Medir (matemática) - Measure (mathematics)
Medida é um conceito fundamental da matemática . As medidas fornecem uma abstração matemática para noções comuns como massa , distância / comprimento , área , volume , probabilidade de eventos e - após alguns ajustes - carga elétrica . Esses conceitos aparentemente distintos são inatamente muito semelhantes e podem, em muitos casos, ser tratados como matematicamente indistinguíveis. As medidas são fundamentais na teoria da probabilidade . Generalizações de medida de longo alcance são amplamente utilizadas na física quântica e na física em geral.
A intuição por trás desse conceito remonta à Grécia Antiga, quando Arquimedes tentou calcular a área de um círculo. Mas foi apenas no final do século 19 e no início do século 20 que a teoria da medida se tornou um ramo da matemática. Os fundamentos da moderna teoria da medida foram lançados nas obras de Émile Borel , Henri Lebesgue , Johann Radon , Constantin Carathéodory e Maurice Fréchet , entre outros.
Definição
Deixe X ser um conjunto e Σ um σ -álgebra sobre X . Uma função μ de Σ para a reta de número real estendida é chamada de medida se satisfizer as seguintes propriedades:
- Não negatividade : Para todo E em Σ, temos μ ( E ) ≥ 0 .
- Nulos esvaziar conjunto : .
-
Aditividade contável (ou aditividade σ ): Para todas as coleções contáveis de conjuntos disjuntos de pares em Σ,
Se pelo menos um conjunto possui medida finita, o requisito é atendido automaticamente. Na verdade, por aditividade contável,
e portanto
Se a condição de não negatividade for omitida, mas a segunda e a terceira dessas condições forem satisfeitas, e μ assume no máximo um dos valores ± ∞ , então μ é chamado de medida sinalizada .
O par ( X , Σ) é chamado de espaço mensurável , os membros de Σ são chamados de conjuntos mensuráveis . Se e dois espaços mensuráveis, em seguida, uma função é chamada mensurável se para todo Y conjunto -mensurável , a imagem inversa é X -mensurável - ou seja: . Nessa configuração, a composição das funções mensuráveis é mensurável, tornando os espaços mensuráveis e as funções mensuráveis uma categoria , com os espaços mensuráveis como objetos e o conjunto de funções mensuráveis como setas. Consulte também Função mensurável § Variações de uso de termos sobre outra configuração.
Um triplo ( X , Σ, μ ) é chamado de espaço de medida . Uma medida de probabilidade é uma medida com medida total um - ou seja, μ ( X ) = 1 . Um espaço de probabilidade é um espaço de medida com uma medida de probabilidade.
Para espaços de medida que também são espaços topológicos, várias condições de compatibilidade podem ser colocadas para a medida e a topologia. A maioria das medidas encontradas na prática na análise (e em muitos casos também na teoria da probabilidade ) são medidas de Radon . As medidas de radônio têm uma definição alternativa em termos de funcionais lineares no espaço localmente convexo de funções contínuas com suporte compacto . Essa abordagem é feita por Bourbaki (2004) e uma série de outras fontes. Para obter mais detalhes, consulte o artigo sobre medidas de Radon .
Instâncias
Algumas medidas importantes estão listadas aqui.
- A medida de contagem é definida por μ ( S ) = número de elementos em S .
- A medida de Lebesgue em ℝ é uma completa tradução invariante medida em um σ -álgebra contendo os intervalos em ℝ tal que μ ([0, 1]) = 1 ; e qualquer outra medida com essas propriedades estende a medida de Lebesgue.
- A medida do ângulo circular é invariante sob rotação e a medida do ângulo hiperbólico é invariante sob mapeamento de compressão .
- A medida de Haar para um grupo topológico localmente compacto é uma generalização da medida de Lebesgue (e também da medida de contagem e medida do ângulo circular) e tem propriedades de singularidade semelhantes.
- A medida de Hausdorff é uma generalização da medida de Lebesgue para conjuntos com dimensão não inteira, em particular, conjuntos fractais.
- Cada espaço de probabilidade dá origem a uma medida que assume o valor 1 em todo o espaço (e, portanto, assume todos os seus valores no intervalo unitário [0, 1]). Essa medida é chamada de medida de probabilidade . Veja axiomas de probabilidade .
- A medida de Dirac δ um (cf. Dirac função delta ) é dado por δ um ( S ) = χ S (um), onde χ S é a função de indicador de S . A medida de um conjunto é 1 se ele contém o ponto a e 0 caso contrário.
Outras medidas 'nomeados' usados em várias teorias incluem: medida de Borel , medida Jordan , medida ergódica , medida Euler , medida Gaussian , medida Baire , medida Radon , medida Jovem e medida Loeb .
Na física, um exemplo de medida é a distribuição espacial de massa (ver, por exemplo, potencial de gravidade ) ou outra propriedade extensiva não negativa , conservada (ver lei de conservação para uma lista dessas) ou não. Valores negativos levam a medidas sinalizadas, consulte "generalizações" abaixo.
- A medida de Liouville , também conhecida como forma de volume natural em uma variedade simplética, é útil na estatística clássica e na mecânica hamiltoniana.
- A medida de Gibbs é amplamente usada em mecânica estatística, muitas vezes com o nome de conjunto canônico .
Propriedades básicas
Seja μ uma medida.
Monotonicidade
Se E 1 e E 2 são conjuntos mensuráveis com E 1 ⊆ E 2, então
Medida de uniões e cruzamentos contáveis
Subaditividade
Para qualquer sequência contável E 1 , E 2 , E 3 , ... de (não necessariamente disjuntos) conjuntos mensuráveis E n em Σ:
Continuidade de baixo
Se E 1 , E 2 , E 3 , ... são conjuntos mensuráveis e para todos n , então a união dos conjuntos E n é mensurável, e
Continuidade de cima
Se E 1 , E 2 , E 3 , ... são conjuntos mensuráveis e, para todo n , então a interseção dos conjuntos E n é mensurável; além disso, se pelo menos um dos E n tem medida finita, então
Essa propriedade é falsa sem a suposição de que pelo menos um dos E n tem medida finita. Por exemplo, para cada n ∈ N , seja E n = [ n , ∞) ⊂ R , todos com medida de Lebesgue infinita, mas a interseção está vazia.
Outras propriedades
Integridade
Um conjunto mensurável X é chamado de conjunto nulo se μ ( X ) = 0 . Um subconjunto de um conjunto nulo é chamado de conjunto insignificante . Um conjunto insignificante não precisa ser mensurável, mas todo conjunto insignificante mensurável é automaticamente um conjunto nulo. Uma medida é chamada de completa se todo conjunto desprezível for mensurável.
Uma medida pode ser estendida para uma medida completa considerando a σ-álgebra dos subconjuntos Y que diferem por um conjunto desprezível de um conjunto mensurável X , isto é, tal que a diferença simétrica de X e Y está contida em um conjunto nulo. Um define μ ( Y ) como igual a μ ( X ) .
μ {x: f (x) ≥t} = μ {x: f (x)> t} (ae)
Se a função -measurable assume valores em então
para quase todos no que diz respeito à medida de Lebesgue . Esta propriedade é usada em conexão com a integral de Lebesgue .
Prova. |
Ambos e são funções monotonicamente não crescentes de, portanto, ambos são contínuos em quase todos os lugares, em relação à medida de Lebesgue. Se para todos , então, por aditividade e não negatividade, como requerido. Se, ao contrário, para alguns, então existe um único tal que esta função é infinita à esquerda de (o que só pode acontecer quando e finito à direita. Argumentando como acima, quando Para que seja uma sequência monotonicamente não decrescente convergindo para A sequência monotonicamente não crescente de conjuntos -mensuráveis tem pelo menos um elemento -mensurável finitamente , e A continuidade de cima mostra que O lado direito é igual a se for um ponto de continuidade. |
Aditividade
As medidas devem ser contáveis aditivas. No entanto, a condição pode ser reforçada da seguinte maneira. Para qualquer conjunto e qualquer conjunto de definição não negativa :
Ou seja, definimos a soma de como sendo o supremo de todas as somas de um número finito deles.
Uma medida em é -aditiva se para qualquer e qualquer família de disjuntos definir a seguinte retenção:
Observe que a segunda condição é equivalente à afirmação de que o ideal dos conjuntos nulos é -completo.
Medidas Sigma-finitas
Um espaço de medida ( X , Σ, μ ) é chamado de finito se μ ( X ) é um número real finito (em vez de ∞). Medidas finitas diferentes de zero são análogas às medidas de probabilidade no sentido de que qualquer medida finita μ é proporcional à medida de probabilidade . Uma medida μ é chamada de σ-finita se X puder ser decomposto em uma união contável de conjuntos mensuráveis de medida finita. Analogamente, um conjunto em um espaço de medida é dito ter uma medida σ-finita se for uma união contável de conjuntos com medida finita.
Por exemplo, os números reais com a medida de Lebesgue padrão são σ-finitos, mas não finitos. Considere os intervalos fechados [ k , k +1] para todos os inteiros k ; existem contáveis muitos desses intervalos, cada um tem medida 1 e sua união é toda a linha real. Alternativamente, considere os números reais com a medida de contagem , que atribui a cada conjunto finito de reais o número de pontos no conjunto. Este espaço de medida não é σ-finito, porque cada conjunto com medida finita contém apenas muitos pontos finitos, e seriam necessários muitos desses conjuntos para cobrir toda a linha real. Os espaços de medida σ-finita têm algumas propriedades muito convenientes; A σ-finitude pode ser comparada a este respeito à propriedade de Lindelöf dos espaços topológicos. Eles também podem ser considerados como uma vaga generalização da ideia de que um espaço de medida pode ter 'medida incontável'.
medidas s-finitas
Uma medida é considerada s-finita se for uma soma contável de medidas limitadas. As medidas S-finitas são mais gerais do que as medidas sigma-finitas e têm aplicações na teoria de processos estocásticos .
Conjuntos não mensuráveis
Se o axioma da escolha for considerado verdadeiro, pode-se provar que nem todos os subconjuntos do espaço euclidiano são mensuráveis de Lebesgue ; exemplos de tais conjuntos incluem o conjunto Vitali e os conjuntos não mensuráveis postulados pelo paradoxo de Hausdorff e o paradoxo de Banach – Tarski .
Generalizações
Para certos fins, é útil ter uma "medida" cujos valores não se restrinjam aos reais não negativos ou ao infinito. Por exemplo, uma função de conjunto aditivo contável com valores nos números reais (com sinal) é chamada de medida com sinal , enquanto tal função com valores nos números complexos é chamada de medida complexa . As medidas que assumem valores em espaços de Banach foram estudadas extensivamente. Uma medida que assume valores no conjunto de projeções auto-adjuntas em um espaço de Hilbert é chamada de medida com valor de projeção ; estes são usados em análises funcionais para o teorema espectral . Quando é necessário distinguir as medidas usuais que tomam valores não negativos de generalizações, o termo medida positiva é usado. Medidas positivas são fechadas em combinação cônica, mas não em combinação linear geral , enquanto medidas sinalizadas são o fechamento linear de medidas positivas.
Outra generalização é a medida finitamente aditiva , também conhecida como conteúdo . Isso é o mesmo que uma medida, exceto que, em vez de exigir aditividade contável , exigimos apenas aditividade finita . Historicamente, esta definição foi usada primeiro. Acontece que, em geral, medidas finitamente aditivas estão conectadas com noções como limites de Banach , o dual de L ∞ e a compactação Stone-Čech . Todos estes estão ligados de uma forma ou de outra ao axioma da escolha . Os conteúdos permanecem úteis em certos problemas técnicos na teoria da medida geométrica ; esta é a teoria das medidas de Banach .
Uma carga é uma generalização em ambas as direções: é uma medida assinada finitamente aditiva.
Veja também
- Álgebra de Abelian von Neumann
- Quase em todos os lugares
- Teorema de extensão de Carathéodory
- Conteúdo (teoria da medida)
- Teorema de Fubini
- Lema de Fatou
- Teoria de medida difusa
- Teoria da medida geométrica
- Medida de Hausdorff
- Medida interna
- Integração Lebesgue
- Medida Lebesgue
- Espaço Lorentz
- Teoria de levantamento
- Cardeal mensurável
- Função mensurável
- Conteúdo Minkowski
- Medida externa
- Medida do produto
- Medida pushforward
- Medida regular
- Medida vetorial
- Avaliação (teoria da medida)
- Forma de volume
Referências
Bibliografia
- Robert G. Bartle (1995) The Elements of Integration and Lebesgue Measure , Wiley Interscience.
- Bauer, H. (2001), Medida e Teoria da Integração , Berlin: de Gruyter, ISBN 978-3110167191
- Bear, HS (2001), A Primer of Lebesgue Integration , San Diego: Academic Press, ISBN 978-0120839711
- Bogachev, VI (2006), Teoria da medida , Berlin: Springer, ISBN 978-3540345138
- Bourbaki, Nicolas (2004), Integration I , Springer Verlag , ISBN 3-540-41129-1 Capítulo III.
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- KPS Bhaskara Rao e M. Bhaskara Rao (1983), Theory of Charges: A Study of Finitely Additive Measures , Londres: Academic Press, pp. X + 315, ISBN 0-12-095780-9
- Shilov, GE e Gurevich, BL, 1978. Integral, Medida e Derivada: Uma Abordagem Unificada , Richard A. Silverman, trad. Publicações de Dover. ISBN 0-486-63519-8 . Enfatiza a integral de Daniell .
- Teschl, Gerald , Tópicos em Análise Real e Funcional , (notas de aula)
- Tao, Terence (2011). Uma introdução à teoria da medida . Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 9780821869192.
- Weaver, Nik (2013). Teoria da Medida e Análise Funcional . World Scientific . ISBN 9789814508568.
links externos
- "Measure" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- Tutorial: Teoria da Medida para Leigos