear requerem a orbitação imperturbada dos núcleons dentro do núcleo antes que eles interajam com outros núcleons.

O caminho livre médio efetivo de um nucleon na matéria nuclear deve ser um pouco maior do que as dimensões nucleares para permitir o uso do modelo de partícula independente. Este requisito parece estar em contradição com as suposições feitas na teoria ... Estamos enfrentando aqui um dos problemas fundamentais da física da estrutura nuclear que ainda não foi resolvido.

- John Markus Blatt e Victor Weisskopf , Teórica física nuclear (1952)

Veja também

Referências

links externos

Gas Dynamics Toolbox : Calcule o caminho livre médio para misturas de gases usando o modelo VHS

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