Mecânica do movimento das partículas planas - Mechanics of planar particle motion

Este artigo descreve uma partícula em movimento plano quando observada a partir de referenciais não inerciais . Os exemplos mais famosos de movimento planar estão relacionados ao movimento de duas esferas que são atraídas gravitacionalmente uma pela outra e à generalização desse problema para o movimento planetário . Veja a força centrífuga , o problema dos dois corpos , a órbita e as leis de movimento planetário de Kepler . Esses problemas recaem no campo geral da dinâmica analítica , a determinação de órbitas a partir de determinadas leis de força. Este artigo está mais focado nas questões cinemáticas que envolvem o movimento planar, ou seja, a determinação das forças necessárias para resultar em uma determinada trajetória dada a trajetória da partícula. Os resultados gerais apresentados em forças fictícias aqui são aplicados a observações de uma partícula em movimento vista de vários quadros não inerciais específicos, por exemplo, um quadro local (um amarrado à partícula em movimento para que pareça estacionária) e um quadro co-rotativo (um com um eixo arbitrariamente localizado, mas fixo e uma taxa de rotação que faz a partícula parecer ter apenas movimento radial e movimento azimutal zero ). A abordagem Lagrangiana para forças fictícias é introduzida.

Ao contrário das forças reais , como as forças eletromagnéticas , as forças fictícias não se originam de interações físicas entre objetos.

Análise usando forças fictícias

O aparecimento de forças fictícias normalmente está associado ao uso de um referencial não inercial , e sua ausência ao uso de um referencial inercial . A conexão entre os quadros inerciais e as forças fictícias (também chamadas de forças inerciais ou pseudo-forças ), é expressa, por exemplo, por Arnol'd:

As equações de movimento em um sistema não inercial diferem das equações em um sistema inercial por termos adicionais chamados forças inerciais. Isso nos permite detectar experimentalmente a natureza não inercial de um sistema.

-  VI Arnol'd: Métodos Matemáticos da Mecânica Clássica, Segunda Edição, p. 129

Uma abordagem ligeiramente diferente sobre o assunto é fornecida por Iro:

Uma força adicional devido ao movimento relativo não uniforme de dois referenciais é chamada de pseudo-força .

-  H Iro em A Modern Approach to Classical Mechanics p. 180

As forças fictícias não aparecem nas equações de movimento em um referencial inercial : em um referencial inercial, o movimento de um objeto é explicado pelas forças reais impressas. Em uma estrutura não inercial, como uma estrutura rotativa, no entanto, a primeira e a segunda leis de Newton ainda podem ser usadas para fazer previsões físicas precisas, desde que forças fictícias sejam incluídas junto com as forças reais. Para resolver problemas de mecânica em referenciais não inerciais, o conselho dado nos livros didáticos é tratar as forças fictícias como forças reais e fingir que você está em um referencial inercial.

Trate as forças fictícias como forças reais e finja que está em uma estrutura inercial.

-  Louis N. Hand, Janet D. Finch Analytical Mechanics , p. 267

Deve ser mencionado que "tratar as forças fictícias como forças reais" significa, em particular, que as forças fictícias vistas em um referencial não inercial particular se transformam como vetores sob transformações coordenadas feitas dentro desse referencial, isto é, como forças reais.

Objetos móveis e quadros de referência observacionais

Em seguida, é observado que as coordenadas variáveis ​​no tempo são usadas em sistemas de referência inerciais e não inerciais, de modo que o uso de coordenadas variáveis ​​no tempo não deve ser confundido com uma mudança de observador, mas é apenas uma mudança na escolha de descrição do observador . Elaboração deste ponto e algumas citações sobre o assunto a seguir.

Quadro de referência e sistema de coordenadas

O termo quadro de referência é usado mais frequentemente em um sentido muito amplo, mas para a presente discussão o seu significado é limitada para se referir a de um observador estado de movimento , isto é, se quer a um sistema inercial de referência ou uma estrutura não-inercial de referência .

O termo sistema de coordenadas é usado para diferenciar entre diferentes escolhas possíveis para um conjunto de variáveis ​​para descrever o movimento, escolhas disponíveis para qualquer observador, independentemente de seu estado de movimento. Exemplos são coordenadas cartesianas , coordenadas polares e (mais geralmente) coordenadas curvilíneas .

Aqui estão duas citações relacionadas com "estado de movimento" e "sistema de coordenadas":

Introduzimos primeiro a noção de quadro de referência , ela própria relacionada com a ideia de observador : o quadro de referência é, em certo sentido, o "espaço euclidiano transportado pelo observador". Vamos dar uma definição mais matemática: ... o referencial é ... o conjunto de todos os pontos no espaço euclidiano com o movimento do corpo rígido do observador. O quadro, denotado , diz-se mover com o observador. ... As posições espaciais das partículas são marcadas relativamente a uma moldura através do estabelecimento de um sistema de coordenadas R com origem ó . O conjunto de eixos correspondente, compartilhando o movimento do corpo rígido do quadro , pode ser considerado para dar uma realização física de . Em um quadro , as coordenadas são alteradas de R para R ' realizando, a cada instante de tempo, a mesma transformação de coordenadas nos componentes de objetos intrínsecos (vetores e tensores) introduzidos para representar as quantidades físicas neste quadro .

-  Jean Salençon, Stephen Lyle. (2001). Handbook of Continuum Mechanics: General Concepts, Thermoelasticity p. 9

Nos desenvolvimentos tradicionais da relatividade especial e geral, tem sido costume não distinguir entre duas idéias bastante distintas. A primeira é a noção de um sistema de coordenadas, entendido simplesmente como a atribuição suave e invertível de quatro números a eventos em vizinhanças do espaço-tempo. O segundo, o quadro de referência, refere-se a um sistema idealizado usado para atribuir tais números ... Para evitar restrições desnecessárias, podemos divorciar esse arranjo das noções métricas. … De especial importância para os nossos propósitos é que cada quadro de referência tem um estado definido de movimento em cada evento do espaço-tempo.… Dentro do contexto da relatividade especial e enquanto nos restringirmos a quadros de referência em movimento inercial, então pouco de a importância depende da diferença entre um referencial inercial e o sistema de coordenadas inercial que ele induz. Essa circunstância confortável cessa imediatamente quando começamos a considerar os referenciais em movimento não uniforme, mesmo dentro da relatividade especial. ... a noção de referencial reapareceu como uma estrutura distinta de um sistema de coordenadas.

-  John D. Norton: Covariância Geral e os Fundamentos da Relatividade Geral: oito décadas de disputa , Rep. Prog. Phys. , 56 , pp. 835-7.

Sistemas de coordenadas variáveis ​​no tempo

Em um sistema de coordenadas geral, os vetores de base para as coordenadas podem variar no tempo em posições fixas, ou podem variar com a posição em tempos fixos, ou ambos. Pode-se notar que os sistemas de coordenadas anexados a ambos os quadros inerciais e não inerciais podem ter vetores de base que variam no tempo, espaço ou ambos, por exemplo, a descrição de uma trajetória em coordenadas polares vista de um quadro inercial. ou visto de uma moldura giratória. Uma descrição das observações dependente do tempo não altera o quadro de referência em que as observações são feitas e registradas.

Forças fictícias em um sistema de coordenadas local

Figura 1: Sistema de coordenadas local para movimento plano em uma curva. Duas posições diferentes são mostradas para distâncias s e s + ds ao longo da curva. Em cada posição s , o vetor unitário u n aponta ao longo da normal externa à curva e o vetor unitário u t é tangencial ao caminho. O raio de curvatura da trajetória é ρ conforme encontrado a partir da taxa de rotação da tangente à curva em relação ao comprimento do arco, e é o raio do círculo osculante na posição s . O círculo unitário à esquerda mostra a rotação dos vetores unitários com s .

Na discussão de uma partícula se movendo em uma órbita circular, em um referencial inercial pode-se identificar as forças centrípeta e tangencial. Então, parece não haver problema em trocar de chapéu, mudar de perspectiva e falar sobre as forças fictícias comumente chamadas de força centrífuga e de Euler . Mas o que está por trás dessa mudança no vocabulário é uma mudança do quadro de referência observacional do quadro inercial onde começamos, onde as forças centrípetas e tangenciais fazem sentido, para um quadro de referência rotativo onde a partícula parece imóvel e centrífuga fictícia e as forças de Euler têm que ser colocado em jogo. Essa mudança é inconsciente, mas real.

Suponha que nos sentamos em uma partícula em movimento plano geral (não apenas em uma órbita circular). Que análise está por trás de uma mudança de chapéu para introduzir as forças centrífugas e de Euler fictícias?

Para explorar essa questão, comece em um quadro de referência inercial. Ao usar um sistema de coordenadas comumente usado em movimento plano, o chamado sistema de coordenadas local , conforme mostrado na Figura 1 , torna-se fácil identificar fórmulas para a força centrípeta para dentro normal à trajetória (na direção oposta a u n na Figura 1 ), e a força tangencial paralela à trajetória (na direção u t ), como mostrado a seguir.

Para introduzir os vetores unitários do sistema de coordenadas local mostrado na Figura 1 , uma abordagem é começar em coordenadas cartesianas em uma estrutura inercial e descrever as coordenadas locais em termos dessas coordenadas cartesianas. Na Figura 1 , o comprimento do arco s é a distância que a partícula percorreu ao longo de seu caminho no tempo t . O caminho r ( t ) com os componentes x ( t ), y ( t ) em coordenadas cartesianas é descrito usando o comprimento do arco s ( t ) como:

O comprimento do arco s (t) mede a distância ao longo da trilha do skywriter. Imagem da NASA ASRS

Uma maneira de analisar o uso de s é pensar no caminho da partícula como estando no espaço, como a trilha deixada por um skywriter , independente do tempo. Qualquer posição neste caminho é descrita declarando sua distância s de algum ponto inicial no caminho. Em seguida, um deslocamento incremental ao longo do caminho ds é descrito por:

onde os primos são introduzidos para denotar derivados em relação a s . A magnitude desse deslocamento é ds , mostrando que:

    (Eq. 1)

Este deslocamento é necessariamente tangente à curva em s , mostrando que o vetor unitário tangente à curva é:

enquanto o vetor unitário externo normal à curva é

A ortogonalidade pode ser verificada mostrando que o produto escalar do vetor é zero. A magnitude da unidade desses vetores é uma consequência da Eq. 1 .

Como um aparte, observe que o uso de vetores unitários que não estão alinhados ao longo dos eixos xy cartesianos não significa que não estamos mais em um referencial inercial. Tudo isso significa que estamos usando vetores unitários que variam com s para descrever o caminho, mas ainda observamos o movimento do referencial inercial.

Usando o vetor tangente, o ângulo da tangente à curva, digamos θ, é dado por:

  e  

O raio de curvatura é introduzido de forma completamente formal (sem necessidade de interpretação geométrica) como:

A derivada de θ pode ser encontrada para sin θ:

Agora:

  

em que o denominador é a unidade de acordo com a Eq. 1 . Com esta fórmula para a derivada do seno, o raio de curvatura torna-se:

onde a equivalência das formas deriva da diferenciação da Eq. 1 :

Tendo estabelecido a descrição de qualquer posição no caminho em termos de seu valor associado para s , e tendo encontrado as propriedades do caminho em termos desta descrição, o movimento da partícula é introduzido declarando a posição da partícula em qualquer momento t como o valor correspondente s (t) .

Usando os resultados acima para as propriedades do caminho em termos de s , a aceleração no quadro de referência inercial, conforme descrito em termos dos componentes normais e tangenciais ao caminho da partícula, pode ser encontrada em termos da função s ( t ) e seus várias derivadas de tempo (como antes, os primos indicam diferenciação em relação a s ):

  

como pode ser verificado tomando o produto escalar com os vetores unitários u t ( s ) e u n ( s ). Este resultado para a aceleração é igual ao do movimento circular baseado no raio ρ. Usando este sistema de coordenadas no referencial inercial, é fácil identificar a força normal à trajetória como a força centrípeta e aquela paralela à trajetória como a força tangencial.

Em seguida, mudamos os quadros de observação. Sentado na partícula, adotamos um referencial não inercial onde a partícula está em repouso (velocidade zero). Este quadro tem uma origem que muda continuamente, que no tempo t é o centro da curvatura (o centro do círculo osculante na Figura 1 ) do caminho no tempo t , e cuja taxa de rotação é a taxa angular de movimento da partícula em torno essa origem no tempo t . Este referencial não inercial também emprega vetores unitários normais à trajetória e paralelos a ela.

A velocidade angular deste referencial é a velocidade angular da partícula em torno do centro de curvatura no tempo t . A força centrípeta da estrutura inercial é interpretada na estrutura não inercial, onde o corpo está em repouso, como uma força necessária para superar a força centrífuga. Da mesma forma, a força que causa qualquer aceleração da velocidade ao longo do caminho visto no referencial inercial torna-se a força necessária para superar a força de Euler no referencial não inercial onde a partícula está em repouso. Não há força de Coriolis zero no referencial, porque a partícula tem velocidade zero neste referencial. Para um piloto de avião, por exemplo, essas forças fictícias são uma questão de experiência direta. No entanto, essas forças fictícias não podem ser relacionadas a um quadro de referência observacional simples diferente da própria partícula, a menos que esteja em um caminho particularmente simples, como um círculo.

Dito isso, do ponto de vista qualitativo, a trajetória de um avião pode ser aproximada por um arco de círculo por um tempo limitado e, por um período limitado de tempo, aplica-se um determinado raio de curvatura, as forças centrífugas e de Euler podem ser analisadas com base de movimento circular com esse raio. Veja o artigo que discute como virar um avião .

Em seguida, os referenciais girando em torno de um eixo fixo são discutidos em mais detalhes.

Forças fictícias em coordenadas polares

A descrição do movimento das partículas geralmente é mais simples em sistemas de coordenadas não cartesianas, por exemplo, coordenadas polares. Quando as equações de movimento são expressas em termos de qualquer sistema de coordenadas curvilíneas, aparecem termos extras que representam como os vetores de base mudam conforme as coordenadas mudam. Esses termos surgem automaticamente na transformação para coordenadas polares (ou cilíndricas) e, portanto, não são forças fictícias , mas simplesmente termos adicionados na aceleração em coordenadas polares.

Duas terminologias

Em um tratamento puramente matemático, independentemente do quadro ao qual o sistema de coordenadas está associado (inercial ou não inercial), termos extras aparecem na aceleração de uma partícula observada ao usar coordenadas curvilíneas. Por exemplo, em coordenadas polares, a aceleração é dada por (veja abaixo para detalhes):

que contém não apenas derivadas de tempo duplo das coordenadas, mas termos adicionados. Este exemplo emprega coordenadas polares, mas mais geralmente os termos adicionados dependem de qual sistema de coordenadas é escolhido (ou seja, polar, elíptico ou qualquer outro). Às vezes, esses termos dependentes do sistema de coordenadas também são referidos como "forças fictícias", introduzindo um segundo significado para "forças fictícias", apesar do fato de que esses termos não têm as propriedades de transformação vetorial esperadas das forças. Por exemplo, veja Shankar e Hildebrand. De acordo com esta terminologia, as forças fictícias são determinadas em parte pelo próprio sistema de coordenadas, independentemente do referencial ao qual está ligado, isto é, independentemente de o sistema de coordenadas estar ligado a um referencial inercial ou não inercial. Em contraste, as forças fictícias definidas em termos do estado de movimento do observador desaparecem em referenciais inerciais. Para distinguir essas duas terminologias, as forças fictícias que desaparecem em um referencial inercial, as forças inerciais da mecânica newtoniana, são chamadas neste artigo de forças fictícias do "estado de movimento" e aquelas que se originam na interpretação das derivadas do tempo. em particular, os sistemas de coordenadas são chamados de forças fictícias "coordenadas".

Assumindo que é claro que "estado de movimento" e "sistema de coordenadas" são diferentes , segue-se que a dependência da força centrífuga (como neste artigo) sobre o "estado de movimento" e sua independência do "sistema de coordenadas", que contrasta com a versão "coordenada" com dependências exatamente opostas, indica que duas ideias diferentes são referidas pela terminologia "força fictícia". O presente artigo enfatiza uma dessas duas ideias ("estado de movimento"), embora a outra também seja descrita.

Abaixo, as coordenadas polares são introduzidas para uso em (primeiro) um referencial inercial e então (segundo) em um referencial rotativo. Os dois usos diferentes do termo "força fictícia" são apontados. Primeiro, entretanto, segue uma breve digressão para explicar melhor como surgiu a terminologia "coordenada" para força fictícia.

Abordagem Lagrangiana

Para motivar a introdução de forças inerciais "coordenadas" por mais do que uma referência à "conveniência matemática", o que se segue é uma digressão para mostrar que essas forças correspondem ao que é chamado por alguns autores de "forças fictícias generalizadas" ou "forças de inércia generalizadas". Essas forças são introduzidas por meio da abordagem da mecânica Lagrangiana à mecânica baseada na descrição de um sistema por coordenadas generalizadas geralmente denotadas como { q k }. O único requisito para essas coordenadas é que sejam necessárias e suficientes para caracterizar exclusivamente o estado do sistema: elas não precisam ser (embora possam ser) as coordenadas das partículas no sistema. Em vez disso, eles poderiam ser os ângulos e extensões de links em um braço de robô, por exemplo. Se um sistema mecânico consiste em N partículas e há m condições cinemáticas independentes impostas, é possível caracterizar o sistema unicamente por n = 3 N - m coordenadas generalizadas independentes { q k }.

Na mecânica clássica, o lagrangiano é definida como a energia cinética , , do seu sistema menos energia potencial , . Em símbolos,

Sob condições que são dadas na mecânica Lagrangiana , se o Lagrangeano de um sistema é conhecido, então as equações de movimento do sistema podem ser obtidas por uma substituição direta da expressão para o Lagrangeano na equação de Euler-Lagrange , uma família particular de equações diferenciais parciais .

Aqui estão algumas definições:

Definição :
é a função Lagrange ou Lagrangiana , q i são as coordenadas generalizadas , são velocidades generalizadas ,
  são momentos generalizados ,
  são forças generalizadas ,
  são as equações de Lagrange .

Não é o propósito aqui delinear como funciona a mecânica Lagrangiana. O leitor interessado pode ler outros artigos que explicam essa abordagem. Por enquanto, o objetivo é simplesmente mostrar que a abordagem Lagrangiana pode levar a "forças fictícias generalizadas" que não desaparecem em quadros inerciais . O que é pertinente aqui é que, no caso de uma única partícula, a abordagem Lagrangiana pode ser arranjada para capturar exatamente as forças fictícias "coordenadas" que acabamos de introduzir.

Para continuar, considere uma única partícula e introduza as coordenadas generalizadas como { q k } = ( r, θ ). Então Hildebrand mostra em coordenadas polares com q k = (r, θ) os "momentos generalizados" são:

levando, por exemplo, à força generalizada:

com Q r a força radial impressa. A conexão entre "forças generalizadas" e forças newtonianas varia com a escolha das coordenadas. Esta formulação Lagrangiana introduz exatamente a forma "coordenada" das forças fictícias mencionadas acima que permite forças "fictícias" (generalizadas) em referenciais inerciais, por exemplo, o termo Leitura cuidadosa de Hildebrand mostra que ele não discute o papel dos "referenciais inerciais de referência ", e de fato, diz" [A] presença ou ausência [de forças de inércia] depende, não do problema particular em questão, mas do sistema de coordenadas escolhido . " Presumivelmente, por sistema de coordenadas entende-se a escolha de { q k }. Mais tarde, ele diz: "Se as acelerações associadas a coordenadas generalizadas são de interesse primordial (como geralmente é o caso), os termos [não aceleracionais] podem ser convenientemente transferidos para a direita ... e considerados como forças de inércia adicionais (generalizadas). Tais forças de inércia costumam ser considerados do tipo Coriolis . "

Em suma, a ênfase de alguns autores nas coordenadas e seus derivados e na introdução de forças fictícias (generalizadas) que não desaparecem em sistemas de referência inerciais é uma conseqüência do uso de coordenadas generalizadas na mecânica Lagrangiana . Por exemplo, consulte McQuarrie Hildebrand e von Schwerin. Abaixo está um exemplo desse uso empregado no projeto de manipuladores robóticos:

Nas equações de [Lagrange-Euler] acima, existem três tipos de termos. O primeiro envolve a segunda derivada das coordenadas generalizadas. O segundo é quadrático em que os coeficientes podem depender . Estes são classificados em dois tipos. Os termos que envolvem um produto do tipo são chamados de forças centrífugas, enquanto aqueles que envolvem um produto do tipo para i ≠ j são chamados de forças de Coriolis . O terceiro tipo é apenas funções e são chamados de forças gravitacionais .

-  Shuzhi S. Ge, Tong Heng Lee e Christopher John Harris: Adaptive Neural Network Control of Robotic Manipulators , pp. 47-48

Para um robô manipulador, as equações podem ser escritas em uma forma usando os símbolos de Christoffel Γ ijk (discutidos mais abaixo) como:

onde M é a "matriz de inércia do manipulador" e V é a energia potencial devido à gravidade (por exemplo), e são as forças generalizadas na junta i . Os termos que envolvem os símbolos de Christoffel, portanto, determinam os termos "centrífugo generalizado" e "Coriolis generalizado".

A introdução de forças fictícias generalizadas geralmente é feita sem notificação e sem especificar a palavra "generalizada". Esse uso desleixado de terminologia leva a uma confusão sem fim, porque essas forças fictícias generalizadas , ao contrário das forças fictícias de "estado de movimento" padrão, não desaparecem em quadros de referência inerciais.

Coordenadas polares em um referencial inercial

Vetor de posição r , sempre aponta radialmente a partir da origem.
Vetor velocidade v , sempre tangente à trajetória do movimento.
Vetor de aceleração a , não paralelo ao movimento radial, mas desviado pelas acelerações angular e de Coriolis, nem tangente ao caminho, mas desviado pelas acelerações centrípeta e radial.
Vetores cinemáticos em coordenadas polares planas. Observe que a configuração não está restrita ao espaço 2D, mas a um plano em qualquer dimensão superior.

Abaixo, a aceleração de uma partícula é derivada como visto em um referencial inercial usando coordenadas polares. Não há forças fictícias de "estado de movimento" em uma estrutura inercial, por definição. Após essa apresentação, a terminologia contrastante de "coordenar" forças fictícias é apresentada e criticada com base no comportamento de transformação não vetorial dessas "forças".

Em um referencial inercial, seja o vetor posição de uma partícula em movimento. Seus componentes cartesianos ( x , y ) são:

com coordenadas polares r e θ dependendo do tempo t .

Os vetores unitários são definidos na direção radialmente para fora :

e na direção em ângulos retos para :

Esses vetores unitários variam em direção com o tempo:

e:

Usando essas derivadas, a primeira e a segunda derivadas de posição são:

onde marcações de ponto indicam diferenciação de tempo. Com esta forma de aceleração , em um referencial inercial, a segunda lei de Newton expressa em coordenadas polares é:

onde F é a força real líquida na partícula. Nenhuma força fictícia aparece porque todas as forças fictícias são zero por definição em uma estrutura inercial.

Do ponto de vista matemático, entretanto, às vezes é útil colocar apenas as derivadas de segunda ordem no lado direito desta equação; isto é, escrevemos a equação acima reorganizando os termos como:

onde uma versão "coordenada" da "aceleração" é introduzida:

consistindo apenas em derivadas de tempo de segunda ordem das coordenadas r e θ. Os termos movidos para o lado da força da equação são agora tratados como "forças fictícias" extras e, confusamente, as forças resultantes também são chamadas de força "centrífuga" e "Coriolis".

Essas "forças" recém-definidas são diferentes de zero em um referencial inercial e, portanto, certamente não são as mesmas que as forças fictícias previamente identificadas, que são zero em um referencial inercial e não zero apenas em um referencial não inercial. Neste artigo, essas forças recém-definidas são chamadas de força centrífuga "coordenada" e de força "coordenada" de Coriolis para separá-las das forças de "estado de movimento".

Figura 2: Dois sistemas de coordenadas diferindo por um deslocamento de origem. O movimento radial com velocidade constante v em um quadro não é radial no outro quadro. Taxa angular , mas

Mudança de origem

Aqui está uma ilustração que mostra que o chamado “termo centrífugo” não se transforma como uma força verdadeira, colocando qualquer referência a este termo não apenas como um “termo”, mas como uma força centrífuga , sob uma luz duvidosa. Suponha que no referencial S uma partícula se mova radialmente para longe da origem a uma velocidade constante. Veja a Figura 2. A força na partícula é zero pela primeira lei de Newton. Agora olhamos para a mesma coisa do quadro S ' , que é o mesmo, mas deslocado na origem. Em S ', a partícula ainda está em movimento em linha reta em velocidade constante, então, novamente, a força é zero.

E se usarmos coordenadas polares nos dois quadros? No quadro S, o movimento radial é constante e não há movimento angular. Portanto, a aceleração é:

e cada termo individualmente é zero porque e . Não há nenhuma força, inclusive sem "força" no quadro S . No quadro S ' , entretanto, temos:

Nesse caso, o termo azimutal é zero, sendo a taxa de variação do momento angular. Para obter aceleração zero na direção radial, no entanto, exigimos:

O lado direito é diferente de zero, visto que nem nem é zero. Ou seja, não podemos obter força zero (zero ) se mantivermos apenas como a aceleração; precisamos de ambos os termos.

Apesar dos fatos acima, suponha que adotemos coordenadas polares, e desejemos dizer que é "força centrífuga", e reinterpretar como "aceleração" (sem nos deter em qualquer justificativa possível). Como essa decisão se sai quando consideramos que uma formulação adequada da física é geometria e independente de coordenadas? Veja o artigo sobre covariância geral . Para tentar formar uma expressão covariante, esta chamada "força" centrífuga pode ser colocada em notação vetorial como:

com:

e um vetor unitário normal ao plano de movimento. Infelizmente, embora esta expressão se pareça formalmente com um vetor, quando um observador muda a origem do valor das mudanças (veja a Figura 2), então os observadores no mesmo quadro de referência em diferentes esquinas veem diferentes "forças", embora os eventos reais eles testemunha são idênticas. Como uma força física (seja fictícia ou real) pode ser zero em um referencial S , mas diferente de zero em outro referencial S ' idêntica, mas a alguns metros de distância? Mesmo para exatamente o mesmo comportamento de partícula, a expressão é diferente em cada quadro de referência, mesmo para distinções muito triviais entre os quadros. Em suma, se tomarmos como "força centrífuga", ela não tem um significado universal: é anti - física .

Além desse problema, a força líquida real impressa é zero. (Não há força real impressa no movimento em linha reta em velocidade constante). Se adotarmos coordenadas polares, e quisermos dizer que é "força centrífuga", e reinterpretar como "aceleração", a estranheza resulta no quadro S ' que o movimento em linha reta em velocidade constante requer uma força líquida em coordenadas polares, mas não em Coordenadas cartesianas. Além disso, esta confusão é aplicável no quadro S " , mas não na armação S .

O absurdo do comportamento de indica que se deve dizer que não é força centrífuga , mas simplesmente um de dois termos na aceleração. Essa visão, de que a aceleração é composta de dois termos, é independente do referencial: há força centrífuga zero em todo e qualquer referencial inercial. Também é independente do sistema de coordenadas: podemos usar cartesiano, polar ou qualquer outro sistema curvilíneo: todos eles produzem zero.

Além dos argumentos físicos acima, é claro, a derivação acima, baseada na aplicação das regras matemáticas de diferenciação, mostra que a aceleração radial de fato consiste nos dois termos .

Dito isso, a próxima subseção mostra que há uma conexão entre esses termos centrífugos e de Coriolis e as forças fictícias que pertencem a um determinado referencial rotativo (distinto de um referencial inercial).

Figura 3: Quadro inercial de referência S e quadro co-rotativo não inercial instantâneo de referência S ' . O quadro co-rotativo gira a uma taxa angular Ω igual à taxa de rotação da partícula em torno da origem de S ' no momento particular t . A partícula está localizada na posição do vetor r (t) e os vetores unitários são mostrados na direção radial para a partícula a partir da origem, e também na direção do ângulo crescente θ normal à direção radial. Esses vetores unitários não precisam ser relacionados à tangente e normais ao caminho. Além disso, a distância radial r não precisa estar relacionada ao raio de curvatura do caminho.

Quadro co-rotativo

No caso do movimento plano de uma partícula, os termos "coordenada" centrífuga e de aceleração de Coriolis encontrados acima como sendo diferentes de zero em um referencial inercial podem ser mostrados como negativos dos termos centrífugo e de Coriolis de "estado de movimento" que aparecem em um quadro de co-rotação não inercial muito particular (consulte a próxima subseção). Veja a Figura 3 . Para definir um quadro de co-rotação, primeiro uma origem é selecionada a partir da qual a distância r (t) para a partícula é definida. É estabelecido um eixo de rotação perpendicular ao plano de movimento da partícula e passando por essa origem. Então, no momento t selecionado , a taxa de rotação do quadro de co-rotação Ω é feita para coincidir com a taxa de rotação da partícula em torno deste eixo, dθ / dt . O quadro de co-rotação aplica-se apenas por um momento e deve ser continuamente selecionado novamente conforme a partícula se move. Para obter mais detalhes, consulte Coordenadas polares, termos centrífugos e de Coriolis .

Coordenadas polares em um referencial rotativo

Em seguida, a mesma abordagem é usada para encontrar as forças fictícias de uma estrutura rotativa (não inercial). Por exemplo, se um sistema de coordenadas polares rotativas é adotado para uso em um quadro rotativo de observação, ambos girando na mesma taxa anti-horária constante Ω, encontramos as equações de movimento neste quadro como segue: a coordenada radial no quadro rotativo é tomado como r , mas o ângulo θ 'no quadro rotativo muda com o tempo:

Consequentemente,

Conectando este resultado à aceleração usando os vetores unitários da seção anterior:

Os dois termos iniciais têm a mesma forma que aqueles no referencial inercial e são os únicos termos se o referencial não estiver girando, ou seja, se Ω = 0. No entanto, neste quadro rotativo, temos os termos extras:

O termo radial Ω 2 r é a força centrífuga por unidade de massa devido à rotação do sistema na taxa Ω e o termo radial é o componente radial da força de Coriolis por unidade de massa, onde é o componente tangencial da velocidade da partícula como visto no quadro giratório. O termo é o chamado componente azimutal da força de Coriolis por unidade de massa. Na verdade, esses termos extras podem ser usados ​​para medir Ω e fornecer um teste para ver se o quadro está girando ou não, exatamente como explicado no exemplo de esferas idênticas girando . Se o movimento da partícula pode ser descrito pelo observador usando as leis do movimento de Newton sem esses termos Ω-dependentes, o observador está em um referencial inercial onde Ω = 0.

Esses "termos extras" na aceleração da partícula são as forças fictícias do "estado de movimento" para esse quadro rotativo, as forças introduzidas pela rotação do quadro a uma taxa angular Ω.

Nesse quadro rotativo, quais são as forças fictícias "coordenadas"? Como antes, suponha que escolhemos colocar apenas as derivadas de tempo de segunda ordem no lado direito da lei de Newton:

Se escolhermos por conveniência tratar como alguma chamada "aceleração", então os termos são adicionados à chamada "força fictícia", que não são forças fictícias de "estado de movimento", mas na verdade são componentes da força que persistem mesmo quando Ω = 0, ou seja, persistem mesmo em um sistema de referência inercial. Como esses termos extras são adicionados, a força fictícia de "coordenada" não é o mesmo que a força fictícia de "estado de movimento". Por causa desses termos extras, a força fictícia "coordenada" não é zero, mesmo em um sistema de referência inercial.

Mais sobre o quadro co-rotativo

Observe, no entanto, o caso de um quadro giratório que por acaso tem a mesma taxa angular da partícula, de modo que Ω = dθ / dt em algum momento particular (ou seja, as coordenadas polares são configuradas no co instantâneo, não inercial - quadro giratório da Figura 3 ). Neste caso, neste momento, dθ '/ dt = 0 . Neste referencial não inercial co-rotativo, neste momento as forças fictícias "coordenadas" são apenas aquelas devidas ao movimento do quadro, ou seja, são iguais às forças fictícias de "estado de movimento", conforme discutido nas observações sobre o quadro corrotativo da Figura 3 na seção anterior.

Forças fictícias em coordenadas curvilíneas

Figura 4: Superfícies de coordenadas, linhas de coordenadas e eixos de coordenadas de coordenadas curvilíneas gerais.

Para citar Bullo e Lewis: "Apenas em circunstâncias excepcionais a configuração do sistema Lagrangeano pode ser descrita por um vetor em um espaço vetorial. No cenário matemático natural, o espaço de configuração do sistema é descrito vagamente como um espaço curvo ou, mais precisamente, como um variedade diferenciável . "

Em vez de coordenadas cartesianas , quando as equações de movimento são expressas em um sistema de coordenadas curvilíneas , os símbolos de Christoffel aparecem na aceleração de uma partícula expressa neste sistema de coordenadas, conforme descrito abaixo com mais detalhes. Considere a descrição do movimento de uma partícula do ponto de vista de um referencial inercial em coordenadas curvilíneas. Suponhamos que a posição de um ponto P , em coordenadas cartesianas é ( x , y , z ) e em coordenadas curvilíneas é ( Q 1 , Q 2 . Q 3 ). Então, existem funções que relacionam essas descrições:

e assim por diante. (O número de dimensões pode ser maior do que três.) Um aspecto importante de tais sistemas de coordenadas é o elemento do comprimento do arco que permite que as distâncias sejam determinadas. Se as coordenadas curvilíneas formam um sistema de coordenadas ortogonais , o elemento de comprimento do arco ds é expresso como:

onde as quantidades h k são chamadas de fatores de escala . Uma mudança dq k em q k causa um deslocamento h k dq k ao longo da linha de coordenadas para q k . Em um ponto P , colocamos vetores unitários e k cada tangente a uma linha de coordenadas de uma variável q k . Então, qualquer vetor pode ser expresso em termos desses vetores de base, por exemplo, a partir de um referencial inercial, o vetor de posição de uma partícula em movimento r localizada no tempo t na posição P torna-se:

onde q k é o produto escalar vetorial de r e e k . A velocidade v de uma partícula em P pode ser expressa em P como:

onde v k é o produto escalar do vetor de v e e k , e sobre os pontos indicam a diferenciação no tempo. As derivadas de tempo dos vetores de base podem ser expressas em termos dos fatores de escala introduzidos acima. por exemplo:

 ou, em geral

em que os coeficientes dos vetores unitários são os símbolos de Christoffel para o sistema de coordenadas. A notação geral e as fórmulas para os símbolos de Christoffel são:

e o símbolo é zero quando todos os índices são diferentes. Apesar das aparências em contrário, os símbolos de Christoffel não formam os componentes de um tensor . Por exemplo, eles são zero em coordenadas cartesianas, mas não em coordenadas polares.

Usando relações como esta,

o que permite que todas as derivadas de tempo sejam avaliadas. Por exemplo, para a velocidade:

com a notação Γ para os símbolos de Christoffel substituindo a notação de colchetes. Usando a mesma abordagem, a aceleração é então

Olhando para a relação de aceleração, o primeiro somatório contém as derivadas de tempo da velocidade, que estariam associadas à aceleração se fossem coordenadas cartesianas, e o segundo somatório (aquele com símbolos de Christoffel) contém termos relacionados à forma como os vetores unitários mudam com tempo.

Forças fictícias de "estado de movimento" versus "coordenadas"

Anteriormente neste artigo, foi introduzida uma distinção entre duas terminologias, as forças fictícias que desaparecem em um sistema de referência inercial são chamadas neste artigo de forças fictícias de "estado de movimento" e aquelas que se originam da diferenciação em um sistema de coordenadas específico são chamadas de forças fictícias "coordenadas". Usando a expressão para a aceleração acima, a lei do movimento de Newton no referencial inercial torna-se:

onde F é a força real líquida na partícula. Nenhuma força fictícia de "estado de movimento" está presente porque o referencial é inercial e as forças fictícias de "estado de movimento" são zero em um referencial inercial, por definição.

A abordagem de "coordenadas" para a lei de Newton acima é reter as derivadas de tempo de segunda ordem das coordenadas { q k } como os únicos termos do lado direito desta equação, motivado mais por conveniência matemática do que pela física. Para esse fim, a lei da força pode ser reescrita, levando a segunda soma para o lado da força da equação como:

com a convenção de que a "aceleração" agora é:

Na expressão acima, o somatório adicionado ao lado da força da equação agora é tratado como se "forças" adicionadas estivessem presentes. Esses termos de soma são normalmente chamados de forças fictícias dentro dessa abordagem de "coordenada", embora nesse sistema de referência inercial todas as forças fictícias de "estado de movimento" sejam idênticas a zero. Além disso, essas "forças" não se transformam em transformações de coordenadas como vetores . Assim, a designação dos termos da soma como "forças fictícias" usa essa terminologia para contribuições que são completamente diferentes de qualquer força real e das forças fictícias de "estado de movimento". O que aumenta essa confusão é que essas forças fictícias "coordenadas" são divididas em dois grupos e recebem os mesmos nomes das forças fictícias do "estado de movimento", ou seja, são divididas em termos "centrífugos" e "Coriolis". , apesar da inclusão de termos que não são os termos centrífugos e de Coriolis de "estado de movimento". Por exemplo, esses termos centrífugos e de Coriolis de "coordenada" podem ser diferentes de zero mesmo em um sistema de referência inercial onde a força centrífuga de "estado de movimento" (o assunto deste artigo) e a força de Coriolis sempre são zero.

Se o referencial não for inercial, por exemplo, em um referencial rotativo, as forças fictícias de "estado de movimento" são incluídas na expressão de força fictícia "coordenada" acima. Além disso, se a "aceleração" expressa em termos de derivadas de tempo de primeira ordem da velocidade resulta em termos que não são simplesmente derivados de segunda ordem das coordenadas { q k } no tempo, então esses termos que não são de segunda ordem a ordem também é trazida para o lado da força da equação e incluída com as forças fictícias. Do ponto de vista de uma formulação Lagrangiana, elas podem ser chamadas de forças fictícias generalizadas . Veja Hildebrand, por exemplo.

A formulação da dinâmica em termos de símbolos de Christoffel e a versão "coordenada" de forças fictícias é freqüentemente usada no projeto de robôs em conexão com uma formulação Lagrangiana das equações de movimento.

Notas e referências

Leitura adicional

links externos

Veja também