Teorema do valor médio - Mean value theorem

Parte de uma série de artigos sobre
Cálculo
Teorema fundamental Regra integral de Leibniz Limites de funções Continuidade Teorema do valor médio Teorema de Rolle
Diferencial Definições Derivado  ( generalizações ) Diferencial infinitesimal de uma função total Conceitos Notação de diferenciação Segunda derivada Diferenciação implícita Diferenciação logarítmica Taxas relacionadas Teorema de Taylor Regras e identidades Soma produtos Corrente Poder Quociente Regra de L'Hôpital Inverso General Leibniz Fórmula de Faà di Bruno
Integrante Listas de integrais Transformada integral Definições Antiderivado Integral  ( impróprio ) Integral de Riemann Integração Lebesgue Integração de contorno Integral de funções inversas Integração por Peças Discos Conchas cilíndricas Substituição  ( trigonométrica , Weierstrass , Euler ) Fórmula de Euler Frações Parciais Mudança de ordem Fórmulas de redução Diferenciando sob o signo integral Algoritmo de Risch
Series Geométrico  ( aritmético-geométrico ) Harmônico Alternando Poder Binomial Taylor Testes de convergência Limite de soma (teste de termo) Razão Raiz Integrante Comparação direta Limite de comparação Série alternada Condensação de Cauchy Dirichlet Abel
Vetor Gradiente Divergência Ondulação Laplaciano Derivada direcional Identidades Teoremas Gradiente Green's Stokes ' Divergência Stokes generalizado
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v t e

Em matemática , o teorema do valor médio afirma, grosso modo, que para um determinado arco plano entre duas extremidades, há pelo menos um ponto em que a tangente ao arco é paralela à secante por meio de suas extremidades. É um dos resultados mais importantes da análise real . Este teorema é usado para provar afirmações sobre uma função em um intervalo a partir de hipóteses locais sobre derivadas em pontos do intervalo.

Mais precisamente, o teorema afirma que se é uma função contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto , então existe um ponto em que a tangente em é paralela à linha secante através dos pontos finais e , isto é, ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle [a, b]}$ ${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle {\ big (} a, f (a) {\ big)}}$${\ displaystyle {\ big (} b, f (b) {\ big)}}$

${\ displaystyle f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}.}$

História

Um caso especial desse teorema foi descrito pela primeira vez por Parameshvara (1370–1460), da Escola de Astronomia e Matemática de Kerala, na Índia , em seus comentários sobre Govindasvāmi e Bhāskara II . Uma forma restrita do teorema foi provada por Michel Rolle em 1691; o resultado foi o que hoje é conhecido como teorema de Rolle , e foi provado apenas para polinômios, sem as técnicas de cálculo. O teorema do valor médio em sua forma moderna foi declarado e provado por Augustin Louis Cauchy em 1823. Muitas variações deste teorema foram provadas desde então.

Declaração formal

Let Ser uma função contínua no intervalo fechado , e diferenciável no intervalo aberto , onde . Então existe algum em que ${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle a <b}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (a, b)}$

${\ displaystyle f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}.}$

O teorema do valor médio é uma generalização do teorema de Rolle , que assume , de modo que o lado direito acima é zero. ${\ displaystyle f (a) = f (b)}$

O teorema do valor médio ainda é válido em um cenário um pouco mais geral. Um só precisa de assumir que é contínua em , e que para cada no o limite${\ displaystyle f: [a, b] \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle (a, b)}$

${\ displaystyle \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {f (x + h) -f (x)} {h}}}$

existe como um número finito ou igual a ou . Se finito, esse limite é igual . Um exemplo onde esta versão do teorema se aplica é dado pelo mapeamento da função raiz cúbica de valor real , cuja derivada tende ao infinito na origem. ${\ displaystyle \ infty}$${\ displaystyle - \ infty}$${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle x \ mapsto x ^ {1/3}}$

Observe que o teorema, como afirmado, é falso se uma função diferenciável for de valor complexo em vez de valor real. Por exemplo, defina para tudo real . Então ${\ displaystyle f (x) = e ^ {xi}}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle f (2 \ pi) -f (0) = 0 = 0 (2 \ pi -0)}$

enquanto para qualquer real .${\ displaystyle f '(x) \ neq 0}$${\ displaystyle x}$

Essas declarações formais também são conhecidas como Teorema do Valor Médio de Lagrange.

Prova

A expressão fornece a inclinação da linha que une os pontos e , que é uma corda do gráfico de , enquanto dá a inclinação da tangente à curva no ponto . Assim, o teorema do valor médio diz que, dada qualquer corda de uma curva suave, podemos encontrar um ponto na curva entre os pontos finais da corda de modo que a tangente da curva naquele ponto seja paralela à corda. A prova a seguir ilustra essa ideia. ${\ textstyle {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}}$${\ displaystyle (a, f (a))}$${\ displaystyle (b, f (b))}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f '(x)}$${\ displaystyle (x, f (x))}$

Defina , onde é uma constante. Como é contínuo e diferenciável , o mesmo é válido para . Agora queremos escolher de forma que satisfaça as condições do teorema de Rolle . Nomeadamente ${\ displaystyle g (x) = f (x) -rx}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} g (a) = g (b) & \ iff f (a) -ra = f (b) -rb \\ & \ iff r (ba) = f (b) -f (a) \\ & \ iff r = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}. \ end {alinhado}}}$

Pelo teorema de Rolle , uma vez que é diferenciável e , há alguns em que , e segue da igualdade que, ${\ displaystyle g}$${\ displaystyle g (a) = g (b)}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle g '(c) = 0}$${\ displaystyle g (x) = f (x) -rx}$

${\ displaystyle {\ begin {alinhado} & g '(x) = f' (x) -r \\ & g '(c) = 0 \\ & g' (c) = f '(c) -r = 0 \\ & \ Rightarrow f '(c) = r = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} \ end {alinhado}}}$

Implicações

Teorema 1: Suponha que f é uma função contínua com valor real, definida em um intervalo arbitrário I da reta real. Se a derivada de f em cada ponto interior do intervalo I existe e é zero, então f é constante no interior.

Prova: Suponha que a derivada de f em cada ponto interior do intervalo I exista e seja zero. Seja ( a , b ) ser um intervalo aberto arbitrário em I . Pelo teorema do valor médio, existe um ponto c em ( a , b ) tal que

${\ displaystyle 0 = f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {ba}}.}$

Isso implica que f ( a ) = f ( b ) . Assim, f é constante no interior de I e, portanto, é constante em I por continuidade. (Veja abaixo uma versão multivariável deste resultado.)

Observações:

• Apenas continuidade da f , não diferenciabilidade, é necessário nos extremos do intervalo I . Nenhuma hipótese de continuidade precisa ser declarada se I for um intervalo aberto , uma vez que a existência de uma derivada em um ponto implica a continuidade neste ponto. (Consulte a seção continuidade e diferenciabilidade do derivado do artigo .)
• A diferenciabilidade de f pode ser relaxada para diferenciabilidade unilateral , uma prova dada no artigo sobre semi-diferenciabilidade .

Teorema 2: Se f ' ( x ) = g' ( x ) para todo x em um intervalo ( a , b ) do domínio dessas funções, então f - g é constante ou f = g + c onde c é uma constante em ( a , b ).

Prova: Seja F = f - g , então F '= f' - g '= 0 no intervalo ( a , b ), então o teorema 1 acima diz que F = f - g é uma constante c ou f = g + c .

Teorema 3: Se F é uma antiderivada de f em um intervalo I , então a antiderivada mais geral de f em I é F (x) + c, onde c é uma constante.

Prova: É derivado diretamente do teorema 2 acima.

Teorema do valor médio de Cauchy

Teorema do valor médio de Cauchy , também conhecido como teorema do valor médio estendido , é uma generalização do teorema do valor médio. Ele afirma: se as funções e são contínuas no intervalo fechado e diferenciáveis ​​no intervalo aberto , então existem algumas , tais que ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle c \ in (a, b)}$

${\ displaystyle (f (b) -f (a)) g '(c) = (g (b) -g (a)) f' (c).}$

Claro, se e , isso é equivalente a: ${\ displaystyle g (a) \ neq g (b)}$${\ displaystyle g '(c) \ neq 0}$

${\ displaystyle {\ frac {f '(c)} {g' (c)}} = {\ frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}}.}$

Geometricamente, isso significa que há alguma tangente ao gráfico da curva

${\ displaystyle {\ begin {cases} [a, b] \ to \ mathbb {R} ^ {2} \\ t \ mapsto (f (t), g (t)) \ end {cases}}}$

que é paralela à linha definida pelos pontos e . No entanto, o teorema de Cauchy não afirma a existência de tal tangente em todos os casos em que e são pontos distintos, uma vez que ela pode ser satisfeita apenas para algum valor com , em outras palavras, um valor para o qual a curva mencionada é estacionária ; em tais pontos, nenhuma tangente à curva provavelmente será definida. Um exemplo dessa situação é a curva dada por ${\ displaystyle (f (a), g (a))}$${\ displaystyle (f (b), g (b))}$${\ displaystyle (f (a), g (a))}$${\ displaystyle (f (b), g (b))}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f '(c) = g' (c) = 0}$

${\ displaystyle t \ mapsto \ left (t ^ {3}, 1-t ^ {2} \ right),}$

que no intervalo vai do ponto ao , mas nunca tem uma tangente horizontal; no entanto, ele tem um ponto estacionário (na verdade, uma cúspide ) em . ${\ displaystyle [-1,1]}$${\ displaystyle (-1,0)}$${\ displaystyle (1,0)}$${\ displaystyle t = 0}$

O teorema do valor médio de Cauchy pode ser usado para provar a regra de L'Hôpital . O teorema do valor médio é o caso especial do teorema do valor médio de Cauchy quando . ${\ displaystyle g (t) = t}$

Prova do teorema do valor médio de Cauchy

A prova do teorema do valor médio de Cauchy é baseada na mesma ideia que a prova do teorema do valor médio.

• Suponha . Defina onde é fixado de tal forma que , a saber, ${\ displaystyle g (a) \ neq g (b)}$${\ displaystyle h (x) = f (x) -rg (x)}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle h (a) = h (b)}$

  ${\ displaystyle {\ begin {alinhados} h (a) = h (b) & \ iff f (a) -rg (a) = f (b) -rg (b) \\ & \ iff r (g (b ) -g (a)) = f (b) -f (a) \\ & \ iff r = {\ frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}} . \ end {alinhado}}}$

  Visto que e são contínuos e diferenciáveis , o mesmo é verdadeiro para . Em suma, satisfaz as condições do teorema de Rolle : conseqüentemente, há alguns motivos para isso . Agora, usando a definição de temos: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle h '(c) = 0}$${\ displaystyle h}$

  ${\ displaystyle 0 = h '(c) = f' (c) -rg '(c) = f' (c) - \ left ({\ frac {f (b) -f (a)} {g (b ) -g (a)}} \ right) g '(c).}$

  Portanto:

  ${\ displaystyle f '(c) = {\ frac {f (b) -f (a)} {g (b) -g (a)}} g' (c),}$

  o que implica o resultado.
• Se , então, aplicando o teorema de Rolle a , segue-se que existe em para qual . Usando esta escolha de , o teorema do valor médio de Cauchy (trivialmente) é válido. ${\ displaystyle g (a) = g (b)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle g '(c) = 0}$${\ displaystyle c}$

Generalização para determinantes

Assuma que e são funções diferenciáveis ​​em que são contínuas . Definir ${\ displaystyle f, g,}$${\ displaystyle h}$${\ displaystyle (a, b)}$${\ displaystyle [a, b]}$

${\ displaystyle D (x) = {\ begin {vmatrix} f (x) & g (x) & h (x) \\ f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \ end {vmatrix}}}$

Existe tal que . ${\ displaystyle c \ in (a, b)}$${\ displaystyle D '(c) = 0}$

Notar que

${\ displaystyle D '(x) = {\ begin {vmatrix} f' (x) & g '(x) & h' (x) \\ f (a) & g (a) & h (a) \\ f (b) & g (b) & h (b) \ end {vmatrix}}}$

e se colocarmos , obteremos o teorema do valor médio de Cauchy. Se colocarmos e obtermos o teorema do valor médio de Lagrange . ${\ displaystyle h (x) = 1}$${\ displaystyle h (x) = 1}$${\ displaystyle g (x) = x}$

A prova da generalização é bastante simples: cada um de e são determinantes com duas linhas idênticas, portanto . O teorema de Rolle implica que existe tal . ${\ displaystyle D (a)}$${\ displaystyle D (b)}$${\ displaystyle D (a) = D (b) = 0}$${\ displaystyle c \ in (a, b)}$${\ displaystyle D '(c) = 0}$

Teorema do valor médio em várias variáveis

O teorema do valor médio generaliza funções reais de variáveis ​​múltiplas. O truque é usar a parametrização para criar uma função real de uma variável e, em seguida, aplicar o teorema de uma variável.

Deixe ser um subconjunto convexo aberto de e uma função diferenciável. Fixe os pontos e defina . Uma vez que é uma função diferenciável em uma variável, o teorema do valor médio fornece: ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ displaystyle f: G \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x, y \ in G}$${\ displaystyle g (t) = f {\ big (} (1-t) x + ty {\ big)}}$${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g (1) -g (0) = g '(c)}$

para alguns entre 0 e 1. Mas desde e , computando explicitamente temos: ${\ displaystyle c}$${\ displaystyle g (1) = f (y)}$${\ displaystyle g (0) = f (x)}$${\ displaystyle g '(c)}$

${\ displaystyle f (y) -f (x) = \ nabla f {\ big (} (1-c) x + cy {\ big)} \ cdot (yx)}$

onde denota um gradiente e um produto escalar . Observe que este é um análogo exato do teorema em uma variável (no caso, este é o teorema em uma variável). Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz , a equação fornece a estimativa: ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle \ cdot}$${\ displaystyle n = 1}$

${\ displaystyle {\ Bigl |} f (y) -f (x) {\ Bigr |} \ leq {\ Bigl |} \ nabla f {\ big (} (1-c) x + cy {\ big)} {\ Bigr |} \ {\ Bigl |} yx {\ Bigr |}.}$

Em particular, quando as derivadas parciais de são limitadas, é Lipschitz contínua (e, portanto, uniformemente contínua ). ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$

Como uma aplicação do acima, provamos que é constante se estiver aberto e conectado e toda derivada parcial de for 0. Escolha algum ponto e deixe . Queremos mostrar para todos . Para isso, deixe . Então E está fechado e não vazio. Também está aberto: para todos , ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x_ {0} \ in G}$${\ displaystyle g (x) = f (x) -f (x_ {0})}$${\ displaystyle g (x) = 0}$${\ displaystyle x \ in G}$${\ displaystyle E = \ {x \ in G: g (x) = 0 \}}$${\ displaystyle x \ in E}$

${\ displaystyle {\ Big |} g (y) {\ Big |} = {\ Big |} g (y) -g (x) {\ Big |} \ leq (0) {\ Big |} yx {\ Grande |} = 0}$

para cada em algum bairro de . (Aqui, é crucial que e estejam suficientemente próximos um do outro.) Uma vez que está conectado, concluímos . ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle E = G}$

Os argumentos acima são feitos de uma maneira livre de coordenadas; portanto, eles generalizam para o caso quando é um subconjunto de um espaço de Banach. ${\ displaystyle G}$

Teorema do valor médio para funções com valor vetorial

Não existe um análogo exato do teorema do valor médio para funções com valor vetorial.

Em Princípios de Análise Matemática, Rudin fornece uma desigualdade que pode ser aplicada a muitas das mesmas situações às quais o teorema do valor médio é aplicável no caso unidimensional:

Jean Dieudonné, em seu clássico tratado Foundations of Modern Analysis, descarta o teorema do valor médio e o substitui por desigualdade média, pois a prova não é construtiva e não se pode encontrar o valor médio e, nas aplicações, basta a desigualdade média. Serge Lang em Análise I usa o teorema do valor médio, na forma integral, como um reflexo instantâneo, mas esse uso requer a continuidade da derivada. Se usarmos a integral de Henstock-Kurzweil, pode-se ter o teorema do valor médio na forma integral sem a suposição adicional de que a derivada deve ser contínua, pois toda derivada é integrável de Henstock-Kurzweil. O problema é grosso modo o seguinte: Se f  : U → R ^m é uma função diferenciável (onde U ⊂ R ⁿ é aberto) e se x + th , x , h ∈ R ⁿ , t ∈ [0, 1] é o segmento de linha em questão (dentro de U ), então pode-se aplicar o procedimento de parametrização acima para cada uma das funções componentes f _i ( i = 1,…, m ) de f (no conjunto de notação acima y = x + h ). Ao fazer isso, encontra-se os pontos x + t _i h no segmento de linha que satisfazem

${\ displaystyle f_ {i} (x + h) -f_ {i} (x) = \ nabla f_ {i} (x + t_ {i} h) \ cdot h.}$

Mas geralmente não haverá um único ponto x + t * h no segmento de linha que satisfaça

${\ displaystyle f_ {i} (x + h) -f_ {i} (x) = \ nabla f_ {i} (x + t ^ {*} h) \ cdot h.}$

para todos os i simultaneamente . Por exemplo, defina:

${\ displaystyle {\ begin {cases} f: [0,2 \ pi] \ to \ mathbb {R} ^ {2} \\ f (x) = (\ cos (x), \ sin (x)) \ fim {casos}}}$

Então , mas e nunca são simultaneamente zero à medida que os intervalos se excedem . ${\ displaystyle f (2 \ pi) -f (0) = \ mathbf {0} \ in \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ displaystyle f_ {1} '(x) = - \ sin (x)}$${\ displaystyle f_ {2} '(x) = \ cos (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle \ left [0,2 \ pi \ right]}$

No entanto, um certo tipo de generalização do teorema do valor médio para funções de valor vetorial é obtido da seguinte forma: Seja f uma função de valor real continuamente diferenciável definida em um intervalo aberto I , e sejam x , bem como x + h pontos de Eu . O teorema do valor médio em uma variável nos diz que existe algum t * entre 0 e 1 tal que

${\ displaystyle f (x + h) -f (x) = f '(x + t ^ {*} h) \ cdot h.}$

Por outro lado, temos, pelo teorema fundamental do cálculo seguido por uma mudança de variáveis,

${\ displaystyle f (x + h) -f (x) = \ int _ {x} ^ {x + h} f '(u) \, du = \ left (\ int _ {0} ^ {1} f '(x + th) \, dt \ right) \ cdot h.}$

Assim, o valor f ′ ( x + t * h ) no ponto particular t * foi substituído pelo valor médio

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {1} f '(x + th) \, dt.}$

Esta última versão pode ser generalizada para funções de valor vetorial:

Prova. Deixe f ₁ , ..., f _m denotar os componentes de f e definir:

${\ displaystyle {\ begin {cases} g_ {i}: [0,1] \ to \ mathbb {R} \\ g_ {i} (t) = f_ {i} (x + th) \ end {cases} }}$

Então nós temos

${\ displaystyle {\ begin {alinhados} f_ {i} (x + h) -f_ {i} (x) & = g_ {i} (1) -g_ {i} (0) = \ int _ {0} ^ {1} g_ {i} '(t) \, dt \\ & = \ int _ {0} ^ {1} \ left (\ sum _ {j = 1} ^ {n} {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ parcial x_ {j}}} (x + th) h_ {j} \ right) dt = \ sum _ {j = 1} ^ {n} \ left (\ int _ {0} ^ {1} {\ frac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}} (x + th) \, dt \ right) h_ {j}. \ End {alinhado}}}$

A reivindicação segue uma vez que Df é a matriz que consiste nos componentes . ${\ displaystyle {\ tfrac {\ partial f_ {i}} {\ partial x_ {j}}}}$

Prova. Seja u em R ^m denotar o valor da integral

${\ displaystyle u: = \ int _ {a} ^ {b} v (t) \, dt.}$

Agora temos (usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz ):

${\ displaystyle \ | u \ | ^ {2} = \ langle u, u \ rangle = \ left \ langle \ int _ {a} ^ {b} v (t) \, dt, u \ right \ rangle = \ int _ {a} ^ {b} \ langle v (t), u \ rangle \, dt \ leq \ int _ {a} ^ {b} \ | v (t) \ | \ cdot \ | u \ | \ , dt = \ | u \ | \ int _ {a} ^ {b} \ | v (t) \ | \, dt}$

Agora, o cancelamento da norma de u em ambas as extremidades nos dá a desigualdade desejada.

Prova. Do Lema 1 e 2 segue-se que

${\ displaystyle \ | f (x + h) -f (x) \ | = \ left \ | \ int _ {0} ^ {1} (Df (x + th) \ cdot h) \, dt \ right \ | \ leq \ int _ {0} ^ {1} \ | Df (x + th) \ | \ cdot \ | h \ | \, dt \ leq M \ | h \ |.}$

Teoremas de valor médio para integrais definidos

Teorema do primeiro valor médio para integrais definidos

Seja f  : [ a , b ] → R uma função contínua. Então existe c em [ a , b ] tal que

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx = f (c) (ba).}$

Uma vez que o valor médio de f em [ a , b ] é definido como

${\ displaystyle {\ frac {1} {ba}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) \, dx,}$

podemos interpretar a conclusão como f atinge seu valor médio em algum c em ( a , b ).

Em geral, se f  : [ a , b ] → R é contínua eg é uma função integrável que não muda de sinal em [ a , b ], então existe c em ( a , b ) tal que

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx = f (c) \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.}$

Prova do primeiro teorema do valor médio para integrais definidos

Suponha que f  : [ a , b ] → R é contínuo eg é uma função integrável não negativa em [ a , b ]. Pelo teorema do valor extremo , existem m e M tais que para cada x em [ a , b ], e . Uma vez que g é não negativo, ${\ displaystyle m \ leq f (x) \ leq M}$${\ displaystyle f [a, b] = [m, M]}$

${\ displaystyle m \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx \ leq M \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.}$

Agora deixe

${\ displaystyle I = \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.}$

Se , terminamos desde ${\ displaystyle I = 0}$

${\ displaystyle 0 \ leq \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx \ leq 0}$

meios

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx = 0,}$

então, para qualquer c em ( a , b ),

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx = f (c) I = 0.}$

Se eu ≠ 0, então

${\ displaystyle m \ leq {\ frac {1} {I}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx \ leq M.}$

Pelo teorema do valor intermediário , f atinge todos os valores do intervalo [ m , M ], então para algum c em [ a , b ]

${\ displaystyle f (c) = {\ frac {1} {I}} \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx,}$

isso é,

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx = f (c) \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx.}$

Finalmente, se g for negativo em [ a , b ], então

${\ displaystyle M \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx \ leq \ int _ {a} ^ {b} f (x) g (x) \, dx \ leq m \ int _ {a} ^ {b} g (x) \, dx,}$

e ainda obtemos o mesmo resultado acima.

QED

Segundo teorema do valor médio para integrais definidos

Existem vários teoremas ligeiramente diferentes chamados de segundo teorema do valor médio para integrais definidos . Uma versão comumente encontrada é a seguinte:

Se G  : [ a , b ] → R é uma função positiva monotonicamente decrescente e φ: [ a , b ] → R é uma função integrável, então existe um número x em ( a , b ] tal que

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} G (t) \ varphi (t) \, dt = G (a ^ {+}) \ int _ {a} ^ {x} \ varphi (t) \ , dt.}$

Aqui está para , cuja existência decorre das condições. Observe que é essencial que o intervalo ( a , b ] contenha b . Uma variante que não tem esse requisito é: ${\ displaystyle G (a ^ {+})}$${\ textstyle {\ lim _ {x \ to a ^ {+}} G (x)}}$

Se G  : [ a , b ] → R é uma função monotônica (não necessariamente decrescente e positiva) e φ  : [ a , b ] → R é uma função integrável, então existe um número x em ( a , b ) tal que

${\ displaystyle \ int _ {a} ^ {b} G (t) \ varphi (t) \, dt = G (a ^ {+}) \ int _ {a} ^ {x} \ varphi (t) \ , dt + G (b ^ {-}) \ int _ {x} ^ {b} \ varphi (t) \, dt.}$

O teorema do valor médio para integração falha para funções com valor vetorial

Se a função retornar um vetor multidimensional, então o MVT para integração não é verdadeiro, mesmo se o domínio de também for multidimensional. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Por exemplo, considere a seguinte função bidimensional definida em um cubo dimensional: ${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} G: [0,2 \ pi] ^ {n} \ to \ mathbb {R} ^ {2} \\ G (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) = \ left (\ sin (x_ {1} + \ cdots + x_ {n}), \ cos (x_ {1} + \ cdots + x_ {n}) \ right) \ end {cases}}}$

Então, por simetria é fácil ver que o valor médio de sobre seu domínio é (0,0): ${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ int _ {[0,2 \ pi] ^ {n}} G (x_ {1}, \ dots, x_ {n}) dx_ {1} \ cdots dx_ {n} = (0,0) }$

No entanto, não há nenhum ponto em que , porque em todos os lugares. ${\ displaystyle G = (0,0)}$${\ displaystyle | G | = 1}$

Um análogo probabilístico do teorema do valor médio

Sejam X e Y variáveis ​​aleatórias não negativas tais que E [ X ] <E [ Y ] <∞ e (isto é, X é menor que Y na ordem estocástica usual ). Então existe uma variável aleatória Z não negativa absolutamente contínua com função de densidade de probabilidade${\ displaystyle X \ leq _ {st} Y}$

${\ displaystyle f_ {Z} (x) = {\ Pr (Y> x) - \ Pr (X> x) \ over {\ rm {E}} [Y] - {\ rm {E}} [X] } \ ,, \ qquad x \ geqslant 0.}$

Seja g uma função mensurável e diferenciável tal que E [ g ( X )], E [ g ( Y )] <∞, e seja sua derivada g ′ mensurável e Riemann-integrável no intervalo [ x , y ] para todos y ≥ x ≥ 0. Então, E [ g ′ ( Z )] é finito e

${\ displaystyle {\ rm {E}} [g (Y)] - {\ rm {E}} [g (X)] = {\ rm {E}} [g '(Z)] \, [{\ rm {E}} (Y) - {\ rm {E}} (X)].}$

Generalização em análise complexa

Como observado acima, o teorema não é válido para funções de valor complexo diferenciáveis. Em vez disso, uma generalização do teorema é afirmada da seguinte forma:

Vamos f  : Ω → C ser uma função holomorfa no aberto conjunto convexo Ω, e deixe um e b ser pontos distintos em Ω. Então, existem pontos u , v em L _ab (o segmento de reta de a a b ) de modo que

${\ displaystyle \ operatorname {Re} (f '(u)) = \ operatorname {Re} \ left ({\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} \ right),}$

${\ displaystyle \ operatorname {Im} (f '(v)) = \ operatorname {Im} \ left ({\ frac {f (b) -f (a)} {ba}} \ right).}$

Onde Re () é a parte real e Im () é a parte imaginária de uma função de valor complexo.

Veja também

• Método Newmark-beta
• Teorema do valor médio (diferenças divididas)
• Princípio da pista de corrida
• Stolarsky quer dizer

Notas

links externos

• "Teorema de Cauchy" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• PlanetMath: Teorema do Valor Médio
• Weisstein, Eric W. "Teorema do valor médio" . MathWorld .
• Weisstein, Eric W. "Cauchy's Mean-Value Theorem" . MathWorld .
• "Teorema do valor médio: intuição por trás do teorema do valor médio" na Khan Academy