Mediana (geometria) - Median (geometry)

As medianas do triângulo e o centróide .

Em geometria , a mediana de um triângulo é um segmento de linha que une um vértice ao ponto médio do lado oposto, dividindo assim esse lado. Cada triângulo tem exatamente três medianas, uma de cada vértice, e todas elas se cruzam no centroide do triângulo . No caso de triângulos isósceles e equiláteros , uma mediana corta ao meio qualquer ângulo em um vértice cujos dois lados adjacentes são iguais em comprimento.

O conceito de mediana se estende aos tetraedros .

Relação com o centro de massa

Cada mediana de um triângulo passa pelo centróide do triângulo , que é o centro de massa de um objeto infinitamente fino de densidade uniforme coincidindo com o triângulo. Assim, o objeto se equilibraria no ponto de intersecção das medianas. O centróide está duas vezes mais próximo ao longo de qualquer mediana do lado em que a mediana se cruza do que do vértice de onde emana.

Divisão de área igual

Triangle.Centroid.Median.png

Cada mediana divide a área do triângulo pela metade; daí o nome e, portanto, um objeto triangular de densidade uniforme se equilibraria em qualquer mediana. (Quaisquer outras linhas que dividam a área do triângulo em duas partes iguais não passam pelo centróide.) As três medianas dividem o triângulo em seis triângulos menores de áreas iguais .

Prova de propriedade de área igual

Considere um triângulo ABC . Seja D o ponto médio de , E o ponto médio de , F o ponto médio de e O o centróide (mais comumente denotado por G ).

Por definição ,. Assim e , onde representa a área do triângulo  ; eles são válidos porque em cada caso os dois triângulos têm bases de comprimento igual e compartilham uma altitude comum da base (estendida), e a área de um triângulo é igual a metade de sua base vezes sua altura.

Nós temos:

Assim, e

Uma vez que , portanto ,. Usando o mesmo método, pode-se mostrar isso .

Três triângulos congruentes

Em 2014, Lee Sallows descobriu o seguinte teorema:

As medianas de qualquer triângulo o dissecam em seis triângulos menores de áreas iguais, como na figura acima, onde três pares adjacentes de triângulos se encontram nos pontos médios D, E e F. Se os dois triângulos em cada par são girados em torno de seu ponto médio comum até que eles se encontram para compartilhar um lado comum, então os três novos triângulos formados pela união de cada par são congruentes.

Fórmulas envolvendo os comprimentos das medianas

Os comprimentos das medianas podem ser obtidos a partir do teorema de Apolônio como:

onde e estão os lados do triângulo com as respectivas medianas e de seus pontos médios.

Essas fórmulas implicam nas relações:

Outras propriedades

Seja ABC um triângulo, seja G seu centroide e sejam D , E e F os pontos médios de BC , CA e AB , respectivamente. Para qualquer ponto P no plano do ABC, então

O centróide divide cada mediana em partes na proporção de 2: 1, com o centróide sendo duas vezes mais próximo do ponto médio de um lado do que do vértice oposto.

Para qualquer triângulo com lados e medianas

As medianas dos lados dos comprimentos e são perpendiculares se e somente se

As medianas de um triângulo retângulo com hipotenusa satisfazem

A área T de qualquer triângulo pode ser expressa em termos de suas medianas e da seguinte forma. Se sua semissom for denotada por então

Tetraedro

medianas de um tetraedro

Um tetraedro é um objeto tridimensional com quatro faces triangulares . Um segmento de linha que une um vértice de um tetraedro com o centróide da face oposta é chamado de mediana do tetraedro. Existem quatro medianas e todas elas são concorrentes no centróide do tetraedro. Como no caso bidimensional, o centróide do tetraedro é o centro de massa . No entanto, ao contrário do caso bidimensional, o centróide divide as medianas não em uma proporção de 2: 1, mas em uma proporção de 3: 1 ( teorema de Commandino ).

Veja também

Referências

links externos